Diskussion:Dirac-Notation/Archiv

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[[Diskussion:Dirac-Notation/Archiv#Thema 1]]

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Dualer Raum und Isomorphie

Stimmt die Aussage "Allerdings kann nicht jedes Bra aus dem algebraischen Dualraum mit einem Ket identifiziert werden." denn? Wenn der Vektorraum V und sein dualer Raum zueinander isomorph sind, gibt es doch eine eineindeutige Abbildung zwischen bra und ket, so dass bra <-> ket eindeutig einander zuzuordnen sind. Ein Beweis für die Aussage im Artikel fehlt. Oder hab ich etwas falsch verstanden?

Du hast nichts falsch verstanden, die Aussage ist grenzwertig. Der Autor wollte damit wohl darauf hinaus, dass nur normierbare Zustände Teil des Hilbertraums sind; allerdings sind somit auch nur durch normierbare Zustände induzierte Linearformen Teil des Dualraums. Die Aussage, jedes Ket habe ein Bra, aber nicht jedes Bra ein Ket, könnte man genausogut umdrehen, da in der Quantenmechanik sehr oft nicht-normierbare Zustände (zum Beispiel freie ebene Wellen) in Herleitungen verwendet werden, um die realistischen Lösungen dann durch Wellenpakete aus ihnen zu konstruieren. (Mathematisch) richtig oder physikalisch sinnvoll würde sie dadurch natürlich auch nicht, und bevor es in der deutschen Wikipedia einen Artikel über Rigged Hilbert spaces (gibt's wohl nicht mal eine deutsche Bezeichnung für (?)) oder Verallgemeinerter Eigenzustand gibt, nehme ich den Satz einfach mal ersatzlos raus, denn den Satz von Gelfand-Neumark halte ich für ein bisschen zu abstrakt formuliert, um für diesen Artikel hier hilfreich zu sein. Schöne Grüße, --RealZeratul 20:11, 17. Okt. 2008 (CEST)

Eine andere - aber auch nicht gerade "hilfreiche" - Alternative zum Rigged Hilbert space der Englischen Wikipedia ist die berühmte Bezeichung "Gelfandsches Raumtripel", mit dem sich fast ein ganzer Band des epochalen Gelfand'schen Werkes über Distributionen befasst. - Nun ja! - MfG, Meier99 22:35, 3. Dez. 2011 (CET)

Fehler

Der Artikel wimmelt vor Fehlern. Zuerst wird $\psi ({\vec {x}})$ richtig definiert, um dann falsch $|\psi ({\vec {x}})\rangle \$ zu schreiben. Ich werde mich jetzt mal da durch wühlen und die Notation reparieren. --80.136.50.118 17:45, 22. Mai 2006 (CEST)

Bei der Multiplikation sollten nicht gerade 3dimensionale bras und kets verwendet werden, sonst vermischt nachher jeder $|{\vec {x}}\rangle$ mit ${\vec {x}}$... und die sind nunmal nicht dasselbe... das sollte man den Lesern gleich klar machen. --80.136.50.118 18:24, 22. Mai 2006 (CEST)

Unicode

Weiß jemand, welche Unicode-Zeichen für die beiden Klammern verwendet werden? U+2329 „〈“ und U+232A „〉“ aus dem Code-Block Miscellaneous Technical? Oder sind irgendwo anders in Unicode noch ähnliche Klammern versteckt? --j ?! 14:15, 27. Dez. 2007 (CET)

Es gibt noch andere Klammern: http://www.unicode.org/charts/PDF/U2300.pdf weist darauf hin, dass man 2329 und 232A nicht im mathematischen Zusammenhang benutzen sollte, sondern lieber 27E8 und 27E9 (http://www.unicode.org/charts/PDF/U27C0.pdf). Das sind dann wohl die beiden Gesuchten. :)--R. Möws 19:05, 29. Dez. 2007 (CET)

von 2005

Wenn man mit Vektoren in Bra-Ket-Schreibweise zu tun hat, ist es nützlich, auch einige Rechenregeln zu kennen, um die Rechnungen zu vereinfachen (wie üblich bezeichnet * die komplexe Konjugation):

Das Skalarprodukt ist hermitesch: <$\Psi$|$\Phi$> = (<$\Phi$|$\Psi$>)*; anders ausgedrückt: werden die Elemente vertauscht, erhält man dasselbe Ergebnis, nur eben komplex konjugiert.

Linearität bezüglich der Vektoraddition: <$\Psi$|$\Phi$> + <$\Psi$|$\Xi$> = <$\Psi$|$\Phi +\Xi$>, wobei der letzte Ausdruck das Skalarprodukt zwischen dem Vektor |$\Psi$> und dem Vektor |$\Phi +\Xi$> meint.

Das Skalarprodukt ist (sesqui-) linear bezüglich der Multiplikation mit den komplexen Zahlen: a <$\Psi$|$\Phi$> = <$\Psi$|a $\Phi$> = <a* $\Psi$|$\Phi$>, wobei a* die komplex konjugierte Zahl zu a ist. Also: komplexe Faktoren können verschoben werden, man muss nur aufpassen, wenn man einen Faktor aus einem Bra herauszieht oder in ein Bra hineinzieht, da man diesen dann komplex konjugieren muss (Mit <$\Psi$|a $\Phi$> ist das Skalarprodukt der Vektoren |$\Psi$> und a |$\Phi$> gemeint usw.)

Das Skalarprodukt ist positiv definit: <$\Psi$|$\Psi$> > 0 wenn |$\Psi$> nicht das neutrale Element (also der Nullvektor |0>) ist.

Ich glaube, dazu gibt es noch weitere Regeln, allerdings fallen mir im Moment keine mehr ein. Vielleicht kann jemand anderes ergänzen?Unsignierter Beitrag von Benutzer:137.226.77.2 14:30, 20. Dez. 2005‎ (CET)

Quaternionen

Die Bra-Ket Notation beschreibt keine 4-Vektoren, sondern ist vielmehr eine andere Schreibweise für Quaternionen. Quaternionen können zwar als 4-Vektoren aufgefasst werden, sind jedoch m2cw keine.

bra: $|\psi \rangle \to q=a+i\,b+j\,c+k\,d$

ket: $\langle \psi |\to q^{*}=a-i\,b-j\,c-k\,d$

norm: $\||\psi \rangle \|={\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle }}\to \|q\|={\sqrt {q^{*}\,q}}$

MovGP0 10:13, 30. Jan. 2006 (CET)

Die Aussage ist in dieser Form falsch: In Bra-Ket Notation können beliebige Vektorräume notiert werden, in der Regel sind das aber keine Quaternionen. Exilfranke 16:53, 9. Jul. 2006 (CEST)

Einheitsoperator

Kennt irgendjemand den Befehl für das Zeichen des Einheitsoperators? Diese 1 mit zweitem Strich? Das sähe hier doch schöner aus. (nicht signierter Beitrag von 77.128.53.208 (Diskussion) 20:05, 23. Mär. 2007 (CET))

Eigentlich müßte das \mathbb sein, aber das wird hier irgendwie verhunzt ($\mathbb {1}$) --Heiko Schmitz 09:15, 26. Mär. 2007 (CEST)

In LaTeX macht das der Befehl \mathds{1}, der das Paket dsfonts benötigt und der hier offenbar nicht funktioniert. (nicht signierter Beitrag von 132.187.31.68 (Diskussion) 16:55, 28. Apr. 2008 (CEST))

beispiel

äh das mit em polarisationsfilter... ist alpha und beta niocht voneinander abhängig (alpha=irgendeine Funktion von beta ... a=F(b)) (nicht signierter Beitrag von 87.172.101.55 (Diskussion) 15:45, 1. Jun. 2008 (CEST))

Operatoren

Implizit ist ja auch die bracket-Notation mit Operatoren erklärt, aber nirgends definiert. Siehe den englischen Artikel. Ich komme frühestens in einem Monat dazu. Benutzer:ibotty, der zu faul war, sich einzuloggen (nicht signierter Beitrag von 91.67.59.57 (Diskussion) 11:04, 13. Dez. 2008 (CET))

Bitte Sektion 'Skalarprodukt ' mit der englischen Version abstimmen

http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notation#Linearity und http://de.wikipedia.org/wiki/Bra-Ket#Skalarprodukt passen nicht zusammen. Was ist nun richtig? In http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_bra-ket#Propri.C3.A9t.C3.A9s wird das Problem durch Wahl einer anderen Schreibweise umgangen. Kann ja nicht sein, das bei solch banalen Dingen schon keiner weiß, wie es richtig ist, oder? (nicht signierter Beitrag von 92.226.95.175 (Diskussion | Beiträge) 19:13, 28. Dez. 2009 (CET))

Der Vergleich mit den Versionen in anderen Sprachen zeigt, daß es hier ziemlich durcheinander geht. Ich halte die deutsche Version für richtig, denn es gilt:

$\langle c\psi |\phi \rangle =\langle \phi |c\psi \rangle ^{*}=(c\langle \phi |\psi \rangle )^{*}=c^{*}\langle \psi |\phi \rangle .$

