Mermin-Wagner-Theorem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Das Mermin-Wagner-Theorem oder Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem ist ein Theorem der theoretischen, speziell der statistischen Physik, das sehr allgemein besagt, dass es in ein- und zweidimensionalen Systemen bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts für Systeme mit kontinuierlicher Symmetrie und genügend kurzreichweitigen Wechselwirkungen[Fußnote 1] keine spontane Symmetriebrechung geben kann. Es ist benannt nach N. David Mermin und Herbert Wagner, die das Theorem basierend auf der Bogoliubov-Ungleichung im Kontext des Goldstonetheorems[1], für Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus[2], und für niedrigdimensionale Kristalle[3] ableiteten. Pierre Hohenberg hat nahezu zeitgleich[Fußnote 2] die gleichen Überlegungen zu Quantensystemen angestellt und gezeigt, dass es keine Suprafluidität und Supraleitung in ein und zwei Dimensionen geben sollte.[4] Für die Quantenfeldtheorie wurde ein entsprechender Satz von Sidney Coleman bewiesen (Nicht-Existenz von Goldstonebosonen in zwei Dimensionen).[5] Das Fehlen eines Symmetriebruches wird oft synonym verwendet, dass es keine Ordnung im System geben darf, z. B. keinen Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus oder keine Kristalle. Exakt muss es lauten, dass es keine (perfekt) langreichweitige Ordnung geben kann, quasi-langreichweitige Ordnung ist nicht ausgeschlossen. Anwendungsgebiet sind u. a. das XY-Modell (n-Vektor-Modell mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2} -dimensionaler Spinvariable) und das Heisenberg-Modell (-dimensionale Spinvariable), das Mermin und Wagner ursprünglich in zwei Dimensionen betrachteten. Auch wenn das Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem einen klassischen Phasenübergang beim XY-Modell in zwei Dimensionen verhindert, können allgemein Phasenübergänge anderer Art auftreten (Kosterlitz-Thouless-Übergang). Dagegen liegt im Isingmodell (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} -dimensionale Spinvariable) keine kontinuierliche Symmetrie vor (die Spinvariable nimmt die zwei diskreten Werte ±1 an), so dass der Satz nicht anwendbar ist.

Vorgeschichte

Felix Bloch hatte schon 1930 bei der Diagonalisierung der Slater-Determinante für Fermionen darauf hingewiesen, dass es Magnetismus in 2D nicht geben sollte.[6] Einige anschauliche Argumente, die unten aufgeführt sind, hat Rudolf Peierls geliefert,[7] auch Lew Landau hat zum Symmetriebruch in 2D gearbeitet.[8]

Energetisches Argument

Die Skizze zeigt eine Kette der Länge L von magnetischen Momenten, die in einer Ebene drehbar sind, in der niedrigsten angeregten Mode. Der Winkel zwischen benachbarten Momenten ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma}

