Diskussion:Homomorphismus

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Diskussionen ohne Überschriften

(R, *, +, 1, 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in der Schulmathematik) ein Körper.

da fehlt doch noch das inverse Element ^-1. Sonst wäre es lediglich ein Ring mit Eins. Gehört ^-1 zu den Verknüpfungen? IMHO nicht. wo sollte es also eingefügt werden? Am besten am Ende, dann müsste aber jemand die Legende umschreiben (oder ganz weglassen, verwirrt eh mehr als sie hilft). --Head 20:09, 26. Sep 2003 (CEST)

Hi - melde mich seit langem mal wieder zu Wort (bin der Orignal-Autor). Die Existenz von Inversen ergibt sich aus der Definition der Gruppe/des Ringes, die fordert, dass zu der Abbildung und jedem Element ein solches Element existieren muss. Darum muss das nicht extra erwähnt werden. Man muss allerdings benennen, wie die Verknüpfung heisst, wenn man drüber reden möchte, genau darum schreibt man überhaupt nur das Tupel hin. Genauso mit den neutralen Elementen. Im gewöhnlichen Gebrauch läßt man die doch sogar für gewöhnlich weg Sei R ein Ring mit Eins, dann ist implizit klar, was gemeint ist. --Doegi 05.06.2004

In der universellen Algebra würde man die Angabe von neutralem Element und Inversenabbildung als 0- bzw. 1-stellige Verknüpfung zwingend benötigen. Ich habe bisher die Inversenabbildung noch nie in der Angabe der Struktur gesehen. Das ist erklärbar durch die Axiome, die zwar auf die Verknüpfung Bezug nehmen, aber das neutrale Element und das Inverse durch einen Existenzquantor beschaffen. Auch das neutrale Element wird meist nur angegeben, wenn man sich im Folgetext darauf bezieht. Meinst du mit Legende den Satz "Im folgenden bezeichne (A, f, g, h, ..., a, b, c, ...) eine Struktur, so dass A die Trägermenge ist, f, g, h Verknüpfungen (z.B. "*" oder "+") und a, b, c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen. " ? Der ist in der Tat etwas zu speziell.

Der Grund, warum ich das ursprünglich schrieb, war, dass ich das Fundament für generelle Homomorphismen schaffen wollte, schliesslich gibt es Homomorphisme zwischen allem, was nur irgendwie nach Struktur klingt :-) Die genaue Def. hab ich irgendwo in meinen Unterlagen, aber noch keine Zeit gehabt, nachzusehen. Da die Ausführungen wie unten (Gruppe, Ring) eigentlich nur speziell sind und dem Verständnis dienen sollten, hatte ich oben schon angefangen, das mal halbwegs abstrakt aufzuschreiben. Deshalb auch der Text ganz oben. Dazu muss man sich halt auf eine Schreibweise einigen. Meinetwegen kann der weg. (Doegi, 05.06.2004)

Ich denke, man sollte den Artikel so umschreiben, dass man sich erst speziell auf Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume bezieht, und danach eine Verallgemeinerung auf beliebige algebraische Strukturen definiert. Siehe dazu die Ausführungen bei universelle Algebra. --SirJective 21:41, 26. Sep 2003 (CEST)

Hmm, das ist dummerweise ne Crux: Ich würde am liebsten Homomorphismus hier nur GANZ ALLGEMEIN definieren, und bei den verschiedenen Strukturen (Gruppen, Ringe, etc) näher drauf eingehen. Denn jede Struktur hat auch wieder andere Eigenschaften zusammen mit dem Homomorphismus. Andererseits sind diese Eigenschaften wiederrum so ähnlich, dass es irgendwie duplizieren von Inhalt wäre (Krampf zur Pflege), wenn man das überall extra reinschreibt. Vgl. z.B. Kern von Gruppen-Hom. vs. Ring-Hom.: Beweis zur Injektivität geht analog, beim Ring ist der Kern allerdings ein Ideal, bei der Gruppe ein Normalteiler. Beim Körper gibt's nur die eine Möglichkeit. Darum hatte ich das jetzt erstmal hier so zusammen reingeschrieben. Wenn jemand hingehen möchte, und das ganz wirklich "toll" machen will, würde ich - wie gesagt - hier nur Homoorphis formal definieren, und dann bei Bezug auf gewisse Strukturen (Gruppen, Ringe, Vektorräume, Topologien, blbalbla, wir haben selbst in der Logik Hom!) auf jeder Seite extra drauf eingehen, mit dem Risiko, dass man einige Änderungen dann auf verschiedenen Seiten parallel pflegen muss. Wenn's jemand machen möchte: nur zu! :-) (Doegi 05.06.2004)

