Strom (Mathematik)

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein $m$-dimensionaler Strom oder $m$-Strom in $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein stetiges, lineares Funktional auf ${\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n}):=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n})$. Die Menge der $m$-dimensionalen Ströme auf $O$ wird mit ${\mathcal {D}}_{m}(O)$ bezeichnet.

Mit $\Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n}$ wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass ${\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der $m$-Formen auf $\mathbb {R} ^{n}$ mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums ${\mathcal {D}}_{m}$.

Eigenschaften

Eine Folge $(T_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ konvergiert schwach gegen einen Strom $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$, wenn $\textstyle \lim _{i\to \infty }T_{i}(\omega )=T(\omega )$ für alle $\omega \in {\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$; wir scheiben $T_{i}\rightharpoonup T$. Der Träger $\operatorname {supp} T$ eines Stromes $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ ist die kleinste abgeschlossene Menge $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass $T(\omega )=0$ für alle $\omega \in {\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\operatorname {supp} \omega \cap C=\emptyset$.

Rand eines Stromes

Sei $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n}),m\geq 1$. Der Rand von $T$ ist der Strom $\partial T\in {\mathcal {D}}_{m-1}(\mathbb {R} ^{n})$, welcher durch $\partial T(\pi ):=T(d\pi )$ für alle $\pi \in {\mathcal {D}}^{m-1}(\mathbb {R} ^{n})$ definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt $\partial \circ \partial =0$, weil $d\circ d=0$, $\operatorname {supp} \partial T\subset \operatorname {supp} T$, und $T_{i}\rightharpoonup T$ impliziert $\partial T_{i}\rightharpoonup \partial T$.

Masse

Seien, $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$. Für $U\in \mathbb {R} ^{n}$ offen und $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ beliebig. Man setze

$\|T\|(U):=\sup\{T(\omega ):\operatorname {supp} \omega \subset U,\sup _{x}\|w\|\leq 1\}$ und $\|T\|(A):=\inf\{\|T\|(U):A\subset U\}$.

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß $\|T\|$ auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wir definieren die Masse von $T$ durch $\mathbf {M} (T)=\|T\|(\mathbb {R} ^{n})\in [0,\infty ]$. Den Vektorraum aller $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\mathbf {M} (T)<\infty$ bezeichnen wir mit $\mathbf {M} _{m}(T)$. Ein Strom $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ hat lokal endliche Masse, falls $\|T\|$ ein Radon-Maß ist, also falls $\|T\|$ endlich auf kompakten Mengen ist, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf M_{m,\mathrm{loc}}(T)} bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\mathcal D_m(\R^n),m\ge1} . Man setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf N(T) := \mathbf M(T) + \mathbf M(\partial T)} . Wir nennen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} normal, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf N(T)<\infty} und lokal-normal, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|T\|+\|\partial T\|} ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf N_m(T)} und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf N_{m,\mathrm{loc}}(T)} .

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝⁿ

Konstanzsatz

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subset\R^n} offen und zusammenhängend, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\mathcal D_n(\R^n)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{supp}\partial T \subset \R^n \setminus U} . Dann existiert eine Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\in\R} , sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{supp} (T-c[U]) \cap U = \emptyset} .

Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [U]:=[U,e_1\wedge\dots\wedge e_n]} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [U](\omega)=\int\langle e_1\wedge\dots\wedge e_n,\omega\rangle\, dx=\int f\,dx} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = f dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \in\mathcal D^n(\R^n)} .

Charakterisierung von N_m,loc(T)

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\mathcal D_n(\R^n)} . Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\mathbf N_{m,\mathrm{loc}}(\R^n)} dann und nur dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=[\R^n]\llcorner u} für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\in\mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\R^n)} , in welchem Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\partial T\|=\vert Du\vert} ist. Hier bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\R^n)} die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} das Hausdorff-Maß auf dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} . Ein Strom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\mathcal D_m(\R^n)} heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(\omega)=\int_E \langle \tau(x),\omega(x)\rangle i\theta(x) d\mathcal H^m(x), } wobei

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\subset\R^n} abzählbar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} -rektifizierbar und eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} -messbare Menge ist,
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} eine lokale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} -integrierbare natürliche Funktion auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist,
3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} -messbare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda_m\R^n} -wertige Funktion auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , sodass für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H^m} -fast überall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in E} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(x)} ist einfach, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vert\tau(x)\vert<1} , und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(x)} bezeichnet den approximierten Tangentialraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Tan}^m(E, x) \in G(n, m)} .

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n)} bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ist eine Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal I_{m}(\R^n):=\mathcal I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n)\cap\mathbf M_m(\R^n)} .

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ist definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n):=\{T\in\mathcal I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n):\partial T\in\mathcal I_{m-1,\mathrm{loc}}(\R^n)\}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\ge1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf I_{0,\mathrm{loc}}(\R^n):=\mathcal I_{0,\mathrm{loc}}(\R^n)} . Ein Integralstrom in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ist ein Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf I_{m}(\R^n):=\mathbf I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n)\cap\mathbf N_m(\R^n)} . Weiter bezeichnen wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf I_{m.c}(\R^n):=\{T\in\mathbf I_{m}(\R^n):\operatorname{supp}T \text{ ist kompakt}\}} .

Minimierung von Strömen

Ein Strom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in{\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}} heißt minimierbar wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf M(T\,\llcorner\, K)\le\mathbf M(T')} für jede kompakte Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\subset\R^n} und jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T'\in\mathcal I_{m,\mathrm{loc}}(\R^n)} mit kompaktem Träger und Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial T'=\partial(T\llcorner\, K)} .

Literatur

• Urs Lang: Introduction to Geometric Measure Theory