Sekundäre charakteristische Klasse

Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

$c\in H^{k}(B;\mathbb {Z} )$

von $G$-Prinzipalbündeln $E\to B$ mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome $P\in I^{k}(G)$ realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom $P$, so dass

$\left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }$

für jedes $G$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform $\omega$, wobei

$\Omega \in \Omega ^{2}(B)$

die Krümmungsform des Zusammenhangs $\omega$, $\left[P(\Omega )\right]$ die De-Rham-Kohomologieklasse von

$P(\Omega )\in \Omega ^{2k}(B)$,

und $c_{\mathbb {R} }$ das Bild der charakteristischen Klasse $c$ unter dem kanonischen Homomorphismus

$H^{k}(B;\mathbb {Z} )\to H^{k}(B;\mathbb {R} )$

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

$\Omega =0$

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

$P\in I^{k}(G)$

und jeder Kohomologieklasse

$c\in H^{2k}(B)$

mit $\left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }$ einen Differentialcharakter

${\hat {c}}\in {\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$.

Die Kohomologiegruppe $H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ist eine Untergruppe von ${\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ und im Fall flacher Bündel liegt ${\hat {c}}$ in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

${\hat {c}}\in H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse $c$ assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^{2k-1}(B;\R/\Z)\to H^{2k}(B;\Z)} bildet die sekundäre charakteristische Klasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{c}} auf die charakteristische Klasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} ab, deren Bild in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^{2k}(B;\R)} verschwindet.

Existenz und Eindeutigkeit

Gegeben seien eine Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , ein invariantes Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\in I^k(G)} und eine Kohomologieklasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\in H^{2k}(BG)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_k(P)=u_{\R}} . Wir bezeichnen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta\colon \widehat{H}^{2k-1}(B;\R/\Z)\to A_0^{2k}(B)} die Korand-Abbildung und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b\colon \widehat{H}^{2k-1}(B;\R/\Z)\to H^{2k}(B;\Z)} den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} -Prinzipalbündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon E\to B} mit Zusammenhangsform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{P,u}(p,\omega)\in \widehat{H}^{2k-1}(B;\R/\Z)}

mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta S_{P,u}(p,\omega)=P(\Omega)}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b S_{P,u}(p,\omega) = f^*u} ,

so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{P,u}(p,\omega)\in \widehat{H}^{2k-1}(B;\R/\Z)} unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Cheeger-Chern-Simons-Klassen

Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_k\in I^k(GL(n,\Complex))} seien definiert durch die Relation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det(\lambda \, \mathrm{id}_n-\frac{1}{2\pi i}A)=\sum_{k=0}^n C_k(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}}

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in GL(n,\Complex)} . Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_k\colon I^k(G)\to H^{2k}(BG;\R)}

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BG} ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_k\in H^{2k}(BGL(n,\Complex);\Z)} und für diese gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_k(C_k)=(c_k)_{\R}} .

Für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GL(n,\Complex)} -Prinzipalbündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon E\to B} gibt es nun eine klassifizierende Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon B\to BGL(n,\Complex)} und die Chern-Klasse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon E\to B} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^*c_k\in H^{2k}(B;\Z)} . Für eine Zusammenhangsform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} definiert man nun

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{c}_k(p,\omega):=S_{C_k,c_k}(p,\omega)\in\widehat{H}^{2k-1}(B;\Complex/\Z)} .

Im Fall flacher Bündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon E\to B} erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{c}_k(p)\in H^{2k-1}(B;\Complex/\Z)} .

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2k-1)} -dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle CCS(p):=\langle \hat{c}_k(p),\left[M\right]\rangle \in\Complex/\Z}

des flachen Bündels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon E\to B} durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[M\right]\in H_{2k-1}(M;\Z)} .

Literatur

• Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
• Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

Weblinks

• Kapitel 3.2 in Bucher: Characteristic classes and bounded cohomology