Orthogonalität

Die beiden Strecken $[AB]$ und $[CD]$ sind orthogonal, da sie miteinander einen rechten Winkel bilden.

Der Begriff Orthogonalität wird innerhalb der Mathematik in unterschiedlichen, aber verwandten Bedeutungen verwendet.

In der Elementargeometrie nennt man zwei Geraden oder Ebenen orthogonal (bzw. senkrecht), wenn sie einen rechten Winkel, also einen Winkel von 90°, einschließen.

In der linearen Algebra wird der Begriff auf allgemeinere Vektorräume erweitert: zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Diese Bedeutung wird auch auf Abbildungen zwischen Vektorräumen übertragen, die das Skalarprodukt und damit die Orthogonalität zweier Vektoren unverändert lassen.

Bezeichnungen

Der Begriff orthogonal (griechisch

ὀρθός

orthos „gerade, aufrecht, richtig“ und

γωνία

gonia „Ecke, Winkel“) bedeutet „rechtwinklig“. Gleichbedeutend zu rechtwinklig steht auch normal (lateinisch norma „Maß“, im Sinne des rechten Winkels). Das Wort „normal“ wird in der Mathematik aber auch mit anderen Bedeutungen verwendet. Senkrecht kommt vom Senkblei (Lot) und bedeutet ursprünglich nur orthogonal zur Erdoberfläche (lotrecht). Dieser Sachverhalt wird auch durch vertikal (lat. vertex „Scheitel“) ausgedrückt.

Man bezeichnet zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren $a$ und $b$, die orthogonal bzw. nicht orthogonal zueinander sind, mit

$a\perp b$   bzw.   $a\not \perp b$.

Basierend auf der englischen Bezeichnung perpendicular wird das Orthogonalitätssymbol in HTML mit ⊥ und in LaTeX (innerhalb der Mathematik-Umgebung) mit \perp kodiert. Im Zeichenkodierungsstandard Unicode besitzt das Symbol ⊥ die Position U+22A5.

Orthogonalität in der Geometrie

Elementargeometrie

In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden oder Ebenen orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel, d. h. einen Winkel von 90° einschließen. Dabei sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:

• Eine Gerade heißt Orthogonale (Normale) auf eine Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist.
• Eine Ebene heißt Orthogonale (Normalebene) einer Ebene, wenn ihr Normalenvektor in dieser Ebene liegt.
• Eine Gerade/Ebene heißt Orthogonale (Normale) an eine Kurve, wenn sie zur Tangente/Tangentialebene im Schnittpunkt orthogonal ist.

In einem orthogonalen Polygon (beispielsweise einem Rechteck) bilden je zwei benachbarte Seiten einen rechten Winkel, bei einem orthogonalen Polyeder (beispielsweise einem Quader) je zwei benachbarte Kanten und damit auch benachbarte Seitenflächen.

Analytische Geometrie

Vektoren

Den Winkel zweier Vektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ im kartesischen Koordinatensystem kann man über das Skalarprodukt

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}|\,|{\vec {w}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {v}},{\vec {w}})$

berechnen. Dabei bezeichnen $|{\vec {v}}|$ und $|{\vec {w}}|$ jeweils die Längen der Vektoren und $\cos \sphericalangle ({\vec {v}},{\vec {w}})$ den Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Bilden zwei Vektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ einen rechten Winkel, dann gilt

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}|\,|{\vec {w}}|\,\cos 90^{\circ }=0$.

Zwei Vektoren sind somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der Nullvektor ist dabei zu allen Vektoren orthogonal.

Eine Menge von Vektoren $\{{\vec {v}}_{j}:j=1,\dots ,N\}$ wird als paarweise orthogonal bezeichnet, wenn für alle $i\not =j$ gilt, dass ${\vec {v}}_{i}$ und ${\vec {v}}_{j}$ orthogonal zueinander sind.

Geraden und Ebenen

Zwei Geraden in der Ebene sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Im Raum oder in höheren Dimensionen ist kein Schnittpunkt nötig. Zwei Geraden können auch dann orthogonal sein, wenn sie windschief zueinander sind. Eine Gerade und eine Ebene im Raum sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zu jedem Vektor in der Ebene ist.