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Ich denke, am Anfang eines solchen Artikels sollte immer eine "volkstümlich" verständliche verbanle Definition stehen. Ich habe eine versucht. Immerhin gibt es Homomorphismen auch außerhalb der Mathematik. Außerdem habe ich eine Gliederung eingefügt, in der Hoffnung, keinen Zusammenhang "zerstört" zu haben. --Hutschi 11:13, 2. Apr 2004 (CEST)

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Hallo, melde mich seit langem mal wieder zu Wort :-)

@Doegi: Es ist etwas verwirrend, wenn du deine Diskussionsbeiträge mitten in eine Diskussion reinsetzt, die bereits ein Dreivierteljahr alt ist. Schreib bitte in Zukunft deine Antworten unter den Beitrag, auf den du antwortest, und bei einer so alten Diskussion fängst du vielleicht lieber ganz unten an.

Ich plädiere dafür, in der Einleitung darauf hinzuweisen, dass es Homomorphismen "zwischen allem [gibt], was nur irgendwie nach Struktur klingt :-)" - natürlich in etwas ernster klingenden Worten - und dann aber mit den einfachsten Strukturen zu beginnen. Nach Verweisen auf Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus und lineare Abbildung kann dann der allgemeine Homomorphismusbegriff der universellen Algebra kommen. Dann würde ich zu anderen, weniger abstrakt algebraische, Homomorphismenbegriffen kommen: stetige Funktion als Topologie-Homomorphismus und Homöomorphismus als zugehöriger Isomorphismus, und was es sonst noch so gibt.

Die Verdoppelungen von Sätzen über Homomorphismen würde ich in Kauf nehmen, da der Kern einen Homomorphismus außerhalb rein algebraischer Strukturen anders definiert werden muss.

Der Begriff des Morphismus aus der Kategorientheorie gehört mMn nicht hierher, sondern nur verlinkt, als Verallgemeinerung des Homomorphismusbegriffs. (Es gibt die Kategorie, deren einziges Objekt der Nullpunkt der euklidischen Ebene ist, und deren Morphismen geschlossene Kurven durch den Nullpunkt sind. Diese Kurven würde ich nicht als "Homomorphismen" des Nullpunkts bezeichnen.) --SirJective 17:16, 10. Jun 2004 (CEST)

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Ich hatte mal einen Matheprofessor, der hat immer tierisch hektisch geschrieben und alles abgekürzt. "Gruppenhomomorphismus" wurde an der Tafel immer zu "Gruppenhomo", was für reichlich Lacher sorgte. Leider hat er mir mit seiner hektischen Art die Mathematik soweit verleidet, daß ich die Scheine nur mit Hängen und Würgen bekommen habe und nun für Vordiplom alles nochmal neu lernen muß. Glücklicherweise gibt es die Wikipedia, da habe ich eine gute Übersicht... --Elfboi 12:25, 28. Okt 2004 (CEST)

Also ich hab gerade mal eine Definition des Homomorphismus gesucht. Da hab ich diese Seite gefunden. Aber unter Allgemeine mathematische Definition steht blos dass man das definieren kann. Wenn das dort auch definiert werden würde, wäre das bestimmt nicht schlecht.

