Eigenmode

Eigenmoden oder Normalmoden sind spezielle Bewegungen eines schwingungsfähigen Systems. Es handelt sich – neben der gleichförmigen Bewegung des ganzen Systems – um diejenigen periodischen Bewegungen, bei denen alle Komponenten des Systems die gleiche Frequenz zeigen, wenn das System nach einer Anregung sich selbst überlassen bleibt. Eine solche Frequenz wird als Eigenfrequenz des Systems bezeichnet, die entsprechende Eigenmode auch als Eigenschwingung, denn bei kleinen Amplituden sind es ungedämpfte harmonische Schwingungen. Jede Bewegung des Systems kann als eine Überlagerung von verschiedenen Eigenmoden dargestellt werden. Die Anzahl verschiedener Eigenmoden ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems.

Die Eigenmoden und -frequenzen eines Systems hängen davon ab, aus welchen Bestandteilen das System aufgebaut ist und wie diese aufeinander einwirken. Die Eigenfrequenzen der Saite eines Musikinstruments werden beispielsweise durch ihre Länge, ihr Material und ihre mechanische Spannung bestimmt. Ähnliches gilt für alle schwingungsfähigen Systeme.

Das Wort Eigenmode leitet sich ab vom englischen Mode oder lateinischen Modus, was in beiden Fällen etwa „Art und Weise“ bedeutet, und von Eigenwert, einem Begriff aus der Algebra. In der Sichtweise der theoretischen Physik bilden die Eigenmoden nämlich eine diskrete Basis, mit der alle dem System möglichen Bewegungen dargestellt werden können. Die Eigenmoden und Eigenfrequenzen ergeben sich aus den Bewegungsgleichungen des Systems als Eigenvektoren bzw. Eigenwerte dieses Gleichungssystems. Die gleichförmige Bewegung wird als eine Eigenmode mit der Frequenz Null dargestellt.

Theorie

Die Lagrangefunktion eines Systems mit $f$ Freiheitsgraden sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(q_1, \dots, q_f, \dot q_1, \dots, \dot q_f) = \frac 12 \sum_{i,j=1}^f m_{ij}(q_1, \dots, q_f) \dot q_i \dot q_j - U(q_1, \dots, q_f)}

wobei $m_{ij}$ die Massenmatrix und $U$ das Potential ist. Bei der Näherung der Lagrangefunktion bis in zweiter Ordnung um die Gleichgewichtskoordinaten $q^{0}$ und der Vernachlässigung des konstanten Terms wird dies zu

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})$

respektive mit der Koordinatentransformation Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x=q-q^{0}} und den Abkürzungen $T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})$ sowie Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}} kurz

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)$

Aus den Lagrangegleichungen ergeben sich die Bewegungsgleichungen des Systems

$\sum _{j=1}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx$

wobei sowohl $T$ als auch $V$ $f\times f$-Matrizen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} -dimensionaler Vektor ist. Da die kinetische Energie immer größer als Null ist, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} positiv definit. Damit sich das System in einem stabilen oder indifferenten Gleichgewicht befindet, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} positiv semidefinit sein. Insbesondere sind daher alle Eigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} nichtnegativ.

Der Lösungsansatz der Gleichung lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t) = A \exp(-\mathrm i \omega t)}

Dies führt auf das verallgemeinerte Eigenwertproblem

$(V-\omega ^{2}T)A=0$.

Um dieses nichttrivial zu lösen, muss die Determinante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det (V - \omega^2 T)} verschwinden. Diese ist das charakteristische Polynom vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^2} und besitzt daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} Nullstellen. Die Symmetrie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} und $V$ sorgt dafür, dass die Eigenwerte alle reell sind, siehe Spektralzerlegung (Mathematik), und diese sind zudem nichtnegativ, wegen der positiven (Semi-)Defintheit der beteiligten Matrizen. Physikalisch kann dies wie folgt interpretiert werden: Angenommen, es gäbe eine Nullstelle im Negativen oder Komplexen, dann würde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} einen Imaginärteil besitzen und die Lösung divergieren. Dies steht im Widerspruch zur Annahme des stabilen Gleichgewichts.

