Schießverfahren

Das Schießverfahren, auch Einfachschießverfahren (englisch (single) shooting method), ist eine numerische Methode, um Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen zu lösen. Die Grundidee des Verfahrens besteht darin, das Problem auf die Lösung eines Anfangswertproblems zurückzuführen.

Das Verfahren erinnert an das Einschießen in der Artillerie, eine Methode, um mit einem Geschoss ein entferntes Ziel zu treffen. Das Geschoss wird mit einer bestimmten Anfangssteigung abgefeuert. Diese Anfangssteigung variiert man so lange, bis man das Ziel trifft. Daher rührt die Bezeichnung Schießverfahren.

Verfahren

Das Randwertproblem zweiter Ordnung mit gesuchter Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,y(t)} und rechter Seite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)), \quad y(t_1)=a,\quad y(t_2)=b}

wird umformuliert in ein Anfangswertproblem

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{1})=a,\quad y'(t_{1})=c$

Der zweite, unbekannte Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} ist frei wählbar. Das Anfangswertproblem wird so lange in Abhängigkeit vom Parameter c integriert, bis die Bedingung am anderen Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad y(t_2)=b} erfüllt ist. Die Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t\,;c)} des Anfangswertproblems kann dabei mit einem numerischen Verfahren, z. B. Runge-Kutta gelöst werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t\,;c)} ist abhängig vom Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} . Definiere dazu eine Funktion F

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(c):=y(t_2,c)-b \quad }

Dieses oft nichtlineare Gleichungssystem kann numerisch zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren oder dem Bisektionsverfahren gelöst werden. Die Lösung des Anfangswertproblems ist genau dann eine Lösung des Randwertproblems, wenn F in c eine Nullstelle hat:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0=y(t_{2},c)-b\quad \Leftrightarrow \quad y(t_{2},c)=b}

In der Praxis verwendet man aus Stabilitätsgründen die sogenannte Mehrzielvariante des Schießverfahrens, bei dem stückweise Lösungen in Teilintervallen eines Gitters Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta=\left\{t_1=x_0,x_1,\dots,x_{n-1},x_n=t_2\right\}} berechnet werden, aus denen sich anschließend die Lösung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b]} zusammensetzt.

Literatur

• J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York 1980
• A. Willers: Methoden der praktischen Analysis. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1950
• L. Collatz: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Springer, Berlin 1951
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2017. ISBN 978-3-11-050036-3
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 2: Nichtlineare Randwertprobleme. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2018. ISBN 978-3-11-051488-9