Federpendel

Bewegung eines ungedämpften Federschwingers

Ein Federpendel oder Federschwinger ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einem daran befestigten Massestück besteht, welches sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt.

Beim Loslassen des aus seiner Ruhelage ausgelenkten Federschwingers beginnt eine Schwingung, die bei fehlender Dämpfung nicht mehr abklingt. Sofern sich die Masse nicht horizontal bewegt, hängt der Ort der Ruhelage, nicht aber die Schwingungsfrequenz, von der Schwerkraft ab. Die Schwingung verläuft harmonisch (d. h. sinusförmig), solange die Feder eine zur Auslenkung proportionale Kraft ausübt.

Nicht behandelt wird in diesem Artikel die Pendelbewegung zur Seite, die zusätzlich möglich ist und zu chaotischem Verhalten führen kann.

Funktionsweise

Eine ideale Feder übt auf die Masse eine Kraft aus, die sich aus der Kraft in der Ruhelage und einem Anteil proportional zur Entfernung von der Ruhelage zusammensetzt. Die Kraft in der Ruhelage kompensiert die Gewichtskraft und hat keine Auswirkung auf das Schwingungsverhalten. Der Anteil proportional zur Auslenkung wirkt stets rückstellend. Ein ausgelenkter Federschwinger hat deshalb immer das Bestreben, in die Ruhelage zurückzukehren. Seine Masse wird in Richtung der Ruhelage beschleunigt und schwingt auf Grund des Trägheitsprinzips wieder darüber hinaus.

Die in der Feder gespeicherte potentielle Energie wird in kinetische Energie der Masse umgewandelt. Bei fehlender Dämpfung wird dem System keine Energie entzogen, so dass sich dieser Vorgang periodisch mit konstanter Amplitude wiederholt.

Wird der Federschwinger durch eine äußere Kraft periodisch angeregt, so kann die Amplitude sehr groß werden und zur Resonanzkatastrophe führen.

Herleitung der Schwingungsgleichung

Kraft an einem Federschwinger. Die Federkraft F wirkt zur Ruhelage.

Die auf die Masse wirkende Federkraft ist nach dem Hookeschen Gesetz proportional zur Auslenkung y.

$F=D\cdot y$

Der Proportionalitätsfaktor D ist die Federkonstante oder Direktionskonstante.

Die Federkraft verursacht nach dem Aktionsprinzip eine Beschleunigung des Massestücks entgegen der Auslenkung. Die Beschleunigung kann auch als zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit ausgedrückt werden.

$m\cdot {\ddot {y}}=-F=-D\cdot y$

Nach dem Umformen der Gleichung erhält man schließlich

$m\cdot {\ddot {y}}+D\cdot y=0\Rightarrow {\ddot {y}}+{\frac {D}{m}}\cdot y=0$

${\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}\cdot y=0$

eine lineare homogene Differentialgleichung, die mit einem Exponentialansatz gelöst werden kann.

$\omega _{0}$ wird als ungedämpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {D}{m}}}$

Die Eigenkreisfrequenz ist allgemein $\omega _{0}={\tfrac {2\cdot \pi }{T}}$, das Umstellen nach der Periodendauer T ergibt

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m}{D}}}$

Die Periodendauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.

Lösen der Schwingungsgleichung

Die Auslenkung sei eine Exponentialfunktion der Form $y(t)=c\cdot e^{\lambda \cdot t}$. Die zweite Ableitung der Funktion ist laut Kettenregel

${\ddot {y}}(t)=c\cdot \lambda ^{2}\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Das Einsetzen von y in die Schwingungsgleichung liefert

$c\cdot \lambda ^{2}\cdot e^{\lambda \cdot t}+\omega _{0}^{2}\cdot c\cdot e^{\lambda \cdot t}=c\cdot e^{\lambda \cdot t}\cdot (\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2})=0$

Gemäß dem Satz von Nullprodukt muss $c\cdot e^{\lambda \cdot t}$ oder $\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}$ Null sein. e-Funktionen werden für $c\neq 0$ nie Null. Daher muss die sogenannte charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}=0$ erfüllt sein.

$\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}=0$

$\lambda _{1/2}=\pm {\sqrt {-\omega _{0}^{2}}}=\pm \omega _{0}\cdot \mathrm {i}$

Für $\lambda$ gibt es zwei komplexe Lösungen:

$y_{1}=c_{1}\cdot e^{\omega _{0}\cdot \mathrm {i} \cdot t}$

und

$y_{2}=c_{2}\cdot e^{-\omega _{0}\cdot \mathrm {i} \cdot t}$

Die beiden Lösungen für $y_{1}$ und $y_{2}$ können addiert werden. Für die Auslenkung y des Federschwingers erhält man daher:

${\underline {y(t)=c_{1}\cdot e^{\omega _{0}\cdot \mathrm {i} \cdot t}+c_{2}\cdot e^{-\omega _{0}\cdot \mathrm {i} \cdot t}}}$

Die Konstanten $c_{1}$ und $c_{2}$ müssen bestimmt werden. Zu Beginn der Schwingung sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 0} . Nach dem Viertel einer Periodendauer T hat der Oszillator seine maximale Auslenkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y} erreicht.

