Sichtweite

Datei:Foggy morning road - visibility at 200 ft.jpg

Nebel mit etwa 60 m Sichtweite

Als Sichtweite oder auch Sicht im engeren Sinne bezeichnet man die maximale horizontale Entfernung, die es gerade noch erlaubt, ein dunkles Objekt in Bodennähe vor hellem Hintergrund zu erkennen. Sie wird auch als meteorologische Sichtweite bezeichnet. Sie wird im Wesentlichen durch Streuung in der Atmosphäre begrenzt.

Im Unterschied dazu gibt es noch anderen Sichtweiten:

Die geometrische Sichtweite wird durch die Erdkrümmung begrenzt und wird von den Höhenpositionen des Betrachters und des Ziels bestimmt.
- Unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion ergibt sich daraus die optische oder geodätische Sichtweite.
- Unter Berücksichtigung von Diffraktion ergeben sich im Radiobereich größere Reichweiten.
- Unter Berücksichtigung zusätzlicher geografischer Sichthindernisse ergibt sich die geografische Sichtweite.
Die Sichtweite bei Nacht (Tragweite, Nachtsicht, Feuersicht), in der eine Lichtquelle von einem Beobachter gerade noch wahrgenommen wird, ist ebenfalls meteorologisch begrenzt. Hier spielt zusätzlich die Helligkeit der Lichtquelle und statt der Streuung die Absorption in der Atmosphäre eine Rolle.

Meteorologische Sichtweite

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links: Sicht bei klarem Wetter; rechts: durch Nebel reduzierte Sichtweite

Datei:Zimba Panorama.jpg

Abnahme des Kontrastes relativ zum Himmel mit zunehmender Entfernung der Berge

Folgende Effekte schränken die atmosphärische Sichtweite ein:

Rayleigh-Streuung

Lichtstreuung an den Molekülen der Luft. Dieser Effekt begrenzt die maximal mögliche Sichtweite auf Meereshöhe auf etwa 300 km.

Mie-Streuung

Lichtstreuung an Partikeln mit Größen im Bereich von 0,1 µm (feinster Straub, Kondensationskeime) bis einige Millimeter (Regen, Schnee).

natürliche Lufttrübung:
- kondensiertes Wasser in der Luft: Hydrometeore wie Regen, Schneefall oder Nebel
- Staub in der Luft: Lithometeore wie Saharastaub, vulkanische Aerosole, Waldbrände
- Turbulenzen und Schlierenbildung in der Luft durch Temperatur- und Feuchtigkeitsunterschiede.
anthropogene Luftverschmutzung
- Aerosole verursachen eine zusätzliche Lichtstreuung. Typische Bestandteile sind Wasser, Schwefelsäure und feste Partikel.

Die Streuung von Licht in der Atmosphäre reduziert den optischen Kontrast eines Objekts relativ zur Umgebung. Dieses Phänomen nennt man Lichtstreuung. Der Kontrast $K$ nimmt exponentiell mit der Entfernung $s$ und dem Absorptionskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = K_0 \cdot e^{-\sigma s}} , daraus folgt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \ln\!\tfrac{K_0}{K} = \sigma s }

Unter der Annahme, dass der Ausgangskontrast Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_0 = 1} beträgt (Optimalfall) und dass für die Wahrnehmungen ein Mindestkontrast von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{\mathrm{min}} = 0{,}02\ } (≙ 2 %) erforderlich ist, besteht zwischen Sichtweite $s$ und Absorptionskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} folgende Beziehung:

Wetterabhängigkeit der Sichtweite
Wetterbedingung	Sichtweite (km)	Objekt- Mindest- Höhe^[1]
außergewöhnlich klar	280,00	5000 m
sehr klar	050,00	0125 m
klar	020,00	0015 m
leicht diesig	010,00	0001,25 m
diesig	004,00	0000 m
starker Dunst, leichter Nebel	002,00
mäßiger Nebel	001,00
dichter Nebel, Starkregen	000,10
extremer Nebel, Schneetreiben	000,01

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \frac{\ln\frac{K_0}{K_{\mathrm{min}}}}{s} = \frac{\ln\frac{1}{0{,}02}}{s} = \frac{3{,}912\ldots}{s} \approx \frac{4}{s}}

Eine Sichtweite von 40 km entspricht unter Nutzung dieser Näherung einem Absorptionskoeffizienten von 4 / 40.000 m = 10⁻⁴ m⁻¹. Unter exzellenten Bedingungen (Föhnwetterlagen) sind in Mitteleuropa Fernsichten von 200 bis 250 km^[2], im Himalaya bis 300 km^[3] erreichbar.

