Schmetterlingssatz

Schmetterlingssatz

Der Schmetterlingssatz (englisch Butterfly theorem) ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, der eine Eigenschaft von Kreissehnen behandelt und sich als Korollar des Sehnensatzes unter Anwendung der Ähnlichkeitslehre ergibt. Der Name erklärt sich aus der Ähnlichkeit zwischen einer Planfigur zu diesem Satz und der skizzenhaften Darstellung eines Schmetterlings.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit einer Sehne $[ST]$. $M$ sei der Mittelpunkt dieser Sehne. $[AB]$ und $[CD]$ seien zwei weitere Kreissehnen, die ebenfalls durch $M$ gehen. Dabei sollen $A$ und $C$ auf derselben Seite von $[ST]$ liegen. $P$ und $Q$ seien die Schnittpunkte der Kreissehnen $[AD]$ bzw. $[CB]$ mit $[ST]$.

Dann gilt: $M$ ist auch der Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ .

Literatur

• William I. Jacobson: The Butterfly Problem-Extensions, Generalizations. Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 1 (Jan., 1969), pp. 17–21 (JSTOR 2688031)
• Rudolf Fritsch: Bemerkungen zum Schmetterlingssatz. Beiträge zu Mathematikunterricht 2003, Franzbecker, 2003, S. 221–224
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 125

Weblinks

Commons: Butterfly theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Butterfly Theorem. In: MathWorld (englisch). ; vgl. auch in WolframDemonstationsProject
• Eine Verbesserung des Schmetterlingssatzes (cut-the-knot, engl.)
• Verallgemeinerung des Schmetterlingssatzes auf Ellipsen