Das ist wohl wahr. Generell ist ein Homomorphismus einfach eine Abbildung, die mit den jeweiligen Strukturen kompatibel ist. Z.B. gibt es bei Ringen die Strukturen (A) Multiplikation (B) neutrales Element (C) inverses Element, und ein Homomorphismus ist eine Abbildung $f\colon G\to H$, für die

• (A) $f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})$
• (B) $f(e_{G})=e_{H}$
• (C) $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$

gilt. Im Fall von Gruppen folgen (B) und (C) aus (A), aber das muss nicht immer so sein: Beispielsweise muss ein Ringhomomorphismus im Sinne einer Abbildung, die Summen und Produkte erhält, nicht notwendigerweise das Einselement auf das Einselement abbilden; häufig wird das deshalb zusätzlich gefordert.--Gunther 21:46, 6. Feb 2006 (CET)

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Jo, dem Artikel fehlt in der Tat noch etwas, wenn man in den Diskussions-Teil schauen muss, um zu erfahren, was konkret für einen Homomorphismus gefordert wird. --Maulwurf 12.03.06

Ringhomomorphismus

Ich hab mal " *$f(1_{R})=1_{S}$. " entfernt, denn sollten in R und S ein 1 Element existieren, so folgt aus $f(x)=f(x\cdot 1_{R})=f(x)\otimes f(1_{R})=f(x)\otimes 1_{S}=f(x)$ für alle x, dass $f(1_{R})=1_{S}$. Die Bemerkung ist also in der Definition nicht notwendig. --Gruß Azrael. 18:05, 10. Okt. 2006 (CEST)

Das ist falsch, die Nullabbildung ist kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, falls der Zielring nicht der Nullring ist.--Gunther 18:27, 10. Okt. 2006 (CEST)

Entschuldigung ich hab das "...mit Einselement" übersehen, aber wenn man die Definition so umformuliert dann würde es doch stimmen, oder?

Es seien $(R,+,\cdot )$ und $(S,\oplus ,\otimes )$ Ringe und $f\colon R\to S$ eine Abbildung. $f$ heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

• $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$ für alle $a,b\in R$ (d.h. $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $(R,+)$ nach $(S,\oplus )$),
• $f(a\cdot b)=f(a)\otimes f(b)$ für alle $a,b\in R$

Dann ist die Nullabbildung auch kein Problem mehr. Gruß Azrael. 23:51, 10. Okt. 2006 (CEST)

Hab mal nochmal drüber nachgedacht, die Nullabbildung war auch vorher kein Problem. Denn $f(x)\otimes f(y)=0\otimes 0=0=f(x\cdot y)$ ist für alle x,y eine wahre Aussage und mehr hab ich in der Definition auch nicht gefordert. Gruß Azrael. 03:34, 11. Okt. 2006 (CEST)

Man könnte es so machen, aus verschiedenen Gründen will man die Nullabbildung aber nicht. Z.B. gibt es eine Bijektion zwischen Ringhomomorphismen $f\colon \mathbb {Z} [T]\to A$ und $A$, indem man $f$ auf $f(T)$ abbildet. Gunther aka 84.245.187.118 11:54, 11. Okt. 2006 (CEST)

Struktur

Ich fände es besser, nicht mit "Allgemeine mathematische Definition" zu beginnen, sondern mit Beispielen, und möglichst viel gewöhnliche Sprache zu verwenden; die mathematische Formelsprache also nur, wo es unbedingt nötig ist. Zwei didaktische Regeln:

1) Vom Speziellen zum Allgemeinen.

2) Keine Definition ohne Beispiele!

Weiter ist unter "Körperhomomorphismus ..." die Rede von der "Nullpunktsgerade" (eine Abbildung??). Das verstehe ich nicht und sollte m. E. erläutert werden. Ich will den Artikel aber nicht selbst umschreiben. --Hanfried.lenz 10:19, 29. Sep. 2007 (CEST).

Das mit den Beispielen würd ich genauso sehen, allerdings denk ich das es für eine Enzyklopädie-die vor allem ein Nachschlagewerk sein soll-günstiger ist wenn man vom Algemeinem zum Speziellen geht. Da man so viel schneller die relevanten Informationen findet. Bei Lehrbüchern und Vorlesungen sieht es dann schon wieder anders aus... Gruß Azrael. 14:48, 29. Sep. 2007 (CEST)

Alle sind sich einig, und niemand hat Ahnung. =) --WissensDürster 14:39, 25. Mär. 2009 (CET)

Muss hier noch etwas gemacht werden oder hat sich das inzwischen erledigt? Inzwischen sind ja schon einige Beispiele im Artikel und ich habe gerade nochmals zwei hinzugefügt. Wenn ihr weitere wollt, gebt mir bitte an wo. --Martin Thoma 12:11, 15. Aug. 2012 (CEST)

Definitionsmangel, Fachsimpeleien, Unuebersichtlichkeit

Ich denke auch, man sollte eine allgemeine mathematische Definition nur ankuendigen, wenn man sie dann auch liefern kann. Das habe ich bisher auch in der Diskussion nicht gesehen, hoechstens eine "allgemeine Idee".