Im Beispielbild nimmt der Kontrast der Berge zum Himmel mit zunehmender Entfernung ab. Die Bergkette im rechten Bild ist bei Nebel nicht mehr zu sehen.

Die meteorologische Sichtweite nimmt mit der Wellenlänge zu, da sowohl die Rayleigh-Streuung an den Molekülen der Luft wie auch die Streuung an winzigen Wassertröpfen abnimmt. Daher erhöht sich die Sichtweite zu längeren Wellenlängen hin (blau → rot → NIR → MIR). Beobachtungen mit Rotfilter und mit Infrarot-Film oder -Kamera erhöhen die effektive Sichtweite, insbesondere reduziert sich die Streuung an sehr kleinen Partikeln kleiner als die Lichtwellenlänge. Weiterhin ist die Lichtstreuung nicht isotrop, d. h. die Sicht gegen die Sonne ist deutlich geringer als mit der Sonneneinstrahlung.

Geodätische Sichtweite

Sichtweite zwischen einem erhöhten Punkt und einer Ebene

**Erhöhter Punkt h und Ebene**
Datei:Sichtweite 1.png Das rechtwinklige Dreieck, dessen Kathete s berechnet werden soll

Die Krümmung der Erde begrenzt die maximal mögliche Sichtweite. Die Sichtweite von einem erhöhten Beobachtungspunkt aus (z. B. Gebäude, Turm, Berggipfel oder aber auch von Raumschiffen wie die ISS) hinab auf eine Ebene oder auf die Meeresoberfläche lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen, da Sichtverbindung und Erdradius die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden und der Abstand des erhöhten Punktes vom Erdmittelpunkt dessen Hypotenuse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 + R^2 = (R + h)^2} (1)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \sqrt{(R + h)^2 - R^2}} (2)

Nach der ersten binomischen Formel ergibt sich daraus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \sqrt{(R^2 + 2 R h + h^2) - R^2} = \sqrt{2 R h + h^2}} (3)

Für terrestrische Beobachter ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \ll 2 R} , damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h^2} gegenüber $2Rh$ vernachlässigbar. Daher lässt sich die Formel vereinfachen zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \approx \sqrt{2 R h} = \sqrt{2R} \cdot \sqrt{h}} (4)

Die folgenden, dem praktischen Gebrauch dienenden Zugeschnittenen Größengleichungen (5a), (5b) und (5c) ergeben die einheitenlose Sichtweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{s}} in Kilometern, wobei die einheitenlose Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{h}} in Metern einzusetzen ist. Für einen Erdradius von $R=$ 6370 km erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac {\mathbf{s}} {\textrm{km}} \approx 3{,}57\ \sqrt{\tfrac{\mathbf{h}}\textrm{m}} } (5a)

Datei:Sonnenuntergang - Verschiebung.png

Wahrnehmungstäuschung über die Form und Position der Sonne infolge der terrestrischen Refraktion^[4]

Diese Berechnung berücksichtigt allerdings nicht die Refraktion der Atmosphäre. Diese krümmt die Lichtstrahlen zur Erde hin, verringert damit die effektive Krümmung der Erdoberfläche und lässt dadurch die Erde größer erscheinen. Der scheinbare Erdradius im optischen Bereich ist mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{\mathrm{opt}} \approx } 7700 km etwa 20 % größer^[5], die optische Sichtweite ist daher etwa 10 % größer als die geometrische Sichtweite:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac {\mathbf{s}_\mathrm{opt}}{ \textrm{km}} \approx 3{,}9 \sqrt{\tfrac {\mathbf{h}} {\textrm{m}}}} (5b)

Der Effekt bewirkt allerdings nicht nur eine vergrößerte Sichtweite, sondern es kommt neben der Perspektive zu einer optischen Stauchung von Objekten am Horizont. Ein runder Ballon in Horizontnähe erscheint oval.

