Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen $f_{i}$) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen $f_{i}\colon \Omega \to \Omega _{i}$ und eine Familie von Messräumen $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ für eine nichtleere Indexmenge $I$. Dann heißt die σ-Algebra

${\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I):=\sigma \left(\bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i})\right)$

auf $\Omega$ die Initial-σ-Algebra der Abbildungen $(f_{i})_{i\in I}$ oder die von den Abbildungen $(f_{i})_{i\in I}$ erzeugte σ-Algebra.

Eigenschaften

• Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf $\Omega$, bezüglich derer alle Funktionen $(f_{i})_{i\in I}$ messbar sind.
• Sind ${\mathcal {E}}_{i}$ Erzeuger von ${\mathcal {A}}_{i}$, so ist $\bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {E}}_{i})$ ein Erzeuger von ${\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I)$.

Beispiele

• Für eine einzelne Abbildung $f\colon \Omega \to \Omega '$ in einen Messraum $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ ist bereits $f^{-1}({\mathcal {A}}')$ eine σ-Algebra, es gilt also ${\mathcal {I}}(f)=f^{-1}({\mathcal {A}}')$. Ist beispielsweise $f$ eine konstante Funktion, so ist ${\mathcal {I}}(f)$ die triviale σ-Algebra $\{\emptyset ,\Omega \}$. Für die Indikatorfunktion $\chi _{A}$ einer Teilmenge $A\subset \Omega$ gilt ${\mathcal {I}}(\chi _{A})=\{\emptyset ,A,A^{\mathsf {c}},\Omega \}$.
• Ist $X\subset Y$ und $(Y,{\mathcal {A}})$ ein Messraum sowie $i\colon X\to Y,\,i(x)=x$ die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: ${\mathcal {I}}(i)={\mathcal {A}}|_{X}$.
• Sei $\textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}$ das kartesische Produkt von Mengen $\Omega _{i}$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ und seien $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ Messräume. Wählt man als Abbildungen $\pi _{i}\colon \Omega \to \Omega _{i},\,\pi _{i}(\omega )=\omega _{i}$ die Projektionen auf die $i$-te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der ${\mathcal {A}}_{i}$:

${\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}$.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.