Diskussion:Wurzel (Mathematik)

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Frage

Wurde die Wurzel erfunden oder entdeckt? Ich würde sagen, dass sie entdeckt wurde.

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Wer weiß überhaupt so genau, dass die Wurzel aus 4 2 ist? Vielleicht sind diese Zahlen viel zu ungenau? Als Beispiel nehmen wir nur mal Pi... Die Zahl ist so unendlich, dass man ihr Ende bis heute nicht gefunden hat. Wer also sagt, dass 2 die wurzel aus 4 ist? Dass Blau auch wirklich blau ist? (nicht signierter Beitrag von 84.149.225.10 (Diskussion | Beiträge) 13:24, 10. Mai 2010 (CEST))

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wenn du meinst! meiner meinung nach wurde sie entdeckt! Ja aber die Bezeichnung Wurzel und wie man sie rechnet wurde erfunden!! nein man! bsp: 2 ist die wurzel von 4 vor 3 millionjahren sind bestimmt irgentwo schon mal 2 steine einen berg runtergerollt volglich gab es die 2 schon immer allso die wurzel aus 4 also die wurzeln algemein!!!!!!! gez. TA (nicht signierter Beitrag von 91.63.104.188 (Diskussion | Beiträge) 15:48, 5. Okt. 2009 (CEST))

Wer kann die Quadratwurzel noch manuell ziehen und mir erläutern?

Wikipedia ist kein Frage-Forum

Hier auf der Diskussionsseite dürfen nur solche Fragen gestellt werden, die sich in eine direkte Beziehung setzen lassen zu Aussagen im Artikel-Text.
Philosophisch ist die Frage sehr erheblich, ob Zahlen oder Wurzeln erfunden oder entdeckt wurden. Und deshalb sollte man die gestellte Frage, ob Wurzeln erfunden oder entdeckt wurden, auf der Diskussionsseite stehen lassen.
Die Frage nach dem Wirklichkeits-Status von Wurzeln oder Zahlen (ob erfunden oder dem Bewusstsein vorgegeben und somit entdeckt) führt wesentlich zur Frage, was Mathematik ist - die arithmetische Mathematik und die algebraische Mathematik. Ich bin der (philosophischen) Meinung, dass Ziffern erfunden wurden als Symbole für Zahlen (allgemein unstrittig) und dass Zahlen (Anzahlen) keine Erfindungen sind, sondern gesehen werden (also entdeckt werden). Zahlen sind kein Konstrukt - unser Verstand konstruiert Anzahlen von realen Dingen nicht, denn es ist z. B. nicht alles Eines, weil alles Energie ist und unser Verstand nur das Eine als Vielheit wahrnähme. Man erfindet auch nicht, dass eine Menge von 2 Äpfeln und eine davon unterschiedene Menge von 3 Äpfeln = 5 Äpfel, wenn man beide Mengen Äpfel als eine Menge z. B. in einen Korb legen will (vereinigen will). In der Arithmetik ist wohl alles Erfindung außer den Zahlen, der Addition und der Negation, denn die Multiplikation lässt sich auf die Addition lückenlos logisch zurückführen und die Division auf die Multiplikation. Ich weiß, es gibt Mathematiker und Philosphen, die sehen das anders. Aber ich verstehe eigentlich nicht, was sie meinen - ich wäre wohl sonst ihrer Meinung oder zumindest hielte ich dann meine Meinung für falsch.--Stefan B. Link (Diskussion) 12:00, 14. Apr. 2014 (CEST)

Eine unerlaubte, aber anscheinend interessante Frage

Oben fragt der Benutzer 84.149.225.10, wer denn überhaupt so genau wisse, dass die Wurzel aus 4 2 ist? Eine solche Frage hier zu stellen, ist illegal, weil sie dem Regel-Codex der Diksussions-Seite widerspricht. Aber die Frage entspringt dem heute weit verbreiteten Denkmuster des Fundamental-Skeptizismus, weshalb die gestellte Frage auf der Diskussionsseite stehen gelassen werden sollte. Benutzer 84.149.225.10 rechtfertigt sein Fragen mit zwei anderen Fragen:

• 1. Frage: Sind diese Zahlen vielleicht nicht zu ungenau? Die Antwort: Nein, diese Zahlen sind höchst genau, genauer geht es nicht.
• 2. Frage: Wer sagt, dass blau wirklich blau ist? Antwort: Jeder, der weiß, was er sagt (bei Verstande ist), weiß: 1 = 1 und A = A und 1 + 1 = 2 und blau ist blau, wenn blau definiert ist als soundsoviel Nanometer (Licht in diesem Wellenspektrum erscheint in unserem Wahrnehmen in einer Farbe, die "blau" heißt - anders als Licht in einem angrenzenden Wellenspektrum). Farbenblinde sehen die Farbe blau nicht, aber sie sehen die Anzeige im Wellenspektrometer und können deshalb wissen, dass dieses Licht "blau" ein anderes ist als das Licht anderer Wellenlänge. Dass A = A, wissen wir aus der Erfahrung. Niemand hat bislang erfahren, dass z. B. ein Tisch auch eine Wolke ist oder blau auch rot oder eine Menge aus 2 Einzelnen auch eine Menge aus 3 Einzelen ist. Man könnte nur ersthaft danach fragen, ob A wirklich = A, wenn viele authentisch beobachten könnten, dass A auch = Nicht-A. Aber wenn einige wirklich beobachten könnten, dass A auch = Nicht-A, dann wären diese keine Wesen, die mit dem menschlichen Verstand ausgestattet wären, denn wir Menschen können nicht anders denken als A=A und B=B und A=B. Und gäbe es Wirklichkeiten, für die gölte, dass bei ihnen auch A=Nicht-A, dann könnte unser menschlicher Verstand solche Widesprüchlicheiten nicht sehen (entdecken), weil uns anders als logisch widerspruchsfrei wahrzunehmen nicht möglich ist. Ich vermute, dass Welten, in der Dinge vorkommen, für die gölte, dass bei ihnen auch A=Nicht-A, physikalisch so unstabil sind (so wenig einheitlich strukturiert sind), dass sie gar nicht zustande kommen, sondern im Möglichkeits-Raum "von Anfang an Totgeburten" sind: unmöglich sind. Möglich ist scheinbar nur das Nicht-Widersprüchliche. Es gibt Scheinwidersprüchliches. Diese Schein-Widersprüchlichkeiten aufzulösen ist denkerische Erkenntnis.

Dass die Wurzel aus 4 = 2, das weiß man deshalb haargenau, weil es eine rein logische Schlussfolgerung ist: Wenn 2 * 2 = 4 und man zu "2*2" auch schreibt 2², dann kann man aus logischen Gründen wissen, dass Wurzel aus 4 = 2. Es ist doch anders zu denken gar nicht möglich. Für diesen logischen Zusammenhang kann man zwar andere Ziffern kreieren oder benutzen und andere Zeichen als "=" und das Wurzel-Zeichen, aber der damit bezeichnete logische Sachvehrhalt bleibt derselbe.--Stefan B. Link (Diskussion) 13:06, 14. Apr. 2014 (CEST)

Warum brauchen wir Wurzel?

Wenn wir zwei ungleiche Rechtecke mit Seiten a und b bzw. m und n vergleichen wollen, brauchen wir ein Vergleichspunkt. Wir könnten die zwei Rechtecke als jeweils ein Quadrat mit derselben Fläche wie der Ausgangsrechteck darstellen. Jetzt haben wir anstatt zwei ungleiche Rechtecke zwei Referenzquadrate und wir könnten die Seiten der zwei Referenzquadrate bestimmen und vergleichen. Anstatt die Fläche der Rechtecken, könnte man natürlich auch die Fläche von anderen Vierecken, Dreiecken, Fünfecken miteinander anhand Referenzquadrate vergleichen.

Wenn wir zwei ungleiche Quader mit Seiten a, b und c bzw. m, n und l vergleichen wollen, brauchen wir ein Vergleichspunkt. Wir könnten die zwei Quader als jeweils einen Würfel mit derselben Fläche wie der Ausgangsquader darstellen. Jetzt haben wir anstatt zwei ungleiche Quader zwei Referenzwürfel und wir könnten die Seiten der zwei Referenzwürfel bestimmen und vergleichen. Anstatt der Volumen von Quader, könnte man allgemein das Volumen von Polyeder anhand Referenzwürfel vergleichen?