Ein Grund für fehlende langreichweitige Ordnung ist, dass mit sehr wenig Energieaufwand langreichweitige Fluktuationen (in den Feldtheorien oft masselose Goldstone-Moden genannt) angeregt werden, welche die perfekte Periodizität zerstören. Betrachtet man als ein magnetisches Model (wie etwa das XY-Model in einer Dimension) eine Kette der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} von magnetischen Momenten in harmonischer Näherung, d. h. die Rückstellkräfte bei Auslenkung eines Momentes sind proportional zum Auslenkungswinkel , dann folgt, dass die Energien quadratisch in den Auslenkungswinkeln sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i \propto \gamma_i^2} . Die Gesamtenergie der Kette ist somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ges} \propto \sum_i \gamma_i^2} . Betrachtet man die niedrigste angeregte Mode in einer Dimension (siehe Skizze), dann verdrehen sich die Momente auf der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} entlang der Kette gerade um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\pi} . Sind insgesamt magnetische Momente auf der Kette, dann ist der relative Winkel zwischen allen Momenten gleich und lautet . Die Gesamtenergie für die niedrigste Mode ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ges} \propto N \cdot \gamma_i^2 = N \frac{4\pi^2}{N^2}\propto L \frac{4\pi^2}{L^2}} . Im thermodynamischen Limes, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L \to \infty} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N \to \infty} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L/N = const.} verschwindet die Energie dieser Mode mit der Systemgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \propto 1/L } . Für beliebig große Systeme kosten die langwelligen Moden keine Energie und werden folglich thermisch angeregt sein. Derart ist die langreichweitige Ordnung auf der Kette zerstört. In zwei Dimensionen bzw. auf einer Fläche ist die Anzahl der mag. Momente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N \propto L^2} , die Energie für die langwelligste Mode ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ges} \propto N^2 \cdot \gamma_i^2 = \propto L^2 \frac{4\pi^2}{L^2}} . Im thermodynamischen Limes ist die Energie dafür konstant und die Moden werden bei hinreichend hoher Temperatur angeregt sein. In drei Dimensionen, bzw. im Volumen ist die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ges} \propto N^3 \cdot \gamma_i^2 = \propto L^3 \frac{4\pi^2}{L^2}} . Für beliebig große Systeme divergiert die Energie für die langwelligste Mode und wird folglich unterdrückt sein. Die langreichweitige Ordnung wird in 3D nicht gestört.

Entropisches Argument

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:
In einer Dimension gibt es nur einen Pfad zwischen benachbarten Teilchen, in zwei Dimensionen gibt es zwei Pfade und in drei Dimensionen gibt es sechs Pfade

Ein entropisches Argument gegen perfekte langreichweitige Ordnung in Kristallen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D < 3} geht wie folgt (siehe Skizze): Betrachtet man eine Kette von Atomen/Teilchen mit dem mittleren Teilchenabstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <a> } , dann werden thermische Fluktuationen z. B. zwischen Teilchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 } und Teichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 } dafür sorgen, dass der Abstand um eine Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi_{0,1} } fluktuiert: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = <a> \pm \xi_{0,1}} . Genau so groß wird die Amplitude der Abstandsfluktuationen zwischen Teilchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1 } und sein: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\xi_{-1,0}| = |\xi_{0,1}|} . Sind die beiden Abstandsfluktuationen statistisch unabhängig, wie es für thermische Fluktuationen der Fall ist, dann addieren sich die Abstandsfluktuationen zwischen den zwei Teilchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1 } und Teilchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +1 } (d. h. beim doppelten mittleren Abstand) auch statistisch unabhängig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi_{-1,1} = \sqrt{2}\cdot \xi_{0,1}} . Für zwei Teilchen im N-fachen mittleren Abstand folgt bei statistisch unabhängiger Addition der Fluktuationen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi_{0,N} = \sqrt{N} \cdot \xi_{0,1}} . Obwohl der mittlere Abstand gut definiert ist, wachsen die Abweichungen von einer perfekt periodischen Kette mit der Wurzel der Systemgröße. In drei Dimensionen muss man, um das gesamte Volumen abzustreichen, in mindestens drei verschiedene Raumrichtungen laufen; in einem kubischen Kristall wäre das in der Summe entlang der Raumdiagonalen eines Würfels, von Teilchen zu Teilchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 } . Wie in der Skizze nachzuzählen ist, gibt es dafür insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten. Die Fluktuationen der Länge der sechs Pfade können jetzt nicht statistisch unabhängig sein, da sie zwischen denselben Teilchen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 } herrschen. Sie können sich nur kohärent addieren und bleiben auf der Raumdiagonalen des Würfels von der Größenordnung . In zwei Dimensionen haben Herbert Wagner und David Mermin gezeigt, dass die Abstandsfluktuationen logarithmisch mit der Systemgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L } anwachsen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \propto ln (L) } .

Beispiel in einer kolloidalen Monolage

Datei:Colloidal monolayer long wavelength fluctuations.svg
Zweidimensionaler Kristall mit thermischen Fluktuationen der Teilchen. Die roten Linien symbolisieren Kristallachsen und die grünen Pfeile die Auslenkung aus der jeweiligen Gleichgewichtslage.

