Euler-Maruyama-Verfahren

Exakte Lösung (schwarz) und Euler-Maruyama-Näherung mit Schrittweite 0,01 (rot) für die stochastische Differential­gleichung dS_t = S_t dW_t, S₀ = 1

Das Euler-Maruyama-Verfahren, oft auch Euler-Maruyama-Schema oder stochastisches Euler-Schema genannt, ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Es wurde erstmals in den 1950er-Jahren durch den japanischen Mathematiker Gisiro Maruyama untersucht und basiert auf dem von Leonhard Euler stammenden expliziten Euler-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher (deterministischer) Differentialgleichungen.

Während das explizite Euler-Verfahren seit seiner Erfindung ständig verbessert und weiterentwickelt wurde (implizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren) und selbst dadurch an praktischer Bedeutung verloren hat, ist Euler-Maruyama mangels entsprechender Alternativen noch immer das in der Praxis dominierende Verfahren.

Formulierung

Gegeben sei ein Wiener-Prozess $(W_{t})_{t\geq 0}$ sowie dazu folgendes stochastisches Anfangswertproblem (S-AWP):

$\mathrm {d} S_{t}=a(t,S_{t})\,\mathrm {d} t+b(t,S_{t})\,\mathrm {d} W_{t},\quad S_{0}=A$.

Zur Berechnung einer numerischen Näherungslösung auf dem Intervall $[0,T]$ mit $T>0$ werden wie beim gewöhnlichen Euler-Verfahren diskrete Zeitpunkte

$0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=T$

mit $t_{k}=kh$ und Schrittweite $h={\tfrac {T}{n}}$, $n\in \mathbb {N}$ gewählt. Zusätzlich wird das stochastische Differential $\mathrm {d} W_{t}$ durch die Zuwächse

$\Delta W_{k}:=W_{t_{k+1}}-W_{t_{k}},\quad k=0,\ldots ,n-1$

ersetzt. Aus den Eigenschaften des Wiener-Prozesses folgt, dass die $\Delta W_{k}$ unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert $0$ und Varianz $h$ sind.

Das Euler-Maruyama-Verfahren berechnet damit eine Approximation ${\hat {S}}$ von $S$ folgendermaßen:

${\begin{aligned}{\hat {S}}_{0}&=A\,,\\{\hat {S}}_{k+1}&={\hat {S}}_{k}+a(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot h+b(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot \Delta W_{k}\quad k=0,\ldots ,n-1\,.\end{aligned}}$

Dann ist ${\hat {S}}_{k}$ eine Näherung für $S_{t_{k}}$.

Konvergenz des Verfahrens

Das wichtigste theoretische Resultat bezüglich des Maruyama-Schemas beschreibt dessen starke Konvergenz (oder stochastische Konvergenz) gegen die gesuchte Lösung $S$: Eine Folge von stochastischen Prozessen $\left(S_{t}^{(n)}\right),\;0\leq t\leq T,\;n\in \mathbb {N}$ auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum konvergiert definitionsgemäß stark mit Ordnung $q$ gegen einen Prozess $(S_{t}),\;0\leq t\leq T$, wenn es eine Konstante $c$ gibt, so dass für alle $t\in [0,T]$:

$E(|S_{t}^{(n)}-S_{t}|)\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]$.

Im Falle des Maruyama-Schemas kann nun gezeigt werden: Die Diskretisierung $({\hat {S}}_{t})$ konvergiert für $n\to \infty$ stark mit Ordnung ${\tfrac {1}{2}}$ gegen die Lösung $S$ des S-AWP, wenn für alle reellen Zahlen $x$ und alle positiven $s,t$ die folgende Schranke gilt:

$|a(s,x)-a(t,x)|+|b(s,x)-b(t,x)|\leq K(1+|x|){\sqrt {(|t-s|)}}$.

Von schwacher oder Verteilungskonvergenz mit Ordnung $q$ spricht man hingegen, wenn für eine Konstante $c$ gilt:

$|E(f(S_{t}^{(i)}))-E(f(S_{t}))|\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]$

für alle Funktionen $f$, die mindestens $(2q+2)$-mal stetig differenzierbar sind und deren sämtliche Ableitungen durch Polynome beschränkt sind.

Für hinreichend glatte Koeffizientenfunktionen $a$ und $b$ hat das Euler-Maruyama-Verfahren typischerweise die schwache Konvergenzordnung $q=1$.

Bemerkungen

• Es gibt auch Lösungsverfahren höherer starker Ordnung als das Euler-Maruyama-Verfahren, etwa das Milstein-Verfahren, das meist Ordnung 1 erreicht. Diese Verfahren sind aber numerisch aufwändiger und resultieren nicht immer in einer schnelleren Konvergenz.

• Die oben angeführte Bedingung für die starke Konvergenz mit Ordnung 0,5 ist nur wenig strenger als die Bedingung an a und b, die die Existenz der Lösung S sicherstellt. Sie ist also beinahe immer erfüllt.

• An starker Konvergenz ist man in der Praxis nur sehr selten interessiert, da zumeist nicht eine spezielle Lösung zu einem speziellen Wiener-Prozess gesucht wird, sondern vielmehr eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses, wie man sie beispielsweise für Monte-Carlo-Verfahren benötigt.

• Ein implizites Maruyama-Schema als Analogon zum impliziten Euler-Verfahren ist nicht möglich; dies liegt an der Definition des (stochastischen) Ito-Integrals, über das stochastische Differentialgleichungen definiert sind und das Funktionen immer am Anfang eines Intervalls auswertet (siehe dort). Implizite Verfahren konvergieren also hier gegen teilweise völlig falsche Ergebnisse.

• Die übliche Simulation einer brownschen Bewegung durch einen gaußschen Random Walk kann als Anwendung des Euler-Maruyama-Schemas auf die triviale Differentialgleichung $\mathrm {d} S_{t}=1\,\mathrm {d} W_{t},\;\;S_{0}=0$ interpretiert werden.

Beispiel

Der folgende Beispielcode zeigt die Implementierung des Euler-Maruyama-Verfahrens zur Berechnung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses als Lösung des Anfangswertproblems $dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;Y_{0}=IC$ in Python (3.x):

Ergebnis des Beispielcodes

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

tBegin=0
tEnd=2
dt=.00001

t = np.arange(tBegin, tEnd, dt)
N = t.size
IC=0
theta=1
mu=1.2
sigma=0.3

sqrtdt = np.sqrt(dt)
y = np.zeros(N)
y[0] = IC
for i in range(1,N):
    y[i] = y[i-1] + dt*(theta*(mu-y[i-1])) + sigma*np.random.normal(loc=0.0,scale=sqrtdt)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t,y)
ax.set(xlabel='t', ylabel='y',
       title='Euler-Maruyama-Verfahren zur Berechnung eines \n Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit $\\theta=1$, $\mu=1.2$, $\sigma=0.3$')
ax.grid()
plt.show()

Literatur

• Paul Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer 2003, ISBN 0-387-00451-3