Enneper-Weierstraß-Konstruktion

Die Weierstraß-Darstellung, manchmal auch Enneper-Weierstraß- oder Weierstraß-Enneper-Konstruktion, ist eine nach Karl Weierstraß bzw. Alfred Enneper benannte Darstellung von Minimalflächen. Letztere sind reguläre Flächen im reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$, die in der Natur als Seifenhautflächen vorkommen, und daher "reelle" Gebilde. Es mag daher verwundern, dass bei deren Beschreibung holomorphe Funktionen zu Tage treten, wie das bei der hier zu besprechenden Darstellung der Fall ist.

Enneper-Weierstraß-Darstellung

Es seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subset \Complex} eine einfach zusammenhängende Menge,

$z_{0}\in U$,   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1,c_2,c_3 \in \R} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F:U\rightarrow \Complex} eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G:U\rightarrow \hat{\Complex} = \Complex \cup \{\infty\}} eine meromorphe Funktion,

so dass das Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle FG^2} holomorph ist, das heißt an allen Polstellen von $G$ eine hebbare Definitionslücke hat. Setze

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \varphi _{1}(\zeta ):={\frac {1}{2}}F(\zeta )(1-G^{2}(\zeta ))} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_2(\zeta) := \frac{\mathrm{i}}{2}F(\zeta)(1+G^2(\zeta))} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_3(\zeta) := F(\zeta)G(\zeta)} ,

Dann ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_j(x,y) = c_j + \operatorname{Re} \int_{z_0}^{x+\mathrm{i}y} \varphi_j(\zeta) \mathrm{d}\zeta \quad \quad j=1,2,3}

eine Parametrierung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f=(f_1,f_2,f_3):U\rightarrow \R^3} einer Minimalfläche gegeben.

Umgekehrt kann jede Minimalfläche lokal auf diese Weise parametrisiert werden, das heißt, man kann Daten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U, z_0, c_1, c_2, c_3, F, G} wie oben finden, so dass die dadurch definierten $f_{1},f_{2},f_{3}$ die vorgelegte Minimalfläche in einer Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (c_1,c_2,c_3)} parametrisieren.

Dabei bedeutet $\operatorname {Re}$ die Realteilbildung, das Integral von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0} nach Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x+\mathrm {i} y} ist längs irgendeines Integrationsweges in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} zu bilden, wegen des vorausgesetzten einfachen Zusammenhangs hängt der Wert des Integrals nicht vom gewählten Integrationsweg ab.

Ergänzungen

Obige Darstellung stammt von Karl Weierstraß aus dem Jahre 1866, etwa zeitgleich wurden gleichwertige Formeln von Alfred Enneper und Bernhard Riemann verwendet.

In obigem Satz liefert die Umkehrung die Existenz einer gewissen Parametrisierung einer Minimalfläche. Oft sind Flächen aber schon in Form einer Parametrisierung gegeben, so dass sich die Frage stellt, ob die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} auch zu einer vorgegebenen Parametrisierung einer Minimalfläche gefunden werden können. Das ist im Allgemeinen nicht der Fall, wohl aber, wenn die vorgegebene Parametrisierung konform ist, das heißt, wenn die erste Fundamentalform ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, genauer, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g_{ij}) = \lambda\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}} für eine skalare Funktion $\lambda$, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g_{ij})} den Metriktensor bezeichnet. Das wird in der unten angegebenen Beweisskizze deutlich.

Das Paar $(F,G)$ heißt eine Weierstraß-Darstellung der Minimalfläche. Dabei lässt man oft die Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1,c_2,c_3 \in \R} außer Acht, das heißt man verschiebt die Fläche in Gedanken so, dass der Nullpunkt innerhalb der Fläche liegt. Die holomporhen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_j} erfüllen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1^2 + \varphi_2^2 + \varphi_3^2 = \frac{1}{4}F^2(1-G^2)^2 - \frac{1}{4}F^2(1+G^2)^2 + F^2G^2 = 0} .

Hat man umgekehrt drei nicht identisch verschwindende, holomorphe Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3: U \rightarrow \Complex} mit $\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=0$ gegeben, so kann man eine holomorphe Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und eine meromorphe Funktion $G$ wie im Satz finden, leicht überlegt man sich, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F := \varphi_1 - \mathrm{i} \varphi_2}   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G := \frac{\varphi_3}{\varphi_1-\mathrm{i}\varphi_2}}

das Verlangte leisten.

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} konstant ist, dann sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_3} offenbar proportional und man erhält die Parametrisierung einer Ebene. Viele Autoren schließen diesen trivialen Fall aus und das wollen wir hier auch tun.

Beispiel

Man kann gemäß der Weierstraß-Darstellung zu vorgegebenen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , die die genannten Bedingungen erfüllen, Minimalflächen konstruieren. Ein sehr einfacher und bekannter Fall ist die Enneperfläche, die man aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(\zeta)=2} (konstante Funktion) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\zeta)=\zeta} auf Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U=\mathbb {C} } erhält. Die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_j} ergeben sich nach obigen Formeln zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1(\zeta) = 1-\zeta^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_2(\zeta) = \mathrm{i}(1+\zeta^2)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_3(\zeta) = 2\zeta} .