Das Foto zeigt einen (quasi-)zweidimensionalen Kristall aus Kolloiden (kleine Partikel in wässriger Lösung, die an eine Grenzfläche sedimentiert sind und nur in der Ebene Brownsche Diffusion machen können). Die hexagonale kristalline Ordnung ist auf mittleren Skalen gut zu sehen, weil die Abweichungen vom perfekten Kristall nur logarithmisch, also recht langsam anwachsen. Gut sind aber auch die Fluktuationen zu sehen, als Abweichung der Positionen von den hier rot eingezeichneten Gitterlinien. Diese Fluktuationen sind im Wesentlichen die Gitterschwingungen des Kristalls (akustische Phononen). Ein direkter experimenteller Nachweis der Mermin-Wagner-Hohenberg-Fluktuationen wäre, wenn die Abweichungen (grüne Pfeile in der Vergrößerung) logarithmisch mit dem Abstand von einem lokal angepassten Koordinatensystem (blau) anwachsen. Diese sogenannte logarithmische Divergenz geht einher mit einem algebraischen (langsamen) Zerfall von (Orts-)Korrelationsfunktionen. Die Ordnung wird dann quasi-langreichweitig genannt (siehe auch Hexatische Phase).

Interessanterweise sind deutlichen Anzeichen von Mermin-Wagner-Fluktuationen in amorphen, ungeordneten Systemen gefunden worden[9][10][11] In diesen Arbeiten wurde nicht die Abweichung von Gitterpositionen, sondern die Größe des mittleren Verschiebungsquadrates der Teilchen als Funktion der Zeit untersucht. Die Fragestellung wurde gleichsam aus dem Ortsraum in die Zeitdomäne verlagert. Den theoretischen Hintergrund hat D. Cassi sowie F. Merkl und H. Wagner geliefert.[12][13] In diesen Arbeiten ist ein Zusammenhang zwischen der Rückkehrwahrscheinlichkeit bei Zufallswegen und der spontanen Symmetriebrechung in verschiedenen Dimensionen aufgezeigt worden. Die nichtverschwindende Rückkehrwahrscheinlichkeit eines Zufallspfades bzw. Random Walk in ein und zwei Dimensionen ist dual zum Fehlen der langreichweitigen Ordnung in ein und zwei Dimensionen, während die verschwindende Rückkehrwahrscheinlichkeit dual zur Existenz von langreichweitiger Ordnung in 3D ist.

Limitierung

Bei realen Magneten liegt häufig keine kontinuierliche Symmetrie vor, da schon bei vorhandener LS-Kopplung das System anisotrop wird. Bei atomaren Systemen wie Graphen lässt sich zeigen, dass Monolagen kosmologischer Größe nötig sind, um hinreichend große Amplituden der langwelligen Fluktuationen messen zu können.[14] Eine weitere Diskussionen des Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorems und seiner Limitierungen hat Bertrand Halperin zusammengefasst.[15]

Anmerkung

Der Widerspruch zwischen dem Mermin-Wagner-Theorem (das langreichweitige Ordnung in Kristallen verbietet) und den ersten Computersimulationen (Alder&Wainwright), die Kristallisation in 2D andeuteten, hatte Michael Kosterlitz und David Thouless motiviert, ihre Arbeiten zu topologischen Phasenübergänge in 2D zu entwickeln (KTHNY-Theorie), für die sie 2016 den Nobelpreis für Physik verliehen bekamen.