Der englische Artikel geht den Weg, von der Seite zu Homomorphismen zu speziellen Homomorphismen zu verzweigen. Dadurch spart man sich das mehrfache Lesen gleicher Saetze, findet aber dennoch, was man sucht. Ich suchte z.B. die Def. eines H. ueber einem Vektorraum. Diese finde ich nur sehr implizit im Text, verschnoerkelt mit Fachsimpeleien nach Art von "Da jeder Körper K auch ein K-Vektorraum ist, ist die Nullpunktsgerade selbstverständlich auch linear". Was soll dieser Satz, abgesehen von ein wenig Koketterie? Zumindest diesen Teil wuerde ich gerne aendern. --Tyro 12:19, 23. Jan. 2008 (CET)

Auch wenn ich universelle Algebra noch nicht hatte, find ich die Einteilung des Artikels sinvoll, man verweist am Anfang des Artikel auf die dort verwendeten allgemeinen und sehr abstrakten Begriffe Morphismus und Homomorphismus, mit denen man sich das Lesen der hier verwendeten Begriffe des Gruppen- bzw. Ringhomomorphismus sparen könnte.(Wobei man sich aber erstmal mit Kategorientheorie oder Universeller Algebra auseinandersetzen muss, was Stoff des Hauptstudiums ist..)

Aber gleichzeitig erläutert der Artikel Gruppen- bzw. Ringhomomorphismen, welche Beispiele für besonderen Homomorphismen sind, die man im Großteil aller Fälle mit dem Begriff Homomorphismus meint. Was den Homomorphismus von Vektorräumen angeht, verweist der Artikel zu recht auf lineare Abbildungen, die die gängigere Bezeichnung ist...Gruß Azrael. 17:17, 23. Jan. 2008 (CET)

Einleitung

strukturerhaltende Abbildung das kann ja alles und nichts sein. Eine Abbildung ist eine Funktion. Und was ist die Struktur einer Funktion? Und wieso wird diese erhalten? Ist f(x)=2x nicht strukturerhaltend? Ich würde ja sagen Einleitung sei nicht oma-tauglich, aber es fehlt ja sogar eine fach-spezifische Erklärung. Was ist denn nun ein Homomorphismus. Das holen auch die paar sehr spezielles Beispiele für alg. Strukturen nicht mehr raus. Hier fehlt einfach was. Vllt. kann ich noch was zu KörperH. schreiben, da steht ja auch nichts... --WissensDürster 14:34, 25. Mär. 2009 (CET)

Nicht die Struktur der Abbildung wird erhalten, sondern die betreffende Abbildung erhält die algebraische Struktur ihrer Quelle. So ist das Bild eines Gruppenhomomorphismus stets wieder eine Gruppe, das eines Ringhomomorphismus wieder ein Ring usw. Dies wird erreicht indem mensch fordert, dass es unerheblich ist, ob zuerst in der Quelle verknüpft wird und dann abgebildet oder zu erst abgebildet wird und anschließend in der Zielmenge verknüpft. Alles in allem halte ich daher den Begriff strukturerhaltende Abbildung für eine hervorragende Beschreibung für einen Homomorphismus.

LG --86.56.98.22 16:13, 12. Sep. 2012 (CEST)

Weil ich gerade über den Artikel stolpere. Die Einleitung finde ich aus eineinhalb Gründen auch missverständlich :

1. Ist richtigerweise einmal von zwei 'Mathematischen Strukturen' die Rede, gleich darauf aber von zwei Mengen. Das ist erstens unverständlich und zweitens falsch, gerade in diesem Zusammenhang ist es ja entscheidend, dass beide Mengen erstmal überhaupt mit Strukturen versehen sind, und dann, dass sie jeweils eine eigene haben. Sonst liest sich das so, als gäbe es Homomorphismen zwischen einfachen Mengen. Und das ist für das Konzept verwirrend, und ja auch nicht richtig.
2. Damit verquickt ist auch der weitere Einleitungstext nicht präzise und nicht gut verständlich.

[...]dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten

Hinsichtlich welcher Struktur? Der einen? Der von A oder der von B?

Ich hatte den Artikel schon einmal gelesen, als Homomorphismen noch ein Fremdwort waren und fand diese Definition überhaupt nicht hilfreich. Was eben auch daran liegt, dass sie nicht richtig ist.

Jetzt hoffe ich, die Dinge besser verstanden zu haben und würde eine der folgenden Varianten vorschlagen, gerne mit Verbesserungen:

• Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Struktur in die andere Struktur ab. Und zwar so, dass sich die Bilder dort hinsichtlich der zweiten Strukturverknüpfung ebenso verhalten, wie sich die Urbilder mit der Ausgangsverknüpfung verhalten.
• Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der entsprechenden Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsmenge verhalten.
• Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich ihrer Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsmenge hinsichtlich deren Struktur verhalten.

Falls ich Quatsch geschrieben habe, schreibt gerne hier. (nicht signierter Beitrag von JoschaThorn (Diskussion | Beiträge) 10:19, 26. Jan. 2022 (CET))

Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Also in der universellen Algebra (zu der es zwar einen redirect aber keinen Artikel gibt), wird der Homomorphismusbegriff als Homomorphismus definiert ja? Danke auch^^ Der Begriff wird offenbar in verschiedenen Bereichen unterschiedlich genutzt, wie genau in welchem, dass müsste man schon hinschreiben - wäre auf jeden Fall ungemein hilfreich. Thesenanschlag: Solche Themen hat noch nie ein Mnesch wirklich verstanden, deshalb kommt es immer zu so einer Suppe ... Grüße --WissensDürster 22:47, 15. Jul. 2009 (CEST)

Ich hoffe, so ist's besser. --RPI 11:32, 2. Nov. 2009 (CET)

Relationen und Konstanten

Homomorphismen sind strukturverträgliche Abbildungen. In diesem Artikel werden ausschließlich durch Verknüpfungen definierte Strukturen betrachtet. Im allgemeinen sind aber auch Relationen und Konstanten zu erhalten. So fordert man von den Morphismen zwischen geordneten abelschen Gruppen auch, dass sie die Ordnungsrelation erhalten. In der Theorie der Ringe mit Einselement fordert man oft, dass auch die Konstanten 1 erhalten bleiben, um so die Nullabblidung auszuschließen, die nach diesem Artikel immer ein Ringhomomorphismus ist. Bei den Homomorphismen zwischen geordneten Räumen hat man gar keine Verknüpfungen sondern nur eine Relation zu berücksichtigen. Der Begriff des Homomorphismus in der Modelltheorie fordert die Erhaltung von Verknüpfungen, Relationen und Konstanten, der in diesem Artikel vorgestellte Begriff ist daher nicht allgemein genug gefasst.--FerdiBf 08:29, 11. Sep. 2011 (CEST)

In der Differentialgeometrie spricht man auch manchmal auch von Homomorphismen, welche aber zusätzlich noch stetig sein müssen, oder es gibt den z.B. auch den Kettenhomomorphismus, der auch der Definition hier nicht genügt. Wie kann man aber nun den Artikel verbessern? Mir fällt dazu nur die Definition des Morphismus ein. --Christian1985 (Diskussion) 14:48, 12. Sep. 2011 (CEST)

Zur Theorie der Ringe mit Einselement: siehe meine Anmerkung unten unter „Ringe mit 1“.

