Primeval-Zahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine Primeval-Zahl (vom englischen Primeval Number) eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, für die die Anzahl der Primzahlen, die man durch Permutation einiger oder aller ihrer Ziffern (also durch Vertauschung bzw. Weglassung ihrer Ziffern) erhalten kann, größer ist als die Anzahl der Primzahlen, die man auf dieselbe Art und Weise für alle kleineren natürlichen Zahlen $m<n$ erhalten kann.

Der Mathematiker Mike Keith (en) hat sich im Jahr 1998 als Erster mit diesen Zahlen beschäftigt.

Beispiele

• Aus der Zahl $n=1379$ kann man folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen:

3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 137, 139, 173, 179, 193, 197, 317, 379, 397, 719, 739, 937, 971, 1973, 3719, 3917, 7193, 9137, 9173, 9371

Insgesamt sind das 31 Primzahlen, die erzeugt werden können. Dies macht die Zahl $n=1379$ noch nicht zur Primeval-Zahl. Man muss vorher nachweisen, dass man aus allen kleineren natürlichen Zahlen $0<m<n=1379$ nicht so viele, also weniger als 31 Primzahlen erzeugen kann. Dies ist allerdings tatsächlich der Fall: es gibt keine einzige Zahl $m<n=1379$, aus der man 31 oder mehr Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen kann. Somit ist $n=1379$ eine Primeval-Zahl.

• Die ersten Primeval-Zahlen lauten:

1, 2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, 1379, 10079, 10123, 10136, 10139, 10237, 10279, 10367, 10379, 12379, 13679, 100279, 100379, 101237, 102347, 102379, 103679, 123479, 1001237, 1002347, 1002379, 1003679, 1012349, 1012379 … (Folge A072857 in OEIS)

• Die Anzahl der Primzahlen, die man aus obig genannten Primeval-Zahlen machen kann, lauten:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 19, 21, 26, 29, 31, 33, 35, 41, 53, 55, 60, 64, 89, 96, 106, 122, 153, 188, 248, 311, 349, 402, 421, 547, 705, 812, 906, 1098 … (Folge A076497 in OEIS)

Beispiel:

An der 15. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen $n=10123$ und $35$ ablesen. Dies bedeutet, dass man aus der Zahl $n=10123$ genau $35$ verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl $m<n=10123$ gibt, aus der man $35$ oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann.

• Die größte Anzahl an Primzahlen, die man aus einer $k$-stelligen (Primeval-)Zahl machen kann (mit $k=1,2,3,\ldots$), sind die folgenden:

1, 4, 11, 31, 106, 402, 1953, 10542, 75447, 398100, 3605464 … (Folge A076730 in OEIS)

• Die dazugehörigen $k$-stelligen Primeval-Zahlen mit der größten Anzahl an Primzahlen sind die folgenden (es sind auch gleichzeitig die größten $k$-stelligen Primeval-Zahlen):

2, 37, 137, 1379, 13679, 123479, 1234679, 12345679, 102345679, 1123456789, 10123456789 … (Folge A134596 in OEIS)

Beispiel:

An der 6. Stelle obiger beider Listen steht die Zahl $402$ und $123479$. Das bedeutet, dass man aus einer 6-stelligen (Primeval-)Zahl maximal $402$ Primzahlen machen kann. In diesem Fall wäre es die Primeval-Zahl $n=123479$, aus der man $402$ verschiedene Primzahlen machen kann (kann man auch an der 30. Stelle der beiden obersten Listen entnehmen).

• Die folgende Tabelle gibt die ersten sieben Primeval-Zahlen an und welche Primzahlen man daraus machen kann:

Primeval-Zahl	daraus erhaltene Primzahlen	Anzahl der so erhaltenen Primzahlen
1		0
2	2	1
13	3, 13, 31	3
37	3, 7, 37, 73	4
107	7, 17, 71, 107, 701	5
113	3, 11, 13, 31, 113, 131, 311	7
137	3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317	11

Primeval-Primzahlen

Eine Primeval-Zahl $n\in \mathbb {N}$, welche Primzahl ist, nennt man Primeval-Primzahl.

Eigenschaften

• Die Maximalanzahl der durch Permutation erhaltbaren Zahlen sind (jeweils für ein-, zwei-, drei- oder mehrstellige Zahlen):

1, 4, 15, 64, 325 …

Die größte Primeval-Zahl mit der Eigenschaft, dass alle Permutationen ihrer Ziffern Primzahlen sind, ist die Zahl $n=37$.