Die (positiven) Wurzeln der Nullstellen des Polynoms

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^{(f)} (\omega^2) = \det (V - \omega^2 T) }

sind die Eigenfrequenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_k} des Systems, das durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} beschrieben wird. Ein System mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} Freiheitsgraden besitzt daher maximal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} Eigenfrequenzen.

Die $f$ Eigenschwingungen des Systems sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} Eigenvektoren des Eigenwertproblems, die die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V - \omega_k^2 T) A^{(k)} = 0}

erfüllen. Insbesondere ist jedes Vielfache eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor. Das bedeutet, diese können normiert und mit einer komplexen Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_k} multipliziert werden.

Fallen mehrere Eigenfrequenzen zusammen, dann hat die Gleichung nicht vollen Rang und einige Komponenten der zugehörigen $A^{(k)}$ können frei gewählt werden. Hat die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} einen Eigenwert Null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Dann ist auch eine Eigenfrequenz des Systems Null. In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot x = 0} , sodass die Lösung eine gleichförmige Bewegung des Systems ist.

Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für die Schwingung des Systems ist eine Superposition seiner Eigenschwingungen und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung

$x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)$

Für jeden Freiheitsgrad existieren daher entweder 2 reelle oder 1 komplexer freier Parameter. Es ergeben sich somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2f} Konstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Normalkoordinaten

Die Normalkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} des Systems sind definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q = a^{-1} x}

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \left({A_i}^{(k)}\right)}

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , denn aus der Symmetrie von $V$ folgt

$\left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0$

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^\mathrm T T a} verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die Orthonormalitätsrelation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^\mathrm T T a = 1}

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} diagonalisiert. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = \left(\omega_k^2 \delta_{kl}\right) } kann die Bewegungsgleichung als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V a = T a \lambda}

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^\mathrm T} von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} in die Normalkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = a Q} das Gleichungssystem, denn es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = \frac 12 \left(\dot x^\mathrm T T \dot x - x^\mathrm T V x\right) = \frac 12\left( \dot Q^\mathrm T \dot Q - Q^\mathrm T \lambda Q \right)= \frac 12 \sum_k \left(\dot Q_k^2 - \omega_k^2 Q_k^2\right)}

Insbesondere ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_k = \operatorname{Re}\left(c_k \exp(-\mathrm i \omega_k t)\right)}

Beispiele

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die Auslenkung aus der Ruhelage. Für das Federpendel gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = D} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = m} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} die Federkonstante und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine skalare Gleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (D-\omega ^{2}m)A=0}

mit einem Polynom ersten Grades in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\omega^2) = \det \left(D - \omega^2 m\right) = D - \omega^2 m = 0 \Leftrightarrow \omega^2 = \frac Dm}

und einem Eigenvektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = 1} .

Die Lösung ist also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t) = \operatorname{Re} \left(c \exp\left(-\mathrm i \sqrt \frac Dm t\right) \right)}

CO₂-Molekül

In erster Näherung kann ein Kohlendioxid-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_O} mit der mittleren Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_C} durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonstanten beide $D$. Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne, das heißt, es werden nur Valenz-, aber keine Deformationsschwingungen berücksichtigt. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Massen von ihrer Gleichgewichtslage. Dann gilt mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = \begin{pmatrix} m_O && \\ &m_C& \\ && m_O\end{pmatrix}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = D \begin{pmatrix} 1 & -1 & \\-1 & 2 & -1 \\ & -1 & 1 \end{pmatrix}}

für die Determinante des Systems

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^{(k)} (\omega^2) = \omega^2 (D - \omega^2 m_O) (\omega^2 m_C m_O - k(2m_O + m_C))}

Dessen drei Nullstellen liegen bei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^2_1 = 0, \qquad \omega^2_2 = \frac{D}{m_O}, \qquad \omega_3^2 = \frac{D}{m_O}\left(1 + 2 \frac{m_O}{m_C}\right)}

und die Eigenvektoren sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \qquad A^{(2)} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}, \qquad A^{(3)} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 m_O/m_C \\ 1\end{pmatrix}} .

Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung zu

$x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)$.

