Ikosaederstumpf
Der Ikosaederstumpf (auch Fußballkörper genannt) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Körpern zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige Fünfecke; die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmäßigen Sechsecken. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.
Beim regelmäßigen Ikosaederstumpf, also dem Fußballkörper, sind alle 90 Kanten gleich lang.
Der zum Ikosaederstumpf duale Körper ist das Pentakisdodekaeder.
Das mit Abstand am besten untersuchte Fullerenmolekül C60 besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes.
Formeln
| Größen eines regelmäßigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} | |
|---|---|
| Volumen | Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V={\frac {a^{3}}{4}}\left(125+43{\sqrt {5}}\right)} |
| Oberflächeninhalt | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\text{O} = 3 a^2 \left(10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \right)} |
| Umkugelradius | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_u = \frac{a}{4} \sqrt{58 + 18 \sqrt{5}}} |
| 1. Inkugelradius (Pentagon) |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,5} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{125 + 41 \sqrt{5}}{10}}} |
| 2. Inkugelradius (Hexagon) |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,6} = \frac{a}{4} \sqrt{3} \left(3 + \sqrt{5} \right)} |
| Kantenkugelradius | |
| 1. Flächenwinkel (Hexagon–Hexagon) ≈ 138° 11′ 23″ |
|
| 2. Flächenwinkel (Hexagon–Pentagon) ≈ 142° 37′ 21″ |
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \beta _{2}=90^{\circ }+\arctan \left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }} |
| Eckenraumwinkel ≈ 1,3524 π |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega = \pi+ 2\arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\approx 4{,}24874\;\mathrm{sr} } |
| Sphärizität ≈ 0,96662 |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi = \frac{\sqrt [3] {180\,\pi \left(2487 + 1075 \sqrt{5}\right)}} {6 \left(10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}\right)} } |
Herleitung der Formeln
Der Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0} die Länge der Kante des Ikosaeders und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0=3a}
Winkel
Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi,\psi} wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \tan \psi ={\frac {c-a}{c}}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\to \psi \approx 20{,}9^{\circ }}
und damit gilt: Der
- Winkel zwischen zwei Sechsecken ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \beta_1=180^\circ-2\psi=180^\circ-2\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad\approx 138{,}19^\circ}
Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} wichtig. Es gilt (siehe Bild)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tan\varphi=\frac{a_0}{c}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \ \to \varphi\approx 31{,}72^\circ}
Der
- Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_2=90^\circ+\psi+\varphi}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =90^\circ +\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) +\arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =90^\circ+\arctan\left(\frac{3+\sqrt{5}}{4}\right)\quad } (siehe Formelsammlung)
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \ \approx 142{,}62^{\circ }}
Für den Raumwinkel folgt aus der Ebenen-Formel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega=\beta_1 + 2\beta_2 - \pi = \pi - 2\psi + 2 \left(\frac \pi 2 + \psi + \varphi\right) - \pi = \pi + 2\varphi}
- Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega=\pi+ 2\arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\approx 4{,}24874\;\mathrm{sr} . }
Kugelradien
Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0=3a} erhält man
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ r_k=\frac{c}{2}=\frac{3a}{4} (1+\sqrt{5})\approx 2{,}427\; a} .
Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_u^2 = \left(\frac c 2\right)^2 + \left(\frac a 2\right)^2 = \left(\frac{3a}{4}(1+\sqrt{5})\right)^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{16}(58+18\sqrt{5})}
Also ist der
- Umkugelradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ r_u=\frac a 4 \sqrt{58+18\sqrt{5}}\approx 2{,}478\; a}
Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,6}=\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{12}\;a_0 }
Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0=3a} ergibt sich für den
- Inkugelradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ r_{i,6}=\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{4}\;a \approx 2{,}2673\;a }
Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\frac{ a}{2},\frac c 2)} mit der Steigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\tan \varphi} vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = m \left(y + \frac{a}{2}\right) + \frac c 2\ \to my-z + m\frac{a}{2} + \frac c 2 = 0}
Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\ c=\frac{3a(\sqrt{5}+1)}{2}} ergibt sich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \to (\sqrt{5}-1)y-2z + a(2\sqrt{5}+1)=0 .}
Mit der Hessesche Normalform folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,5}^2=\frac{a^2(2\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5}-1)^2+4}= \frac{a^2}{40}(125+41\sqrt{5})}
Also ist der
- Inkugelradius für Fünfecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ r_{i,5}=\frac{a}{2\sqrt{10}}\sqrt{125+41\sqrt{5}}\approx 2{,}3274\;a} .
Oberfläche, Volumen
Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_6} eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_5} eines regelmäßigen Fünfecks. Mit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_6= \frac{3\sqrt 3}{2} \cdot a^2,\ \ A_5 = \frac{1}{4} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}\cdot a^2}
ist die
- Oberfläche des Ikosaederstumpfs
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_O=20\cdot A_6+12\cdot A_5=3\left(10\sqrt{3}+\sqrt{25+ 10\sqrt{5}}\right)\cdot a^2 }
Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,5}} als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{i,6}} als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=12\cdot \frac 1 3 A_5r_{i,5} + 20 \cdot \frac 1 3 A_6r_{i,6}}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{1}{ 2\sqrt{2}}\sqrt{(5+2\sqrt{5})(125+41\sqrt{5})}a^3+\frac{15}{2}(3+\sqrt{5})a^3}
Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ (5+2\sqrt{5})(125+41\sqrt{5})= \frac 1 2 (35+13\sqrt{5})^2\ } ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=\frac 1 4 (35+13\sqrt{5})a^3 +\frac{15}{2}(3+\sqrt{5})a^3 } und damit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V= \frac{1}{4} \left(125 + 43 \sqrt{5}\right)a^3\approx 55{,}28773\;a^3 }
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Ikosaederstumpf. In: MathWorld (englisch).
