Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer $m$-dimensionalen Fläche im $n$-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ (mit $m<n$) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) $m$-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$.)

Das bekannteste dieser Maße ist das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß ${\mathcal {H}}^{m}$, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das $m$-dimensionale sphärische Maß ${\mathcal {S}}^{m}$ erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes

Zu einer Teilmenge $A$ des $\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet man die Größen

${\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\,\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}{\text{ Kugel im }}\mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\}$

für $\varepsilon >0$, wobei das Infimum über alle Überdeckungen $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von $A$ durch abzählbar viele $n$-dimensionale Kugeln $B_{1},B_{2},$… im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Durchmessern (Diametern) $\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon$ gebildet wird. Hierbei ist $\alpha (m)$ das Volumen der $m$-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im $\mathbb {R} ^{m}$, gleichbedeutend mit dem $m$-dimensionalen Flächeninhalt des $m$-dimensionalen Einheitskreises im $\mathbb {R} ^{n}$. Der Formfaktor $\alpha (m)$ sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden $\alpha (m)(\operatorname {diam} (B_{i})/2)^{m}$ sind gerade die $m$-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln $B_{i}$ mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden $m$-dimensionalen Ebenen im $\mathbb {R} ^{n}$.

Das $m$-dimensionale sphärische Maß von $A$ wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

${\mathcal {S}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A).$

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der $m$-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche $A$.

Definition des Hausdorff-Maßes

Zur Definition des Hausdorff-Maßes ${\mathcal {H}}^{m}$ gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ ist definiert durch

$\operatorname {diam} (B)=\sup \,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}$

für $B\neq \emptyset$ und $\operatorname {diam} (\emptyset )=0$, und man setzt entsprechend für $A\subset \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}\subset \mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\},$

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von $A$ durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen $B_{1},B_{2},$… des $\mathbb {R} ^{n}$ mit $\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon$. Schließlich definiert man

${\mathcal {H}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)$

das metrische äußere Maß ${\mathcal {H}}^{m}$, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß ${\mathcal {H}}^{m}$.

Die Ausdrücke ${\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}$ und ${\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}$ sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang $\varepsilon$ gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße ${\mathcal {S}}^{m}$ und ${\mathcal {H}}^{m}$ bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) $m$-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

${\mathcal {H}}^{m}\leq {\mathcal {S}}^{m}\leq [2n/(n+1)]^{m/2}{\mathcal {H}}^{m}.$

Zusammenhang mit der Flächenformel

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche $A=f(G)$ mit einem Gebiet $G\subset \mathbb {R} ^{m}$ und einer injektiven differenzierbaren Funktion $f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}$ findet die Flächenformel Anwendung:

${\mathcal {H}}^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}\,\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}.$

Dabei ist ${\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}$ die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von $f$, und ${\mathcal {L}}^{m}$ bezeichnet das $m$-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\mathbb {R} ^{m}$.

Verallgemeinerungen

1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ $m$ die obigen Definitionen von ${\mathcal {S}}^{m}$ und ${\mathcal {H}}^{m}$ mit $\alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)$, wobei $\Gamma$ die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge $A$ des $\mathbb {R} ^{n}$ ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl $m$ mit ${\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty$ für alle $s<m$ und ${\mathcal {H}}^{s}(A)=0$ für alle $s>m$. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen ${\mathcal {H}}^{m}$ und ${\mathcal {S}}^{m}$ bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
   In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
2. Die Definition des $m$-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des $\mathbb {R} ^{n}$; das Gleiche gilt für das $m$-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik $d$ ersetzt. Das heißt, aus $|x-y|$ wird $d(x,y)$.

Literatur

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).