Oder anders gefragt:

Wuadratwurzel - Wie groß ist die Seite eines Quadrates, wenn die Fläche angegeben ist?

Kubikwurzel - Wie groß ist die Seite eines Würfels, wenn das Volumen angegeben ist?

Woher vielleicht der Name kommt!?

Anstatt, dass wir mit Flächen und Volumen rechnen, reduzieren wir die Größen und betrachten nur die Seite der Referenzfigur. (nicht signierter Beitrag von 85.187.119.4 (Diskussion) 23:10, 22. Mär. 2019 (CET))

Wurzel einer Gleichung

Sollte hier auch die Wurzel einer Gleichung genannt werden? Sehe z.B.: en: root (mathematics). Grusse, Bob.v.R

Man könnte einen Hinweis anbringen, dass die Nullstellen einer Gleichung manchmal noch als "Wurzeln" bezeichnet werden, die korrekte deutsche Bezeichnung ist aber "Nullstelle". Ich wundere mich eher, warum in in der englischen keinen Artikel über n-te Wurzeln finde, ich finde nur en:Square root. --SirJective 19:55, 23. Mai 2004 (CEST)

Exakt dieselbe Frage wollt ich auch gerade stellen, hab dann aber noch die Seite durchgeschaut. Auch in zumindest manchen deutschen Algebrabüchern wird der Ausdruck Wurzel allgemein für eine Nullstelle eines Polynoms gebraucht. Den Meyberg hab ich gerade vor mir liegen, im van der Waerden steht das mein ich auch so.--Frogfol (Diskussion) 03:08, 8. Aug. 2012 (CEST)

Auf der Begriffsklärungsseite Wurzel steht ein Hinweis darauf. Genügt das? --Digamma (Diskussion) 12:09, 15. Apr. 2014 (CEST)

Wurzeln aus Matrizen

Habe ich erst einmal wieder herausgenommen aus den folgenden Gründen:

• Der Abschnitt suggeriert, es gebe stets eine Wurzel. Das ist nicht der Fall (Matrizen mit negativer Determinante).
  • Dass er das suggeriert ist wahr, und das muss geändert werden. Aber Matrizen mit neg. Det. haben auch Wurzeln, nur eben keine reelle. --Tobias Elbrandt 09:52, 15. Sep 2005 (CEST)
• Der Abschnitt suggeriert, es gebe eine eindeutig bestimmte Wurzel. Bekanntlich ist aber jede Involution eine Quadratwurzel aus der Identität (also im 3×3-Fall Ebenenspiegelungen, 180-Grad-Drehungen, Punktspiegelung).
  • Auch da haben Sie Recht. Ich bin bisher leider noch nicht auf den Dreh gekommen, wie man alle Wurzeln berechnet. Weitere Nachforschungen haben noch keine weiteren Lösungen ergeben als die angegebene Lösung. Eine zweite Lösung ist aber auf jeden Fall die negative Wurzel. --Tobias Elbrandt 09:52, 15. Sep 2005 (CEST)
• Ich habe Gerüchte gehört, dass die o.g. Probleme für positiv definite Matrizen nicht auftreten, weiß dazu aber nichts genaueres. Damit hängt evtl. auch ein anderer Wurzelbegriff zusammen, nämlich: B heißt Wurzel aus A, wenn $A=BB^{T}$ gilt; für symmetrische Wurzeln stimmt dieser mit dem im Artikel eingeführten überein. Matrizen, die Wurzeln im hier definierten Sinne besitzen, sind automatisch positiv semidefinit.

--Gunther 11:16, 9. Sep 2005 (CEST)

• • Bisher hatte ich nur A=BB gefunden (in mehreren Quellen). --Tobias Elbrandt 09:52, 15. Sep 2005 (CEST)

P.S. Das soll nicht heißen, dass der Abschnitt nicht wieder reindarf. Ich würde nur gerne vorher die genannten Punkte klären. Die alte Version ist hier jederzeit wiederzufinden.--Gunther 11:45, 9. Sep 2005 (CEST)

Ich schlage folgende Ergänzungen/Änderungen vor:

1. Ich erwähne, dass es mehrere Wurzeln gibt, nicht die; eine zweite Lösung ist beispielsweise auch $-A^{\frac {1}{2}}$.
2. Eine Wurzel kann komplexe Zahlen beeinhalten, da bei der Diagonalisierung in der Matrix $D$ negative Eigenwerte stehen können und damit $TD^{\frac {1}{2}}T$ auch komplex wird.
3. Es wird erwähnt, dass manche Autoren auch $A=BB^{T}$ verwenden.

Vielen Dank auf jeden Fall für die Kommentare! --Tobias Elbrandt 09:52, 15. Sep 2005 (CEST)

Die Frage, wieviele Wurzeln es gibt, ist wohl ein bisschen diffizil. Ist $S$ eine Matrix, die mit $A$ vertauscht (d.h. $AS=SA$), dann ist mit $B$ auch $SBS^{-1}$ eine Wurzel. Nur erhält man je nach Wahl von $B$ sehr unterschiedlich viele andere Wurzeln: Ist $A=1$ und $B=\pm 1$, erhält man einfach wieder $B$. Ist $B$ dagegen die Spiegelung an einer Hyperebene, so erhält man sämtliche Schrägspiegelungen an Hyperebenen.

Es gibt aber auch Matrizen, die tatsächlich nur zwei Wurzeln haben (z.B. ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$).

Du solltest auf jeden Fall noch auf die Frage der Diagonalisierbarkeit eingehen. Die Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ ist nicht diagonalisierbar, hat aber trotzem Wurzeln. Für diagonalisierbare Matrizen erhält man übrigens gleich $2^{n}$ Wurzeln, weil man bei jedem Diagonaleintrag das Vorzeichen wählen kann.--Gunther 12:07, 15. Sep 2005 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, ob wir dem Leser wirklich einen Gefallen tun, wenn wir ihm ein Mittel an die Hand geben, zwei der Wurzeln zu berechnen und dann sofort sagen, dass eine andere Wurzel aber viel besser ist, ohne aber zu sagen, wie man denn auf diese Lösung kommt... --Tobias Elbrandt 11:26, 21. Sep 2005 (CEST)

Es wird ja nicht behauptet, dass die reelle Wurzel besser ist. Aber man sollte dem Leser schon sagen, dass das zwar ein nettes Verfahren ist, um zu diagonalisierbaren Matrizen ein paar Wurzeln zu konstruieren, aber dass es viel mehr geben kann. Und die Gesamtheit der Wurzeln einer konkreten Matrix ist ja ein bisschen mysteriös.--Gunther 11:31, 21. Sep 2005 (CEST)

Meiner mathematischen Intuition nach gibt es fuer nXn Matrizen m^n m-te Wurzeln falls die Matrix n verschiedene Eigenwerte hat. Bei Entartung sind es unendlich viele. Zumindest wenn man diagonalisieren kann, kann man ja in der Diagonalmatrix jeweils m verschiedene Wurzeln fuer jeden der n Eigenwerte einsetzen und erhaelt immer eine Wurzelmatrix. --134.60.1.151 18:13, 30. Mai 2006 (CEST)

IMO ist die Existenz von noch mehr Lösungen schon häufig genug erwähnt. Die angegebene Matrix ist ja die Rotationsmatrix für 180 Grad und die Wurzel ist dementsprechend auch die RM für 90 Grad. Dieses Beispiel wurde doch eigentlich schon bei der geometrischen Interpretation behandelt, oder? --Tobias Elbrandt 11:47, 21. Sep 2005 (CEST)

Es geht nur darum, dass nicht der falsche Eindruck entstehen sollte, dass Diagonalmatrizen mit negativen Einträgen nur echt komplexe Wurzeln hätten ("wodurch die Wurzel komplex wird" in Fall 2). Wie uneindeutig die Wurzeln sind, ist mMn noch nicht ausreichend dargestellt, das Gewicht liegt viel zu stark auf $-A^{1/2}$, dabei kann man das Vorzeichen für jeden Diagonaleintrag wählen und erhält damit schon $2^{n}$ verschiedene Wurzeln (sofern die Diagonaleinträge von null verschieden sind). Dass es unendlich viele Wurzeln geben kann, steht bislang nirgendwo, oder?--Gunther 11:57, 21. Sep 2005 (CEST)