Fußnoten

  1. ↑ In der Originalarbeit von Mermin und Wagner Wechselwirkungen endlicher Reichweite entsprechend realistischen kurzreichweitigen Wechselwirkungen. Bedingung ist, dass die Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten oder den Teilchen integrierbar ist, d. h. schneller als 1/r abfallen. Für das 1/r Potential in 2D sind die übernächsten und überübernächsten Nachbarkorrelationen hinreichend stark, dass z. B. das entropische Argument nicht funktioniert.
  2. ↑ Der Artikel wurde nur zwei Tage später als die Arbeit über Magnetismus eingereicht, ist aber erst ein halbes Jahr später erschienen

Einzelnachweise

  1. ↑ H. Wagner: Long-Wavelength Excitations and the Goldstone Theorem in Many-Particle Systems with "Broken Symmetries". In: Zeitschrift für Physik. 195, 26. April 1966, S. 273–299. doi:10.1007/bf01325630.
  2. ↑ N. D. Mermin, H. Wagner: Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. In: Physical Review Letters. 17, Nr. 22, 28. November 1966, S. 1133. doi:10.1103/PhysRevLett.17.1133.
  3. ↑ N. D. Mermin: Crystalline Order in Two Dimensions. In: Physical Review. 176, 6. Juni 1968, S. 250–254. doi:10.1103/PhysRev.176.250.
  4. ↑ P.C. Hohenberg: Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions. In: Physical Review. 158, 24. Oktober 1966, S. 383–386. doi:10.1103/PhysRev.158.383.
  5. ↑ Coleman, There are no Goldstone bosons in two dimensions, Commun. Math. Phys., Band 31, 1973, S. 259
  6. ↑ F Bloch: Zur Theorie des Ferromagnetismus. In: Zeitschrift für Physik. 61, 1. Februar 1930, S. 206–219. doi:10.1007/bf01339661.
  7. ↑ R.E. Peierls: Bemerkungen über Umwandlungstemperaturen. In: Helv. Phys. Acta. 7, Dezember, S. 81. doi:10.5169/seals-110415.
  8. ↑ L.D. Landau: Theory of phase transformations II. In: Phys. Z. Sowj.. 11, Dezember, S. 545.
  9. ↑ H. Shiba, Y. Yamada, T.Kawasaki, K. Kim: Unveiling Dimensionality Dependence of Glassy Dynamics: 2D Infinite Fluctuation Eclipses Inherent Structural Relaxation. In: Physical Review Letters. 117, Nr. 24, 2016, S. 245701. doi:10.1103/PhysRevLett.117.245701.
  10. ↑ S. Vivek, C.P. Kelleher, P.M. Chaikin, E.R. Weeks: Long-wavelength fluctuations and the glass transition in two dimensions and three dimensions. In: Proc. Nat. Acad. Sci. 114, Nr. 8, 2017, S. 1850–1855. doi:10.1073/pnas.1607226113.
  11. ↑ B. Illing, S. Fritschi, H. Kaiser, C.L. Klix, G. Maret, P. Keim: Mermin–Wagner fluctuations in 2D amorphous solids. In: Proc. Nat. Acad. Sci. 114, Nr. 8, 2017, S. 1856–1861. doi:10.1073/pnas.1612964114.
  12. ↑ D. Cassi: Phase transitions and random walks on graphs: A generalization of the Mermin-Wagner theorem to disordered lattices, fractals, and other discrete structures. In: Journal of Statistical Physics. 68, Nr. 24, 1992, S. 3631–3634. doi:10.1103/PhysRevLett.68.3631.
  13. ↑ F. Merkl, H. Wagner: Recurrent random walks and the absence of continuous symmetry breaking on graphs. In: Journal of Statistical Physics. 75, Nr. 1, 1994, S. 153–165. doi:10.1007/bf02186284.
  14. ↑ R.C. Thompson-Flagg, M.J.B. Moura, M. Marder: Rippling of graphene. In: Europhys. Lett. 85, Nr. 4, 2009, S. 46002. doi:10.1209/0295-5075/85/46002.
  15. ↑ B.I. Halperin: On the Hohenberg–Mermin–Wagner Theorem and Its Limitations. In: Journal of Statistical Physics. 175, Nr. 3–4, 2019, S. 521–529. doi:10.1007/s10955-018-2202-y.
Abgerufen von „https://de.wikiup.org/index.php?title=Mermin-Wagner-Theorem&oldid=223893424“