Beispiel:

Sei $n=107$. Diese Zahl ist eine dreistellige Primeval-Zahl. Insgesamt gibt es, wenn man alle drei Ziffern permutiert, ${\binom {3}{1}}\cdot 1!+{\binom {3}{2}}\cdot 2!+{\binom {3}{3}}\cdot 3!=3\cdot 1+3\cdot 2+1\cdot 6=15$ Möglichkeiten. Obiger Tabelle kann man aber entnehmen, dass man nur 5 Primzahlen, nämlich $7,17,71,107$ und $701$ durch Vertauschungen erhält. Es fehlen noch 10 weitere Möglichkeiten, nämlich $0,1,01,07,10,70,017,071,170$ und $710$, die aber allesamt entweder nicht prim sind oder die ungewöhnliche Schreibweise mit Nullen vorne haben. Obiger Aussage zufolge gibt es keine Primeval-Zahlen, welche größer als $n=37$ sind, bei denen alle Permutationen Primzahlen ergeben.

Beispiele

• Die kleinste Primeval-Primzahl ist $p=2$. Aus ihr kann man nur die Primzahl $p=2$ machen.
• Die kleinste Primeval-Zahl, die nicht gleichzeitig Primzahl ist, ist $n=1037=17\cdot 61$. Aus ihr kann man folgende Primzahlen machen:

3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 103, 107, 137, 173, 307, 317, 701, 1307, 3701, 7013, 7103

Es gibt keine kleinere natürliche Zahl $m<n=1037$, aus welcher man 19 oder mehr Primzahlen machen kann.

• Die kleinsten Primeval-Primzahlen sind die folgenden:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379 … (Folge A119535 in OEIS)

Primeval-Zahlen zu anderen Basen

Bisher wurden nur Primeval-Zahlen im Dezimalsystem, also zur Basis $b=10$ behandelt. Die Primeval-Zahl $n=37$ wäre zum Beispiel zur Basis $b=8$ die Zahl $n=37={\underline {4}}\cdot 8^{1}+{\underline {5}}\cdot 8^{0}=45_{8}$ und man könnte ganz andere Primzahlen zur Basis $b=8$ daraus machen (in diesem Fall nur die beiden Primzahlen $5_{8}=5$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 45_8=37} ). Daher spielt die jeweilige Basis eine große Rolle bei Primeval-Zahlen.

Eine Primeval-Zahl zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ist eine natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb N} , für die die Anzahl der Primzahlen, die man durch Permutation (also durch Vertauschung bzw. Weglassung) einiger oder aller ihrer Ziffern zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} erhalten kann, größer ist als die Anzahl der Primzahlen, die man auf dieselbe Art und Weise für alle kleineren natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m<n} erhalten kann. Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie Primeval-Primzahl zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} .

Beispiele

• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117} . Man kann aus ihr im Dezimalsystem, also zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=10} , folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen:

7, 11, 17, 71

Es sind nur vier Stück. Aber schon aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=107<n=117} kann man 5 Primzahlen erzeugen (nämlich 7, 17, 71, 107 und 701). Somit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117} im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl.

Sei aber nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117_{12}} eine Zahl im Duodezimalsystem, also zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} (diese Zahl wäre im Dezimalsystem die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117_{12}=\underline{1} \cdot 12^2+\underline{1} \cdot 12^1+\underline{7} \cdot 12^0=144+12+7=163} ). Auch diese Zahl ist im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl. Zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} kann man folgende Primzahlen daraus erzeugen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 7_{12} & = & & & & & \underline{7} \cdot 12^0 & = & & & 7 \in \mathbb P \\ 11_{12} & = & & & \underline{1} \cdot 12^1 & + & \underline{1} \cdot 12^0 & = & 12+1 & = & 13 \in \mathbb P \\ 17_{12} & = & & & \underline{1} \cdot 12^1 & + & \underline{7} \cdot 12^0 & = & 12+7 & = & 19 \in \mathbb P \\ 117_{12} & = & \underline{1} \cdot 12^2 & + & \underline{1} \cdot 12^1 & + & \underline{7} \cdot 12^0 & = & 144+12+7 & = & 163 \in \mathbb P \\ 171_{12} & = & \underline{1} \cdot 12^2 & + & \underline{7} \cdot 12^1 & + & \underline{1} \cdot 12^0 & = & 144+84+1 & = & 229 \in \mathbb P \\ 711_{12} & = & \underline{7} \cdot 12^2 & + & \underline{1} \cdot 12^1 & + & \underline{1} \cdot 12^0 & = & 1008+12+1 & = & 1021 \in \mathbb P \end{align} }

Somit kann man aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117_{12}} im Duodezimalsystem insgesamt 6 verschiedene Primzahlen aus den einzelnen Ziffern erzeugen. Weil man aus keiner kleineren Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m<n=117_{12}} im Duodezimalsystem 6 oder mehr Primzahlen erzeugen kann, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=117_{12}} eine Primeval-Zahl zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} .