Der Artikel hier behandelt nur strukturverträgliche Abbildungen in der Algebra, also spezielle Homomorphismen. Das wird aber offensichtlich nicht so richtig deutlich. Eine möglichst allgemeingültige Definition für strukturverträgliche Abbildungen sowie für Homomorphismen habe ich im Artikel Verträglichkeit (Mathematik) zu geben versucht. Ich halte es für sinnvoll, diesen Artikel hier zu überarbeiten und ihn zu „Homomorphismus (Algebra)“ zu verschieben und unter „Homomorphismus“ genügte dann eine Weiterleitung auf Verträglichkeit (Mathematik), wo die allgemeine Definition steht. Es scheint mir aber auch diskussionswürdig, ob man dort den Begriff „Homomorphismus“ nicht allgemein an Stelle von „Morphismus“ für strukturverträgliche Abbildungen benutzen sollte, da (Misch-)Strukturen, die sowohl durch Abbildungen als auch durch Relationen gegeben sind, nach der jetzigen Definition hinsichtlich der Abbildungsstruktur immer auch Homomorphismen sind. Den Begriff „Morphismus“ könnte man dann in Zukunft allein in der Kategorientheorie benutzen. --RPI (Diskussion) 17:31, 2. Aug. 2013 (CEST)

Verknüpfung zum Spaltenvektor

Im Artikel ist von einer Verknüpfung zum Splatenvektor die Rede. Aus drei Zahlen $\in \mathbb {R}$ einen Vektor zu machen ist keine Verknüpfung auf $\mathbb {R}$, denn der Vektor ist nicht aus $\mathbb {R}$. Ich halte diesen Teil des Artikels für unstimmig, um einen schwachen Ausdruck zu verwenden. Falls vom Autor nicht klar gemacht wird, was hier eigentlich gemeint ist, werde ich diesen Teil demnächst entfernen resp. ersetzen. --FerdiBf 11:00, 21. Nov. 2011 (CET)

Ringe mit 1

Ich kann mich erinnern, dass einige Autoren auch bei Ringen mit 1 homomorphe Abbildungen, die die 1 nicht erhalten als "Ringhomomorphismen" bezeichnen und ansonsten als "Homomorphismen zwischen Ringen mit 1" sprechen. Leider habe ich die konkrete Quelle im Moment nicht mehr zur Hand (wird nachgereicht). Aber es bleibt die Frage, ob bei der Mehrheit der Autoren Ringhomomorphismen automatisch die 1 erhalten, falls vorhanden - dann war das rückgängig machen meiner vorschnellen Änderung korrekt - oder ob dies ggf. zusätzlich gefordert wird - dann wäre eine Klarstellung im Abschnitt Körperhomomorphismus, der ja immer die 1 erhält, wünschenswert. --86.56.98.22 16:01, 12. Sep. 2012 (CEST)

Dein erster Edit war mE sprachlich etwas verunglückt, denn was soll eine homomorphe Abbildung, die die 1 nicht enthält, sein? Insofern war es richtig, den Edit wieder zu löschen. Trotzdem ist in deinem Beitrag ein richtiger Hinweis enthalten. Der Abschnitt Ringhomomorphismus ist ungenau. Ob die 1 auf die 1 abgebildet wird, ist von der betrachteten Kategorie abhängig (Ring oder Ring mit 1), nicht aber von der Frage, ob die Ringe eine 1 enthalten.--Frogfol (Diskussion) 20:23, 18. Sep. 2012 (CEST)

Das hat nichts mit Kategorien zu tun:

Was ein Ringhomomorphismus ist, hängt nämlich davon ab, wie Ringe definiert sind: In manchen Bereichen ist es üblich, unter einem Ring einen Ring mit Eins(element) zu verstehen. Ist das der Fall, dann ist ein Ringhomomorphismus gleichbedeutend mit einem Homomorphismus bezüglich Ringen mit Eins und ein solcher muss immer die Eins erhalten (damit verträglich sein). Im Allgemeinen gilt das aber nicht, sodass dann ein Ringhomomorphismus eine Eins nicht erhalten muss, folglich ist nach der allgemeinen Homomorphismus-Definition für einen Homomorphismus bezüglich Ringen mit Eins $1$ zusätzlich zu fordern (!), dass auch die Konstante $1$ erhalten bleibt. Formal korrekt ist ein solcher Ring mit Eins nämlich eine algebraische Struktur $(R,+,0,-,\cdot ,1),$ die u.a. die nullstellige Operation (Konstante) $1$ enthält. D.h. zur Struktur gehört die Eins dazu und ein bloßer Ringhomomorphismus, der die Eins nicht erhält, ist daher nicht vollständig mit der Struktur eines Rings mit Eins verträglich, also auch kein Homomorphismus im Bezug auf Ringe mit Eins! --RPI (Diskussion) 16:11, 3. Aug. 2013 (CEST)

