Kontaktgeometrie

Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind.

Ihren Ursprung hat die Kontaktgeometrie unter anderem in der geometrischen Optik und der Thermodynamik. Der norwegische Mathematiker Sophus Lie hat Ende des 19. Jahrhunderts ausführlich sogenannte Berührungstransformationen beschrieben, unter anderem, um Differentialgleichungen und Methoden wie die Legendre-Transformation und die kanonische Transformation der klassischen Mechanik zu studieren. Berührungstransformationen waren für das Gebiet namensgebend; in heutiger Sprache sind sie Abbildungen, welche Kontaktstrukturen erhalten, und heißen Kontaktomorphismen.

Heute werden Kontaktstrukturen wegen ihrer vielfältigen topologischen Eigenschaften und ihrer zahlreichen Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik und Physik studiert, wie der symplektischen und der komplexen Geometrie, der Theorie der Blätterungen von Kodimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} , dynamischen Systemen und der Knotentheorie. Besonders eng ist die Beziehung zur symplektischen Geometrie, denn in vielerlei Hinsicht sind Kontaktstrukturen, die in ungeraden Dimensionen existieren, Gegenstücke zu den symplektischen Strukturen in gerader Dimension.

Ein Ebenenfeld auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} , das eine Kontaktstruktur ist

Geometrische Idee

Ein Ebenenfeld auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} , das von einer Blätterung stammt

Die nebenstehenden Bilder stellen Ausschnitte aus Ebenenverteilungen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} dar, das heißt, dass pro Punkt im dreidimensionalen Raum eine Ebene ausgewählt ist, von der jeweils ein kleines Stück gezeichnet wurde. Im unteren Bild passen die ausgewählten Ebenen so zusammen, dass sie überall als Tangentialebenen an eine Blätterung interpretiert werden können; solche Verteilungen heißen integrierbar. Im oberen Bild hingegen ist dies nicht der Fall, und das sogar in keinem einzigen Punkt. Eine Ebenenverteilung mit dieser Eigenschaft heißt vollständig nicht-integrierbar oder maximal nicht-integrabel und definiert eine Kontaktstruktur.

Tatsächlich sieht jede Kontaktstruktur im Kleinen ungefähr wie die im Bild dargestellte aus; dies ist die Aussage des weiter unten dargestellten Satzes von Darboux. Die Kontaktgeometrie stellt sich deshalb die Frage, wie Kontaktstrukturen auf verschiedenen Mannigfaltigkeiten im Großen aussehen können und welche Eigenschaften sie haben.

Definitionen

Eine Kontaktstruktur auf einer Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist durch ein Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} von Hyperebenen gegeben, also für jeden Punkt $p$ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} die Angabe einer Hyperebene im Tangentialraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_pM} , wobei dieses Feld vollständig nicht-integrierbar sein muss. Der Satz von Frobenius besagt, wann eine Ebenenverteilung wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} integrierbar ist; eine Kontaktstruktur ist also eine Ebenenverteilung, die in keinem Punkt die Bedingungen dieses Satzes erfüllt.

Oft ist es praktischer, nicht direkt mit Kontaktstrukturen, sondern mit Kontaktformen zu arbeiten. Eine Kontaktform ist eine differenzierbare 1-Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} auf einer (2n+1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , die in folgendem Sinne nirgendwo degeneriert ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\alpha \wedge (\text{d}\alpha)^n)_p \ne 0\,} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in M,}

wobei

$({\text{d}}\alpha )^{n}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \dots \wedge {\text{d}}\alpha } _{n},$

das heißt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\wedge (\text{d}\alpha)^n} eine Volumenform ist.

Eine Kontaktform definiert eindeutig eine Kontaktstruktur. Der Kern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} ist ein Hyperebenenfeld und die obige Bedingung bewirkt nach dem Satz von Frobenius, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} eine Kontaktstruktur ist: Dieses Feld ist vollständig nicht-integrierbar.

Umgekehrt, ebenfalls nach dem Satz von Frobenius, lässt sich ein integrierbares Ebenenfeld lokal als Kern einer geschlossenen (eine Differentialform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} heißt geschlossen, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{d}\alpha=0} ) 1-Form beschreiben; hingegen ist eine Kontaktstruktur ein Ebenenfeld, das sich lokal als der Kern einer Kontaktform beschreiben lässt.

Äquivalent zur Bedingung von oben kann man die Nicht-Degeneriertheit von $\alpha$ dadurch fordern, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{d}\alpha} eine symplektische Form auf dem Hyperebenenfeld sein soll.

Namenskonventionen

Eine Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} mit Kontaktstruktur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} heißt Kontaktmannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\xi)} . Die Bezeichnungen Kontaktstruktur und Kontaktmannigfaltigkeit scheinen erstmals in der Formulierung des Boothby-Wang verwendet worden zu sein.