Ich finde die Schreibweise $A^{1/2}$ nicht gut. Denn damit wird suggeriert, dass auf eindeutige Weise eine Wurzel ausgewählt wird. Z.B. bei Wurzeln aus reellen Zahlen ist das kein Problem, denn man nimmt die nichtnegative Wurzel. Bei den Matrizen sehe ich aber keine Möglichkeit, halbwegs intuitiv eine eindeutige Wurzel auszuwählen. Kommt der Bezeichner $A^{1/2}$ denn in irgendeinem etablierten Lehrbuch vor?--MKI 12:21, 22. Sep 2005 (CEST)

Ich glaube, das im Kontext von positiv definiten symmetrischen Matrizen schon einmal gesehen zu haben, aber für sie gibt es wimre auch eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel.--Gunther 13:32, 22. Sep 2005 (CEST)

Im reellen schreibt man auch $sqrt(x)=x^{\frac {1}{2}}$ ohne damit zu suggerieren, dass die Wurzel eindeutig ist... Ich habe die Schreibweise $A^{1/2}$ schon häufig in Papers und im Web gesehen. Manchmal schreibt ein Autor auch $A'$ was manche aber auch wiederum für die Transposition verwenden. Ich finde die verwendete Schreibweise recht klar. --Tobias Elbrandt 14:29, 22. Sep 2005 (CEST)

Ich nicht. Wie gesagt, im reellen gibt es die Konvention die nichtnegative Wurzel zu nehmen, und damit ist es eindeutig. Außerdem: Wenn in der linearen Algebra das Inverse einer invertierbaren Matrix eingeführt wird, dann wird erstmal die Eindeutigkeit des Inversen nachgewiesen und damit dann die Schreibweise $A^{-1}$ gerechtfertigt. Aus diesen Gründen denke ich, dass wir die Schreibweise $A^{1/2}$ nicht verwenden sollten, außer es gibt wirklich eine Autorität, die das genauso macht.--MKI 18:31, 22. Sep 2005 (CEST)

http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99208.htm http://sep.stanford.edu/sep/prof/fgdp/c5/paper_html/node3.html Paper: "The independent components of natural scenes are edge filters" by A.J.Bell and T.J.Sejnowski, Paper: "Chun-Hua Guo: A Quadratic Matrix Equation" von Chun-Hua Guo, "Newton's Method for the Matrix Square Root" von Nick Higham (auf den viele andere Paper verweisen). Die "Autoritäten" bei uns in der Bib behandeln das Thema nicht, höchstens im Zusammenhang mit Sylvesters Theorem, und da wird auch $f(A)=A^{1/2}$ angeführt. --Tobias Elbrandt 09:40, 23. Sep 2005 (CEST)

Die Behauptung, dass die Wurzel einer positiv definiten symmetrischen Matrix eindeutig ist, ist nicht korrekt: ${\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ ist symmetrisch und hat die Eigenwerte 0.3820 und 2.6180, ist also positiv definit. Die Matrix hat aber dennoch die üblichen $2^{n}$ Wurzeln, nämlich $\pm {\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}$ und $\pm {\begin{pmatrix}0.8944&0.4472\\0.4472&1.3416\end{pmatrix}}$ also nicht genau eine eindeutige... --Tobias Elbrandt 12:06, 23. Sep 2005 (CEST)

...eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel...--Gunther 12:19, 23. Sep 2005 (CEST)

Schon klar, aber der Abschnitt suggeriert, dass die eine Wurzel der positiv definiten symmetrischen Matrix mit dem Verfahren berechnet werden kann. Vielleicht besser schreiben, dass eine der existierenden Wurzeln, die mit dem Verfahren berechnet werden kann, p-d und s ist. --Tobias Elbrandt 14:26, 23. Sep 2005 (CEST)

Negative Wurzeln? / Definition

Aus dem Artikel: "Ist der Radikand x negativ, so ist das Ergebnis ...".

Ich kenne die Definition der Wurzeln einerseits als Umkehrfunktion von $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}:x\mapsto x^{n}$ und andererseits als Lösung der Gleichung $x^{q}=a\;(a>0,q\in \mathbb {N} \setminus \{0,1\})$. In beiden Fällen sind negative Radikanden(in der ersten Definition wegen des Funktionsbereiches, in der zweiten wegen a>0) nicht zulässig. Was ist mir entgangen oder an welcher Stelle denke ich falsch? -- alex, 130.149.156.17 21:26, 17. Dez 2005 (CET)

Für ungerade natürliche Zahlen n ist $x\mapsto x^{n}$ eine bijektive Abbildung $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, und die Umkehrfunktion kann man ${\sqrt[{n}]{x}}$ nennen. Wo ist das Problem?--Gunther 21:32, 17. Dez 2005 (CET)

Man kann oder vielmehr könnte. Ich kenne aber keine Quelle, die es auch tut. Ich habe gerade ein paar Grundlagenbücher durchgesehen; in keinem wird die Wurzel so definiert, dass sie in $\mathbb {R}$ aus negativen Zahlen gezogen werden kann, in Schirotzek/Scholz, "Starthilfe Mathematik", wird dies sogar explizit ausgeschlossen. Um sich darüber hinwegzusetzen, hätte ich gern eine Quelle, die Wurzeln mit negativen Radikanden in $\mathbb {R}$ erlaubt, sonst sollten wir darauf hinweisen, dass beispielsweise ${\sqrt[{5}]{-32}}$ eigentlich nicht definiert ist. -- alex, 130.149.156.17 22:24, 17. Dez 2005 (CET)

Diese Seite zitiert ein Buch "Oberstufenmathematik leicht gemacht - Band 1" von Peter Dörsam mit den Worten: "Nicht geradzahlige Wurzeln sind dagegen auch für negative Zahlen definiert und sind immer eindeutig. Die [latex]^3\sqrt{-8}[/latex] ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert -8 ergibt." Nachgeprüft habe ich das nicht. Ich denke, man sollte beides erwähnen (schon alleine für die Cardano-Formel), aber auf jeden Fall auf die Probleme bei negativen Zahlen hinweisen.--Gunther 22:47, 17. Dez 2005 (CET)

[1] S. 14--Gunther 22:56, 17. Dez 2005 (CET)

Mit dem Skript wäre ich vorsichtig, der Autor schrieb auch 1=a^n:a^n=a^{n−n}=a^0, ohne zu erkennen, dass es hier einer Definition bedarf, da im Falle a=0 seine Gleichungen keine sind (wenigstens den Fall a=0 hätte er ausschliessen können). Bei der Cardano-Formel erkenne ich kein Problem: man kann sich ja zwischenzeitlich im Komplexen bewegen und dennoch am Ende zu reellen Werten gelangen. Auch wenn es für mich neu ist(ich habe noch "n.d." gelernt): Ich wehre mich auch gar nicht so sehr gegen negative Radikanden, ich bin nur gegen "wikipedia-eigene" festlegungen. Wenn es da einen Dissenz unter Mathematikern gibt(was so zu sein scheint), dann sollte das auch Erwähnung finden. --alex, 130.149.156.17 23:56, 17. Dez 2005 (CET)

Bei einer Gleichung $x^{3}+px+q=0$ mit $p>0$ hat die einzige reelle Lösung bei Cardano die Form ${\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}$ mit $a>0$ und $b<0$, also muss man die reelle dritte Wurzel aus b wählen.--Gunther 00:21, 18. Dez 2005 (CET)

Ich habe mal versucht, beide Varianten im Artikel kurz zu erwähnen. Insgesamt erscheint mir der Artikel ziemlich unstrukturiert, z.B. musste ich relativ lange nach den Wurzelgesetzen suchen, auch der Bezug zu den Potenzen mit rationalen Exponenten scheint mir eher beiläufig erwähnt.--Gunther 00:40, 18. Dez 2005 (CET)