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In sehr geringer Höhe über dem Boden ist die Lichtbrechung im Wesentlichen durch den Temperaturgradienten bestimmt, der wetter- und tageszeitabhängig ist.

Die genaue Größe dieses Effekts hängt vom Dichtegradienten, d. h. von Luftdruck, Temperatur und vom vertikalen Temperaturgradienten der Atmosphäre ab und berechnet sich genauer zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\textrm{opt} = \frac {R} {1 - k}\ } mit

\ k=5{,}03{\frac {\tfrac {p}{\textrm {Pa}}}{\left({\tfrac {T}{\textrm {K}}}\right)^{2}}}\left(0{,}0343+{\frac {\tfrac {dT}{\textrm {K}}}{\tfrac {dh}{\textrm {m}}}}\right)\

für eine irdische Atmosphäre

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} als Temperatur in K, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,p} als Druck in Pa und dem Temperaturgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dT/dh} in K/m.

Für die typischen Werte in Meereshöhe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T =} 288,15 K (15 °C), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,p =} 101325 Pa und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dT/dh =} −0,006 K/m ergeben sich:

k=0{,}174\

und

\ R_{\text{opt}}=1{,}21R=7709\ {\text{km}}

.

Diese Berechnung gilt allerdings nicht für bodennahe Schichten, da für diese der Temperaturgradient weitaus größer sein kann. Erst in einigen hundert Metern Höhe stellt sich ein Gradient von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dT/dh =} −0,006 … −0,007 K/m ein. Weiterhin reduziert sich der Effekt in höheren Schichten der Atmosphäre, was bei Sicht auf Berge im Hochgebirge oder bei Aufenthalt im Hochgebirge zu berücksichtigen ist, da sich dann Teile oder der gesamte Strahlweg in dünneren Schichten der Atmosphäre befinden. So reduziert sich der Faktor 3,9 auf etwa 3,8 auf Höhe des Mont Blanc und auf 3,7 auf Flughöhe von Passagiermaschinen.

Im Bereich von Radiowellen ist der scheinbare Erdradius etwa genauso groß wie im optischen Bereich^[6]^[7]^[8]

Allerdings spielt im Radiowellenbereich weniger die direkte Sichtbarkeit eine Rolle, sondern vielmehr die Signaldämpfung. Deshalb muss die Diffraktion berücksichtigt werden. Unter Annahme, dass die erste Fresnelzone nicht komplett verdeckt sein darf, damit sich die Dämpfung in Grenzen hält, erhält man als Näherung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{s}} jeweils in km, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} in m):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac {\textbf{s}_\text{radio}}{\textrm{km}} \approx \sqrt{ \left(\tfrac {\textbf{s}_\text{opt}}{\textrm{km}} \right)^2 + 1870\ \left( \tfrac {\lambda}{\textrm{m}}\right)^{2\!/\;\!\!3} }} (5c)

**Zwei erhöhte Punkte h₁ und h₂**
Datei:Sichtweite 2.png Die beiden rechtwinkligen Dreiecke, deren Summe der Katheten s₁ und s₂ berechnet werden soll

Die Gleichung gilt für die Ausbreitung von Bodenwellen (nicht für Raumwellen mit Reflexionen an der Ionosphäre, die zusätzliche Reichweite verschafft). Für einen Langwellensender mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda =} 3868 m erhält man eine Reichweite von knapp 680 km.

Sichtweite zwischen zwei erhöhten Punkten über eine Ebene hinweg

Sind Augen und Objekt über die Referenzebene erhoben, was schon durch die Augeshöhe der in der Ebene stehenden Person gegeben ist, so addieren sich die Abstände beider von der Stelle, wo die sie verbindende Tangente die Erdoberfläche berührt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = s_1 + s_2 \approx \sqrt{2 R} \cdot \Big(\!\sqrt{h_1} + \sqrt{h_2}\Big) } (6a)

beziehungsweise wieder einheitenlos:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\mathbf{s}_{\mathrm{opt}}}{\textrm{km}} \approx 3{,}9\ \Big(\!\sqrt{\tfrac{\mathbf{h}_1}{\textrm{m}}} + \sqrt{\tfrac{\mathbf{h}_2}{\textrm{m}}}\Big)} . (6b)

