Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Raum der Fredholm-Operatoren und Index-Abbildung

Es sei ${\mathcal {H}}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und ${\mathcal {F}}$ der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf ${\mathcal {H}}$ mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum $X$ bezeichne $K(X)$ seine topologische K-Theorie. Elemente in $K(X)$ werden durch formale Differenzen

$\left[E_{0}\right]-\left[E_{1}\right]$,

von Vektorbündeln über $X$ repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung $F\colon X\to {\mathcal {F}}$ ein solches Element aus $K(X)$ zuordnen.

Für eine stetige Abbildung $F\colon X\to {\mathcal {F}}$ hat man in jedem Punkt $x\in X$ die endlich-dimensionalen Vektorräume

$\mathrm {ker} (F(x))$ und $\mathrm {coker} (F(x))$, das heißt Kern und Kokern des Operators $F(x)$.

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten $x\in X$ unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung $F$ homotop zu einer stetigen Abbildung $F^{\prime }$, für die

$(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}$ und $(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}$

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von $X\times {\mathcal {H}}$ sind, das heißt wir haben ein Element

$\left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]\in K(X)$.

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu $F$ homotope Abbildung $F^{\prime }$ verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

$\mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)$

von der Menge der Homotopieklassen $\left[X,{\mathcal {F}}\right]$ von Abbildungen von $X$ nach ${\mathcal {F}}$ in $K(X)$. Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz $\left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]$ heißt Indexbündel.

Satz von Atiyah-Jänich

Der von Michael Atiyah vermutete und von Klaus Jänich bewiesene Lehrsatz besagt, dass

$\mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)$

eine Bijektion ist.

Der Raum der Fredholm-Operatoren realisiert also den die topologische K-Theorie klassifizierenden Raum $BU$.

Betrachtet man den Spezialfall $X=\{p\}$ eines einpunktigen Raums, so ist einerseits $K(X)\cong \mathbb {Z}$, andererseits können die stetigen Abbildungen $X\rightarrow {\mathcal {F}}$ mit den Fredholmoperatoren $F(p)$ identifiziert werden. Man zeigt, dass die Homotopieklasse einer Abbildung $X=\{p\}\rightarrow {\mathcal {F}}$ durch den Fredholm-Index von $F(p)$ bestimmt wird und obige Abbildung $\mathrm {ind}$ bei der Identifikation von $K(X)$ mit $\mathbb {Z}$ genau mit dem Fredholm-Index übereinstimmt. Daher verallgemeinert die Indexabbildung den Fredholm-Index.

Literatur

• Klaus Jänich: Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. 161 (1965) 129–142.
• Max Karoubi: Espaces classifiants en K-théorie. Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970) 75–115.
• Bernhelm Booss: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel. Hochschultext. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ISBN 3-540-08451-7

Weblinks

Atiyah: Algebraic topology and operators in Hilbert space