Ein Diffeomorphismus zwischen Kontaktmannigfaltigkeiten, der verträglich mit den jeweiligen Strukturen ist, nennt man einen Kontaktomorphismus, ursprünglich bei Lie Berührungstransformation. Die beiden Kontaktmannigfaltigkeiten heißen dann kontaktomorph.

Beispiele

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Eine Kontaktstruktur auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} : das Ebenenfeld

Dimension 1

In Dimension 1 stimmen die Kontaktformen genau mit den Volumenformen überein, die Kontaktstrukturen sind dementsprechend trivial.

Dimension 3

Als Grundbeispiel einer Kontaktstruktur gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} , ausgestattet mit den Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x, y, z)} und der 1-Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{d}z - y\text{d}x.}

Die Kontaktebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} in einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x, y, z)} wird durch die Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1 = \partial y}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_2 = \partial x + y \partial z}

aufgespannt. Diese Kontaktstruktur ist ganz oben im Artikel abgebildet.

Im Bild rechts ist die Kontaktstruktur

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{d}z - r^2\text{d}\theta}

dargestellt, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \theta, z)} zylindrische Koordinaten für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} sind.

Dimension 2n + 1

Das Grundbeispiel auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} lässt sich zur Standardkontaktform auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{2n+1}} verallgemeinern: Auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{2n+1}} , ausgestattet mit den Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y,z)=(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n,z)} , definieren die beiden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} -Formen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = {\rm d}z - \sum_{j=1}^n y_j\, {\rm d}x_j}

und

$\alpha ={\rm {d}}z+\sum _{j=1}^{n}(x_{j}\,{\rm {d}}y_{j}-y_{j}\,{\rm {d}}x_{j})$

zwei zueinander kontaktomorphe Kontaktstrukturen.

Reeb-Vektorfelder

Eine Kontaktform enthält mehr Informationen als eine Kontaktstruktur, unter anderem definiert sie zusätzlich ein Reeb-Vektorfeld. Dieses Vektorfeld ist pro Punkt durch den eindeutigen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} definiert, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\rm d}\alpha(R,\cdot)=\,0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha(R)=1} .

Die Weinstein-Vermutung besagt, dass jedes Reeb-Vektorfeld geschlossene Orbiten hat.

Kontaktgeometrie und symplektische Geometrie

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W,\omega)} eine symplektische Mannigfaltigkeit mit konvexem Rand, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega=d\lambda} in einer Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial W} . Dann definiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} eine Kontaktstruktur auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial W} . Man sagt, die Kontakt-Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\partial W,\lambda)} ist symplektisch füllbar (engl.: symplectically fillable).

Ein Liouville-Gebiet ist eine symplektische Füllung, bei der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega=d\lambda} auf ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} definiert ist.

Eine schwache symplektische Füllung einer Kontaktmannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\xi=\ker(\lambda))} ist eine symplektische Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W,\omega)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=\partial W} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_\xi:=\omega\mid_\xi} konform äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\lambda\mid_\xi} . In Dimensionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ge 5} ist jede schwach füllbare Kontaktstruktur auch symplektisch füllbar, weshalb man in diesen Dimensionen einen schwächeren Begriff von schwacher Füllbarkeit betrachtet: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W,\omega)} ist eine schwache Füllung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\lambda)} wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda\wedge(w_\xi+td\lambda)^{n-1} >0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\ge 0} ist.

Legendre-Untermannigfaltigkeiten

Die interessantesten Untermannigfaltigkeiten einer Kontaktmannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\xi)} sind ihre Legendre-Untermannigfaltigkeiten. Die Nicht-Integrabilität des Kontakt-Hyperebenenfeldes auf einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2n+1)} -dimensionalen Mannigfaltigkeit bedeutet, dass keine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2n} -dimensionale Untermannigfaltigkeit dieses Feld als Tangentialbündel besitzt, nicht einmal lokal. Allerdings lassen sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionale (eingebettete oder immersierte) Untermannigfaltigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} finden, deren Tangentialräume im Kontaktfeld liegen, d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{T}_p L \subset \xi} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in M} .

Man kann zeigen, dass solche, sogenannt isotrope, Untermannigfaltigkeiten höchstens Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} erreichen. Eine Untermannigfaltigkeit dieser maximalen Dimension wird Legendre-Untermannigfaltigkeit genannt. Zwei solcher Untermannigfaltigkeiten heißen äquivalent, wenn sie sich durch eine Familie von Kontaktomorphismen der umgebenden Mannigfaltigkeit verbinden lassen, ausgehend von der Identität.

Betrachtet man Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension drei, dann bilden die zusammenhängenden kompakten Legendre-Mannigfaltigkeiten Knoten, die man Legendre-Knoten nennt. Jeder Knoten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} mit seiner Standard-Kontaktstruktur (siehe das Beispiel oben) lässt sich als Legendre-Knoten realisieren. Manchmal kann dies auf verschiedene Arten geschehen: Inäquivalente Legendre-Knoten können als gewöhnliche Knoten äquivalent sein.

