Radialsymmetrie
Radialsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, bei der ein Objekt invariant gegenüber allen Rotationen (also allen Winkeln und allen Achsen durch das Symmetriezentrum) und Spiegelungen ist. Für ein Bezugssystem ist also nur der Koordinatenursprung, nicht aber die Ausrichtung von Bedeutung, wenn man ein radialsymmetrisches Objekt beschreiben will. Im dreidimensionalen Fall nennt man die Radialsymmetrie auch Kugelsymmetrie, da Kugeln (genauer: auch konzentrische Kombinationen von Kugeloberflächen) die einzigen radialsymmetrischen dreidimensionalen Objekte sind. Funktionen und Vektorfelder, die Radialsymmetrie aufweisen, werden Radialfelder genannt.
Definition
Eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D \subset \R^n} wird radialsymmetrisch (oder kugelsymmetrisch) genannt, wenn sie durch Drehungen und Drehspiegelungen nicht verändert wird. Das heißt, die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} ist also radialsymmetrisch, wenn sie invariant unter der orthogonalen Gruppe ist.[1]
Radialsymmetrisches Feld
In der Physik und der Differentialgeometrie spielen radialsymmetrische Felder eine besondere Rolle. Allen radialsymmetrischen Feldern ist gemein, dass sie invariant gegenüber linearen, längenerhaltenden Koordinatentransformationen sind. Je nachdem, ob es sich um Skalarfelder, Vektorfelder oder Tensorfelder handelt, gibt es auch andere Eigenschaften, um diese Felder eindeutig zu charakterisieren.[2]
Skalarfeld
Ein Skalarfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \R^n\rightarrow\R} ist genau dann radialsymmetrisch, wenn man es als Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde f\colon \R\rightarrow\R} schreiben kann, die nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängt:
- .
Eine äquivalente Definition eines radialsymmetrischen Skalarfelds, die näher an der Ausgangsdefinition des Artikels ist, lautet
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(Ax)=f(x)}
für alle orthogonalen Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in O(n)} .[2]
Vektorfeld
Ein Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A} ist genau dann radialsymmetrisch, wenn dessen Beträge nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängen und das Feld stets in radialer Richtung zeigt. Es lässt sich also eine skalare Funktion finden, so dass[2]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A(\vec r) = f(\|\vec r\|) \cdot \vec e_r }
gilt, dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec e_r = \vec r / \| \vec r \|} der zugehörige Einheitsvektor in radialer Richtung.[3] Ein Beispiel für ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist das elektrische Feld einer Punktladung.
Der Gradient eines radialsymmetrischen Skalarfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec\nabla f(\vec r)} ist ein radialsymmetrisches Vektorfeld. Beispielsweise ist das Gravitationspotential
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi(\vec r) = -\frac{GM}{r}}
ein radialsymmetrisches Skalarfeld. Sein Gradient, die Schwerebeschleunigung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(\vec r) = -\vec\nabla\varphi(\vec r) = -\frac {GM}{r^2}\cdot \vec e_r}
ist das zugehörige Vektorfeld.
Einzelnachweise
- ↑ Claus Müller: Analysis of Spherical Symmetries in Euclidean Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 1998, ISBN 978-0-387-94949-9, S. 10.
- ↑ a b c C.M. Dafermos, Milan Pokorny: Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, Volume 5. 1. Auflage. North Holland, 2009, ISBN 978-0-444-53222-0, S. 353.
- ↑ Klaus Weltner: Mathematik für Physiker 2. 15. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-68199-1, S. 21.