So absolut kann man das nicht sagen. Im Rahmen der Modelltheorie ist die 1 eine Konstante und muss von Homomorphismen (im Sinne der Modelltheorie) erhalten bleiben (unstrittig). In der Algebra hängt es aber schon davon ab, welche Kategorie man untersucht. Selbst wenn man an Ringen mit 1 interessiert ist, kommt man zwangsläufig zu Ringen ohne 1, so sind etwa Ideale Unterringe, die keine oder eine andere 1 haben, und die Einbettung eines Ideals in seinen Ring erhält nicht die 1. So ist etwa $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,n\mapsto (n,0)$ ein natürlich auftretender Homomorphismus, der nicht das Einselement erhält. Manche Autoren sprechen von unitalen Homomorhismen (ich kenne keinen besseres deutsches Adjektiv dafür), wenn 1 auf 1 abgebildet wird. Außerdem sollte man beachten, dass viele natürlich auftretende Ringe kein Einselement haben oder dass man es mit Ringen zu tun hat, von denen man erst nachweisen will, dass sie eines haben. Wir sollten im Artikel beide Standpunkte darlegen.--FerdiBf (Diskussion) 01:50, 5. Aug. 2013 (CEST)

Es ist sehr wohl in der Algebra so, wie ich bereits oben geschrieben habe:

1. Wenn ein Ring ohne eine Eins definiert wird, dann muss ein Ringhomomorphismus auch nicht die Eins erhalten, weil das nach eben dieser Definition zum Ring nicht zwingend dazugehört. Dass man mit dieser Definition dennoch an Ringen mit Eins interessiert sein kann und dann Homomorphismen hinsichtlich diesen betrachten kann, ist keine Frage. Ein solcher Homomorphismus ist dann aber kein gewöhnlicher Ringhomomorphismus, sondern ein spezieller, der die Eins erhält. Man könnte einen derartigen speziellen Ringhomomorphismus vielleicht auch einen „unitären Ringhomomorphismus“ nennen, weil es ja ein Homomorphismus für einen unitären Ring ist (ein Ring-, Gruppen-, ... Homomorphismus ist ja ein Homomorphismus für die Struktur eines Ringes, einer Gruppe, ...). Ob „unital“ sprachlich besser ist, weiß ich nicht, dazu verstehe ich zu wenig davon.

2. Definiert man dagegen einen Ring mit einer Eins, dann muss ein Unterring auch immer eine Eins haben, die muss aber nicht die gleiche Eins sein, wie im Oberring! Entscheidend ist einzig und allein, dass der Unterring die gleiche algebraische Struktur eines Ringes (mit Eins) hat wie der Oberring und ein Homomorphismus zwischen diesen beiden mit dieser Struktur verträglich sein muss. In so weit ist die Formulierung, dass die Eins „erhalten“ bleiben müsse etwas unglücklich, weil damit nicht gemeint ist, dass ein Ringendomorphismus die Eins auf sich selbst abbilden muss, sondern auf die Eins des Ringes, der das Bild des Ringhomomorphismuses ist. Nach der Definition eines Ringes, die eine Eins fordert, ist eine algebraische Struktur die alle Ringaxiome erfüllt mit der Ausnahme, dass sie keine Eins besitzt, auch kein Ring!

Ring ist hier nicht gleich Ring, deshalb ist es – nicht nur in der Mathematik – immer wichtig, die genaue Definition eines Begriffes zu kennen, weil der variieren kann. Er hat jeweils die Bedeutung, die er durch die gegebene(n) Definition(en) erhält, auch dann, wenn diese von der üblichen Bedeutung abweicht. Deshalb sollte es so sein, dass man die Begriffe, die man benutzt, vorher klar und unmissverständlich definiert. --RPI (Diskussion) 09:54, 5. Aug. 2013 (CEST)

Kategorientheorie

Der Kategorientheorie-Teil gehört eigentlich in den Artikel Morphismus --Café Bene (Diskussion) 21:43, 16. Dez. 2013 (CET)