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y\left(\frac{T}{4}\right) = y\left(\frac{2\pi}{4 \cdot \omega_0}\right) = c_1 \cdot e^{\frac{\pi}{2} \mathrm i} + c_2 \cdot e^{-\frac{\pi}{2} \mathrm i} = \hat y}

Die komplexe Exponentialfunktion kann mit Hilfe der eulerschen Formel in Sinus und Kosinus umgewandelt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y = c_1 \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right] + c_2 \cdot \left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(- \frac{\pi}{2}\right)\right]}

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Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1 = - c_2} liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y = 2c_1 \cdot i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y = - 2 \cdot c_2 \cdot \mathrm i}

Man erhält daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1 = \frac{\hat y}{2 \mathrm i}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_2 = - \frac{\hat y}{2 \mathrm i}} . Die Konstanten können nun in die trigonometrische Darstellung der Auslenkungsfunktion eingesetzt werden, die dann unter Beachtung der Quadrantenbeziehungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(-h) = - \sin(h)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(k) = \cos(-k)} umgeformt wird.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t) = \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot [\cancel{\cos (\omega_0 \cdot t)} + \mathrm i \cdot \sin (\omega_0 \cdot t)] - \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot [\cancel{\cos (- \omega_0 \cdot t)} + \mathrm i \cdot \sin (- \omega_0 \cdot t)] = \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot 2 \cdot \mathrm i \cdot \mathrm \sin(\omega_0 \cdot t)}

Die Schwingungsgleichung für den idealen Federschwinger ohne Auslenkung zu Beginn der Schwingung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_0 = 0} ) ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{ \underline{y(t) = \hat y \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)}}}

Energie eines Federschwingers

Die kinetische Energie eines Federschwingers mit der Masse m lässt sich berechnen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2} .

Nach dem Einsetzen der Geschwindigkeit v erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \cdot {\hat y}^2 \cdot \omega_0^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)} .

Für die Eigenkreisfrequenz gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \Rightarrow D = m \cdot \omega_0^2} . Deshalb kann die kinetische Energie auch ausgedrückt werden mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin} = \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)}

Die potentielle Energie ist allgemein

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{pot} = \int F_\mathrm{F} \, \mathrm d s} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \parallel s}

Da die Federkraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{F} = D \cdot y} ist, gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{pot} = D \cdot \int y \, \mathrm d y}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{pot} = \frac{D}{2} y^2}

Die gesamte Federenergie E_F setzt sich aus der potentiellen und der kinetischen Energie zusammen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{F} = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{F} = \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \sin^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0) + \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)}

Aufgrund des „trigonometrischen Pythagoras“ gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^2 x + \cos^2 x = 1} , die Gesamtenergie vereinfacht sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline {E_{\mathrm F} = {D \over 2} \cdot {\hat y}^2}}}

Massebehaftete Feder

Die Bewegungsgleichungen für ideale Federschwinger gelten nur für masselose Federn. Wenn die elastische Feder als massebehaftet angenommen wird und die Masse homogen verteilt ist, ergibt sich die Periodendauer der Schwingung zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{m + \frac{1}{3} m_F}{D}}}

Die Parameter m und m_F entsprechen der Masse des Schwingers und der Masse der Feder.

Die Gesamtlänge der Feder sei l, s sei die Entfernung zwischen der Aufhängung des Federschwingers und einem beliebigen Punkt auf der Feder. Ein Abschnitt der Feder mit der Länge ds hat dann die Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d m_F = m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l}} . Die Geschwindigkeit des Federabschnitts ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_F = \dot y \frac{s}{l}} , denn sie steigt linear mit zunehmender Entfernung von der Aufhängung. Daraus folgt für die kinetische Energie eines Federabschnitts

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm d m_F \cdot v_F^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l} \cdot \dot y^2 \cdot \frac{\mathrm s^2}{l^2} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot s^2 \mathrm d s}

Die gesamte kinetische Energie der Feder erhält man durch Integrieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin,F} = \int \mathrm d E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot \int_0^l s^2 \mathrm d s}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{3}}

Die kinetische Energie eines Federschwingers unter Berücksichtigung der massebehafteten Feder ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot \dot y^2 \cdot \left(m + \frac{1}{3} m_F\right)}

Man erkennt, dass sich ein Drittel der Federmasse so verhält, als wäre sie ein Teil der Masse des Körpers. Daraus folgt die oben beschriebene Periodendauer für eine massebehaftete Feder.

Literatur

• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. Auflage 23, Springer, Berlin Heidelberg New York 2006, ISBN 3-540-02622-3.
• Istvan Szabo: Einführung in die technische Mechanik. Auflage 8, Springer, 2002, ISBN 3-540-44248-0.