Diskussion:Vollständiger Raum

Aus meiner Sicht ist die Begriffsklärung ziemlich unnötig. a) Wer direkt nach "vollständiger Raum" gesucht hat, will diesen Artikel haben. b) Wer von Wikilinks kommt, auch. --Scherben 22:58, 22. Okt 2005 (CEST)

Absatz verschoben

Dieser Absatz war als im Artikel versteckt, da der Einsteller sich über die Richtigkeit nicht sicher war. Ich stelle ihn mal hier zur Diskussion, da einen versteckten Absatz ja niemand findet. Geisslr 09:55, 7. Apr 2006 (CEST)

Das Baire'sche Kategorientheorem (??) besagt, dass jeder vollständige metrische Raum ein Baire-Raum (??) ist. Das heißt, dass das Innere einer abzählbaren Vereinigung nirgends dichter Teilmengen dieses Raums leer ist.

Verwirrende Bezeichnungen

Unter der Überschrift "Einige Sätze" steht direkt als erstes:

Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Müsste es nicht heißen: "... wenn er abgeschlossen und totalbeschränkt ist."? Ansonsten wird der Begriff "vollständig" benutzt, um Vollständigkeit zu definieren, was sehr verwirrend ist - und es ist glaube ich auch nicht richtig. Ich frage aber lieber mal bevor ich irgendwas ändern sollte ;-)

Nein, vollständig wird benutzt um "kompakt" zu definieren bzw. zu charakterisieren. "Abgeschlossen" reicht für Teilmengen von vollständigen metrischen Räumen, aber die Vollständigkeit des Raums muss hier vorausgesetzt werden. Es geht in diesem Abschnitt nicht um die Definition von "vollständig", sonderm um mathematische Sätze, die vollständige Räume zum Thema haben. Es wird hier vorausgesetzt, dass der Begriff "vollständig" schon bekannt ist. --Digamma (Diskussion) 21:03, 23. Feb. 2019 (CET)

Kritik an der Aussage, dass vollständige Vektorräume Banachräume genannt werden

Selbst wenn man davon ausgeht, dass nur topolog. Vekt.-Räume mit einer kompatiblen metrischen Topologie gemeint sind (weil 1. ohne kompatible Topologie bei einer additiven Gruppe - also z.B. VR - nicht von 'vollständig' gesprochen werden kann, 2. der Artikel zur Hauptsache (ich meine sogar ausschliesslich) nur vollständige metrische Räume bespricht) hat man damit - Irrtum vorbehalten, möchte jetzt nicht auf Suche nach Gegenbeispielen gehen - noch lange keinen normierten VR (Def.: Banach-Raum = vollständiger normierter VR)--UKe-CH 16:02, 18. Jul. 2007 (CEST)

Da diese Kritik nichts fruchtete, habe ich nun die Aussage selbst geändert. --UKe-CH 18:30, 28. Aug. 2007 (CEST)

Korrektur

Habe ausserdem im Absatz "Eigenschaften" eine Korrektur angebracht (siehe Versionen/Autoren)--UKe-CH 16:32, 18. Jul. 2007 (CEST)

Ungünstiger Einleitungssatz

Der folgende Satz im zweiten Absatz ist mMn ziemlich ungünstig:

Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig, weil z. B. √2 nicht rational ist.

Die Aussage ist natürlich richtig, aber die Begründung ist nicht klar. Genauso könnte man sagen:

Zum Beispiel ist der Raum der reellen Zahlen nicht vollständig, weil z. B. √-1 nicht reel ist. (Was natürlich nicht richtig ist, aber scheinbar der gleichen Argumentation folgt)

Mit dem ersten Beispiel wird dann klar, was das mit √2 und den rationalen Zahlen auf sich hat, aber beim ersten Lesen sieht das schon merkwürdig aus. Vielleicht hat jemand ne Idee, wie man das besser formulieren kann. --daniel.rikowski 00:22, 22. Jul. 2007 (CEST)

• • absolut ungünstig!**

... also ich kam von McCulloch-Pitts-Zelle über : '... sie bilden also eine **vollständige Basis** der booleschen Algebra.' hierher und bin nun durch diese Erklärung nur wenig schlauer ... Wenn Basis bedeutet, dass unter Benutzung der 'Basiselemente' jeder 'Ort' im Raum beschrieben werden kann, was bedeutet die Vollständigkeit darüber hinaus? Natürlich sind jene selig, welche auf rein abstrakter Ebene alles nachvollziehen können - und manche Schulen machen das zu ihrer Maxime - den anderen hier aber auch zu helfen, mindert nicht die intellektuelle Strahlkraft ... :) --Piusbmaier (Diskussion) 19:26, 24. Dez. 2012 (CET)