Die erste Eigenschwingung ist die Translation des gesamten Moleküls, die zweite beschreibt die gegenläufige Schwingung der beiden äußeren Sauerstoffatome, während das Kohlenstoffatom in Ruhe bleibt, und die dritte die gleichförmige Schwingung der beiden äußeren, wobei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

Schwingende Saite

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend auch unendlich viele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch den Randbedingungen des Problems genügen. Die Wellengleichung lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c_k^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x,t)} die Auslenkung der Saite und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_k} die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} ist

$u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)$

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle c_k = \frac {\omega_k}{k}} . Den Zusammenhang zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_k} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} nennt man die Dispersionsrelation des Systems. Für eine Saite ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle c_k = \sqrt{S/\rho}} eine Konstante, die von der Spannung $S$ und der linearen Massendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} der Saite abhängt.

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(0,t) = u(L,t) = 0}

sein muss. Dies führt zu der Randbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = \frac{\pi n}{L}}

mit einem beliebigen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N} und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} und entsprechend vielen $\omega _{k}$. Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}$

und die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist eine Superposition über alle Eigenschwingungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x,t) = \operatorname{Re} \left(\sum_n c_n \exp\left(-\mathrm i \frac{\pi n}{L} \left(\sqrt \frac{S}{\rho} t - x\right)\right)\right)}

Normalschwingungen von Molekülen

Ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} -atomiges Molekül hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3N} Freiheitsgrade. Davon sind 3 Translationsfreiheitsgrade und im Fall eines linearen Moleküls 2 bzw. im Fall eines gewinkelten Moleküls 3 Rotationsfreiheitsgrade. Somit verbleiben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3N - 5} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3N - 6} Vibrationsfreiheitsgrade, die zu Eigenfrequenzen ungleich Null korrespondieren. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Die Normalschwingungen einer entarteten, von Null verschiedenen Eigenfrequenz stellen eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar.

Beim obigen Beispiel sind die anderen beiden Normalschwingungen die vernachlässigten transversalen Schwingungen der Atome in den beiden übrigen Raumrichtungen, die sich nicht in der Linie der Atome befinden.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch einen Zustandsvektor $|\psi (t)\rangle$ dargestellt, der eine Lösung der Schrödingergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H |\psi(t)\rangle = \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t) \rangle}

ist. Wenn der Hamiltonoperator nicht zeitabhängig ist, ist eine formale Lösung der Schrödingergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\psi(t)\rangle = \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} H t\right) |\psi(0)\rangle }

Da der Hamiltonoperator ein vollständiges System von Eigenzuständen, den Energieeigenzuständen, besitzt, kann in diesen entwickelt werden. Mit $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\psi(t)\rangle = \sum_n \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} E_n t\right) |n\rangle \langle n|\psi(0)\rangle}

Dabei beschreiben die quantenmechanischen Eigenfrequenzen $\omega _{n}=E_{n}/\hbar$ keine Schwingung im Ortsraum, sondern eine Rotation im Hilbertraum, auf dem der Zustandsvektor definiert ist.

Technische Beispiele

Datei:Electrical Response of a Loudspeaker.gif

Resonanz eines Lautsprechers

• Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch Dämpfung klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.
• Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.
• In Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik läuft, kann es vorkommen, dass die Frequenz eines Basstons mit einer Eigenfrequenz der Gebäudewand zusammenpasst. Die von der Musik angeregten Schwingungen der Wand sind dann mitunter sogar dann hörbar, wenn die Musik selber nicht wahrnehmbar wäre.
• Trommeln haben wie die meisten Musikinstrumente mehrere Eigenfrequenzen.
• Bei Lautsprechern verschlechtern die Partialschwingungen der Membranen die Wiedergabequalität.

Siehe auch

• Modalanalyse
• Mode (Physik)
• Resonanz, Resonanzkatastrophe, Resonanzfrequenz

Literatur

• R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturdynamik: Diskrete Systeme und Kontinua. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2. 
• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8. 
• Hans-Ulrich Harten: Physik für Mediziner. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 3-540-56759-3. 
• Torsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7. 
• Julius Wess: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88574-0. 
• R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2.