--Heiko Schmitz 12:33, 29. Dez. 2009 (CET)

Die Frage ist allerdings ob wirklich gilt, das $c\langle \psi |=\langle c\psi |$ ist. Gilt nämlich $c\langle \psi |=\langle c^{*}\psi |$, wäre die deutsche Version falsch und die englische richtig. Ich habe das in der englischen Version mal geändert, mal schauen, wie die das sehen. Wäre trotzdem schön, wenn sich dem mal kurz ein Experte annehmen könnte, mein Studium liegt doch schon recht lange zurück... (nicht signierter Beitrag von 92.226.95.175 (Diskussion | Beiträge) 15:11, 29. Dez. 2009 (CET))

$c\langle \psi |=\langle c\psi |$ gilt gerade nicht, beim Herausziehen eines Faktors aus einem Bra kommt der Faktor konjugiert davor. Allerdings habe ich diese Beziehung auch gar nicht benutzt, sondern den Faktor aus dem Ket gezogen. Eine zitierfähige Anzwort auf die Frage habe ich übrigens gerade in Ramamurti Shankar, Principles of Quantum Mechanics gefunden, wo in Kapitel 1.2 explizit steht, dass das Skalarprodukt antilinear im ersten Argument ist, wie es in dem deutschen Artikel steht. --Heiko Schmitz 20:35, 29. Dez. 2009 (CET)

Wie erwartet wurde die englische Version wieder zurückgestellt, Begründung (nachvollziehbar) nachlesbar in der Historie. Wir haben nun als zwei Formeln, die bis auf die komplexe Konjugation der Faktoren auf der rechten Seite identisch sind. Das kann so definitiv nicht stehen bleiben, denn eine der Versionen ist logischerweise fehlerhaft!

Laut der von Sbyrnes321 angegeben Referenz ist allerdings die englische Version korrekt. Es stimmt ja durchaus, das das SP antilinear im Bra ist, allerdings steht in dieser Version der Faktor auf der linken Seite ja VOR dem Bra

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle ,$

daher ist dieser Ausdruck falsch. Antilinearität würde nur gelten, wenn c IM Bra stände, also etwa:

${\bigg (}\langle c_{1}\phi _{1}|+\langle c_{2}\phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$

Aber die Schreibweise $\langle c_{1}\phi _{1}|$ ist ja eigentlich garnicht definiert, da man hier nur ein Bra aber kein komplettes SP hat... (nicht signierter Beitrag von 92.226.94.34 (Diskussion | Beiträge) 02:53, 30. Dez. 2009 (CET))

Also, ich habe die beiden (ursprünglichen) Formeln nochmal gründlich gelesen und festgestellt, dass sie sich gar nicht widersprechen, sondern das gleiche aussagen. $\langle c\psi |$ ist durchaus definiert, und zwar als dualer Vektor zu $|c\psi \rangle =c|\psi \rangle$ (vgl. Shankar). Da der duale Vektor zu $c|\psi \rangle$ gerade $c^{*}\langle \psi |$ gilt als $\langle c\psi |=c^{*}\langle \psi |$ und damit sind beide Formeln gleich und die Welt ist in Ordnung.--Heiko Schmitz 12:35, 30. Dez. 2009 (CET)

Du meinst also, das

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle .$ (englische Version)

und

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle .$ (deutsche Version)

beide gleichzeitig richtig sind? Tut mir leid, aber das erscheint mir absurd. Wo ist bitte definiert, das

${\bigg (}c\langle \phi |{\bigg )}\;|\psi \rangle =c^{*}\langle \phi |\psi \rangle$

gilt? Ich halte das für falsch und damit auch die deutsche Version. Die korrekte Antiliniaritärrelation wäre eigentlich

${\bigg (}c_{1}|\phi _{1}\rangle +c_{2}|\phi _{2}\rangle {\bigg )}^{\dagger }\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$

(vgl. (22) in http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/notes/hilbert.pdf) (nicht signierter Beitrag von 92.226.92.77 (Diskussion | Beiträge) 18:33, 30. Dez. 2009 (CET))

Daher meine Einleitung mit dem genauen Lesen. In der deutschen Version steht nicht $(c\langle \psi |)|\phi >=c^{*}\langle \psi |\phi \rangle$ sondern $(\langle c\psi |)|\phi >=c^{*}\langle \psi |\phi \rangle$, wie es richtig und mit der englischen Version konsistent ist. --Heiko Schmitz 20:55, 30. Dez. 2009 (CET)