Hinweise

Um die Sichtweite zu erreichen, ist es notwendig, dass sich das gesamte Gelände zwischen den Punkten unterhalb der Sichtlinie befindet; bezogen auf die ellipsoidische Höhe ist dies eine Parabel mit dem Scheitel im tiefsten Punkt, d. h. dem Schnittpunkt der beiden Katheten R und s, s₁ bzw. s₂.
Meteorologische Sichtbarkeit und Lichtverhältnisse/Sonnenstand werden hierbei nicht berücksichtigt.

Beispiele

Datei:Shiphorp.jpg

Teleobjektivaufnahme: Ein Teil des Schiffes am Horizont ist aufgrund der Erdkrümmung durch den gewölbten Meeresspiegel verdeckt.

Das rechte Bild entstand auf einer Blickhöhe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_1 = 2} m. Bei diesem Schiff am Horizont wird ein oberhalb der Wasserlinie befindlicher Teil des Schiffsrumpfs aufgrund der Erdkrümmung verdeckt. Daraus folgt bereits, dass das Schiff mehr als 5,6 km weit weg sein muss. Sind 5/10/15 Meter des Schiffsrumpfs nicht sichtbar, dann ist das Schiff weitere 9/12/15 km weit entfernt. (Werte entstammen der folgenden Tabelle.)

Die Tabelle zeigt einige Werte für die maximale optische Sichtweite unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion nach Formel (6b). Daran wird die Bedeutung der Höhe des Ausgucks von Schiffen deutlich: Von einem 15 m hohen Mast kann der Beobachter ein Schiff in 15 km Entfernung in kompletter Größe sehen. Umgekehrt sieht die Wache dort von 0 m Höhe aus am Horizont nur den Ausguck des anderen Schiffes.

Optische Sichtweiten s für Sichthöhen h
_{atmosphärischen Refraktion berücksichtigt
für h ≥ 1000 m dünner werdende Atmosphäre berücksichtigt}
Sicht- höhe	Sicht- weite	Sicht- höhe	Sicht- weite	Sicht- höhe	Sicht- weite	Sicht- höhe	Sicht- weite
01 m	03,9 km	010 m	012 km	100 m	039 km	1000 m	123 km
01,5 m	04,8 km	015 m	015 km	150 m	048 km	1500 m	150 km
02 m	05,6 km	020 m	018 km	200 m	056 km	2000 m	173 km
03 m	06,8 km	030 m	022 km	300 m	068 km	3000 m	210 km
04 m	07,9 km	040 m	025 km	400 m	079 km	4000 m	241 km
05 m	08,8 km	050 m	028 km	500 m	088 km	5000 m	269 km
06 m	09,6 km	060 m	030 km	600 m	096 km	6000 m	293 km
07 m	10,4 km	070 m	033 km	700 m	104 km	7000 m	315 km
08 m	11,1 km	080 m	035 km	800 m	111 km	8000 m	335 km
09 m	11,8 km	090 m	037 km	900 m	118 km	9000 m	354 km

Sicht aus großen Höhen

Skizze zur Bestimmung des Winkel-Sichtbarkeitsbereichs β auf der Erde

Bei Sicht aus großen Höhen (Aufklärungs-Flugzeuge, Wetterballons, Satelliten, Blick von Mond) treten weitere Aspekte auf:

Atmosphärische Effekte werden reduziert, da steiler durch die Atmosphäre geschaut wird.
Die Näherung der Gleichung (4) ist für größeren Höhen nicht mehr zulässig.
Es kann ein Mindestwinkel α gefordert werden, unter dem Objekte auf der Erde zu sehen sind.
Die Sichtweite kann statt in Kilometern in Nautische Meilen, als Winkel β in Bogengrad oder Radian oder als Fläche bzw. Prozentsatz der Erdoberfläche angegeben werden.

Diesmal führen wir die Berechnung mit Hilfe des Sinussatzes durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sin \omega_1}{x_1} = \frac{\sin \omega_2}{x_2}} , daraus folgt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_1 = \arcsin \left(\frac{x_1}{x_2} \sin \omega_2 \right)\ } . (7)

Bekannt sind zwei Seiten x₁ = R und x₂ = R + h sowie der der größeren Seite x₂ gegenüberliegende Winkel ω₂ = 90° + α.

