Homomorphismus

Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriechisch ὁμός homós ‚gleich‘, und altgriechisch μορφή morphé ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich (strukturtreu) sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Struktur der Ausgangsmenge verhalten.

Homomorphismen algebraischer Strukturen

Definition

Es seien ${\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i})_{i\in I})$ und ${\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i})_{i\in I})$ zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ $\sigma =(m_{i})_{i\in I},$ so dass für jedes $i$ die Zahl $m_{i}\in \mathbb {N} _{0}$ die (übereinstimmende) Stelligkeit der fundamentalen Operationen $f_{i}$ und $g_{i}$ bezeichnet. Eine Abbildung $\varphi \colon A\to B$ heißt Homomorphismus von ${\boldsymbol {A}}$ nach ${\boldsymbol {B}},$ wenn für jedes $i$ und für alle $a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}\in A$ gilt:

$\varphi (f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}))=g_{i}(\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{m_{i}}))$.

Beispiele

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen Gruppen. Gegeben seien zwei Gruppen $(G,*)$ und $(H,\star ).$ Eine Funktion

$\phi \colon G\to H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $g_{1},g_{2}\in G$ gilt:

$\phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).$

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

$\phi (e_{G})=e_{H}$

für die neutralen Elemente $e_{G}\in G,e_{H}\in H$ und dann

$\phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}$

für alle $g\in G$ gelten muss sowie, mittels vollständiger Induktion, dass

$\phi (g_{1}*\ldots *g_{n})=\phi (g_{1})\star \ldots \star \phi (g_{n})$

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt.

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

• Gruppenhomomorphismus
• Ringhomomorphismus
• Körperhomomorphismus
• Vektorraumhomomorphismus (Lineare Abbildung)
• Auswertungshomomorphismus der Termalgebra
• Modulhomomorphismus
• Algebrenhomomorphismus
• Lie-Algebren-Homomorphismus

Eigenschaften

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten.

Komposition von Homomorphismen

Wenn $\phi \colon G\to H$ und $\psi \colon H\to J$ Homomorphismen sind, dann ist auch die durch

$(\psi \circ \phi )(g):=\psi (\phi (g))$ für alle $g\in G$

definierte Abbildung $\psi \circ \phi \colon G\to J$ ein Homomorphismus.

Untergruppen, Bild, Urbild, Kern

Wenn $\phi \colon G\to H$ ein Homomorphismus ist, dann ist für jede Untergruppe $U\subseteq G$ auch

$\phi (U):=\left\{\phi (g)\mid g\in U\right\},$

genannt das Bild von $U$ unter $\phi$, eine Untergruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} . Speziell wird die Untergruppe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Bild}(\phi):=\phi(G)\subseteq H}

als Bild von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\subseteq H} auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi^{-1}[V]:=\phi^{-1}(V):=\left\{g\in G \mid \phi(g)\in V\right\},}

genannt das Urbild von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} , eine Untergruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} . Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Kern}(\phi):=\phi^{-1}(e_H) := \phi^{-1}[\{e_H\}]\subseteq G,}

wird als Kern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} bezeichnet. Sie ist sogar ein Normalteiler.

Isomorphismen

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi\colon G\to H} ein bijektiver Homomorphismus ist, dann ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi^{-1}\colon H\to G} ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi^{-1}} Isomorphismen sind.

Homomorphiesatz

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi\colon G\to H} ein Homomorphismus ist, dann induziert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} einen Isomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G/\operatorname{Kern}(\phi)\cong \operatorname{Bild}(\phi)}

der Quotientengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G / \operatorname{Kern}(\phi)} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Bild}(\phi)} .

Homomorphismen relationaler Strukturen

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren.

Definition

Es seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol A = (A,(R_i))} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol B = (B,(S_i))} zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n_i),} sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_i \in \N} für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} die Stelligkeit der Relationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_i} bezeichnet. Eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi\colon A \to B} heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol A} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol B,} wenn sie für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} und für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1,\ldots,a_{n_i} \in A} die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_1,\ldots,a_{n_i}) \in R_i \Rightarrow (\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_{n_i})) \in S_i.}

Schreibweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi\colon \boldsymbol A \to \boldsymbol B.}

Da jede Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A^n\to A} als Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\subset A^{n+1}} beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten.

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_1,\ldots,a_{n_i}) \in R_i \Leftrightarrow (\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_{n_i})) \in S_i} ,

so spricht man von einem starken Homomorphismus.

Beispiele

• Homomorphismen algebraischer Strukturen (diese sind auch stets starke Homomorphismen)
• Ordnungshomomorphismus
• Graphenhomomorphismus
• Homomorphismen in der Inzidenzgeometrie, zum Beispiel Homomorphismus projektiver Räume
• Homomorphismus zwischen Modellen

Verallgemeinerungen

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

• ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist verträglich mit beliebigen (auch unendlichen) Vereinigungen und Durchschnitten

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

• ein Homomorphismus topologischer Gruppen ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
• ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist ein glatter Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen

Der Begriff erfährt auch eine Verallgemeinerung für heterogene Algebren, siehe Heterogene Algebra: Homomorphismen.

Siehe auch

• Morphismus (Kategorientheorie)
• Verträglichkeit (Mathematik)
• Epimorphismus
• Monomorphismus
• Isomorphismus
• Einbettung
• Endomorphismus
• Automorphismus
• Subquotient

Literatur

• Serge Lang: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 211). 3., überarb. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
• Nathan Jacobson: Basic algebra. I. 2. Auflage. W. H. Freeman and Company, New York 1985, ISBN 0-7167-1480-9.
• Thomas W. Hungerford: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 73). Springer-Verlag, New York/ Berlin 1980, ISBN 0-387-90518-9. (Nachdruck der Ausgabe 1974)
• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence (RI) 1973, ISBN 0-8218-1025-1, S. 134–136. 
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8, S. 112–113. 
• Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, S. 55–62, 147. 
• George Grätzer: Universal Algebra. 2., aktualisierte Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-77486-2, S. 223–224, doi:10.1007/978-0-387-77487-9 (Erstausgabe: 1979). 
• Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. Band 1: Moderne Algebra. Springer, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg/ New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 27–30. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19. 

Weblinks

Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen