L2-Homologie

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In der Mathematik ist -Homologie eine Homologietheorie für CW-Komplexe (insbesondere Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten) mit freien Gruppenwirkungen.

Mit ihrer Hilfe werden -Invarianten wie L2-Betti-Zahlen und Novikov-Shubin-Invarianten von Simplizialkomplexen und glatten Mannigfaltigkeiten definiert.

Definition

Sei eine Gruppe und ein CW-Komplex von endlichem Typ mit einer freien, zellulären Wirkung der Gruppe .

Sei der zelluläre Kettenkomplex mit der Wirkung von und sei der Hilbert-Modul, den man als Vervollständigung des Gruppenrings bezüglich des Skalarprodukts erhält. Wir definieren den -Kettenkomplex als

[1]

Der Rand-Operator induziert einen Rand-Operator

Die -Homologie ist dann definiert als

.

Sie ist ein Hilbert--Modul.

L2-Betti-Zahlen

Die -te -Betti-Zahl ist durch

definiert.[2] Hierbei bezeichnet die von-Neumann-Dimension des Hilbert--Moduls .[3]

Literatur

  • W. Lück: L2-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
  • H. Kammeyer: Introduction to l2-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
  • C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L2-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).

Einzelnachweise

  1. Lück: Definition 1.29 (dort über )
  2. Lück: Def. 1.16 + 1.29
  3. Lück: Def. 1.10