Invariant Random Subgroup (IRS) ist ein Begriff aus der Mathematik.
Definition
Sei eine topologische Gruppe, der Raum der abgeschlossenen Untergruppen mit der Chabauty-Topologie. Eine invariant random subgroup ist ein Borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf , dass unter der Konjugationswirkung von auf invariant ist.
Der Raum aller solchen Maße mit der schwachen Topologie wird mit bezeichnet.
Beispiele
- Wenn ein Normalteiler ist, ist das Dirac-Maß eine IRS.
- Wenn ein Gitter ist, erhält man mittels der Abbildung durch Push-Forward des auf auf Volumen normierten Haar-Maßes eine IRS auf , die mit bezeichnet wird.
Zusammenhang mit Benjamini-Schramm-Konvergenz
Sei eine zusammenhängende, halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und mit trivialem Zentrum, sei eine maximal kompakte Untergruppe und der symmetrische Raum.
Dann sind für eine Folge von Gittern äquivalent:
- Die Folge BS-konvergiert gegen .
- Die Folge konvergiert in gegen das Dirac-Maß auf der trivialen Untergruppe .
IRS in Lie-Gruppen
Sei eine nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum und . Dann folgt aus dem Satz von Nevo-Stuck-Zimmer, dass alle IRS entweder für ein Gitter oder oder sind.
Dagegen gibt es für nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppen mit trivialem Zentrum und zahlreiche „exotische“ IRS.
Literatur
- Clara Löh: Ergodic Theoretic Methods in Group Homology. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer, 2020
- Abert, Bergeron, Biringer, Gelander, Nikolov, Raimbault, Samet: On the growth of L2-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. Math. (2) 185, No. 3, 711–790 (2017).