• Die ersten Primeval-Zahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} sind die folgenden (dabei ist aus Ermangelung an weiteren Ziffern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A:=10} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B:=11} ):

1, 2, 13, 15, 57, 115, 117, 125, 135, 157, 1017, 1057, 1157, 1257, 125B, 157B, 167B …

• Die Anzahl der Primzahlen, die man aus obig genannten Primeval-Zahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} machen kann, lauten:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 20, 23, 27, 29, 33, 35 …

Beispiel:

An der 10. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=157_{12}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11} ablesen. Dies bedeutet, dass man aus der Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=157_{12}} genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11} verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m<n=157_{12}} zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} gibt, aus der man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11} oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann.

• Die folgende Tabelle gibt die ersten 10 Primeval-Zahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} an und welche Primzahlen man daraus machen kann:

Primeval-Zahl zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12}	entspricht im Dezimalsystem	daraus erhaltene Primzahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12}	daraus erhaltene Primzahlen im Dezimalsystem	Anzahl der so erhaltenen Primzahlen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \not\in \mathbb P}			0
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2_{12}}	2	1
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15 \not\in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3_{12}, 31_{12}}	3, 37	2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5_{12}, 15_{12}, 51_{12}}	5, 17, 61	3
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 57_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 67 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5_{12}, 7_{12}, 57_{12}, 75_{12}}	5, 7, 67, 89	4
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 115_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 161 \not\in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5_{12}, 11_{12}, 15_{12}, 51_{12}, 511_{12}}	5, 13, 17, 61, 733	5
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 117_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 163 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7_{12}, 11_{12}, 17_{12}, 117_{12}, 171_{12}, 711_{12}}	7, 13, 19, 163, 229, 1021	6
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 125_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 173 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2_{12}, 5_{12}, 15_{12}, 25_{12}, 51_{12}, 125_{12}, 251_{12}}	2, 5, 17, 29, 61, 173, 349	7
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 135_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 185 \not\in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3_{12}, 5_{12}, 15_{12}, 31_{12}, 35_{12}, 51_{12}, 315_{12}, 531_{12}}	3, 5, 17, 37, 41, 61, 449, 757	8
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 157_{12}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 211 \in \mathbb P}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5_{12}, 7_{12}, 15_{12}, 17_{12}, 51_{12}, 57_{12}, 75_{12}, 157_{12}, 175_{12}, 517_{12}, 751_{12}}	5, 7, 17, 19, 61, 67, 89, 211, 233, 739, 1069	11

• Obiger Tabelle kann man entnehmen, dass die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13_{12} = 3_{12} \cdot 5_{12}, 115_{12}=7_{12} \cdot 1B_{12}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 135_{12}=5_{12} \cdot 31_{12}} keine Primzahlen sind. Sie sind die kleinsten zusammengesetzten Primeval-Zahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} (denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_{12}=1} ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl). Alle anderen nicht zusammengesetzten Primeval-Zahlen (außer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_{12}=1} ) sind Primeval-Primzahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=12} .

k-Primeval-Zahlen

Es gibt Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb N} , mit denen man durch Permutation (also durch Vertauschung bzw. Weglassung) einiger oder aller ihrer Ziffern sämtliche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -stelligen Primzahlen erhalten kann. Diese Zahlen nennt man k-Primeval-Zahlen.

Beispiele

• Wenn man die kleinste Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb N} sucht, welche alle einstelligen Primzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2, 3, 5} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7} enthält, so kann es sich nur um die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2357} handeln. Diese Zahl ist somit eine 1-Primeval-Zahl. Alle anderen Zahlen, welche die Ziffern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2, 3, 5} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7} enthalten, sind natürlich ebenfalls 1-Primeval-Zahlen (wie zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=3018253975} ).
• Die kleinsten k-Primeval-Zahlen sind die folgenden (für aufsteigendes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1, 2, 3, \ldots} ):

2357, 1123456789, 1012233445566778899, 10011222333444555666777888999, 1000111222233334444555666777788889999, 100001111222233333444445555566666777778888899999, 100000111112222233333344444555556666677777788888999999 … (Folge A134649 in OEIS)

k-Primeval-Primzahlen

Eine k-Primeval-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, nennt man k-Primeval-Primzahl.

