Skalengesetz

Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= b c^{x}} ,

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = b x ^ c} ,

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} und $c$ reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t)= c e^{t}}

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot x=x}

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt, z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehung, die auf Potenzgesetzen beruhen, sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(ax) = b (ax)^c = a^c b x^c = a^c f(x) \propto f(x)}

d. h., dass $f(ax)$ proportional Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} ist und sich die Charakteristika von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.

Beispiele

Statistik

Benfords Gesetz: besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ziffern der ersten Stelle von Häufigkeitszahlen, die aus natürlichen Verteilungen gewonnen wurden, der Beziehung f_D = log(1+1/D) genügt. D. h., in gut 30 % aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle, in 17 % die 2 usw.

Biologie

Geoffrey West^[1]^[2] führt die Universalität von Skalengesetzen in der Biologie auf folgende Punkte zurück:

Organismen aller Größenordnungen werden von hierarchisch verzweigten Stoffwechsel-Versorgungsnetzen am Leben erhalten.
Diese Netzwerke sind raumfüllend (und oft fraktal).
Die Endpunkte dieser Netzwerke sind invariant.
Die Evolution hat die Energiedissipation der Organismen minimiert und/oder die Oberflächen maximiert, über die der Ressourcenaustausch stattfindet.

Aus diesen Prinzipien scheinen sich wenigstens die Allometrien mit sehr einfachen Skalengesetzen (die Exponenten tendieren dazu, ganzzahlige Vielfache von 1/4 zu sein) ableiten zu lassen.

Beispiele sind die Beziehungen zwischen

Metabolismusrate U und Körpermasse M, auch Gesetz der Stoffwechselreduktion, Gesetz der Reduktion spezifischer Stoffwechselraten oder Allometrie genannt: $U=aM^{b}$ mit $b\approx 3/4$
der Masse der weißen und der grauen Substanz im Säugergehirn
Baumstammbasisdurchmesser und Gesamtlaubwerkfläche
Baumstammdurchmesser und der Häufigkeit der Baumexemplare in einem Wald

Chemie

Häufigkeit der chemischen Elemente in der Erdkruste (Goldschmidt-Diagramm)

Modernes Goldschmidt-Diagramm

Physik

Stefan-Boltzmann-Gesetz : …
1/f-Rauschen: Bei dem 1/f-Rauschen folgt die Amplitudenverteilung des Rausch-Signals einem Skalengesetz, genauer gesagt einem Potenzgesetz: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(f) = f^{-\alpha}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(f)} die Amplitude zu einer Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} bezeichnet, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \approx 1} ; daher auch die Bezeichnung 1/f-Rauschen (wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}=1/f} ).
Statistische Physik: Kritisches Verhalten bei Phasenübergängen zweiter Art. Dieses Verhalten, z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M \sim |T-T_\mathrm{c}|^\beta} , mit der Magnetisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , der kritischen Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\mathrm{c}} und dem kritischen Exponenten $\beta$ , ist beschrieben unter Skaleninvarianz.
Hochenergiephysik: Hier beobachtet man in der Tat ebenfalls sog. kritische Exponenten, die man in der Sprache der Hochenergiephysik als anomale Dimensionen bezeichnet.
Thomsonsche' Geschwindigkeitsskalierung: Für hohe Energien hängt der Wirkungsquerschnitt für die Elektronenstoßionisation in isoelektronischen Reihen nur noch von $\left({\tfrac {E}{m}}\right)_{\text{Projektil}}$ ab.

Linguistik

Internet

Das Internet ist ein riesiges Netzwerk mit emergenten Phänomenen wie selbstähnlicher Skalierung in den Burst-Mustern seines Datenverkehrs und skalenfreier Struktur in der Verbindungstopologie.^[3]

Weblogs

Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken bevorzugt – d. h. mit höherer Wahrscheinlichkeit – auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter.^[4] Dieser Verlinkungs-Algorithmus ist übrigens auch die Regel für die Erstellung eines skalenfreien Netzes.

Wirtschaftswissenschaften

Hauptartikel: Pareto-Verteilung : ...

Siehe auch

Weblinks

Wie Erdbeben einen Nutzen bekommen. Auf: wissenschaft.de vom 10. Januar 2008.

Einzelnachweise

↑ Geoffrey West: Scaling Laws in Biology: Growth, Mortality, Cancer and Sleep, abgerufen am 16. Dezember 2014.
↑ G. B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist. A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology. in: Science. Washington 276.1997, 5309, S. 122–126. ISSN 0036-8075
↑ W. Willinger, R. Govindan, S. Jamin, V. Paxson, S. Shenker: Scaling phenomena in the Internet. Critically examining criticality. in: Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Suppl 1. Washington 99.2002, (19. Febr.), 2573-2580. ISSN 0027-8424
↑ shirky.com: Power Laws, Weblogs, and Inequality

[1] Geoffrey West: Scaling Laws in Biology: Growth, Mortality, Cancer and Sleep, abgerufen am 16. Dezember 2014.

[2] G. B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist. A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology. in: Science. Washington 276.1997, 5309, S. 122–126. ISSN 0036-8075

[3] W. Willinger, R. Govindan, S. Jamin, V. Paxson, S. Shenker: Scaling phenomena in the Internet. Critically examining criticality. in: Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Suppl 1. Washington 99.2002, (19. Febr.), 2573-2580. ISSN 0027-8424

[4] shirky.com: Power Laws, Weblogs, and Inequality

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