Milnor-Wood-Ungleichung

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Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie gibt die Milnor-Wood-Ungleichung ein Hindernis für die Existenz eines flachen Zusammenhangs auf einem Faserbündel.

Sätze von Milnor und Wood

Die klassische Milnor-Wood-Ungleichung betrifft (orientierte) flache Kreisbündel über einer Fläche , deren Monodromie also durch einen Homomorphismus gegeben ist. Eine stärkere Ungleichung erhält man für lineare flache Kreisbündel, also mit Monodromie

Satz (Milnor): Sei eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht . Für die Eulerklasse eines linearen flachen Kreisbündels über gilt

.

Insbesondere hat das Tangentialbündel einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht keinen flachen Zusammenhang.

Satz (Wood): Sei eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht . Für die Euler-Klasse eines flachen Kreisbündels über gilt

.

Der Satz von Milnor folgt aus dem Satz von Wood, weil man zu einer Darstellung vermöge der 2-fachen Überlagerung eine Darstellung bekommt, deren Eulerzahl gerade die Hälfte der Eulerzahl der ursprünglichen Darstellung ist.

Aus dem Satz von Goldman folgt, dass die Darstellungen mit genau die diskreten und treuen Darstellungen sind.

Beschränkte Kohomologie

Die Beweise von Milnor und Wood benutzten Abschätzungen für Kommutatoren in bzw. . Ein einfacherer auf Ghys und Jekel zurückgehender Beweis benutzt beschränkte Kohomologie: die universelle Eulerklasse in lässt sich durch einen beschränkten Kozykel der Norm 1/2 repräsentieren.

Verallgemeinerungen

Höherdimensionale Bündel

Satz (Sullivan-Smillie): Für die Euler-Klasse eines flachen -Bündels über einer geschlossenen, orientierbaren Mannigfaltigkeit gilt die Ungleichung

für die Eulerklasse und das simpliziale Volumen .

Man sagt, dass eine Mannigfaltigkeit der Milnor-Wood-Ungleichung mit Konstante genügt, wenn für jedes flache -Bündel die Ungleichung

für die Eulerklasse und die Euler-Charakteristik gilt. Aus dem Satz von Milnor folgt und aus einem Satz von Bucher-Gelander .

Toledo-Invariante

Sei ein Hermitescher symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang und die Kählerform der Bergman-Metrik. Dann gilt für eine stetige Abbildung einer Fläche vom Geschlecht die Ungleichung

.

Diese Ungleichung lässt sich interpretieren als Abschätzung für die Norm der Kählerklasse (und damit der Toledo-Invariante) in beschränkter Kohomologie. Sie verallgemeinert die Abschätzung der Eulerklasse für .

Literatur

  • J. Milnor: On the existence of a connection of curvature zero, Comm. Math. Helv. 21, 215–223 (1958)
  • J. Wood: Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv. 46, 257–273 (1971)
  • W. Goldman: Topological components of spaces of representations, Invent. Math. 93, 557–607 (1988)
  • M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard: Surface group representations with maximal Toledo invariant, Ann. Math. 172, 517–566 (2010)
  • T. Hartnick, A. Ott: Milnor-Wood type inequalities for Higgs bundles, online (PDF; 383 kB)