Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential $\phi$ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall – der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung $\phi (x,y)={\text{const.}}$, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion $\psi$ ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung $\psi (x,y)={\text{const.}}$ die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld ${\vec {u}}(x,y)$ gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}(x,y)=0$

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential $\phi (x,y)$ ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

${\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)$

Wegen ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=0$ ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)=0$

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass $\phi (x,y)$ die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\Delta \phi (x,y)=0$

Die Stromfunktion

→ Hauptartikel: Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential $\phi (x,y)$ wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion $\psi (x,y)$ ein, die definiert ist durch:

${\vec {u}}=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)$

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\cdot \partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\cdot \partial x}}=0$

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

${\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0$

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential $\phi$ und Stromfunktion $\psi$ ergibt sich:

$u_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad \wedge \quad u_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil $\phi$ und Imaginärteil $\psi$. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential $w(z)$ ein:

$w(z)=\phi (z)+i\cdot \psi (z)\quad {\textrm {mit}}\quad z=x+i\cdot y$

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

$\Delta w(z)=\Delta \phi (z)+i\cdot \Delta \psi (z)=0$

Literatur

• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.