Rotationsenergie

Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Körpers (Beispiel: Schwungrad), der um einen festen Punkt oder seinen (beweglichen) Massenmittelpunkt rotiert. In diesen beiden Fällen lässt sich die kinetische Energie des Körpers in einen translatorischen und einen rotatorischen Anteil zerlegen. Diese Energie ist abhängig vom Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers: je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist, desto mehr Energie gibt der Körper ab, wenn seine Rotation gestoppt wird.

Dies lässt sich durch folgendes Experiment verdeutlichen: Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter, siehe eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad. Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt. Die andere Kugel jedoch ist hohl, besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff. Die hohle Kugel wird langsamer rollen, da bei ihr die gesamte Masse auf einer dünnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller, weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss. Daher wird weniger ihrer Lageenergie in Rotationsenergie und mehr in translatorische Energie umgewandelt und sie rollt schneller.

Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei: Turbinen, Generatoren, Rädern und Reifen, Wellen, Propellern.

Trägheitsmoment

Ein Körper, der mit der Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} um die x-Achse rotiert, besitzt die Rotationsenergie

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\cdot J_{x}\cdot \omega ^{2}$

mit

• $J_{x}$: Trägheitsmoment des Körpers um die x-Achse
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} : Winkelgeschwindigkeit.

Dies lässt sich allgemein ausdrücken als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} E_\mathrm{rot} & =\frac{1}{2}\;\vec{\omega}^T\, J\;\vec{\omega}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta = 1}^{3}\, J_{\alpha\beta}\;\omega_\alpha\;\omega_\beta \end{align}}

mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J_{\alpha\beta}} : Trägheitstensor.

Um die Energie eines Körpers anzugeben, der um eine beliebige Achse rotiert (Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| {\vec{n}}\right| = 1 } ), wird die Winkelgeschwindigkeit jeweils durch ihre Vektorkomponenten in x-, y- und z-Richtung ausgedrückt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\omega} =\omega\,\vec{n} =\omega\cdot\begin{pmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ \end{pmatrix} }

Für die Rotationsenergie gilt damit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow E_\mathrm{rot} & =\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta = 1}^{3} J_{\alpha\beta}\; n_{\alpha}\; n_{\beta}\;\omega^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot J_n\cdot\omega^2 \end{align}}

mit dem Trägheitsmoment $J_{n}$ bezüglich einer beliebigen Achse ${\vec {n}}$:

$J_{n}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}J_{\alpha \beta }\;n_{\alpha }\;n_{\beta }$

Beispiele

• Eine Kugel mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} hat das Trägheitsmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J =\tfrac 2 5\, m r^2} . Wenn sie mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} auf der Ebene rollt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit $\omega ={\tfrac {v}{r}}$ und folglich ihre gesamte kinetische Energie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} E_\mathrm{kin} & = E_\mathrm{trans} + E_\mathrm{rot}\\ & =\frac 1 2 m v^2 +\frac 1 2\cdot\frac 2 5 m r^2\cdot\omega^2\\ & =\frac 7 {10} m v^2 \end{align}}

• Ein Körper, der um die Diagonale durch seine xy-Fläche rotiert, hat die Winkelgeschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\omega} =\omega\,\vec{n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} }

Daraus folgt für das Trägheitsmoment bzgl. dieser Drehachse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} J_{n} & =\vec{n}^{T} J\,\vec{n}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 1,1,0\right) \left(\begin{matrix} J_{11} & J_{12} & J_{13}\\ J_{12} & J_{22} & J_{23}\\ J_{13} & J_{23} & J_{33}\\ \end{matrix}\right) \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0\\ \end{matrix}\right)\\ & =\frac{1}{2}\cdot (J_{11} + J_{12} + J_{12} + J_{22}) \end{align}}

Die Rotationsenergie erhält man damit aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} E_\mathrm{rot} & =\frac{1}{2}\cdot J_n\cdot\omega^2\\ & =\frac{1}{4}\cdot (J_{11} + J_{12} + J_{12} + J_{22})\cdot\omega^2 \end{align}}

Drehimpuls

Die Rotationsenergie kann auch durch den Drehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{L}} ausgedrückt werden:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }&={\frac {1}{2}}\cdot {\vec {L}}\cdot {\vec {\omega }}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {{\vec {L}}^{2}}{J}}\end{aligned}}$

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{L} = J\cdot\vec{\omega}}

Es ist zu beachten, dass der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht parallel zueinander stehen (außer bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse); siehe auch Trägheitsellipsoid.