Den gesuchten Winkel β_α erhält man unter Nutzung des Innenwinkel-Satzes:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_\alpha = \omega_3 = 180^\circ - \omega_1 - \omega_2\ } , (8)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_\alpha = 180^\circ - (90^\circ + \alpha) - \arcsin \left(\frac{R}{R+h} \sin\,(90^\circ + \alpha) \right) = 90^\circ - \alpha - \arcsin \left(\frac{R}{R+h} \cos \alpha \right) = \arccos \left(\frac{R}{R+h} \cos \alpha \right) - \alpha} (9)

Für eine Elevation von α = 0°, wenn die Oberfläche gerade am Rand zu erkennen sein soll, vereinfacht sich (9) zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_0 = \arccos \frac{R}{R+h}} . (10)

Aus β (kann β₀ oder β_α sein) kann die Sichtweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in Kilometer oder Nautischen Meilen berechnet werden (β in Radian, Radius in gewünschter Einheit):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = R \,\beta} (11)

oder die sichtbare Erdoberfläche durch Berechnung des Kugelsegments:

A=2\pi R^{2}(1-\cos \beta )

(12)

oder der Flächenanteil der Erde durch Division durch die Gesamtkugeloberfläche 4πR²:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A/A_{\mathrm{Erde}} = \tfrac{1}{2}(1 - \cos\beta)\ } . (13)

Beispiele

Aus einer Flughöhe von h = 10 km sieht ein Pilot einen Bereich auf der Erde von 2β₀ = 2 · 3,2° = 6,4°, entsprechend einem Kreis mit 713 km Durchmesser. Den Randbereich erkennt er nur streifend. Bei einem Mindest-Elevationswinkel von α = 10° reduziert sich der Winkelbereich auf 2β_α = 2 · 0,5° = 1,0°, entsprechend einem Kreis mit 111 km Durchmesser.
Ein geostationärer Satellit in h = 35.800 km Höhe erfasst maximal einen Bereich von 2β₀ = 2 · 81,3° = 162,6°.

Sichtweite für Elevationswinkel α = 0°
Flugobjekt	Flughöhe	Sichtweite Radius $\mathbf {s}$			Sichtweite Durchmesser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\mathbf{s}}			Sichtweite Fläche
Passagier-Flugzeug	10 km	3,2°	357 km	193 NM	6,4°	713 km	385 NM	0,400 Mio. km²	0,117 Mio. NM²	0,08 %
Flugzeug Lockheed SR-71	25 km	5,1°	563 km	304 NM	10,1°	1127 km	608 NM	0,997 Mio. km²	0,291 Mio. NM²	0,20 %
Internationale Raumstation	400 km	19,8°	2201 km	1188 NM	39,6°	4401 km	2377 NM	15,064 Mio. km²	4,392 Mio. NM²	2,95 %
Iridium-Satelliten	780 km	27,0°	3003 km	1622 NM	54,0°	6006 km	3243 NM	27,813 Mio. km²	8,109 Mio. NM²	5,45 %
Globalstar-Satelliten	1400 km	34,9°	3884 km	2097 NM	69,9°	7768 km	4194 NM	45,937 Mio. km²	13,393 Mio. NM²	9,01 %
GPS-Satelliten	20250 km	76,2°	8467 km	4572 NM	152,3°	16933 km	9143 NM	193,944 Mio. km²	56,545 Mio. NM²	38,04 %
Geostationäre Satelliten	35800 km	81,3°	9040 km	4881 NM	162,6°	18080 km	9762 NM	216,440 Mio. km²	63,104 Mio. NM²	42,45 %
Mondoberfläche	376330 km	89,0°	9900 km	5346 NM	178,1°	19800 km	10691 NM	250,709 Mio. km²	73,095 Mio. NM²	49,17 %
Lagrange-Punkt L2	1,5 Mio. km	89,8°	9979 km	5388 NM	179,5°	19958 km	10776 NM	253,874 Mio. km²	74,018 Mio. NM²	49,79 %
Pale Blue Dot	6 Mrd. km	90,0°	10006 km	5403 NM	180,0°	20012 km	10806 NM	254,952 Mio. km²	74,332 Mio. NM²	50,00 %

