Strom (Mathematik)

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein $m$-dimensionaler Strom oder $m$-Strom in $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein stetiges, lineares Funktional auf ${\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n}):=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n})$. Die Menge der $m$-dimensionalen Ströme auf $O$ wird mit ${\mathcal {D}}_{m}(O)$ bezeichnet.

Mit $\Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n}$ wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass ${\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der $m$-Formen auf $\mathbb {R} ^{n}$ mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums ${\mathcal {D}}_{m}$.

Eigenschaften

Eine Folge $(T_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ konvergiert schwach gegen einen Strom $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$, wenn $\textstyle \lim _{i\to \infty }T_{i}(\omega )=T(\omega )$ für alle $\omega \in {\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$; wir scheiben $T_{i}\rightharpoonup T$. Der Träger $\operatorname {supp} T$ eines Stromes $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ ist die kleinste abgeschlossene Menge $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass $T(\omega )=0$ für alle $\omega \in {\mathcal {D}}^{m}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\operatorname {supp} \omega \cap C=\emptyset$.

Rand eines Stromes

Sei $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n}),m\geq 1$. Der Rand von $T$ ist der Strom $\partial T\in {\mathcal {D}}_{m-1}(\mathbb {R} ^{n})$, welcher durch $\partial T(\pi ):=T(d\pi )$ für alle $\pi \in {\mathcal {D}}^{m-1}(\mathbb {R} ^{n})$ definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt $\partial \circ \partial =0$, weil $d\circ d=0$, $\operatorname {supp} \partial T\subset \operatorname {supp} T$, und $T_{i}\rightharpoonup T$ impliziert $\partial T_{i}\rightharpoonup \partial T$.

Masse

Seien, $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$. Für $U\in \mathbb {R} ^{n}$ offen und $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ beliebig. Man setze

$\|T\|(U):=\sup\{T(\omega ):\operatorname {supp} \omega \subset U,\sup _{x}\|w\|\leq 1\}$ und $\|T\|(A):=\inf\{\|T\|(U):A\subset U\}$.

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß $\|T\|$ auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wir definieren die Masse von $T$ durch $\mathbf {M} (T)=\|T\|(\mathbb {R} ^{n})\in [0,\infty ]$. Den Vektorraum aller $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\mathbf {M} (T)<\infty$ bezeichnen wir mit $\mathbf {M} _{m}(T)$. Ein Strom $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ hat lokal endliche Masse, falls $\|T\|$ ein Radon-Maß ist, also falls $\|T\|$ endlich auf kompakten Mengen ist, und $\mathbf {M} _{m,\mathrm {loc} }(T)$ bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.

Sei $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n}),m\geq 1$. Man setze $\mathbf {N} (T):=\mathbf {M} (T)+\mathbf {M} (\partial T)$. Wir nennen $T$ normal, falls $\mathbf {N} (T)<\infty$ und lokal-normal, falls $\|T\|+\|\partial T\|$ ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit $\mathbf {N} _{m}(T)$ und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit $\mathbf {N} _{m,\mathrm {loc} }(T)$.

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝⁿ

Konstanzsatz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und zusammenhängend, $T\in {\mathcal {D}}_{n}(\mathbb {R} ^{n})$ und $\operatorname {supp} \partial T\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus U$. Dann existiert eine Konstante $c\in \mathbb {R}$, sodass $\operatorname {supp} (T-c[U])\cap U=\emptyset$.

Hier ist $[U]:=[U,e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n}]$, also $[U](\omega )=\int \langle e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n},\omega \rangle \,dx=\int f\,dx$ für $\omega =fdx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}\in {\mathcal {D}}^{n}(\mathbb {R} ^{n})$.

Charakterisierung von N_m,loc(T)

Sei $T\in {\mathcal {D}}_{n}(\mathbb {R} ^{n})$. Dann ist $T\in \mathbf {N} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$ dann und nur dann, wenn $T=[\mathbb {R} ^{n}]\llcorner u$ für ein $u\in \mathrm {BV} _{\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$, in welchem Fall $\|\partial T\|=\vert Du\vert$ ist. Hier bezeichnet $\mathrm {BV} _{\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$ die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei ${\mathcal {H}}^{m}$ das Hausdorff-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$. Ein Strom $T\in {\mathcal {D}}_{m}(\mathbb {R} ^{n})$ heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

$T(\omega )=\int _{E}\langle \tau (x),\omega (x)\rangle i\theta (x)d{\mathcal {H}}^{m}(x),$ wobei

1. $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ abzählbar ${\mathcal {H}}^{m}$-rektifizierbar und eine ${\mathcal {H}}^{m}$-messbare Menge ist,
2. $\theta$ eine lokale ${\mathcal {H}}^{m}$-integrierbare natürliche Funktion auf $E$ ist,
3. $\tau$ eine ${\mathcal {H}}^{m}$-messbare $\Lambda _{m}\mathbb {R} ^{n}$-wertige Funktion auf $E$, sodass für ${\mathcal {H}}^{m}$-fast überall $x\in E$, $\tau (x)$ ist einfach, $\vert \tau (x)\vert <1$, und $\tau (x)$ bezeichnet den approximierten Tangentialraum $\mathrm {Tan} ^{m}(E,x)\in G(n,m)$.

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in $\mathbb {R} ^{n}$wird mit ${\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$ bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Element von ${\mathcal {I}}_{m}(\mathbb {R} ^{n}):={\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\cap \mathbf {M} _{m}(\mathbb {R} ^{n})$.

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in $\mathbb {R} ^{n}$ ist definiert durch $\mathbf {I} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):=\{T\in {\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):\partial T\in {\mathcal {I}}_{m-1,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\}$ für $m\geq 1$ und $\mathbf {I} _{0,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):={\mathcal {I}}_{0,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$. Ein Integralstrom in $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein Element von $\mathbf {I} _{m}(\mathbb {R} ^{n}):=\mathbf {I} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\cap \mathbf {N} _{m}(\mathbb {R} ^{n})$. Weiter bezeichnen wir $\mathbf {I} _{m.c}(\mathbb {R} ^{n}):=\{T\in \mathbf {I} _{m}(\mathbb {R} ^{n}):\operatorname {supp} T{\text{ ist kompakt}}\}$.

Minimierung von Strömen

Ein Strom $T\in {\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$ heißt minimierbar wenn $\mathbf {M} (T\,\llcorner \,K)\leq \mathbf {M} (T')$ für jede kompakte Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ und jedes $T'\in {\mathcal {I}}_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})$ mit kompaktem Träger und Rand $\partial T'=\partial (T\llcorner \,K)$.

Literatur

• Urs Lang: Introduction to Geometric Measure Theory