Das Verbot von Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht. Zunächst ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens bzw. selbst ein Teil davon mit gebrochenen Exponenten. Der Zahlenraum umfasst sowohl alle reellen und alle komplexen Zahlen. Das Beispiel dritte Wurzel(-8) ist die Umkehrung von (-2)^3=-8 bzw. (-8)^(1/3)=-2. Bei diesem Beispiel kommt man sogar ohne die imaginäre Zahl i=Wurzel(-1) aus. Und falls ein Schüler die komplexen Zahlen nicht kennt, ist es kein Grund für ein Verbot. Auch Cardano kannte sie noch nicht, sonst wäre er auf alle drei Wurzeln der kubischen Gleichung gestoßen. Es gibt nach ihm noch Euler, Gauß, Moivre und viele andere. Frage: Warum läuft soviel in Diskussionen, ohne die Fehler direkt auszumerzen? --W.W.Lange 21:09, 10. Mai 2009 (CET)

Ich muss dazu sagen, dass es zu weitere Probleme gibt im höheren Zahlenbereich. Das Beispiel von -8 dürften wir nicht so ernst nehmen, da wir selbst nach kurzer Zeit im Kopf schon auf diese Zahl kommen. Doch was wäre wenn x=-23546 wäre, also y=/sqrt[-23546]. Da würden wir auf einen weiteren Problemfall stoßen es aber im Kubischen Bereich (3. Grad) es nicht wirklich zu komplikationen käme. Man kann ja das minus weg lassen, da ja der Fall -*-=+*-=- herrscht. Also könnte man ja teorethisch gesehen so rechnen: y=3./sqrt[-531441]...y=3./sqrt[531441]...y=81 I*(-1)... y = -81. Gegenprobe: -81^3 = -531441!!! Wenn jemand dagegen etwas auszusetzen hat, bitte schreiben. Bin selbst noch Schüler der 10. Klasse einer Realschule. (nicht signierter Beitrag von XxxEndZxxx (Diskussion | Beiträge) 16:37, 4. Nov. 2009 (CET))

Meines erachtens nach ist die Besprechung der zwei Varianten der Behandlung von negativen (ungeraden) Wurzelfunktionen etwas unausgeglichen. Würde ich naiv rangehen, scheint die erste Fassung(man sagt, es sei verboten bzw nicht definiert) die bessere zu sein, denn die andere Variante wird mit einer negativen Eigenschaft(nicht Widerspruchsfrei bei Beibehaltung der bekannten Rechenregeln) bekleidet.

Allerdings ist etwa -1 = (-1)^1 = (-1)^(3/3) = (3./sqrt(-1))^3 ^= nicht definiert, gemäß der ersten Variante. Mit der zweiten erhielte man wieder -1. (nicht signierter Beitrag von 79.223.72.27 (Diskussion) 15:26, 21. Mär. 2013 (CET))

Wenn es zwei unterschiedliche Konventionen gibt, dann ist es nicht Aufgabe der Wikipedia, sich für eine zu entscheiden, sondern beide darzustellen und evtl. die Vor- und Nachteile der verschiedenen Varianten zu erläutern. --Digamma (Diskussion) 21:54, 21. Mär. 2013 (CET)

Ganz genau, deswegen ja auch mein Einwand. Bis dato (ich habe mir den Beitrag in aktuellster Form noch nicht angeschaut) war nämlich für einen naiven Leser die erste Variante definitiv besser, da bei dieser keine Nachteile angesprochen wurden. (nicht signierter Beitrag von 78.50.189.209 (Diskussion) 00:41, 14. Mai 2013 (CEST))

Mein HP50G berechnet 3./sqrt (-8) zu 3./sqrt(-1) * 3./sqrt(8) ... (nicht signierter Beitrag von 93.132.31.40 (Diskussion) 23:01, 20. Aug. 2015 (CEST))

Achtung Fehler!

Jetzt steht dort als Beispiel, dass die 6. Wurzel von 64 = +2 ist, aber eigentlich ist +2 und -2 auch! d.h. die Argumentation ist meiner Meinung nach zu entfernen, da sie nur verwirrt. Wenn manche die Wurzel nur für nichtnegative Zahlen erlauben, dann nur als "Abkommen" und nicht weil es logischer ist...

Übergang zu komplexen Zahlen

Ich schlage dies als Unterpunkt zu Wurzel aus negativen Zahlen vor: (wurde eben per fast-revert zu Klump geschlagen)

Diese Unstimmigkeit führte historisch zu der Frage, wie sich Wurzeln aus negativen Zahlen algebraisch verhalten, also: was passiert, wenn man mit ihnen weiterrechnet. Man sucht etwa die Nullstellen einer Funktion $f:x->x^{2}+1$. Nullstellen sind alle solche x, für die gilt $x^{2}+1=0$, also anders formuliert $x^{2}=-1$ oder $x=sqrt[-1]$.

Man sieht zwar einerseits, dass die Gleichung für keine reelle Zahl gilt, aber wenn man ebendieses x nun als Zahl zulässt, erkennt man, dass es die Gleichung löst, wenn man es in das Ursprungspolynom f einsetzt: $x^{2}+1=sqrt[-1]^{2}+1=-1+1=0$. Man kann nun zeigen, dass die Anerkenntnis von x als Zahl die algebraische Struktur nicht zerstört.

Aus Wurzeln von negativen Zahlen (der Abschnitt ist ja nicht von mir) folgen doch sofort imaginäre Zahlen, und tatsächlich wurden sie so erstmals entdeckt. Der Entdecker kratzte sich am Kompf, hielt das für eine Spinnerei Gottes, und wendete sich von der Sache ab.

Ein solcher historischer Punkt ist durchaus relevant, und wird auch in anderen Artikeln nicht als abschweifend bewertet, etwa, wenn sich der Artikel Allmacht mit der Existenz Gottes befasst (Wurzel aus negativer Zahl -> imaginäre Zahl ist genauso notwendig zusammenhängend).

Weiterhin gibt es unten einen Abschnitt über die n-te Wurzel aus komplexen Zahlen eine deutlich höhere Fallhöhe besitzt als obiger Abschnitt. Durch obigen Abschnitt wird das Lesen sicherlich vereinfacht.

-- Richardigel 02:42, 8. Jan 2006 (CET)

Die Geschichte steht unter komplexe Zahl#Geschichtliches, verschiedene Arten, die komplexen Zahlen einzuführen, finden sich ebenfalls in diesem Artikel. Der Abschnitt zu Wurzeln aus negativen Zahlen beschäftigt sich nicht mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen, sondern mit denjenigen Wurzeln, die im Bereich der reellen Zahlen möglich sind. Das hat mit den unten definierten komplexen Wurzeln wenig zu tun, wie das dort angegebene Beispiel ${\sqrt[{3}]{-8}}$ zeigt: Die komplexe Wurzel (definiert über den Hauptwert des Argumentes) ist $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$, die reelle Wurzel ist $-2$.--Gunther 02:54, 8. Jan 2006 (CET)

Wurzelgesetze

Per E-Mail (OTRS Ticket#2006030410005828) erreicht uns folgende Nachricht:

„Mir ist ein Fehler in der Abbildung "Wurzelgesetzte" auf folgender Seite aufgefallen! Multipliziert man zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Wurzelexponenten, dann werden Wurzelexponenten multipliziert und zur Hochzahl des Radikanden Addiert!“

Könntet ihr das bitte prüfen und ggfs. ergänzen? Vielen Dank. --Raymond 18:58, 5. Mär 2006 (CET)

Das ist schon richtig, ich habe sowas nur noch nie gebraucht. Im Prinzip ist das einfach die Rechnung

${\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}={\sqrt[{mn}]{a^{m}}}{\sqrt[{mn}]{b^{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m}b^{n}}}.$

Ist das wirklich erwähnenswert? Vielleicht eher nur der erste Schritt?--Gunther 19:11, 5. Mär 2006 (CET)

Müsste man nicht korrekterweise zu den Wurzelgesetzen schreiben, dass sie nur für positive Zahlen gelten?--Konsumopfer 21:04, 14. Mär 2006 (CET) Habs mal geändert. Falls ich einen riesigen Fehler gemacht haben sollte, seid mir nicht böse und machts rückgängig!--Konsumopfer 15:27, 19. Mär 2006 (CET)

Einfachste Form des Wurzelziehens?

Als totaler Autodidakt bin ich im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt, Fibonacci und Lukasreihen auf eine sehr einfache, wenn auch aufwendige Art des Wurzelziehensgestossen.

2. Wurzel aus 5
P1  P2  5P1 
1;  1;  5; Zähle nun P1+P2=P1', P2+5P1=P2', 5xP1'=5P1' woraus folgt:
2;  6; 10; Kürzen (:2)
1;  3;  5;
4;  8; 20; (:2)
2;  4; 10;
3;  7; 15; usw.