Herleitung

Sei der Starre Körper durch einzelne Massenpunkte mit Massen m_i an den Orten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}_i} relativ zum Ursprung eines körperfesten Bezugssystems gegeben, das sich am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}(t)} im Inertialsystem befindet. Bei der allgemeinen Bewegung starrer Körper gilt die eulersche Geschwindigkeitsgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{b}}(t)+\vec{\omega}(t)\times\vec{x}\,.}

Darin ist ${\vec {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers (inklusive des körperfesten Bezugssystems), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec b}} die Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} und beide dürfen von der Zeit t abhängen. Die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}(\vec{x},t)} ist zur Zeit t die Geschwindigkeit des Massenpunkts am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} im körperfesten Bezugssystem.

Die kinetische Energie des Körpers ist dann gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} E_{\rm kin}=&\frac12\sum_i m_i\vec{v}(\vec{r}_i,t)^2 =\frac12\sum_i m_i(\dot{\vec{b}}+\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2 \\=& \frac12\sum_i m_i{\dot{\vec b}}^2 +\frac12\sum_i m_i 2\dot{\vec{b}}\cdot(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) +\frac12\sum_i m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2 \\=& \underbrace{\frac12 m{\dot{\vec b}}^2}_{E_{\rm trans}} +\underbrace{\frac12\sum_i m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2}_{E_{\rm rot}} +m\vec{\omega}\cdot(\vec s\times\dot{\vec{b}}) \end{align}}

Darin ist $\textstyle m:=\sum _{i}m_{i}$ die Gesamtmasse des Körpers, E_trans seine translatorische Energie, E_rot seine Rotationsenergie, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\vec s:=\frac{1}{m}\sum_i m_i\vec{r}_i} sein Massenmittelpunkt und es wurde ausgenutzt, dass im Spatprodukt dreier Vektoren deren Reihenfolge zyklisch vertauscht werden darf. Der dritte Summand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\vec{\omega}\cdot(\vec s\times\dot{\vec{b}})} verschwindet unter vier Bedingungen:

1. Wenn der Massenmittelpunkt im Ursprung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s=\vec0} ) oder auf der Drehachse liegt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec\omega\parallel\vec s} ), die Rotation also um den Massenmittelpunkt stattfindet.
2. Wenn das körperfeste System ruht (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{b}}=\vec0} ) oder sich entlang der Drehachse bewegt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec\omega\parallel\dot{\vec b}} ), was sich durch geeignete Wahl des Bezugspunkts immer einrichten lässt.
3. Wenn sich der Bezugspunkt in Richtung des Massenmittelpunkts bewegt (${\dot {\vec {b}}}\parallel {\vec {s}}$), was einem Balanceakt gleichkommt.
4. Der triviale Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\vec\omega=\vec0} wird hier nicht weiter betrachtet.

In den ersten drei Fällen spaltet sich die kinetische Energie in die translatorische und rotatorische auf, aber nur die ersten beiden Fälle sind für die Kreiseltheorie interessant. Mit der Lagrange-Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec\omega\times\vec{r}_i)^2 =(\vec\omega\cdot\vec\omega)(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)^2} berechnet sich unter Ausnutzung der Eigenschaften des dyadischen Produkts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} die Rotationsenergie zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 2E_{\rm rot} =&\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec{r}_i)^2 =\sum_i m_i[(\vec\omega\cdot\vec\omega)(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)^2] \\=&\vec\omega\cdot\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\vec\omega-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)\vec{r}_i] =\vec\omega\cdot\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\mathbf{1}-\vec{r}_i\otimes\vec{r}_i]\cdot\vec\omega \\=&\vec\omega\cdot\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega \\\Rightarrow E_{\rm rot} =&\frac12\vec\omega\cdot\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega =\frac12\vec\omega\cdot\vec L \end{align}}

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\mathbf{\Theta}_b :=\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\mathbf{1}-\vec{r}_i\otimes\vec{r}_i]} der Trägheitstensor des starren Körpers bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec L:=\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega} sein Eigen­drehimpuls und 1 der Einheitstensor. Im körperfesten System ist der Trägheitstensor konstant, im Inertialsystem jedoch nicht, wenn sich der Körper dreht.

Siehe auch

• Potentielle Energie
• Rollersatzmasse
• Schwungradspeicherung
• Schwungrad-Speicherkraftwerk