Hubbard-Modell

Das Hubbard-Modell (nach dem britischen Physiker John Hubbard) ist ein grob genähertes Modell eines Festkörpers und ist daher in der Festkörperphysik von großer Bedeutung. Es beschreibt das Verhalten von Elektronen in einem als starr angenommenen Gitter. Dabei werden die abstoßenden Coulomb-Kräfte nur für diejenigen Elektronen berücksichtigt, die sich am gleichen Gitterplatz aufhalten. Der Anteil der kinetischen Energie der Elektronen wird durch ein Überlappungsintegral $t$ modelliert, das aus dem Tight-Binding-Modell kommt.

Das Hubbard-Modell ist das einfachste Modell, an dem man das Zusammenspiel von kinetischer Energie, Coulomb-Abstoßung, Pauli-Prinzip und Bandstruktur studieren kann. Trotz seiner einfachen Struktur ist es jedoch bisher nicht gelungen, die exakte Lösung dieses Modells, außer in den Grenzfällen von einer und unendlich vielen Dimensionen, zu finden.

Es wird diskutiert z. B. im Zusammenhang mit

• Eigenschaften von Elektronen, die relativ stark lokalisiert sind;
• Bandmagnetismus (Fe, Co, Ni, …);
• Metall-Isolator-Übergang;
• Hochtemperatur-Supraleitung.

Ein Variationsansatz zur Lösung des Hubbard-Modells ist als Gutzwiller-Näherung bekannt.

Formulierung

Der Hamilton-Operator für das Hubbard-Modell ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H = U \sum_i c^\dagger_{i\uparrow} c_{i\uparrow} c^\dagger_{i\downarrow} c_{i\downarrow} - t \sum_{\langle ij \rangle , \sigma} \left( c^\dagger_{i \sigma} c_{j \sigma} + c^\dagger_{j \sigma} c_{i \sigma} \right)}

Dabei steht

• die Summe über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i } für die Summation über alle Gitterplätze,
• die Summe über $\langle ij\rangle$ für die Summe über alle Paare benachbarter Gitterplätze,
• die Summe über $\sigma$ für die Summation über beide Spinrichtungen $\uparrow$ und $\downarrow$,
• $c_{i,\sigma }^{\dagger }$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle c_{i,\sigma }} für die fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eines Elektrons am Gitterplatz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i } mit Spinrichtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma } .
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U } legt die Stärke der Coulomb-Abstoßung fest
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } wird aus dem Überlappen von Wellenfunktionen an benachbarten Gitterplätzen berechnet.

Die Summe des Coulomb-Terms ermittelt die doppelt besetzten Gitterplätze. Daher lässt sich der Wert von $U$ am jeweiligen Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{x_i}} durch folgendes Integral ermitteln:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U(\mathbf {x_{i}} )=\int d^{3}\mathbf {r_{1}} \int d^{3}\mathbf {r_{2}} \,\,\left|\Psi (\mathbf {r_{1}-x_{i}} )\right|^{2}{\frac {e^{2}}{\left|\mathbf {r_{1}-r_{2}} \right|}}\left|\Psi (\mathbf {r_{2}-x_{i}} )\right|^{2}}

In der Summe für das Hüpfen der Elektronen bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle ij \rangle } , dass ausschließlich über benachbarte Gitterplätze summiert wird. Außerdem wird durch die Operatorenkonstellation automatisch das Pauli-Prinzip beachtet.