Je höher man kommt, desto genauer ist die Annähreung durch Division der Lucaszahl durch die entsprechende Fibonaccizahl an den Wert 2. Wurzel aus 5.

Das geht natürlich problemlos auch mit der 2. Wurzel aus 2 nach dem gleichen einfachen Schema,

Nun lässt sich das Schema aber auch für nte Wurzel aus x anwenden:

zBsp.:

 1,  1,  1,  2
 2,  2,  3,  4
 4,  5,  7,  8
 9, 12, 15, 18 (:3)
 3,  4,  5,  6
 7;  9; 11: 14
16, 20, 25, 32
36, 45, 57, 72 (:3)
12, 15, 19, 24

Da ich manchmal nicht schlafen kann, aber zu anderem dann doch nicht fähig bin, hab ich zu meiner Berühigung, das von Hand auch schon bis zu 7. Wurzeln von 20 durchgerechnet. Manchmal stur mit einsen auf allen 7 P's, manchmal aber auch mit plausiblen Zahlen auf den enstsprechenden P's, was logischerweise schneller zu relativ genauen Annährungen führte.

Für die 2. Wurzeln kann ich dieses arithmetische Verfahren auch algebraisch Darstellen, wie ich das mit n>2ten Wurzeln machen kann werd ich auch noch rausfinden.

Meine Frage nun, da dies ein sehr einfacher Algorhitmus ist: wer hat den weit vor mir auch schon rausgefunden, basiert Wurzelziehen im Computer oder Rechner auf diesem Verfahren?

Erik H.

Also ich habe zumindest bisher noch nichts von solch einer Implementierung auf einem Rechner(und sonst auch nicht) gehört. Üblicher Weise werden am Rechner andere numerische Verfahren angewandt, wie z.B. Bisektion, Newton-Verfahren mit $\lim \limits _{n\to \infty }\left(x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1-a/x_{n}^{m}}{m*a/x_{n}^{m+1}}}\right){\underset {{\text{bei richtigem Startwert }}x_{0}}{=}}{\sqrt[{m}]{a}}$, Heron usw. - letztere konvergieren quadratisch, weshalb man oft nur eine Hand voll Schritte benötigt, um eine ziehmlich genaue Näherung zu bekommen, vorausgesetzt, man hat den Startwert gut gewählt. Aber Deine Idee hört sich auf jeden Fall sehr interessant an. Wie bist Du darauf gekommen?. Gruß--Falk 02:50, 21. Apr. 2007 (CEST)

Seltsam

Irgendwie bin ich skeptisch bei dem Rekord des Wurzelziehens. Das "1337" am Anfang und im Ergebnis lassen mich schon ein wenig zweifeln ;)

Einführung des Wurzelziehens

„Das Wurzelziehen wurde von dem deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt.“

Satz herausgenommen, da unbelegt und in dieser Allgemeinheit sicher nicht richtig. --IP 12:30, 9. Jan. 2007 (CET)

Im Artikel über den Mathematiker Michael Stifel heißt es, er habe das Wurzelzeichen eingeführt. --CarstenH 12:58, 11. Jan. 2008 (CET)

Moivre

Ich fänds nützlich wenn man zum letzten Paragraphen weitere ausführungen von der Formel hinschreiben würde und aber auch zu sagen, dass es auch Formel von Moivre heißt. Würde es auch selber machen, aber ich weiß nicht ob jmd was dagegen hat.

Wird es in der W'pedia praktiziert, dass auch Anwendungsbeispiele gegeben werden? Und ausserdem, kann mir jmd ein programm empfehlen mit dem ich schön funktionen zeichen kann?

Djstevan 00:28, 13. Mär. 2008 (CET)

Anwendungsbeispiele sind sogar wünschenswert! --Falk 13:37, 13. Mär. 2008 (CET)

Nachtrag: Ein schöner und vor allem freier Funktionenplotter ist gnuplot. Besonders schön sind die Exportmöglichkeiten in diverse gängige Formate. Leider bringt gnuplot keine eigene GUI mit. Es gibt allerdings grafische Frontends - die allerdings selten (nie?) den gesamten Funktionsumfang von gnuplot nutzbar machen - sowohl für Linux (Xgfe bzw. Qgfe), als auch für Windows. CASs bringen i. d. R. auch schöne Funktionenplotter mit (die freien nutzen meist einfach gnuplot).-- Falk 21:48, 13. Mär. 2008 (CET)

Vertipsler bei Wurzeln aus komplexen Zahlen?

Es steht dort "für den Spezialfall a = 1", müsste das nicht "für den Spezialfall |a| = 1" heißen? (nicht signierter Beitrag von 84.174.88.11 (Diskussion | Beiträge) 16:34, 27. Apr. 2009 (CEST))

Nein, stimmt so, siehe Einheitswurzel. --Sabata 21:30, 27. Apr. 2009 (CEST)

Bin mir grade nicht sicher, aber steht in der Formel da nicht ein "i" zu viel ?! (nicht signierter Beitrag von 91.44.234.187 (Diskussion | Beiträge) 02:35, 12. Dez. 2009 (CET))

Woher kommt der Name?

Warum heißt es eignetlich "Wurzel"-ziehen? Meine bisheirge 2-min-Herleitung sieht wie folgt aus: Wurzel ziehen -> radizieren -> radix -> basis/stellen -> also eine Verringerung der stellen? oder gibts da ne bessere Erkärung? ^^ -- 88.73.114.253 14:48, 14. Okt. 2009 (CEST)

Beispiel nicht ganz korrekt

Das Beispiel im Abschnitt “Quadrat- und Kubikwurzel” ${\sqrt[{3}]{8}}=2\Leftrightarrow 2^{3}=8$ ist nicht ganz korrekt, da ebenso $(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})^{3}$ und $(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}})^{3}$ den Wert 8 haben.
Korrekt müsste es dann doch eigentlich $\!{\sqrt[{3}]{8}}=2\Rightarrow 2^{3}=8$ heißen, oder nicht? -- Cgqyyflz - Versucht nicht es auszusprechen! 20:00, 19. Dez. 2009 (CET)

Der Einwand ist berechtigt. Allerdings erscheint mir der einseitige Folgepfeil ($\Rightarrow$) auch nicht angemessen. Eher sollte im Einleitungssatz stehen, dass die Lösung der Gleichung aus der Menge der reellen Zahlen stammen sollte; dann wäre der Doppelpfeil ($\Leftrightarrow$) berechtigt. -- 79.206.220.142 07:40, 11. Jun. 2010 (CEST)

Wortherkunft: Übersetzungsfehler!

Kann man vielleicht im Artikel erwähnen: http://www.heise.de/tp/artikel/39/39775/1.html --141.58.45.144 13:43, 31. Aug. 2013 (CEST)

Im Prinzip ja. Aber man bräuchte bessere Quellen als einen Zeitschriftenartikel. --Digamma (Diskussion) 18:25, 20. Okt. 2014 (CEST)

Wurzelbasis?!

Der Begriff Wurzelbasis existiert in der Mathematik nicht, er wurde von einem Schüler unserer Schule erfunden, damit er eine eins im Mathetest bekommt, diese "Wurzelbasis" heißt Radikant und nicht anders! (nicht signierter Beitrag von 178.25.11.51 (Diskussion) 15:00, 29. Sep. 2013 (CEST))

Das ist aber nicht wirklich ein Beleg dafür, dass der Begriff nicht existiert. Es könnte ja sein, dass auch andere früher schon auf die Idee gekommen sind, den Radikanden "Wurzelbasis" zu nennen. Aber andererseits ist der Begriff auch nicht belegt, deshalb ist die Löschung OK. --Digamma (Diskussion) 22:01, 29. Sep. 2013 (CEST)

Ich bin der Meinung das der Begriff eindeutig wiedergibt, was damit gemeint. Er taucht auch im Wikibook "Mathematik: Schulmathematik" auf (http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Schulmathematik:_Wurzelrechnung). Teilweise ist er auch im Internet zu finden. Warum sollte zum alten Begriff des Radikanden nicht auch ein deutscher Begriff verwendet werden? Selbst wenn der Schüler ihn erfunden haben sollte hat er damit nur einen sehr pragmatischen Ansatz gewählt sich auszudrücken. (nicht signierter Beitrag von 141.57.9.172 (Diskussion) 17:57, 20. Okt. 2014 (CEST))

Nun ja, in wikibooks kann jeder alles schreiben. Die paar Treffer im Internet stammen aus Matheforen oder von Nachhilfeseiten. Das sind auch nicht unbedingt ernsthafte Quellen. Ich habe einen einzigen relevanten Treffer gefunden, ein Mathebuch von 1820. Das ist mir zuwenig. --Digamma (Diskussion) 18:24, 20. Okt. 2014 (CEST)

Widerspruch im Lemma?

