Q-Differenz
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Die q-Differenz ist das q-Analogon der Ableitung. Der Begriff taucht in der Kombinatorik, der Theorie der orthogonalen Polynome und dem Quanten-Kalkül auf.
q-Differenz-Operator
Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als[1]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (D_qf)(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x}} .
Es gilt somit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim\limits_{q\to 1^{-}}(D_qf)(x)=f'(x)}
und
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_q x^n=\frac{1-q^n}{1-q}x^{n-1}=[n]_qx^{n-1}}
wobei das q-Analogon von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ist.
![{\displaystyle [n]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd22063139d4a06ae9dfcaf79a85a2b2f751fc)
q-Integral
Das q-Integral ist definiert als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^a f(x)\mathrm{d}_qx:=\sum\limits_{n=0}^\infty \left[aq^n-aq^{n+1}\right]f(aq^n)}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{d}_qx:=\int_0^b f(x)\mathrm{d}_qx-\int_0^a f(x)\mathrm{d}_qx.}
Einzelnachweis
- ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.
