Poisson-Gleichung

Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Mathematische Formulierung

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

$-\Delta u=f$

Dabei bezeichnet

• $\Delta$ den Laplace-Operator
• $u$ die gesuchte Lösung
• $f$ eine Funktion. Ist $f\equiv 0$, so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

${\begin{cases}-\Delta u&=f&{\text{in}}&\Omega \\\quad u&=g&{\text{auf}}&\partial \Omega \end{cases}}$

mit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung $\Phi$ der Laplace-Gleichung:

$\Phi (x):={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{(n-2)\omega _{n}}}\cdot {\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}$

Dabei bezeichnet $\omega _{n}={\tfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ den Flächeninhalt der Einheitssphäre im $n$-dimensionalen euklidischen Raum.

Durch die Faltung $(\Phi *f)$ erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die greensche Funktion verwenden

$G(x,y):=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)$

$\phi ^{x}$ ist dabei eine Korrekturfunktion, die

${\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von $\Omega$ abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man $G(x,y)$, so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

$u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial n}}\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y$

wobei $\sigma$ das Oberflächenmaß auf $\partial \Omega$ bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder eines Variationsansatzes finden.

Anwendungen in der Physik

Der Poisson-Gleichung $\Delta \Phi (\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} )$ genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen $\Phi$. Dabei ist die Funktion $f$ proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte $\rho (\mathbf {r} ).$

Ist $f(\mathbf {r} )$ überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral

$\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'\,{\frac {f(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$.

In Worten: jede Ladung $\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')$ am Ort $\mathbf {r} '$ im kleinen Gebiet der Größe $\mathrm {d} ^{3}r'$ trägt additiv bei zum Potential $\Phi$ am Ort $\mathbf {r}$ mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

$-{\frac {\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')}{4\,\pi \,|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

Elektrostatik

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten $\nabla \Phi$ eines Potentials $\Phi (\mathbf {r} )$ ausgedrückt werden:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).$

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\Delta \Phi (\mathbf {r} )$

mit dem Laplace-Operator $\Delta$.

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$

mit

• der Ladungsdichte $\rho (\mathbf {r} )$
• der Permittivität $\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot \varepsilon _{0}$.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

$\Delta \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$

Der Spezialfall $\rho (\mathbf {r} )=0$ für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als Laplace-Gleichung der Elektrostatik bezeichnet.

Elektrodynamik stationärer Ströme

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte $\mathbf {j} (x,y)$ im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte $J_{z}(x,y,z=0)$ der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

$\nabla _{2}\cdot \mathbf {j} (x,y)=-J_{z}(x,y,z=0)$

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator $\nabla _{2}$). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: $\mathbf {j} (x,y)=R_{\Box }^{-1}\mathbf {E} (x,y)$; hier ist $R_{\Box }$ der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, $\mathbf {E} (x,y)=-\nabla _{2}\Phi (x,y)$, so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

$\Delta _{2}\Phi (x,y)=R_{\Box }J_{z}(x,y,z=0).$

Gravitation

Ebenso wie das elektrostatische Feld

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int \rho _{\mathrm {el} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-\nabla \Phi _{\mathrm {el} }(\mathbf {r} )$,

ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho _{\mathrm {m} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-\nabla \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.

Dabei ist

• G die Gravitationskonstante
• $\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ')$ die Massendichte.

Da nur die Ladungen durch Massen und ${\frac {1}{4\pi \varepsilon }}$ durch $-G$ ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

$\nabla \mathbf {g} =-\nabla \cdot (\nabla \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ))=-4\pi \cdot G\cdot \rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )\Leftrightarrow$

$\Delta \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )=4\pi \cdot G\cdot \rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 1. Springer, Berlin u. a. 1924 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 12). 4. Auflage, ebenda 1993, ISBN 3-540-56796-8.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (= Graduate studies in mathematics 19).