Momentan steht im Lemma: Unter Wurzelziehen versteht man die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz a = xⁿ. [...] Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel. Kann man aus logischen Gründen wirklich sagen: "Die n-te Wurzel aus x bezeichnet man als Wurzel"? Müsste man aus logischen Gründen nicht sagen: "Die n-te Wurzel aus x bezeichnet man als Wurzelergebnis"? Jedenfalls wird weiter unten gesagt: Man bezeichnet ${\sqrt[{n\,}]{a}}$ als Wurzel oder Radix. Wenn das stimmt, und man logisch konsistent sprechen will, dann kann man doch nicht sagen, dass "Wurzel" = "Ergebnis des Wurzelziehens" - oder? Man kann eine Wurzel hinschreiben, z. B. ${\sqrt[{n\,}]{a}}$, dann kann man diesen Term zu einer unvollständigen Aussage machen durch das Gleichheitszeichen "=" und durch die Angabe eines (Wurzel-)Wertes "a" dann zu einer vollständigen Aussage machen. Und dann ist "a" als Wurzel-Ergebnis gleich dem Begriff "(Wurzel-)Wert, und ${\sqrt[{n\,}]{a}}$ ist eine Wurzel.--Stefan B. Link (Diskussion) 11:19, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ich würde schon sagen, dass „Wurzel“ primär „das Ergebnis des Wurzelziehen ist“, auch wenn der Begriff manchmal etwas schlampig verwendet wird. Soll heißen, man sagt auch zu dem Ausdruck ${\sqrt[{3\,}]{8}}$ „Wurzel“, obwohl man wohl richtiger „Wurzelterm“ sagen müsste. Auch das Wurzelzeichen samt zugehöriger Schreibweise muss man davon unterscheiden. Es ist aber wohl in der mathematischen „Umgangssprache“ üblich, das gar nicht so genau zu nehmen: Man kann sicher sowohl einen Term wie 3 + 4 eine „Summe“ nennen und gleichzeitig sagen, dass 7 die Summe von 3 und 4 ist, ohne das jemand durcheinander kommt. Aber im Artikel müssen wir natürlich genau sein. -- HilberTraum (Diskussion) 11:55, 14. Apr. 2014 (CEST)

Wenn da weiter unten steht: "Man bezeichnet ${\sqrt[{n\,}]{a}}$ als Wurzel oder Radix", so ist wohl der Wert des Terms "${\sqrt[{n\,}]{a}}$" gemeint und nicht der Term selbst. Wenn ich den Term selbst meine und nicht seinen Wert, dann würde ich ihn ihn Anführungszeichen setzen oder zumindest explizit sagen, dass der Term gemeint ist und nicht sein Wert. --Digamma (Diskussion) 13:02, 14. Apr. 2014 (CEST)

--Stefan B. Link (Diskussion) 15:20, 30. Apr. 2014 (CEST) schreibt: Ich hatte hier am 19.4. und 28.4. Erwiderungen geschrieben, in denen ich Fehler beging. Ich habe diese fehlerhaften Einträge gelöscht, um die Diskussion nicht zu verkomplizieren. Ich melde mich wieder.--Stefan B. Link (Diskussion) 15:20, 30. Apr. 2014 (CEST)

einige Zahlenwerte

Quadratwurzel aus 2 und 3 und 10, 100, 1000 Kubikwurzel aus 2 und 10, 100 und 1000.

Eine kleine Wertetabelle hilft für konkreten Rechenbedarf und Überblick im 10er-System. Würde ich empfehlen in den Artikel aufzunehmen. --Helium4 (Diskussion) 10:38, 18. Dez. 2014 (CET)

Eine Tabelle mit Quadratwurzeln würde ich eher im Artikel Quadratwurzel unterbringen. --Digamma (Diskussion) 19:18, 18. Dez. 2014 (CET)

Link auf Wikibooks

Ich habe gerade entdeckt, dass durch diese Änderung der Weblink auf Wikibooks b:Komplexe Zahlen: Darstellung#Wurzeln: Satz von MOIVRE entfernt wurde mit der Begründung "kein zusammenhang erkennbar". Als derzeitiger Autor des Wikibooks kann ich die Begründung als korrekt bestätigen. Nachdem das Buch jetzt überarbeitet und abgeschlossen wurde, füge ich den aktuell korrekten Link wieder ein. -- Jürgen (Diskussion) 12:51, 25. Nov. 2015 (CET)

Wurzeln aus negativen Radikanden

Das Thema wurde oben quasi schon mal behandelt. Allerdings ist das

1. schon ein bisschen her (20. Aug. 2015) und
2. widerspricht die dort (und im Artikel) gemachte Einschränkung auf reelle Radikanden jedem ordentlichen Buch über Algebra (z.B. van der Waerden).

Die sog. Einheitswurzeln (übrigens in dieser Disku ebenfalls schon mal erwähnt) sind ohne die Erlaubtheit negativer Radikanden ziemlich uninteressant.
Das soll natürlich nicht bedeuten, dass die Einschränkungen, die es bei den reellen Zahlen gibt, nicht behandelt werden sollen. Aber es sollen eben auch zumindest Ausblicke auf andere Körper (bei den komplexen Zahlen und im Artikel Einheitswurzel wohl schon vorhanden) gemacht werden. Auf keinen Fall darf der Satz:

»Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell „verboten“. Beispielsweise ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ also undefiniert.«

so stehen bleiben. Denn selbstverständlich ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ die Lösung der Gleichung $x^{3}=-8$ und durchaus richtig ist ${\sqrt[{3}]{-8}}=-{\sqrt[{3}]{8}}$. Außerdem gilt für den Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen $\mathbb {C} =\mathbb {R} (\mathrm {i} )=\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})=\mathbb {R} ({\sqrt[{4}]{1}})=\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$.
Es ist ja gerade der „Witz“ in der Algebra, dass Lösungen von Polynomen (übrigens manchmal durchaus ganz generell „Wurzeln“ genannt), die es in einem Körper (z.B. $\mathbb {R} \not \ni {\sqrt {-1}}$) nicht gibt, zum Körper zu „adjungieren“ – so geschehen z.B. bei $\mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})$. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:05, 7. Okt. 2019 (CEST)

Vorsicht. Der Artikel macht sich die Aussage »Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell „verboten“. Beispielsweise ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ also undefiniert.« nicht zu eigen, sondern gibt diese nur als einen möglichen Standpunkt wieder: Der Satz wird eingeleitet mit "Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:" --Digamma (Diskussion) 21:00, 7. Okt. 2019 (CEST)

Ja, kann man so lesen. Aber es fehlt dann die Aussage, wer das verbietet (ein Beleg). (Ich kenne keinen.) Zweitens: Ist dieses Verbot wirklich erwähnenswert, selbst, wenn es eine Koryphäe ausgesprochen haben sollte? Die Wissenschaft ist doch definitiv einen anderen Weg gegangen! Es reicht doch vollkommen aus zu wissen, dass alle Quadrate reeller Zahlen nicht-negativ sind, und dass deshalb Wurzeln geradzahliger Ordnung nicht reell sein können; da muss man doch nicht zusätzlich noch was verbieten! --Nomen4Omen (Diskussion) 21:23, 7. Okt. 2019 (CEST)

"Es fehlt dann die Aussage, wer das verbietet": Alle Schulbücher, die ich kenne. Grund: Die Potenzrechenregeln gelten dann nicht mehr uneingeschränkt.