Ist falsch verlinkt in dem Artikel. Was du suchst, ist der Artikel Funktionale Vollständigkeit. --Chricho ¹ ² ³ 19:40, 24. Dez. 2012 (CET)

Widerspruch in Einleitung

"es jedoch Folgen rationaler Zahlen gibt, die gegen \scriptstyle\sqrt{2} konvergieren. "(also gegen irrational, also nicht in Menge rationaler Zahlen)... "Der Zusatz "in M" ist nicht notwendig, da für Folgen in M schon gemäß der Definition der Konvergenz nur Punkte aus M als Grenzwerte in Frage kommen." Was denn nun, gehört der Punkt bei Konvergenz nun nach Definition dazu oder nicht?????????? (nicht signierter Beitrag von 77.5.103.153 (Diskussion) 09:26, 16. Dez. 2010 (CET))

Der Punkt zu dem die Folge konvergiert gehört zu M. Denn wenn man einen Raum für sich betrachtet, dann ignoriert man im Prinzip was nicht dazu gehört - es wäre umständlich, dies jedes Mal zu erwähnen. Wenn man hingegen ein Unterraum M eines Raumes X betrachtet, dann muss man eventuell zwischen Eigenschaften von M (oder der Punkte / Untermengen etc. von M) die auf etwas "in M" Bezug nehmen und solchen unterscheiden, wo es "in X" passiert. Der Fall im Artikel ist etwas delikat, da man leicht an die Vervollständigung denkt, wenn man einen unvollständigen Raum betrachtet.--UKe-CH 10:37, 17. Dez. 2010 (CET)

Dass der Grenzwert, auf den die Cauchyfolgen konvergieren, Teil des Raumes sein muss, ist aber genau der Knackpunkt der Definition, und muss deshalb auch erwaehnt werden. Momentan steht da: Alle Raeume mit konvergierenden Cauchyfolgen sind vollstaendig, in Q gibt es konvergierende Folgen, also ist Q unvollstaendig. Das ist totaler duennsinn so. --134.100.12.126 17:32, 16. Jul. 2013 (CEST)

Nicht aufregen, es lässt sich mit einem minimalinvasiven Eingriff beheben. Zufrieden so? --Chricho ¹ ² ³ 17:48, 16. Jul. 2013 (CEST)

Zweifel an Ordnungsvollständigkeits-Absatz

Ich habe Zweifel an der Richtigkeit folgender Aussage:

"Für einen metrischen Raum mit verträglicher Totalordnung gilt: Er ist genau dann metrisch vollständig, wenn er ordnungsvollständig ist."

Nehmen wir mal das offene Einheitsintervall X:=]0,1[ mit der gewöhnlichen Ordnung und der gewöhnlichen Metrik. Dann ist nach obiger Definition die Ordnung sicher mit der Metrik verträglich. Als totalgeordnete Menge ist X isomorph zu R, also ist X als totalgeordnete Menge ordnungsvollständig. Als metrischer Raum ist X aber nicht vollständig, weil z.B. (1/n) eine Cauchyfolge ohne Grenzwert in X ist.

So ist die Aussage also falsch. Und ich bin mir auch nicht sicher, ob man die Aussage retten kann, weil die Ordnung einfach nicht "wissen" kann, ob die Metrik vollständig ist oder nicht.

Was übrig bleibt, ist dass bei Q mit Standardordnung und Standardmetrik die Begriffe zusammenfallen. Aber auch bei Q kann man natürlich tricksen, indem man z.B. die Metrik d(x,y)=|arctanx-arctany| verwendet. Die erzeugt die gewöhnliche Topologie auf Q und ist nach obiger Definition mit der Ordnung verträglich. Aber bzgl. dieser neuen Metrik stimmt Vervollständigung nicht mehr mit der Ordnungsvervollständigung (nach Dedekindschen Schnitten) überein. Ich würde also vorschlagen, den Teil "Metrische Vollständigkeit und Ordnungsvollständigkeit"ersatzlos zu streichen. Insbesondere auch, weil die Formulierung "Eine eindeutige Vervollständigung als metrischer Raum, wie sie oben beschrieben ist, ist genau dann möglich, wenn [...]" irreführend ist, weil dies ein bisschen so klingt, als gäbe es metrische Räume, bei denen eine eindeutige Vervollständigung nicht möglich ist. Vorschläge?

