Benutzer:Digamma/Orthogonale Koordinaten

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Ein orthogonales Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem, bei dem die Koordinatenlinien überall paarweise orthogonal zueinander sind. Neben den geradlinigen kartesischen Koordinatensystemen gehören dazu viele krummlinige Koordinatensysteme, unter anderem Polarkoordinaten in der euklidischen Ebene und Zylinder- und Kugelkoordinaten im euklidischen Raum.

Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen

Kartesisches Koordinatensystem

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.

Kartesische Koordinaten

Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in der Form

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(x,y,z)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.

Zylinderkoordinaten

Der Ortsvektor als Funktion von Zylinderkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(\rho ,\varphi ,z)={\begin{pmatrix}\rho \,\cos \varphi \\\rho \,\sin \varphi \\z\end{pmatrix}}.$

Hier bezeichnet $\rho$ den Abstand des Punktes von der $z$-Achse, der Winkel $\phi$ wird von der $x$-Achse in Richtung der $y$-Achse gezählt. $\rho$ und $\varphi$ sind also die Polarkoordinaten des orthogonal auf die $x$-$y$-Ebene projizierten Punktes.

Mathematisch gesehen wird hier die Abbildung (Funktion) betrachtet, die den den Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ die kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ des Ortsvektors zuordnet.

Kugelkoordinaten

Der Ortsvektor als Funktion von Kugelkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

${\vec {r}}={\vec {r}}\,(r,\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\r\,\cos \theta \end{pmatrix}}.$

Hierbei bezeichnet $r$ den Abstand des Punkts vom Ursprung (also die Länge des Ortsvektors), der Winkel $\varphi$ wird in der $x$-$y$-Ebene von der $x$-Achse aus in Richtung der $y$-Achse gemessen, der Winkel $\theta$ ist der Winkel zwischen der $z$-Achse und dem Ortsvektor.

Basisvektoren

Die Basisvektoren in den verschiedenen Koordinatensystemen ergeben sich durch Normierung der partiellen Ableitungen des Ortsvektors nach den jeweiligen Koordinaten. Allgemein ergibt sich der zur Koordinate k gehörende Basisvektor zu

${\vec {e}}_{k}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial k}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial k}}\right|}}\,.$

Kartesische Koordinaten

${\vec {e}}_{x}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}\right|}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{y}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{z}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Die Basisvektoren ${\vec {e}}_{x}$, ${\vec {e}}_{y}$ und ${\vec {e}}_{z}$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Zylinderkoordinaten

${\vec {e}}_{\rho }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}\right|}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\right|}}={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{z}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Die Basisvektoren ${\vec {e}}_{\rho }$, ${\vec {e}}_{\varphi }$ und ${\vec {e}}_{z}$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Kugelkoordinaten

${\vec {e}}_{r}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}\right|}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\theta }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}\right|}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta \,\sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\right|}}={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}.$

Die Basisvektoren ${\vec {e}}_{r}$, ${\vec {e}}_{\theta }$ und ${\vec {e}}_{\varphi }$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Wegelement

Ein Wegelement oder Linienelement $\mathrm {d} {\vec {s}}$ kann als totales Differential $\mathrm {d} {\vec {r}}$ des Ortsvektors dargestellt werden. Allgemein ergibt sich für das vektorielle Wegelement bei Verwendung der Koordinaten $k_{i}\,$:

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial k_{i}}}\,\mathrm {d} k_{i}$

Mit der obenstehenden Gleichung für die Basisvektoren kann man auch

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\vec {e}}_{k_{i}}\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial k_{i}}}\right|\,\mathrm {d} k_{i}$

schreiben. Die Beträge der Ableitungen des Ortsvektors ${\vec {r}}$ nach den Koordinaten $k_{i}\,$ heißen metrische Koeffizienten

$g_{k_{i}}=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial k_{i}}}\right|.$

Damit kann man das vektorielle Wegelement in der Form

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\vec {e}}_{k_{i}}\,g_{k_{i}}\,\mathrm {d} k_{i}$

darstellen. Für die bisher betrachteten Koordinatensysteme ergeben sich daraus die folgenden Darstellungsformen:

• Kartesische Koordinaten:

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {e}}_{x}\,\mathrm {d} x+{\vec {e}}_{y}\,\mathrm {d} y+{\vec {e}}_{z}\,\mathrm {d} z$

• Zylinderkoordinaten:

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {e}}_{\rho }\,\mathrm {d} \rho +{\vec {e}}_{\varphi }\,\rho \,\mathrm {d} \varphi +{\vec {e}}_{z}\,\mathrm {d} z$

• Kugelkoordinaten:

$\mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {e}}_{r}\,\mathrm {d} r+{\vec {e}}_{\theta }\,r\,\mathrm {d} \theta +{\vec {e}}_{\varphi }\,r\,\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi$

Relativistische Koordinaten

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden Raum und Zeit als eine zusammenhängende, vierdimensionale pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit, die sogenannte Raumzeit, beschrieben. Ein Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit, der durch drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate festgelegt wird, wird als Ereignis bezeichnet. Für jeweils zwei Ereignisse kann durch die Minkowski-Metrik ein Linienelement ds definiert werden, das zur Eigenzeit proportional ist:

$\mathrm {d} s^{2}=\eta _{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$

Hierbei bezeichnet $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)$ die Minkowski-Metrik und $dx^{\mu }$ das Vierervektordifferential.

Literatur

• Klaus Desch: Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis. (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.