"Die Wissenschaft ist doch definitiv einen anderen Weg gegangen!" Nein. Bücher über reelle Analysis definieren Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten nur für nicht-negative Basen. Man muss hier unterscheiden: die Wurzel ist immer der Wert einer Wurzelfunktion. Das ist das, worum es in diesem Artikel geht. Eine Wurzel ist eine Lösung der Gleichung $x^{n}=a$. Das ist aber ein sehr spezieller Gebrauch des Wortes "Wurzel" in der Algebra. In aller Regel wird dafür aber nicht das Wurzelsymbol ${\sqrt[{n}]{a}}$ verwendet. Ich habe noch nie gesehen, dass die 4. Einheitswurzel $i$ als ${\sqrt[{4}]{1}}$ bezeichnet wurde. Vielmehr gilt normalerweise ${\sqrt[{4}]{1}}=1$. Genauso geht es bei der Frage von Wurzeln aus negativen Zahlen wie zum Beispiel der dritten Wurzel von $-8$ im Normalfall gar nicht um die komplexen Lösungen von $x^{3}=-8$ sondern um die negative reelle. --Digamma (Diskussion) 21:25, 8. Okt. 2019 (CEST)

Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Mir scheint, dass wir uns in der Sache einig sein könnten, denn Du hast ja die Bedeutung von $\mathbb {C} =\mathbb {R} (\mathrm {i} )=\mathbb {R} ({\sqrt[{4}]{1}})$ als Körper der 4. Einheitswurzeln vollkommen richtig erkannt (obwohl die Gleichung natürlich auch wieder nicht gleichbedeutend ist mit der Aussage $i={\sqrt[{4}]{1}}$).
Ziemlich wichtig ist mir, dass man aus der Nicht-Existenz von etwas kein "Verbot" macht. Dass etwas nicht existiert, weder ein $x\in \mathbb {R}$ mit $x^{2}<0$ noch ein $x\in \mathbb {R}$ mit $0\cdot x=1$, ist eine ziemlich normale Sache. Das kann man doch wissen und so sagen und muss nicht gleich mit Verboten um sich werfen. Es gibt so viele Sachen nicht: z.B. einen völlig kostenlosen Klimaschutz. Deshalb muss man ihn ja nicht gleich verbieten!
In Deinem Profil lese ich, dass Du Gymnasiallehrer für Mathematik bist. Ich kann mir gut vorstellen, dass – auch am Gymnasium – die von Dir erwähnte reelle Analysis ungleich viel wichtiger ist als Polynomalgebra. Trotzdem kann ich mir nicht vorstellen, dass es didaktisch oder sonstwie klug ist, die reelle Analysis in Gegensatz zur komplexen Analysis zu stellen, bei der Quadratwurzeln aus allen komplexen Zahlen plötzlich erlaubt sind.
Mir kommt es so vor, als dass im Unterricht nur ganz simple mathematische Tatsachen gebracht werden können, z.B. dass es zu allem eine Umkehroperation, und daher auch eine Division durch 0, geben muss, die dann auch noch eindeutig zu sein hat. Dabei könnte die Mathematik eine hervorragende Schule sein, mit deren Hilfe das Differenzieren (jetzt nicht im mathematischen, sondern im philosophischen und sprachlichen Sinn) geübt werden könnte. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:27, 9. Okt. 2019 (CEST)

Was das "verboten" betrifft, bin ich mit dir einig. Ich sage im Unterricht auch immer, dass man durch 0 nicht dividieren kann, nicht dass man nicht darf. Hier geht es darum, ob man Ausdrücken wie ${\sqrt[{3}]{-8}}$ eine Bedeutung gibt oder nicht, also ob das definiert ist oder nicht.

Mit der reellen Analysis habe ich mich etwas zu weit vorgewagt. Vom Standpunkt der reellen Analysis ist es eigentlich sinnvoll, auf ganz $\mathbb {R}$ eine Umkehrfunktion der Funktion $x\mapsto x^{3}$ zu definieren. Probleme machen die Potenzrechengesetze, insbesondere dann, wenn man ${\sqrt[{3}]{-8}}$ als $x^{\frac {1}{3}}$ schreiben möchte. --Digamma (Diskussion) 20:24, 9. Okt. 2019 (CEST)

PS: Ich habe jetzt "verboten" im Artikel durch "nicht definiert" ersetzt und "erlaubt" durch "definiert". --Digamma (Diskussion) 20:27, 9. Okt. 2019 (CEST)

Mit Wurzeln aus negativen Zahlen kann man sich manchmal noch rausretten. Aber wer durch null teilt, wird von der Mathepolizei geholt und ins Zahlengefängnis gesteckt … ;-) -- HilberTraum (d, m) 23:12, 9. Okt. 2019 (CEST)

So wär's am allergescheitesten ! --Nomen4Omen (Diskussion) 11:38, 10. Okt. 2019 (CEST)

Iterationsvorschrift umformuliert

Ich habe die Formel für die Iteration des Schätzwertes - hier im Artikel seltsamerweise y anstatt x - umgeformt. In der neuen Darstellung wird deutlich, daß es sich dabei um die Kantenlänge der (n-1)-quadratischen Grundfläche eines n-dimensionalen senkrechten Prismas mit dem Volumen x und der Höhe x/y^(n-1) handelt. Der durch den Iterationsschritt verbesserte Schätzwert ist dann das gewichtete Mittel aus dem mit n-1 gewichteten vorherigen Schätzwert y und der Höhe des Prismas. (Für n=2 wird aus dem Prisma einfach ein Rechteck.) Das bedeutet, daß alle orthogonalen Prismenkanten gleichgewichtig in die Mittelwertbildung eingehen, und da n-1 der Kanten die Länge y haben, geht y eben mit dem Gewicht n-1 in die Approximation ein. --95.116.64.252 06:29, 9. Mai 2022 (CEST)

Diese Änderung ist erstens bislang unbelegt und damit Theoriefindung. Ferner geht die rasche Konvergenz des Newton-Verfahrens (die aktuell genannten Iterationsergebnisse bei der Berechnung der 3. Würzel aus 2 mit Startwert 2 beziehen sich noch auf das Newton-Verfahren) mit der neuen Vorschrift verloren: Dieses konvergiert in diesem Beispiel äußerst langsam (deutlich langsamer als das Intervallhalbierungsverfahren), wenn überhaupt. --77.4.104.202 07:00, 11. Mai 2022 (CEST)

Das ist kompletter Unsinn. Der geänderte Abschnitt lautete:

Numerische Berechnung

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren.

Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von ${\sqrt[{n}]{x}}$ ergibt sich, indem man mit dem Newton-Verfahren eine Nullstelle der Funktion

$y\mapsto y^{n}-x,\quad n\geq 1$ annähert:

1. Wähle einen (möglichst guten) Startwert $y>0$
2. Iteriere nach der Vorschrift

$y\mapsto {\frac {(n-1)y+{\frac {x}{y^{n-1}}}}{n}}$

Für $n=2$ erhält man gerade das Heron-Verfahren.

Beispiel für eine Näherung für ${\sqrt[{3}]{2}}$ nach dem obigen Iterationsverfahren:

Die Iterationsvorschrift lautet mit $x=2$ und $n=3$

$y\mapsto {\frac {2\,y+{\frac {2}{y^{2}}}}{3}}$.

Mit dem Startwert $y=2$ erhält man:

Startwert:	2,000000000000
Schritt 1:	1,500000000000
Schritt 2:	1,296296296296
Schritt 3:	1,260932224741
Schritt 4:	1,259921860565
Schritt 5:	1,259921049895
Schritt 6:	1,259921049894

Die neue Darstellung des Iterationswertes entsteht durch eine einfache Termumformung (und insofern gibt es da nichts zu belegen) und ist völlig äquivalent zur vorherigen, und also kommen selbstverständlich auch genau die gleichen Iterationswerte heraus. --77.6.56.38 03:16, 15. Jun. 2022 (CEST)

Newtonverfahren in der üblichen Weise dargestellt

Das Newtonverfahren ist nicht „ein weiteres Verfahren“ neben dem Intervallhalbierungsverfahren als primärem erwähnenswerten. Vielmehr ist letzteres nur im Spezialfall ganzzahliger Wurzeln bei beschränktem Definitionsbereich überhaupt interessant, sonst kann man nicht darauf warten, dass es konvergiert.

Ich habe das Newtonverfahren so umformuliert, wie es normalerweise beschrieben ist:

• als Folge von Näherungswerten statt als zu iterierende Funktion,
• mit Näherungswerten, die $x$ heißen und nicht $y$, wenn eine Nullstelle einer Funktion in $x$ gesucht ist, und
• so dass nicht nur der nächste Näherungswert, sondern auch der absolute oder relative Abstand zum vorigen mit in der Formel vorkommt.