Viele Grüße, 130.83.2.27 11:23, 17. Feb. 2012 (CET)

Sorry, hatte revertiert, ohne richtig hinzugucken. Hab's jetzt wieder rückgängig gemacht. Zum Inhalt: Vielleicht Benutzer:Digamma fragen? -- UKoch 23:41, 22. Feb. 2012 (CET)

Konstruktion

Dort steht, dass die auf der Vervollständigung definierte Metrik nur eine Pseudometrik ist, was ich nicht nachvollziehen kann. Die Vervollständigung besteht aus Äquivalenzklassen, in einer solche Klasse liegen alle Cauchy-Folgen, die den gleichen Grenzwert besitzen. Nur gucken wir uns zwei solche Äquivalenzklassen an und definieren deren Abstand als Abstand zweier Repräsentanten, mithilfe der Metrik auf dem ursprünglichen Raum. Dabei sollen die Grenzwerte betrachtet werden, sprich beim Abstand der Äquivalenzklassen handelt es sich um den Abstand der Grenzwerte beliebiger Repräsentanten aus diesen Klassen. Warum sollten nur zwei verschiedene Elemente aus der Vervollständigung den Abstand Null haben können? Das ist nur möglich, wenn sie denselben Grenzwert besitzen, dann gehören sie aber derselben Klasse an und es handelt sich um dieselben Elemente in der Vervollständigung, evt. dargestellt durch versch. Repräsentanten.

Gruß --92.229.234.166 17:56, 25. Apr. 2012 (CEST)

Bitte genauer lesen. Die Pseudo-Metrik ist auf dem Raum der Cauchy-Folgen, also vor dem Schritt des Bildens der Äquivalenzklassen und diesen vorbereitend, motivierend.--LutzL (Diskussion) 19:10, 25. Apr. 2012 (CEST)

Ich versuche ganz genau zu lesen – im Text steht:

»Dieser Abstand ist wohldefiniert, er ist aber nur eine Pseudometrik, denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand $0$ haben.«

Wohldefiniert ist gut, aber was soll diese Begründung und wie soll sie wozu motivieren? Auch bei einer vollen (und Nicht-Pseudo-)Metrik können verschiedene Cauchy-Folgen den Abstand $0$ haben. Natürlich können sie das, das ist doch total trivial! Überall können sie das, man nehme bspw. die Folgen

$x:=\left(1,0,0,0,...\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und

$y:=\left(0,0,0,0,...\right)_{n\in \mathbb {N} }$,

dann sind die beiden Folgen Cauchy und verschieden. UND sie haben den soeben definierten Abstand ${\tilde {d}}(x,y)=\lim _{n}d(x_{n},y_{n})=\lim _{n}\left(1,0,0,0,...\right)=0$. Der Halbsatz nach dem »denn« motiviert doch für überhaupt gar nichts, weder für eine Nur-Pseudometrik, noch für eine Metrik. Und »verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand $0$ haben«, egal ob vor oder nach dem Bilden der Äquivalenzklassen. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:40, 28. Mai 2018 (CEST)

N(ε)

Auch wenn das in der zitierten Quelle genau so steht: Mein Logikerherz sträubt sich, wenn ich so etwas

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \quad \dots$

lese. Nach einem Quantor kann nur eine Variable, aber kein Term stehen. Gemeint ist mit "$N(\varepsilon )$", dass das $N$ von $\varepsilon$ abhängt, aber die Schreibweise passt nicht mit dem logischen Formalismus zusammen. Rein logisch: Dadurch, dass "$\exists N\in \mathbb {N}$" hinter "$\forall \varepsilon >0$" steht, darf $N$ von $\varepsilon$ abhängen. Wenn man das betonen möchte, dann kann man das mit Worten tun, aber nicht mit diesem Formalismus. Formal korrekt also einfach:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \dots$

--Digamma (Diskussion) 22:11, 16. Jul. 2012 (CEST)

Wenn dir das $(\varepsilon )$ nicht gefällt, kannst du es gerne streichen, ich hänge nicht dran ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:17, 16. Jul. 2012 (CEST)

Getan. --Digamma (Diskussion) 23:01, 16. Jul. 2012 (CEST)

Fehlerhaftes Beispiel

Unter Beispiele ist die angegebene vollständige "Metrik" auf dem Intervall (0, 1) fehlerhaft, da sie nicht positiv definit ist, denn d(1/2, 1/2) = 8 (und nicht 0). Findet jemand ein richtiges Beispiel? (nicht signierter Beitrag von 79.252.206.159 (Diskussion) 11:29, 27. Mai 2016 (CEST))

Es steht ja dabei, dass die Formel nur für $x\neq y$ gelten soll. Für $x=y$ ist natürlich $d(x,y)=0$. Trotzdem finde ich das Beispiel seltsam. --Digamma (Diskussion) 12:15, 27. Mai 2016 (CEST)