Aus der symplektischen Feldtheorie lassen sich Invarianten von Legendre-Untermannigfaltigkeiten gewinnen, relative Kontakthomologie genannt, die manchmal verschiedene Legendre-Untermannigfaltigkeiten unterscheiden können, welche topologisch identisch sind.

Der Satz von Darboux

→ Hauptartikel: Satz von Darboux

Der Satz von Darboux ist ein grundlegendes Resultat der Kontaktgeometrie wie auch der noch bekannteren symplektischen Geometrie. Er ist nach Jean Gaston Darboux benannt, der damit das Pfaffsche Problem (nach Johann Friedrich Pfaff) löste. Eine der Konsequenzen des Satzes ist, dass zwei beliebige Kontaktmannigfaltigkeiten derselben Dimension immer lokal kontaktomorph sind. Es gibt also für jeden Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} enthält, und lokale Koordinaten auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , in denen die Kontaktstruktur die oben angegebene Standardform hat.

Im Vergleich zur Riemannschen Geometrie ist dies ein starker Kontrast: Riemannsche Mannigfaltigkeiten haben interessante lokale Eigenschaften wie etwa die Krümmung. Im Gegensatz dazu gibt es im Kleinen nur ein einziges Modell von Kontaktmannigfaltigkeiten. Zum Beispiel sind die beiden beschriebenen und abgebildeten Kontaktstrukturen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} lokal kontaktomorph und können deshalb (cum grano salis) beide Standardkontaktstruktur auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} genannt werden.

3-dimensionale Kontaktgeometrie

"Tight" vs. "overtwisted"

In der 3-dimensionalen Kontaktgeometrie gibt es die Dichotomie zwischen straffen (engl.: tight) und überdrehten (engl.: overtwisted) Kontaktstrukturen. Eine Kontaktstruktur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\xi)} heißt überdreht, wenn es eine "überdrehte" Kreisscheibe gibt (d. h. deren induzierte Blätterung eine Singularität im Inneren und ansonsten von der Singularität in den Rand der Kreisscheibe laufende Orbits hat). Die Kontaktstruktur heißt straff, falls es keine überdrehte Kreisscheibe gibt.

Wenn eine Kontaktstruktur (schwach) symplektisch füllbar ist, dann ist sie straff. Die Inklusionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{\mathrm{symplektisch\ f\ddot ullbar}\right\}\subset \left\{\mathrm{schwach\ symplektisch\ f\ddot ullbar}\right\}\subset \left\{\text{straff}\right\}}

sind in Dimension 3 echte Inklusionen. Neben überdrehten Kreisscheiben ist das Nichtverschwinden der Giroux-Torsion ein weiteres Hindernis für symplektische Füllbarkeit. Die Giroux-Torsion ist definiert als das maximale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , für das eine Einbettung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T^2\times I,\ker(\cos(2\pi nt)dx+\sin(2\pi nt)dy))} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,\xi)} existiert.

Für überdrehte Kontaktstrukturen gilt ein h-Prinzip, ihre Klassifikation bis auf Homotopie ist äquivalent zur Klassifikation der Ebenenfelder bis auf Homotopie.

Offene Bücher

Satz von Giroux: Auf orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Kontaktstrukturen bis auf Isotopie und der Menge der Offenen Bücher bis auf positive Stabilisierung.

Literatur

Einführende Texte zur Kontaktgeometrie

• Emmanuel Giroux: Topologie de contact en dimension 3. In: Séminaire Bourbaki. Nr. 760 (1992/93), S. 7–33 (numdam.org). 
• John Etnyre: Introductory lectures on contact geometry. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Nr. 71, 2003, S. 81–107, arxiv:math.SG/0111118 (englisch). 
• Hansjörg Geiges: Contact geometry. In: Franki Dillen and Leopold Verstraelen (Hrsg.): Handbook of Differential Geometry. Band 2. North-Holland, Amsterdam 2006, S. 315–382, arxiv:math.SG/0307242. 
• Hansjörg Geiges Christiaan Huygens and Contact Geometry, Uni Köln, Juni 2005, PDF (abgerufen am 8. April 2014)

Geschichte

• Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. Chelsea Publishing, Bronx NY 1977, ISBN 0-8284-0291-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – Erstausgabe: Teubner, Leipzig 1896). 
• Robert Lutz: Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie de contact. In: Gruppo Nazionale di Geometria delle Varietà Differenziabili (Hrsg.): Proceedings of the conference on differential geometry and topology. (Cala Gonone/Sardinia). 1988, 09. 26–30 (= Rendiconti del Seminario della Facoltà di Scienze della Università di Cagliari. 58, Suppl., ISSN 0370-727X) Tecnoprint, Bologna, 1988, S. 361–393.
• Hansjörg Geiges: A brief history of contact geometry and topology. In: Expositiones Mathematicae. Nr. 19, 2001, ISSN 0723-0869, S. 25–53 (englisch). 

Weblinks

• Manifold Atlas: Contact Manifold