Dihedrale Primzahl

Bei einem 7-Segment-Display sind die Ziffern 2 und 5 dihedrale Primzahlen

In der Unterhaltungsmathematik ist eine dihedrale Primzahl (vom englischen dihedral prime, auch dihedral calculator prime) eine Primzahl $p$ mit der folgenden Eigenschaft: wenn man sie wie bei einem Taschenrechner in einem 7-Segment-Display betrachtet, müssen die folgenden vier Zahlen:

• $p$
• $p$ um 180° gedreht
• $p$ horizontal gespiegelt
• $p$ horizontal gespiegelt und danach um 180° gedreht

alles Primzahlen sein.

Wie schon bei den strobogrammatischen Zahlen sind dihedrale Primzahlen von ihrer Basis $b$ abhängig. Üblicherweise wird die Basis $b=10$ betrachtet, also das Dezimalsystem.

Spiegelung und Drehung der Ziffern

Auf 7-Segment-Displays kann man die Ziffern 0 bis 9 und die im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F darstellen (in der Form AbCdEF, die beiden Ziffern b und d allerdings nur in Kleinbuchstaben).

Die einzigen Ziffern, die für eine dihedrale Primzahl in Frage kommen, sind im Dezimalsystem die Ziffern 0, 1, 2, 5 und 8. Im Hexadezimalsystem kommen noch die Ziffern 3 und E dazu.

Es folgt eine Aufzählung der Eigenschaften der Ziffern 0 bis 9 und der im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F.

• Die Ziffern 0, 1 und 8 bleiben nach Drehung und Spiegelung gleich. Die 1 wird zwar nach der einer Drehung bzw. einer Spiegelung vom rechten zum linken Rand des 7-Segment-Displays verschoben, letztendlich bleibt es aber noch immer eine 1.
• Die Ziffern 2 und 5 bleiben nach der Drehung gleich, bei der Spiegelung geht die 2 in die 5 über und umgekehrt geht die 5 in die 2 über.
• Die Ziffer 3 wird sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zum E. Umgekehrt wird aus E sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zur 3 und ist für dihedrale Primzahlen im Hexadezimalsystem geeignet.
• Aus der Ziffer 6 wird nach der Drehung eine 9 und umgekehrt wird aus der 9 nach der Drehung eine 6. Allerdings ergeben diese beiden Ziffern nach der Spiegelung keine gültigen Ziffern, somit sind diese beiden Ziffern für dihedrale Primzahlen ungeeignet.
• Die im Hexadezimalsystem verwendete Ziffer A bleibt nach der Spiegelung gleich, gedreht ergibt sie aber keine gültige Ziffer, was sie für dihedrale Primzahlen ungeeignet macht.
• Aus der Hexadezimalziffer b wird nach der Spiegelung ein d und umgekehrt wird aus d nach der Spiegelung ein b. Allerdings ergeben auch diese beiden Ziffern nach der Drehung keine gültigen Ziffern und sind somit ungeeignet.
• Die Ziffern 4, 7, C und F ergeben weder bei der Drehung noch bei der Spiegelung gültige Ziffern und sind somit ungeeignet.

Beispiele

Die kleinste dihedrale Primzahl, die bei jeder Drehung bzw. Spiegelung eine andere Primzahl ergibt

• Die kleinsten dihedralen Primzahlen sind die folgenden:

2, 5, 11, 101, 181, 1181, 1811, 18181, 108881, 110881, 118081, 120121, 121021, 121151, 150151, 151051, 151121, 180181, 180811, 181081, … (Folge A134996 in OEIS)

• Die kleinste dihedrale Primzahl, die bei jeder Drehung bzw. Spiegelung eine andere Primzahl ergibt, ist die Zahl $p=120121$, welche um 180° gedreht die Primzahl $121021$, gespiegelt die Primzahl $151051$ und gespiegelt und um 180° gedreht die Primzahl $150151$ ergibt.
• Die kleinste dihedrale Primzahl mit allen gültigen Ziffern ist $p=108225151$. Es gibt noch 2958 weitere solche Zahlen bis $10^{12}$. Die größte dihedrale Primzahl bis $10^{12}$ mit allen gültigen Ziffern ist $p=188885250551$.
• Die größte bekannte dihedrale Primzahl ist die folgende (Stand: 5. Februar 2020):

$p=10^{180054}+8\cdot {\frac {10^{58567}-1}{9}}\cdot 10^{60744}+1$

Sie wurde im Jahr 2009 von Darren Bedwell entdeckt und hat 180.055 Stellen.

Wissenswertes

• Strobogrammatische Primzahlen, in welchen keine 6 und keine 9 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.
• Primzahlen, die Repunits sind, sind dihedrale Primzahlen.
• Primzahlpalindrome, in denen nur die Ziffern 0, 1 und 8 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.

Dihedrale Primzahlen in anderen Zahlensystemen

• Im Dualsystem, also im Zahlensystem mit Basis $b=2$, sind alle Primzahlpalindrome dihedrale Primzahlen.

(Dies folgt aus dem vorher angeführten Satz, dass Primzahlpalindrome, in denen nur die Ziffern 0, 1 und 8 vorkommen, dihedrale Primzahlen sind. Da im Binärsystem nur Nullen und Einsen vorkommen, wird diese Bedingung erfüllt.)

• Im Hexadezimalsystem, also im Zahlensystem mit Basis $b=16$, gibt es keine dihedralen Primzahlen, die mit 3 beginnen.

Beweis:

Angenommen, es gibt eine dihedrale Primzahl $n$ im Hexadezimalsystem, welche mit 3 beginnt. Dann endet die horizontal gespiegelte Zahl mit E. Da aber im Hexadezimalsystem neben 0, 2, 4, 6 und 8 auch A, C und E gerade Zahlen sind, würde die horizontal gespiegelte Zahl, welche mit E endet, eine gerade Zahl und somit keine Primzahl sein. Somit kann $n$ keine dihedrale Primzahl sein. Die Annahme muss fallengelassen werden, es gibt keine dihedrale Primzahl im Hexadezimalsystem, welche mit 3 beginnt. $\Box$

Siehe auch

• Strobogrammatische Zahl
• Tetradische Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dihedral Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: dihedral prime. Prime Pages, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• dihedral prime. PlanetMath, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• Check whether N is a Dihedral Prime Number or not. Programme zur Berechnung von Dihedralen Primzahlen. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Palindrome. Prime Pages, abgerufen am 5. Februar 2020. 

Einzelnachweise

V – D

Primzahl­mengen