Zwei Ebenen im euklidischen Raum sind orthogonal, wenn es eine Gerade gibt, die in einer der beiden Ebenen enthalten und orthogonal zur zweiten ist.

Sind zwei Geraden in der euklidischen Ebene durch die Gleichungen

$y=m_{1}x+b_{1}$    und   $y=m_{2}x+b_{2}$

gegeben, so sind sie genau dann orthogonal, wenn $m_{1}m_{2}=-1$ ist, oder äquivalent: wenn $m_{1}=-{\tfrac {1}{m_{2}}}$ gilt, denn genau dann sind mit

${\begin{pmatrix}1\\m_{1}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\m_{2}\end{pmatrix}}=0$

ihre Richtungsvektoren orthogonal.

Synthetische Geometrie

→ Hauptartikel: Präeuklidische Ebene

In der synthetischen Geometrie kann eine Orthogonalität durch die axiomatische Beschreibung einer Orthogonalitätsrelation zwischen Geraden auf gewissen affinen Inzidenzebenen eingeführt werden.

Orthogonalität in der linearen Algebra

Orthogonale und orthonormale Vektoren

In der linearen Algebra werden in einer Erweiterung des Begriffs euklidischer Raum auch mehrdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen einbezogen, für die ein Skalarprodukt definiert ist. Das Skalarprodukt zweier Vektoren $v$ und $w$ ist dabei eine Abbildung, die gewisse Axiome erfüllen muss und typischerweise in der Form $\langle v,w\rangle$ geschrieben wird. Allgemein gelten dann zwei Vektoren $v$ und $w$ aus einem solchen Skalarproduktraum als orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null ist, das heißt, wenn

$\langle v,w\rangle =0$

gilt. Beispielsweise sind im Raum $\mathbb {R} ^{2}$ die beiden Vektoren $v=(2,1)^{T}$ und $w=(1,-2)^{T}$ orthogonal bezüglich des Standardskalarprodukts, da

$\langle v,w\rangle =2\cdot 1+1\cdot (-2)=2-2=0$

ist. Eine Menge von Vektoren nennt man dann orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die Norm eins besitzen, nennt man die Menge orthonormal oder ein Orthonormalsystem. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer linear unabhängig und bildet deshalb eine Basis der linearen Hülle dieser Menge. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren wird dementsprechend Orthonormalbasis genannt. Für je zwei Vektoren $v_{i},v_{j}$ einer Orthonormalbasis gilt dabei

$\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$,

wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Endlichdimensionale Skalarprodukträume und Hilberträume besitzen immer eine Orthonormalbasis. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen und bei separablen Hilberträumen kann man eine solche mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren finden. Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis ist die Standardbasis (oder kanonische Basis) $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ des dreidimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{3}$.

Orthogonale Funktionen

Der Begriff Vektorraum kann dahingehend verallgemeinert werden, dass auch gewisse Funktionenräume als Vektorräume behandelt werden können, und Funktionen werden dann als Vektoren angesehen. Zwei Funktionen $f$ und $g$ eines Skalarproduktraums heißen dann zueinander orthogonal, wenn

$\langle f,g\rangle =0$

gilt. Zum Beispiel ist das L²-Skalarprodukt für stetige reellwertige Funktionen auf einem Intervall $[a,b]$ durch

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx$

definiert. Bezüglich dieses Skalarprodukts sind beispielsweise auf dem Intervall $[-1,1]$ die beiden Funktionen $f(x)=x$ und $g(x)=x^{2}$ zueinander orthogonal, denn es gilt

$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}x\cdot x^{2}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{3}\,dx=0$.

In vollständigen Skalarprodukträumen, sogenannten Hilberträumen, lassen sich so orthogonale Polynome und Orthogonalbasen bestimmen. Allerdings sind viele interessante Räume, wie etwa die L²-Räume, unendlichdimensional, siehe dazu Hilbertraumbasis. In der Quantenmechanik bilden auch die Zustände eines Systems einen Vektorraum und entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

Orthogonale Matrizen

→ Hauptartikel: Orthogonale Matrix

Eine quadratische, reelle Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \isin \mathbb{R}^{n \times n}} heißt orthogonale Matrix, wenn sie mit dem Skalarprodukt verträglich ist, das heißt wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle Av,Aw \rangle = \langle v,w \rangle}

für alle Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v, w \in \R^n} gilt. Eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist genau dann orthogonal, wenn ihre Spalten (oder ihre Zeilen), als Vektoren aufgefasst, zueinander orthonormal (nicht nur orthogonal) sind. Äquivalent dazu ist die Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^{T} A = I} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^{T}=A^{-1}} . Orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen und Spiegelungen in der Ebene oder im Raum. Die Menge aller orthogonalen Matrizen der Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} bildet die orthogonale Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm O(n)} . Die Entsprechung bei Matrizen mit komplexen Einträgen heißt unitäre Matrix.