Sichtweite für Elevationswinkel α = 10°
Flugobjekt	Flughöhe	Sichtweite Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{s}}			Sichtweite Durchmesser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\mathbf{s}}			Sichtweite Fläche
Passagier-Flugzeug	10 km	0,5°	55 km	30 NM	1,0°	111 km	60 NM	0,010 Mio. km²	0,003 Mio. NM²	0,00 %
Flugzeug Lockheed SR-71	25 km	1,2°	133 km	72 NM	2,4°	267 km	144 NM	0,056 Mio. km²	0,016 Mio. NM²	0,01 %
Internationale Raumstation	400 km	12,1°	1344 km	726 NM	24,2°	2687 km	1451 NM	5,651 Mio. km²	1,648 Mio. NM²	1,11 %
Iridium-Satelliten	780 km	18,7°	2076 km	1121 NM	37,4°	4152 km	2242 NM	13,420 Mio. km²	3,913 Mio. NM²	2,63 %
Globalstar-Satelliten	1400 km	26,2°	2908 km	1570 NM	52,3°	5817 km	3141 NM	26,117 Mio. km²	7,615 Mio. NM²	5,12 %
GPS-Satelliten	20250 km	66,4°	7379 km	3984 NM	132,7°	14758 km	7968 NM	152,758 Mio. km²	44,537 Mio. NM²	29,96 %
Geostationäre Satelliten	35800 km	71,4°	7943 km	4289 NM	142,9°	15886 km	8578 NM	173,822 Mio. km²	50,678 Mio. NM²	34,09 %
Mondoberfläche	376330 km	79,1°	8790 km	4746 NM	158,1°	17580 km	9492 NM	206,570 Mio. km²	60,226 Mio. NM²	40,51 %
Lagrange-Punkt L2	1,5 Mio. km	79,8°	8868 km	4788 NM	159,5°	17735 km	9576 NM	209,635 Mio. km²	61,120 Mio. NM²	41,11 %
Pale Blue Dot	6 Mrd. km	80,0°	08894 km	4802 NM	160,0°	17788 km	09605 NM	210,680 Mio. km²	61,424 Mio. NM²	41,32 %

Korrektur durch Refraktion in der Atmosphäre

Für Beobachter außerhalb der Atmosphäre und für Objekte in Meereshöhe kann die Refraktion in der Atmosphäre am besten durch korrigierte Werte von α berücksichtigt werden. Die Korrektur entspricht der Astronomischen Refraktion der bodennahen Schichten, nur mit umgekehrtem Strahlweg.

Die vom United States Naval Observatory verwendete Formel^[9] lautet:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha _{\mathrm {korr} }=\alpha -\cot _{\mathrm {deg} }\left(\alpha +{\frac {7.31}{\alpha +4.4}}\right)\,} ,

wobei $\alpha$ die Horizontdistanz in Grad und $\cot _{\mathrm {deg} }$ der Kotangens mit dem Argument in Grad ist. Der Wert $\cot _{\mathrm {deg} }$ gibt die Korrektur in Winkelminuten an.

α	α_korr	α	α_korr	α	α_korr
00°	−0,57°	02°	1,70°	10°	09,91°
00,5°	+0,02°	03°	2,76°	15°	14,94°
01°	+0,59°	05°	4,84°	20°	19,95°

Geografische Sichtweite

Die geografische Sichtweite hängt von der Höhe des Beobachtungsortes und der Topologie seiner näheren und ferneren Umgebung ab. Daneben können auch Bebauung und Bewuchs und somit auch die Jahreszeit eine erhebliche Rolle spielen.

Sichtweite unter Wasser

Reines Meerwasser hat im Bereich des sichtbaren Lichts eine Extinktionslänge 1/σ von etwa 1,7 m (λ = 700 nm, langwelliges rot) bis etwa 100 m (λ = 450 nm, blau). Bei Tauchgängen in Naturgewässern gilt eine Sichtweite von 40 m als außerordentlich gut. Die Sicht kann getrübt werden durch Schwebeteilchen (Plankton, Blütenstaub, Wüstensand), durch Schwemmteilchen in Strömungen (Flussmündung) oder durch Abwässer und die Einleitung chemischer Stoffe.

