Stromlinie

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Im Windkanal an einem Modell des Schlörwagens sichtbar gemachte Stromlinien
Stromlinienverlauf um ein Auto
Stromlinienverlauf um ein Tragflügelprofil

Die Stromlinie ist ein Begriff aus der Strömungslehre. Stromlinien sind geometrische Hilfsmittel zur anschaulichen Beschreibung einer Strömung (einer gerichteten Bewegung von Teilchen oder sich kontinuierlich bewegender Fluide). In stationärer Strömung ist eine Stromlinie auch der Weg, den ein Fluidelement oder ein kleines im Fluid schwebendes Teilchen nimmt.[1]

Stromlinien sind die Kurven im Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, das heißt, sie verlaufen in jedem Punkt tangential an das Geschwindigkeitsfeld. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.

Alle Stromlinien eines Stroms bilden zusammen die Stromröhre.

Die Stromlinien sind zusammen mit Bahnlinien, Streichlinien und Zeitlinien Bestandteile des Visualisierungskonzeptes „Charakteristische Linien“.

Bei einer stationären Strömung stimmen die Stromlinien mit den Teilchenbahnen überein. Bei der instationären Strömung dagegen nicht, da die Stromlinien ein Bild der momentan vorhandenen Geschwindigkeitsrichtungen zeigen, die Teilchenbahnen hingegen die im Laufe der Zeit von einem Teilchen eingenommenen Geschwindigkeitsrichtungen darstellen.[2]

Stromlinien lassen sich bei stationären Strömungen experimentell im Windkanal, z. B. bei einer Autoumströmung, sichtbar machen. Meist sieht man im Windkanal allerdings Bahnlinien oder Streichlinien.

Eigenschaften

  • Stromlinien können keinen Knick haben und sich auch nicht schneiden, da in einem Punkt nicht zugleich zwei verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten herrschen können.
  • Eine Kontraktion (Zusammenrücken) der Stromlinien bedeutet im Unterschall eine Beschleunigung der Strömung, im Überschall jedoch eine Verzögerung.
  • Divergierende Stromlinien zeigen im Unterschall eine Verzögerung der Strömung, im Überschall jedoch eine Beschleunigung.
  • Bei gekrümmten Stromlinien nimmt der Druck in zentrifugaler Richtung zu.
  • Bei geradlinigen, parallelen Stromlinien gibt es keine Druckänderung quer zur Stromlinie.
  • Orthogonal zu Stromlinien verlaufen die Linien konstanten Potentials.

Berechnung

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{u}(\underline{x},t)=\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}} ein dreidimensionales Strömungsfeld.

Die Stromlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zum momentanen Geschwindigkeitsfeld verlaufen. Es gilt also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\underline{x}\times\underline{u}\equiv 0} bzw.

in parameterfreier Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dx}{u} = \frac{\mathrm dy}{v} = \frac{\mathrm dz}{w}}

Mathematische Herleitung der Stromlinien-Differentialgleichung

Die allgemeine parametrisierte Darstellung einer Stromlinie als Kurve entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{x}(\underline{x_0},s,t)} , hierbei ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\underline {x_{0}}}} ein beliebiger Startpunkt auf der Stromlinie, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} der Kurven- und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} der Schar-Parameter. Wird eine explizite Stromlinie zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtet, wird dieser eingesetzt und somit ist die Kurve vollständig durch den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} beschrieben.

Der Tangenten-Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\tau}} der Kurve entspricht gerade:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\tau}= \frac{\mathrm d\underline{x}}{|\mathrm d\underline{x} |} =\frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds} } .

Betrachtet man zudem die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{u}(\underline{x},t)} auf allen Punkten der Stromlinie zu dem gewählten Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {T}} , so erkennt man, dass der normierte Vektor der Geschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm \underline{u}}{ | \underline{u} |} = \underline{\tau}}

ist.

Setzt man nun diese beiden Ausdrücke für den Tangenten-Einheitsvektor gleich, folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\tau} = \frac{\underline{u}}{| \underline{u} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{ | \mathrm d\underline{x} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds } }

und somit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\underline{u}}{| \underline{u} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds} }

oder auch in Tensornotation:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {x_{i}}}{\mathrm {d} s}}={\frac {u_{i}}{|{\sqrt {u_{k}u_{k}}}|}}} .

Diese vektorielle Gleichung führt auf drei skalare Gleichungen:

  1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d x_1}{\mathrm ds} = \frac{u_1}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} }
  2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d x_2}{\mathrm ds} = \frac{u_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} }
  3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d x_3}{\mathrm ds} = \frac{u_3}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} }

Dividiert man nun die Gleichungen durch einander, so ergibt sich die Form:

(1)/(2): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dx_2} = \frac{u_1}{u_2} }

(2)/(3): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dx_3} = \frac{u_2}{u_3} }

(3)/(1): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dx_3}{\mathrm dx_1} = \frac{u_3}{u_1} }

Durch einfaches Umformen findet man somit die im Abschnitt Berechnung angegebene Form.

Bewegungsgleichung senkrecht zur Stromlinie

Zur Erzeugung einer gekrümmten Stromlinie in einer stationären Strömung, muss eine entsprechende Zentripetalkraft vorhanden sein. Diese kommt durch einen Druckgradienten senkrecht zur Stromlinie (d. h. in radialer Richtung) zustande. Der Betrag dieses radialen Druckgradienten ist von der Strömungsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} , der Dichte des Fluids und dem Krümmungsradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_K} der Stromlinie abhängig[3]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial r}= \frac{\rho \cdot c^2}{r_K}}

Der Druck senkrecht zu einer gekrümmten Stromlinie nimmt in radialer Richtung folglich zu.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. ↑ D. Andersen, S. Eberhardt: A Physical Description of Flight; Revisited. (pdf; 483 kB) www.allstar.fiu.edu, 2009, abgerufen am 29. Juli 2017 (englisch). (Ein Auszug aus dem Buch Understanding Flight)
  2. ↑ Prandtl-Führer durch die Strömungslehre, 10. Auflage S. 40
  3. ↑ tec-science: Bewegungsgleichung eines Fluids auf einer Stromlinie. In: tec-science. 22. April 2020, abgerufen am 7. Mai 2020 (deutsch).
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