S3 (Gruppe)

Die symmetrische Gruppe $S_{3}$ bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind ${\mathfrak {S}}_{3}$ und $\mathop {\mathrm {Sym} } \nolimits _{3}$. Sie ist isomorph mit der Dïedergruppe $D_{3}$ , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung

Die Wirkungen der Abbildungen $d$, $d^{2}$, $s_{1}$, $s_{2}$ und $s_{3}$

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten:

• die identische Abbildung $e$,
• die Drehung $d$ um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
• die Drehung $d^{2}$ um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
• die drei Spiegelungen $s_{1},s_{2}$ und $s_{3}$ an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit $\cdot$ oder $\circ$) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist. Die Schreibweise $d^{2}$ macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe $S_{3}=\left\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}$ aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

$\cdot$	$e$	$d$	$d^{2}$	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$
$e$	$e$	$d$	$d^{2}$	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$
$d$	$d$	$d^{2}$	$e$	$s_{3}$	$s_{1}$	$s_{2}$
$d^{2}$	$d^{2}$	$e$	$d$	$s_{2}$	$s_{3}$	$s_{1}$
$s_{1}$	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$	$e$	$d$	$d^{2}$
$s_{2}$	$s_{2}$	$s_{3}$	$s_{1}$	$d^{2}$	$e$	$d$
$s_{3}$	$s_{3}$	$s_{1}$	$s_{2}$	$d$	$d^{2}$	$e$

Will man das Produkt $ba$ für zwei Elemente $a,b$ aus $S_{3}$ ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel zuerst die mit $a$ gekennzeichnete Spalte, dann die mit $b$ gekennzeichnete Zeile auf; am Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges $n$-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe $S_{3}$ auch mit $D_{3}$ bezeichnet.

Elemente der S₃ als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der $S_{3}$ kann daher als Permutation der Menge $\{1,2,3\}$ aufgefasst werden. Im Folgenden ist zuerst die Zweizeilenform angegeben, dahinter die Zyklenschreibweise der Elemente sowie deren Ordnungen:

${\begin{array}{rcccll}e&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&=&(1)&\qquad \mathrm {ord} \left(e\right)=1\\\\d&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&=&(1~2~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(d\right)=3\\\\d^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&=&(1~3~2)&\qquad \mathrm {ord} \left(d^{2}\right)=3\\\\s_{1}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&=&(2~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{1}\right)=2\\\\s_{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}&=&(1~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{2}\right)=2\\\\s_{3}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}&=&(1~2)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{3}\right)=2\end{array}}$

Eigenschaften

Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe $S_{3}$ ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann (sie ist nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale); beispielsweise gilt $s_{2}s_{1}=d^{2}\neq d=s_{1}s_{2}$. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu $S_{3}$ oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $S_{3}$ selbst sind:

• $A_{3}:=\left\{e,d,d^{2}\right\}\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Diese Untergruppe (die Gruppe der Drehungen) ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
• $\{e,s_{1}\}\cong \{e,s_{2}\}\cong \{e,s_{3}\}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Diese Untergruppen (die Gruppen der Spiegelungen) sind keine Normalteiler; beispielsweise ist $d\{e,s_{1}\}d^{-1}\,=\,d\{e,s_{1}\}d^{2}\,=\,\{e,s_{2}\}$.
• Das Zentrum von $S_{3}$ ist trivial (besteht nur aus $\{e\}$). Somit kommutiert ein von $e$ verschiedenes Element nur mit Potenzen seiner selbst.

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen  $\mid$  getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:

$S_{3}=\langle d,s\mid d^{3},s^{2},dsds\rangle$

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die $S_{3}$ drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von $d$ und $s_{1}$ anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

• Die triviale Darstellung: $S_{3}\rightarrow \mathbb {C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto 1$
• Die Signum-Abbildung: $S_{3}\rightarrow \mathbb {C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto -1$
• Die zweidimensionale Darstellung: $S_{3}\rightarrow M_{2}(\mathbb {C} ):\,\,d\mapsto {\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3}&0\\0&e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}},s_{1}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man $s_{1}$ durch $s_{2}$ ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:

$S_{3}$	$1$	$3$	$2$
	$1$	$(1,2)$	$(1,2,3)$
$\chi _{1}$	$1$	$1$	$1$
$\chi _{2}$	$1$	$-1$	$1$
$\chi _{3}$	$2$	$0$	$-1$

Weitere Beispiele

Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper $\mathbb {Z} /2=\mathbb {F} _{2}=\{0,1\}$, $GL(2,\mathbb {F} _{2})=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}\right\}$ ist isomorph zur $S_{3}$.

Transformationengruppe

Die gebrochen linearen Funktionen $s_{1},s_{2}$ mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper $K$ und den Zuordnungen

$s_{1}:$	$X\mapsto 1-X$
$s_{2}:$	$X\mapsto X^{-1}$

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe $G$, die isomorph zur $S_{3}$ ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

$d:=s_{1}\circ s_{2}:$	$X\mapsto {\tfrac {X-1}{X}}$
$s_{3}:=d\circ s_{1}=s_{2}\circ d:$	$X\mapsto {\tfrac {X}{X-1}}$
$d^{2}:=d\circ d=s_{2}\circ s_{1}:$	$X\mapsto {\tfrac {1}{1-X}}$
$d^{3}:=d\circ d^{2}=e:$	$X\mapsto X$

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder $s\in G$ unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen $x\in K\!\setminus \!\{0,1\}$

$s_{K}:x\mapsto s_{K}(x):=s(x)$

auch in den Wertetabellen, wenn $K$ wenigstens 5 Elemente hat.

Automorphismengruppe

Die $S_{3}$ ist isomorph zur Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der Kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen

Weblinks

• Applet der TU München zur Visualisierung von $S_{3}$