Sichtweite auf anderen Himmelskörpern mit fester Oberfläche

Keine oder dünne Atmosphäre

Auf Himmelskörpern mit keiner oder sehr dünner Atmosphäre gelten bei angepasstem Radius die gleichen Formeln wie auf der Erde, vorausgesetzt der Himmelskörper ist näherungsweise kugelförmig.

Körper	Radius	Sichtweite	Bemerkungen
Ceres	0480 km	$0{,}98\ {\sqrt {\mathbf {h} }}$
Mond	1737 km	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 1{,}86\ {\sqrt {\mathbf {h} }}}
Merkur	2440 km	$2{,}1\ {\sqrt {\mathbf {h} }}$
Mars	3390 km	$2{,}6\ {\sqrt {\mathbf {h} }}$	Dünne Atmosphäre kann vernachlässigt werden. Staubstürme können meteorologische Sichtweite auf weniger als 1 km verringern.

Dichte Atmosphäre

Wäre die Atmosphäre der Erde knapp sechs Mal dichter als gegenwärtig, wäre die optische Sichtweite nicht nur um 10 % größer, sondern man könnte wesentlich weiter sehen, da sich Licht parallel zur Erdoberfläche ausbreiten würde. Das $k$ in der Formel würde bei diesem Druck etwa gegen 1 gehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\textrm{opt} = \frac {R} {1 - k}}

was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R_{\textrm {opt}}} gegen unendlich gehen lässt.

Himmelskörper mit noch dichterer Atmosphäre brechen Licht noch stärker zum Himmelskörper hin, so dass Wellenleiterstrukturen entstehen und der Horizont so weit angehoben wird, dass die wahrgenommene Oberfläche konkav wird. Dieser Effekt tritt in der dichten Atmosphäre der Venus auf. Allerdings gibt es auch dort eine maximale Sichtweite und einen Horizont, ab einer Grenz-Elevation verlässt der Blickstrahl die Venus. Siehe Venera 13.

Siehe auch

Weblinks

Wiktionary: Sichtweite – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

How Much of the Earth Can You See at Once? (25 min, englisch)
Zeigen von geografischer Sichtweite und Horizontlinie (heywhatsthat.com)
Zeigen von Gipfeln am Horizont (peakfinder.org)

Einzelnachweise

↑ unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion und der dünner werdenden Atmosphäre kann ein stehender Beobachter (aus Augenhöhe) ab einer Entfernung von mehr als 5km nur noch Objekte wahrnehmen, die mindestens ... Meter hoch sind. Siehe Formel 6b weiter unten. Die Werte sind dazu der weiter unten stehenden Tabelle entnommen.
↑ Exzellente Fernsicht dank Alpenföhn. Auf: wetter-eggerszell.de; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.
↑ Jalandhar residents were left amazed as they get view of Himalayan range. (View Himalayan from Jalandar) Auf: deccanchronicle.com vom 6. April 2020 (letztes Update); zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.
↑ Lew Wassiljewitsch, Tarassow und Albina Nikolajewna Tarassowa: Zu welchen optischen Täuschungen führt die Lichtbrechung in der Erdatmosphäre? In: Der gebrochene Lichtstrahl. Kleine Naturwissenschaftliche Bibliothek, Band 63, Viehweg & Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-00391-1.
↑ Christian Hirt, Sébastien Guillaume, Annemarie Wisbar, Beat Bürki, Harald Sternberg: Monitoring of the refraction coefficient in the lower atmosphere using a controlled set-up of simultaneous reciprocal vertical angle measurements. In: Journal of Geophysical Research. Band 116, Nr. D21, 2. November 2010, doi:10.1029/2010JD014067.
↑
trockene Normatmosphäre:
- $\epsilon _{\mathrm {r} }=1{,}000\,054\,8$ (berechnet aus Messungen aus Dielectric Permittivity of Eight Gases Measured with Cross Capacitors. für 15 °C, 101325 Pa, 78 % N₂, 21 % O₂, 1 % Ar), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{\mathrm{r}} = 1{,}000\ 000\ 4} (Magnetische Permeabilität),
  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{radio}} = \sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}} = 1{,}000\,027\,6} .
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{1500 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,330} (Quelle: refractiveindex.info: Brechungindices aus der Sellmeier-Gleichung),
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{550 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,784} .
↑ JS28 Integration of Techniques and Corrections to Achieve Accurate Engineering - Jean M. Rüger: Refractive Index Formulae for Radio Waves. Auf: fig.net vom 19.–26. April 2002; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.
↑ Wellenausbreitung. Auf: ivvgeo.uni-muenster.de; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.
↑ G.G. Bennett: The Calculation of Astronomical Refraction in Marine Navigation. In: Journal of Navigation. Band 35, Nr. 2, 1982, S. 255–259. bibcode:1982JNav...35..255B. doi:10.1017/S0373463300022037.

