Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Raum der Fredholm-Operatoren und Index-Abbildung

Es sei ${\mathcal {H}}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und ${\mathcal {F}}$ der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf ${\mathcal {H}}$ mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum $X$ bezeichne $K(X)$ seine topologische K-Theorie. Elemente in $K(X)$ werden durch formale Differenzen

$\left[E_{0}\right]-\left[E_{1}\right]$,

von Vektorbündeln über $X$ repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung $F\colon X\to {\mathcal {F}}$ ein solches Element aus $K(X)$ zuordnen.

Für eine stetige Abbildung $F\colon X\to {\mathcal {F}}$ hat man in jedem Punkt $x\in X$ die endlich-dimensionalen Vektorräume

$\mathrm {ker} (F(x))$ und $\mathrm {coker} (F(x))$, das heißt Kern und Kokern des Operators $F(x)$.

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten $x\in X$ unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung $F$ homotop zu einer stetigen Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^\prime} , für die

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathrm{ker}(F^\prime(x)))_{x\in X}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathrm{coker}(F^\prime(x)))_{x\in X}}

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\times{\mathcal{H}}} sind, das heißt wir haben ein Element

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[(\mathrm{ker}(F^\prime(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm{coker}(F^\prime(x)))_{x\in X}\right]\in K(X)} .

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} homotope Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^\prime} verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ind}\colon \left[X,{\mathcal{F}}\right]\to K(X)}

von der Menge der Homotopieklassen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[X,{\mathcal{F}}\right]} von Abbildungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal{F}}} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(X)} . Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[(\mathrm{ker}(F^\prime(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm{coker}(F^\prime(x)))_{x\in X}\right]} heißt Indexbündel.

Satz von Atiyah-Jänich

Der von Michael Atiyah vermutete und von Klaus Jänich bewiesene Lehrsatz besagt, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ind}\colon \left[X,{\mathcal{F}}\right]\to K(X)}

eine Bijektion ist.

Der Raum der Fredholm-Operatoren realisiert also den die topologische K-Theorie klassifizierenden Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BU} .

Betrachtet man den Spezialfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\{p\}} eines einpunktigen Raums, so ist einerseits Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(X) \cong \Z} , andererseits können die stetigen Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\rightarrow \mathcal{F}} mit den Fredholmoperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p)} identifiziert werden. Man zeigt, dass die Homotopieklasse einer Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\{p\}\rightarrow \mathcal{F}} durch den Fredholm-Index von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p)} bestimmt wird und obige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ind}} bei der Identifikation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(X)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z} genau mit dem Fredholm-Index übereinstimmt. Daher verallgemeinert die Indexabbildung den Fredholm-Index.

Literatur

• Klaus Jänich: Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. 161 (1965) 129–142.
• Max Karoubi: Espaces classifiants en K-théorie. Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970) 75–115.
• Bernhelm Booss: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel. Hochschultext. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ISBN 3-540-08451-7

Weblinks

Atiyah: Algebraic topology and operators in Hilbert space