Hm, ich spreche von der gesichteten Version. Die aktuelle Version hatte ich ja selbst vor zwei Tagen erzeugt, sie wurde aber bisher nicht veröffentlicht. (nicht signierter Beitrag von 92.226.92.77 (Diskussion | Beiträge) 22:30, 30. Dez. 2009 (CET))

OK, damit ist ja jetzt eigentlich alles klar. Wir sind uns einig, dass die Entwurfsversion richtig ist, sie ist mit der englischen Version konsistent, und hier gibt es auch keine anderen Meinungen. Ich habe die Entwurfsversion daher gesichtet. --Heiko Schmitz 10:37, 31. Dez. 2009 (CET)

"bracket"

Mit "brackets" (standalone) sind im Englischen eigentlich vorwiegend die eckigen Klammern [ ] gemeint! Spitze Klammern benötigen i. d. R. einen Zusatz: angle brackets. -andy 77.190.24.203 03:01, 23. Aug. 2011 (CEST)

Sehe ich auch so und habe es in den Artikel eingefügt -- Nobelium (Diskussion) 23:15, 17. Apr. 2012 (CEST)

Mathematische Rechtfertigung

Wenn ich mich nicht irre, ist der entsprechende Satz nicht der Satz von Riesz-Fischer. Dieser besagt lediglich, dass L² isomorph zu l² ist. Die benötigte Aussage ist jedoch, wenn ich das hier richtig verstehe, dass der Dualraum eines Hilbertraums isomorph zu diesem selbst ist. Das ist der Darstellungssatz von Riesz-Fréchet. (nicht signierter Beitrag von 210.249.10.237 (Diskussion) 14:26, 27. Mai 2012 (CEST))

Der Text selbst sagt ja Fréchet und Riesz, die entsprechenden Wikipedia-Artikel bestätigen das. Ich habe deshalb den Link entsprehend geändert von Satz von Riesz-Fischer auf Satz von Fréchet-Riesz. --Digamma (Diskussion) 21:34, 29. Mai 2012 (CEST)

Umformulierung Eigenschaften / Darstellung

Ich habe versucht, die Eigenschaften der Notation bez. Skalarprodukt / Tensorprodukt besser darzustellen. Die Beispiele dazu waren eher irreführend.

Der Begriff Darstellungen tauchte bisher noch gar nicht, ebenso wenig wie der Begriff der Projektion. Leider gibt es Ortsdarstellung / Impulsdarstellung noch nicht als eigenständige Lemmas.

Was noch fehlt ist ein Abschnitt über lineare Operatoren. Diesen Punkt will ich bei Gelegenheit noch nachtragen. Exilfranke 16:53, 9. Jul. 2006 (CEST)

Fragen zum Erwartungswert

Erwartungswert zu zwei Zuständen?

Im Text steht zu Erwartungswerten:

* Erwartungswerte einer invariant definierten „Messgröße“, mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator ${\hat {A}}\,,$ sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst i.a. unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung

$\langle \psi _{1}|{\hat {A}}|\psi _{2}\rangle \ =\iint _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})\,\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}}')}\langle \psi _{1}|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|{\hat {A}}|{\vec {x}}'\rangle \ \langle {\vec {x}}'|\psi _{2}\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\!x\,\mathrm {d} ^{3}\!x'\$ $=\iint _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})\,\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}}')}\psi _{1}({\vec {x}})^{*}{\hat {A}}({\vec {x}},\,{\vec {x}}')\psi _{2}({\vec {x}}')\,\mathrm {d} ^{3}\!x\,\mathrm {d} ^{3}\!x'$

Meines Erachtens ist dies ein Matrixelement, aber nur im Falle $|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle$ ein Erwartungswert, eben für diesen Zustand. Daher werde ich den Abschnitt entsprechend umformulieren.--Slow Phil (Diskussion) 19:55, 4. Nov. 2013 (CET)

Doppelintegral erforderlich?

Angenommen, es soll der Erwartungswert von ${\hat {A}}$ in einem einzigen Zustand $\psi$ ermittelt werden. Genügt dann nicht auch ein einfaches Integral

$\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle \ =\int _{\mathbb {R} ^{3}({\vec {x}})}\psi ({\vec {x}})^{*}{\hat {A}}({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}\!x$

anstelle des Doppelintegrals, zumindest dann? In manchen Büchern steht das zumindest so.--Slow Phil (Diskussion) 12:48, 10. Aug. 2012 (CEST)

--93.130.241.178 14:11, 15. Jan. 2016 (CET)

das gilt nur, wenn ${\hat {A}}$ mit dem Ortsoperator kommutiert.--Qcomp (Diskussion) 14:01, 28. Apr. 2019 (CEST)