[1] unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion und der dünner werdenden Atmosphäre kann ein stehender Beobachter (aus Augenhöhe) ab einer Entfernung von mehr als 5km nur noch Objekte wahrnehmen, die mindestens ... Meter hoch sind. Siehe Formel 6b weiter unten. Die Werte sind dazu der weiter unten stehenden Tabelle entnommen.

[2] Exzellente Fernsicht dank Alpenföhn. Auf: wetter-eggerszell.de; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.

[3] Jalandhar residents were left amazed as they get view of Himalayan range. (View Himalayan from Jalandar) Auf: deccanchronicle.com vom 6. April 2020 (letztes Update); zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.

[4] Lew Wassiljewitsch, Tarassow und Albina Nikolajewna Tarassowa: Zu welchen optischen Täuschungen führt die Lichtbrechung in der Erdatmosphäre? In: Der gebrochene Lichtstrahl. Kleine Naturwissenschaftliche Bibliothek, Band 63, Viehweg & Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-00391-1.

[5] Christian Hirt, Sébastien Guillaume, Annemarie Wisbar, Beat Bürki, Harald Sternberg: Monitoring of the refraction coefficient in the lower atmosphere using a controlled set-up of simultaneous reciprocal vertical angle measurements. In: Journal of Geophysical Research. Band 116, Nr. D21, 2. November 2010, doi:10.1029/2010JD014067.

[6] trockene Normatmosphäre:
$\epsilon _{\mathrm {r} }=1{,}000\,054\,8$ (berechnet aus Messungen aus Dielectric Permittivity of Eight Gases Measured with Cross Capacitors. für 15 °C, 101325 Pa, 78 % N₂, 21 % O₂, 1 % Ar), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{\mathrm{r}} = 1{,}000\ 000\ 4} (Magnetische Permeabilität),
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{radio}} = \sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}} = 1{,}000\,027\,6} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{1500 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,330} (Quelle: refractiveindex.info: Brechungindices aus der Sellmeier-Gleichung),

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{550 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,784} .

[7] $\epsilon _{\mathrm {r} }=1{,}000\,054\,8$ (berechnet aus Messungen aus Dielectric Permittivity of Eight Gases Measured with Cross Capacitors. für 15 °C, 101325 Pa, 78 % N₂, 21 % O₂, 1 % Ar), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{\mathrm{r}} = 1{,}000\ 000\ 4} (Magnetische Permeabilität),
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{radio}} = \sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}} = 1{,}000\,027\,6} .

[8] Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{1500 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,330} (Quelle: refractiveindex.info: Brechungindices aus der Sellmeier-Gleichung),

[9] Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{\mathrm{550 \mathrm{\mu m}}} = 1{,}000\,027\,784} .

[7] JS28 Integration of Techniques and Corrections to Achieve Accurate Engineering - Jean M. Rüger: Refractive Index Formulae for Radio Waves. Auf: fig.net vom 19.–26. April 2002; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.

[8] Wellenausbreitung. Auf: ivvgeo.uni-muenster.de; zuletzt abgerufen am 27. Dezember 2020.

[Bennett1982-9] G.G. Bennett: The Calculation of Astronomical Refraction in Marine Navigation. In: Journal of Navigation. Band 35, Nr. 2, 1982, S. 255–259. bibcode:1982JNav...35..255B. doi:10.1017/S0373463300022037.

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