Es handelt sich also durchweg um Polynome, deren Integration trivial ist. Als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0} wählen wir den Nullpunkt, auch die Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} setzen wir zu 0 an. Dann erhält man für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=x+\mathrm{i}y}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f_1(z) & = \operatorname{Re} \int_0^z(1-\zeta^2)\mathrm{d}\zeta = \operatorname{Re} (\zeta - \frac{1}{3}\zeta^3)|_0^z \\& = \operatorname{Re}(z-\frac{1}{3}z^3) = \operatorname{Re} (x+\mathrm{i}y- \frac{1}{3}(x^3 + 3\mathrm{i}x^2y + 3\mathrm{i}^2xy^2 + \mathrm{i}^3y^3)) = x-\frac{1}{3}x^3 + xy^2 \end{align}}

und durch ähnliche einfache Rechnungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_2(z) = -y + \frac{1}{3}y^3 - x^2y}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_3(z) = x^2-y^2}

Daher ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) := (x-\frac{1}{3}x^3 + xy^2, -y + \frac{1}{3}y^3 - x^2y, x^2-y^2)}

die Parametrisierung einer Minimalfläche gegeben, diese nennt man nach ihrem Entdecker die Enneperfläche.

Beweisskizze

Die folgende Beweisskizze enthält wenig von den erforderlichen technischen Details. Die einfachere Richtung geht von den Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} aus und konstruiert die im Satz angegebene konforme Parametrisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1, f_2, f_3} . Dieses Vorgehen wurde auch am Beispiel der Enneperfläche verdeutlicht. Unter Ausnutzung der Analytizität zeigt man schließlich, dass die mittlere Krümmung der dadurch definierten Fläche verschwindet und daher eine Minimalfläche vorliegt.

Ist umgekehrt eine Minimalfläche in parametrisierter Form gegeben, so erfolgt die Ermittlung der Enneper-Weierstraß-Darstellung in folgenden Schritten, die im Wesentlichen eine Umkehrung der obigen Konstruktion darstellen, wobei eine zusätzliche Schwierigkeit darin besteht, dass man sich zunächst eine konforme Parametrisierung verschaffen muss.

Krümmungslinienparameter

Als erstes ermittelt man die sogenannten Krümmungslinienparameter. Das ist eine Parametrisierung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:U\rightarrow \R^3} , so dass die erste und zweite Fundamentalform Diagonalgestalt haben. Für ein Flächenstück ohne Nabelpunkte ist das lokal durch Lösen einer partiellen Differentialgleichung stets möglich. Es gilt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{\partial \nu}{\partial u_i} = -\kappa_i \frac{\partial f}{\partial u_i}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu} das Normalenfeld und die $\kappa _{i}$ die beiden Hauptkrümmungen sind. Da bei einer Minimalfläche die mittlere Krümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)} verschwindet, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa := \kappa_1 = -\kappa_2} sein.

Konforme Parameter

Im zweiten Schritt konstruieren wir konforme Parameter, siehe oben. Wir geben uns einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0, y_0) \in U} vor und gehen zu einer in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} enthaltenen Rechteckumgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_0} über. Das kann man tun, da es sich ja um ein lokales Problem handelt. Bezeichnet wieder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g_{ij})} die Metrik aus der ersten Fundamentalform, so überlegt man sich, dass die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa \cdot g_{ii}:U\rightarrow \R^3} , die ja von Paaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)\in U_0} abhängen, tatsächlich nur von einer der Variablen abhängen, indem man zeigt, dass die Ableitung nach der jeweils anderen Variablen verschwindet. Es gibt daher reelle Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_1, \Phi_2} mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi _{1}(x)=\kappa (x,y)\cdot g_{11}(x,y)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_2(y) = \kappa(x,y)\cdot g_{22}(x,y)} . Die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_j} sind positiv und man kann damit folgende Abbildung definieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi:U_0 \rightarrow \R^2,\quad \Phi(x,y) := \begin{pmatrix} v_1(x) \\ v_2(y) \end{pmatrix}} , wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1(x) := \int_{x_1}^x \sqrt{\Phi_1(x)} \mathrm{d}x,\quad v_2(y) := \int_{y_1}^y \sqrt{\Phi_2(y)} \mathrm{d}y} .

Dann ist $\Phi$ ein Diffeomorphismus von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_0} auf das Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V:= \Phi(U_0)} und man zeigt, dass die drei Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_j\circ \Phi^{-1}: V\rightarrow \R, \quad j=1,2,3}

eine konforme Parametrisierung des vorgelegten Flächenstücks bilden.

Holomorphe Funktionen

An dieser Stelle der Konstruktion liegt also eine konforme Parametrisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_j:U\rightarrow \R} vor und $U$ kann der Einfachheit halber als offenes Rechteck in der Ebene angenommen werden. Identifiziert man die Ebene wie üblich mit der Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} der komplexen Zahlen, so erhalten wir drei komplexe Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi:U\rightarrow \Complex} durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1(x+\mathrm{i} y) := \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) - \mathrm{i}\cdot \frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_2(x+\mathrm{i} y) := \frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y) - \mathrm{i}\cdot \frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_3(x+\mathrm{i} y) := \frac{\partial f_3}{\partial x}(x,y) - \mathrm{i}\cdot \frac{\partial f_3}{\partial y}(x,y)}

Die Konformität der Parametrisierung ist äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_1^2 + \varphi_2^2 + \varphi_3^2 = 0} und die Minimalflächeneigenschaft ist in dieser Situation äquivalent zur Holomorphie der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_j} . Mit den bereits oben genannten Formeln

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F := \varphi_1 - \mathrm{i} \varphi_2}   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G := \frac{\varphi_3}{\varphi_1-\mathrm{i}\varphi_2}}

erhält man die gewünschte Weierstraß-Darstellung.