Das Beispiel

Homomorphismus (Universelle Algebra)#Weiteres Beispiel zur Erläuterung der Definition ... ist unverständlich. Die dort eingeführte sog. Verknüpfung zum Spaltenvektor ist keine innere Verknüpfung. Somit ist unklar, wie der Definitionsbereich von $\varphi$ aussehen soll (Zahlen oder Vektoren). --87.184.90.141 21:03, 19. Dez. 2013 (CET)

Wurde inzwischen entfernt, da ohnehin von zweifelhafter Relevanz. Nach meiner Erinnerung ging es um einen Homomorphismus vom Vektorraum der Spaltenvektoren in den Vektorraum der Zeilenvektoren.--Café Bene (Diskussion) 09:43, 13. Jan. 2014 (CET)

Struktur (erster Stufe)

Ist es unüblich, Homomorphismen für allgemeine Strukturen zu definieren? Ich halte es für sinnvoll mit den algebraischen Strukturen anzufangen, da dort der Homomorphismus-Begriff sehr gebräuchlich ist. Allerdings frage ich mich, ob man danach nicht Homomorphismen für allgemeine Strukturen einführen sollte als Verallgemeinerung des Homomorphismusbegriffs für algebraische Strukturen (nach dem Motto vom Speziellen zum Allgemeinen wie in Diskussion:Homomorphismus#Struktur von Benutzer:Hanfried.lenz gefordert), anstatt einen weiteren Spezialfall zu betrachten (wenn der Begriff Homomorphismus tatsächlich so allgemein verwendet werden sollte). --Maformatiker (Diskussion) 21:36, 7. Sep. 2016 (CEST)

Klar. Strukturen sind Modelle für (endliche, auch unendliche wären möglich) Sprachen der Prädikatenlogik erster Stufe. Mit der Signatur dieser Sprache hat man Funktionen verschiedener Stelligkeit (Verknüpfungen), Relationen verschiedener Stelligkeit und Konstanten. Homomorphismen sind Abbildungen zwischen solchen Strukturen, die all diese Funktionen, Relationen und Konstanten erhalten. In der Modelltheorie ist das die übliche Definition.--FerdiBf (Diskussion) 16:04, 9. Sep. 2016 (CEST)

Die erststufigen Modelle sind ja als relationale Strukturen immer auffassbar. Und sonst muss man den Begriff für algebraische und den für relationale eben zusammenpappen. Vllt. könnte man den Satz, wo die Strukturen erster Stufe im Artikel vorkommen, etwas erweitern. --Chricho ¹ ² ³ 19:56, 9. Sep. 2016 (CEST)

Präposition

Der Artikel spricht von einem „Homomorphismus von 𝑨 in 𝑩“. Ich halte eine solche Ausdrucksweise für unüblich, was vermutlich daher rührt, dass in auch lokal verwendet werden kann, sodass für einen einfachen Leser ohne dekliniertem Substantiv nicht klar wird, ob der Homomorphismus in der Struktur liegt oder in die Struktur geht. Ich schlage also zwei Alternativen vor:

• Homomorphismus von 𝑨 in die Struktur 𝑩,
• Homomorphismus von 𝑨 nach 𝑩.

Einwände? 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 16:00, 28. Dez. 2019 (CET)

"Homomorphismus von 𝑨 nach 𝑩" ist auch die mir geläufige Redeweise. Keine Einwände meinerseits.--FerdiBf (Diskussion) 17:53, 28. Dez. 2019 (CET)

Habe den Artikel geändert. 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 19:52, 28. Dez. 2019 (CET)

heißt genau dann

Bei Definitionen (gekennzeichnet durch "heißt") gilt das "genau dann" auch dann, wenn es nicht ausdrücklich dasteht. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:09, 29. Dez. 2019 (CET)

Darüber bin ich auch gestolpert. Ich mache diese Änderung rückgängig. Gruß, --Digamma (Diskussion) 21:50, 29. Dez. 2019 (CET)

Einverstanden. Ich hatte lediglich die Formulierung an die andere, bereits vorhandene angepasst, aber diese ist ja nun auch korrigiert. 𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰 (Diskussion☞·········🚪) 15:38, 28. Nov. 2020 (CET)