Von-Neumann-Spur

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Die Von-Neumann-Spur ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L2-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Für eine abzählbare Gruppe mit Gruppen-Von-Neumann-Algebra definiert man die Von-Neumann-Spur

durch

,

wobei das neutrale Element und das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Modul ist.

Eigenschaften

  • Für alle ist .
  • Für und den adjungierten Operator gilt: .
  • Wenn für alle , dann ist .

Beispiele

  • Für eine endliche Gruppe ist und .
  • Für ist via Fourier-Transformation isomorph zu , die Wirkung auf ist durch punktweise Multiplikation, und die Von-Neumann-Spur ist .

Fortsetzung auf Matrizen

Für eine Matrix ist die Von-Neumann-Spur definiert durch

.

Literatur

  • W. Lück: L2-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
  • H. Kammeyer: Introduction to l2-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
  • C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L2-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).