Orthogonale Abbildungen

→ Hauptartikel: Orthogonale Abbildung

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} zwei reelle Skalarprodukträume, dann heißt eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon V \to W} orthogonal, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle f(v), f(w) \rangle = \langle v, w \rangle}

für alle Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v, w \in V} gilt. Eine orthogonale Abbildung erhält damit das Skalarprodukt zweier Vektoren und bildet so orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren ab. Eine Abbildung zwischen endlichdimensionalen Skalarprodukträumen ist genau dann orthogonal, wenn ihre Matrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis eine orthogonale Matrix ist. Weiter ist eine orthogonale Abbildung eine Isometrie und erhält somit auch Längen und Abstände von Vektoren.

Orthogonale Abbildungen sind nicht zu verwechseln mit zueinander orthogonalen Abbildungen. Dabei handelt es sich um Abbildungen, die selbst als Vektoren aufgefasst werden und deren Skalarprodukt gleich null ist. Abbildungen zwischen komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhalten, werden als unitäre Abbildungen bezeichnet.

Orthogonale Projektionen

→ Hauptartikel: Orthogonalprojektion

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so gibt es zu jedem Untervektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} die Projektion entlang des orthogonalen Komplements von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , welche Orthogonalprojektion auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\colon V\to V} mit der Eigenschaft, dass für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\in V}

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(v)\in U} und
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle P(v), u \rangle = \langle v, u \rangle}   für alle   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \in U}

gilt. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ein unendlichdimensionaler Hilbertraum, so gilt diese Aussage mit dem Projektionssatz entsprechend auch für abgeschlossene Untervektorräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} . In diesem Fall kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} stetig gewählt werden.

Orthogonalität in normierten Räumen

In einem Skalarproduktraum ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v,w \rangle = 0} äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|v\|\le\|v+\lambda w\|} für alle Skalare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} . Das motiviert folgende Definition:

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v,w} aus einem normierten Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V,\|\cdot \|)} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\perp w :\Leftrightarrow \|v\|\le\|v+\lambda w\|} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda}

Dieser Orthogonalitätsbegriff in normierten Räumen ist wesentlich schwächer als in Skalarprodukträumen. Im Allgemeinen ist Orthogonalität weder symmetrisch noch additiv, das heißt aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\perp w} folgt im Allgemeinen nicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w\perp v} und aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\perp w_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\perp w_2} folgt im Allgemeinen nicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\perp (w_1+w_2)} .

Dieser Umstand führt zu weiteren Begriffsbildungen, denn man wird sich für solche normierten Räume interessieren, in denen die Orthogonalität additiv ist. Es stellt sich heraus, dass das genau die glatten normierten Räume sind.

Anwendungen

Orthogonalität wird in vielen Anwendungen genutzt, weil dadurch Berechnungen einfacher oder robuster durchgeführt werden können. Beispiele sind:

• die Fourier-Transformation und die Wavelet-Transformation in der Signalverarbeitung
• QR-Zerlegungen von Matrizen zur Lösung von Eigenwertproblemen
• die Gauß-Quadratur zur numerischen Berechnung von Integralen
• orthogonale Felder in der statistischen Versuchsplanung
• orthogonale Codes, etwa der Walsh-Code, in der Kanalkodierung
• das Orthogonalverfahren zur Vermessung in der Geodäsie

Siehe auch

• Parallelität (Geometrie)
• Orthogonalitätsrelationen in der Gruppentheorie

Literatur

• Elemente der Mathematik. Lineare Algebra/Analytische Geometrie Leistungskurs. Schroedel Verlag GmbH, 2004, S. 64.

Weblinks

Wiktionary: orthogonal – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Video: Skalarprodukt Teil 2, Orthogonalität. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10213.