Was noch fehlt:

• das Beispiel (wohl ein anderes, um die Effekte besser zu zeigen) in der im Artikel jetzt verwendeten Nomenklatur
• das Intervallhalbierungsverfahren in einem Beispiel wo es etwas bringt (kann warten, war ja bisher auch nicht da).

Mache ich noch, aber heute nicht mehr. --Lantani (Diskussion) 17:05, 15. Mai 2022 (CEST)

Die angegebene Iterationsvorschrift $x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}$ ist natürlich formal richtig, aber leider ziemlich unanschaulich. Es geht die Einsicht verloren, wie man früher z. B. auf das Heron-Verfahren gekommen ist. Ich hielte es deswegen für wünschenswert, entsprechend der Darstellung im vorherigen Diskussionsabschnitt zu zeigen, daß $x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}={\frac {(n-1)x_{i}+{\frac {a}{x_{i}^{n-1}}}}{n}}$ ist und das so interpretiert werden kann, daß ein Hyperquader bzw. ein n-dimensionales senkrechtes Prisma mit dem Volumen a und der Höhe ${\frac {a}{x_{i}^{n-1}}}$ durch eine arithmetische Mittelwertbildung aller n orthogonalen (davon n-1 gleich langen) Kanten einen besseren Näherungswert für die zu bestimmende Wurzel liefert. -- Das Bisektionsverfahren braucht in diesem Abschnitt wahrscheinlich gar nicht erwähnt zu werden, höchstens dann, wenn es einen Beleg dafür gibt, daß es für die numerische Berechnung der Wurzel tatsächlich eine praktische Rolle spielt, was ich bezweifle, da es gegenüber dem Newton-Verfahren ein schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Was aber evtl. noch fehlt, ist die Ermittlung der Wurzel unter Zuhilfenahme von Logarithmen, die z. B. in einem Rechner tabellarisch, ggf. auch "festverdrahtet", hinterlegt sein können - z. B. Analogrechner können so Wurzeln unter Benutzung der nicht-linearen, annähernd exponentiell verlaufenden Diodenkennlinie berechnen (Beleg etwa eine ältere Ausgabe des Tietze-Schenk). --77.6.56.38 04:30, 15. Jun. 2022 (CEST)

Die angegebene Iterationsvorschrift $x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}$ ist auf jeden Fall anschaulicher als das Hantieren mit n-dimensionalen Prismen: Ist man schon in der Nähe einer Nullstelle, klettert man an der Tangente statt am Funktionsgraphen Richtung x-Achse, weil die beiden dort schon nahe beieinanderliegen. Das funktioniert für alle hinreichend glatten Funktionen immer. Dass man mit den unanschaulichen und komplexen Formeln des verallgemeinerten Heron-Verfahrens zum selben Ergebnis kommt, ist ja ein nettes Resultat. Ob es wahr ist, rechne ich jetzt nicht nach: in so kompliziertes Zeug, wo es viel einfacher geht, arbeite ich mich jetzt nicht ein. Vielleicht machts mal ein anderer Leser, der dafür Zeit hat.

Dass das Bisektionsverfahren wohl nichts bringt, sehe ich auch so. Es kommt ohne Divisionen aus, aber ich sehe keine Anwendung, wo man das nutzen kann.

Zur „verdrahteten“ Wurzel, z.B. mit CORDIC-Algorithmus: Das hat mit dem Thema des Artikels nicht mehr viel zu tun und führt zu weit. --Lantani (Diskussion) 09:13, 19. Jun. 2022 (CEST)

Ich wollte noch einen anderen Gesichtspunkt herausbringen, wofür mir in den ersten beiden Anläufen nicht der richtige Begriff eingefallen ist: die Sache mit dem Fixpunkt. Dazu eignet sich die Betrachtungsweise als "Mittelwert" $x_{i+1}$ zwischen einem Schätzwert $x_{i}$ und einem daraus errechneten Quotienten $H:={\tfrac {a}{x_{i}^{n-1}}}$ hervorragend. Sind die beiden nämlich gleich, dann kommt nix Neues raus und wir sind am Fixpunkt des Verfahrens – und, dass der (wegen $H=x_{i}\quad \implies \quad (x_{i}^{n}=x_{i}^{n-1}\cdot x_{i}=x_{i}^{n-1}\cdot H=x_{i}^{n-1}\cdot {\tfrac {a}{x_{i}^{n-1}}}=a)$) den gesuchten Wurzelwert darstellt, leuchtet ganz extrem ein. Bei ungleich nähern sich die beiden dem Fixpunkt bei jedem Schritt – ihr Abstand wird kleiner und kleiner. Das gilt mit Sicherheit für alle nicht-negativen Radikanden und alle natürlichen Wurzelexponenten, wie sie im § Definition, Sprech- und Schreibweisen besprochen werden.

Ich nehme ganz stark an, dass

1. es in der gegebenen Fragestellung genau einen Fixpunkt gibt,
2. das Verfahren auch konvergiert, wenn der normale Mittelwert zwischen $x_{i}$ und $H$ genommen wird, und
3. die Konvergenzgeschwindigkeit mit der aus dem Newton-Verfahren resultierenden genannten Gewichtung dieser beiden Werte aber möglicherweise am besten ist. –Nomen4Omen (Diskussion) 16:39, 19. Jun. 2022 (CEST)

Punkt 2. ist leider - ausprobieren! - falsch. (Beispiel: Man beginnt mit einem Quader mit den Kantenlängen 1, 2, 3 und will die Kubikwurzel aus dessen Volumen V=6 bestimmen. Dann nimmt man als Startwert erst einmal den Mittelwert 2 der Seitenlängen. Nun ist H=6/4=1,5. Der Mittelwert aus 2 und 1,5 ist 1,75. Die nächsten Iterationswerte sind 1,8546, 1,7995, 1,8262, 1,8127... Das konvergiert überhaupt nicht gut gegen die Lösung 1,81712...) --77.0.0.196 06:36, 20. Jun. 2022 (CEST)

Also bitte: Richtig lesen! Von "gut konvergieren" ist in Punkt 2 nicht die Rede gewesen. Eine "Güte" kommt in Punkt 3 erst dran. –Nomen4Omen (Diskussion) 18:44, 22. Jun. 2022 (CEST)

Zusammenhang mit allgemeinen Potenzen

In den Artikel sollte eigentlich noch eine grundsätzliche Betrachtung hinein. Die Wurzeln werden hier explizit auf natürliche Wurzelexponenten n beschränkt, und man kann sich durchaus fragen, warum eigentlich. Schließlich ist die n-te Wurzel nichts anderes als der Radikand hoch 1/n und somit ein Spezialfall des Potenzieren mit reellen Exponenten. Ich denke, daß es zwei Gründe gibt: die Richtigkeit eines Wurzelwerts läßt sich elementar durch Potenzieren mit n überprüfen, was durch fortgesetzte Multiplikation realisiert werden kann, ferner benötigt das Newtonverfahren nur natürliche Potenzen der Iterationswerte, die ebenso durch Ausmultiplizieren ausgewertet werden können. Das Newtonverfahren funktioniert grundsätzlich auch für Potenzen mit beliebigen positiven reellen Exponenten, aber i. a. treten dann in den Iterationformeln "krumme" Exponenten auf, d. h. mittels des Newtonverfahrens könnte man nur dann Wurzel- bzw. Potenzwerte approximieren, wenn man Potenzwerte ohnehin schon anderweitig ermitteln kann, aber dann braucht man es natürlich gar nicht. Und grundsätzlich könnte auch einmal erwähnt werden, daß der Potenzwert einer Potenz mit dem rationalen Exponenten a/b ermittelt werden kann, indem sie Basis durch Multiplikation hoch a genommen und aus dem Ergebnis dann die b-te Wurzel gezogen wird, oder umgekehrt. Hingegen existiert kein entsprechendes Verfahren zur Ermittlung von Potenzen mit irrationalen Exponenten. Dafür müssen vielmehr Reihenentwicklungen der Exponentialfunktion herangezogen werden, mit denen man aber andererseits auch die Aufgabe des Radizierens lösen kann. --77.0.0.196 19:56, 20. Jun. 2022 (CEST)