Beispiele

• Die kleinsten k-Primeval-Primzahlen sind die folgenden (für aufsteigendes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1, 2, 3, \ldots} ):

2357, 1123465789, 10112233445566788997, 100111222333444555666777998889, 1000111222233334444555666777798889899, 100001111222233333444445555566666777778888999989 … (Folge A135377 in OEIS)

Weil diese Zahlen sehr schnell sehr hoch werden, hat sich folgende Schreibweise etabliert:

Zuerst beginnen alle Zahlen mit (1), welche immer in solchen Zahlen vorkommt, danach folgt die Anzahl aller darauffolgenden Nullen, danach die Anzahl aller darauffolgenden Einsen etc., gegen Ende folgt die Anzahl aller darauffolgenden Achter, zuletzt kommt eine Gruppe von Achtern und Neunern, die die gesuchte Zahl abschließt.

Beispiel:

Die kleinste 4-Primeval-Primzahl ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=100111222333444555666777998889} und lautet in dieser Schreibweise: (1) 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889. Sie beginnt also mit einer Eins, darauf kommen zwei Nullen, drei Einsen, drei Zweier etc., gegen Ende kommen drei Siebener, Null Achter und zuletzt kommt noch die Ziffernfolge 998889.

• Mit obiger Schreibweise kann man die weiteren kleinsten k-Primeval-Primzahlen angeben, ohne viel Platz zu gebrauchen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 1 2357 (Schreibweise in diesem Fall untauglich) 2 1123465789 (Schreibweise in diesem Fall untauglich) 3 (1) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 997 4 (1) 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889 5 (1) 3 3 4 4 4 3 3 4 0 98889899 6 (1) 4 4 4 5 5 5 5 5 4 999989 7 (1) 5 5 5 6 5 5 5 6 3 98899999 8 (1) 5 6 7 7 6 7 7 7 6 98999999 9 (1) 7 7 8 8 8 7 8 8 6 9999989899 10 (1) 8 8 8 9 9 9 9 9 7 9999899999

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 11 (1) 8 9 10 10 10 9 10 10 6 9889989999999 12 (1) 10 10 10 11 11 11 10 11 9 9998999999899 13 (1) 10 11 11 12 11 12 11 12 9 99899999999899 14 (1) 11 13 13 13 12 12 12 13 11 989999989999999 15 (1) 12 13 14 14 13 14 13 14 12 9999999988999999 16 (1) 13 14 14 15 14 14 14 15 12 99999999999999889 17 (1) 14 15 15 16 15 15 15 16 14 998999999999998999 18 (1) 16 17 17 17 16 17 17 17 14 9989999999999899999 19 (1) 17 18 17 18 17 17 17 18 15 988999999899999999999 20 (1) 17 19 18 19 19 18 19 19 16 999999998999999999989

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 21 (1) 18 19 19 20 19 19 20 20 17 9899999999999999998999 22 (1) 18 20 20 21 20 21 21 21 18 99998999999999999998999 23 (1) 21 23 21 22 21 21 22 22 19 999999889999999999999999 24 (1) 20 22 22 23 22 22 22 23 21 999999999999999989999999 25 (1) 23 23 23 24 23 23 23 24 22 9999999999999999998999999 26 (1) 23 24 24 25 25 25 24 25 22 999999999999999999899999989 27 (1) 24 25 25 26 25 25 25 26 23 9999999998999999999999998999 28 (1) 25 26 27 27 27 26 27 27 25 9999899999999999999999999999 29 (1) 25 27 27 28 27 27 27 28 25 999999989999999999999999999989 30 (1) 26 29 28 29 29 28 28 29 27 999999999999998999999999999999

Die kleinste 30-Primeval-Primzahl hat somit schon Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+26+29+28+29+29+28+28+29+27+30=284} Stellen.

Siehe auch

• Permutierbare Primzahl
• Trunkierbare Primzahl

Weblinks

• Chris K. Caldwell: primeval number. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2018 (englisch). 

V – D

Primzahl­mengen