Benutzer:Biezl/Schrottplatz

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Bandgap-Referenz

Temperaturkoeffizent

Die Bedingung

$\Delta U_{BE}+U_{BE1}=U_{BE2}$

gilt für alle Temperaturwerte und führt direkt zur Bedingung

${\frac {\mathrm {d} \Delta U_{BE}}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} U_{BE1}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}$.

Damit gilt für die Spannung U_Basis:

${\frac {\mathrm {d} U_{Basis}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}$

$U_{BE}=U_{T}\cdot \ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}$

Ableiten der Spannung U_BE nach der Temperatur T mittels der Produktregel.

$\ln {f}\Rightarrow (\ln(f))'={\frac {f'}{f}}$ (Logarithmische Ableitung)

${\left({g \over h}\right)'}={{g'\cdot h-g\cdot h'} \over {h^{2}}}$ (Quotientenregel)

$\ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}{\overset {Ableitung}{\Rightarrow }}{\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {{\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}\cdot I_{S}-I_{C}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}}{I_{S}^{2}}}={\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {{\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}\cdot I_{S}}{I_{S}^{2}}}-{\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {I_{C}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}}{I_{S}^{2}}}={\frac {\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}{I_{C}}}-{\frac {1}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}$

Eingesetzt in die Ableitung der Spannung U_BE

${\frac {\mathrm {d} U_{BE}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}$

Damit gilt für die Spannung U_BE2:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C2}}{I_{S2}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}$

Im Grundgerüst wurde die Spannung U_BE2 abgeleitet. Nun müssen noch die fehlenden Ableitungen von I_C1/C2 und I_S2 ermittelt und eingesetzt werden.

Wenn die Bedingung

$I_{C1}=I_{C2}$

gilt, dann muss auch die Bedingung

${\frac {\mathrm {d} I_{C1}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} I_{C2}}{\mathrm {d} T}}$

zutreffen.

Durch Einsetzen und Ableiten ergibt sich:

$I_{C2}=I_{C1}={\frac {\Delta U_{BE}}{R3}}={\frac {U_{T}\cdot \ln {n}}{R3}}$

${\frac {\mathrm {d} I_{C2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{T}}{T}}\cdot {\frac {\ln n}{R3}}$

Aufwändiger ist die Herleitung und Ableitung des Sättigungssperrstroms I_S2.

$I_{S}\propto \mu \cdot k_{b}\cdot T\cdot n_{i}^{2}\Rightarrow I_{S}=A\cdot \mu \cdot k_{b}\cdot T\cdot n_{i}^{2}$

$\mu =\mu _{0}\cdot T^{M}$

$n_{i}\propto T^{3}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}\Rightarrow n_{i}=B\cdot T^{3}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}$

$I_{S}=A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot T^{4+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}$ (Quelle###)

• n_i – Intrinsische Ladungsträgerdichte
• μ – Mobilität der Minoritätsladungsträger(Quelle###)
• μ₀ – Mobilität der Minoritätsladungsträger bei 0 K (Quelle?)
• M – Herstellungsparameter Wertebereich -1…-1,5 (Quellen###)
• k_B – Boltzmann-Konstante
• U_T – Temperaturspannung
• A – Konstante
• B – Konstante

Ableitung des Sättigungssperrstromes mit der Produktregel.

${\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot (4+M)\cdot T^{3+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}+A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot T^{4+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}\cdot -U_{G}\cdot {\frac {\frac {U_{T}}{T}}{U_{T}^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {I_{S}}{T}}+I_{S}\cdot -U_{G}\cdot {\frac {1}{T\cdot U_{T}}}$

Normierung mit ${\frac {U_{T}}{I_{S}}}$

${\frac {U_{T}}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}$

${\frac {U_{T}}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}$

Einsetzen des Temperaturkoeffizienten vom Sättigungssperrstrom I_S2 in den Koeffizienten der Basis-Emitter-Spannung U_BE2.

Nochmals die Ausgangsformel:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C2}}{I_{S2}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}$

Einsetzen der ermittelten Formeln:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE}}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{BE}}{T}}-(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}+U_{T}\cdot {\frac {R3}{U_{T}\cdot \ln {n}}}\cdot {\frac {U_{T}}{T}}\cdot {\frac {\ln n}{R3}}$

Nach Kürzen und Zusammenfassen folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}U_{BE}}{\mathrm{d}T} = \frac{ U_{BE} - (4+M) \cdot U_T - U_G + U_T }{T} } (Quelle?)

Sättigungssperrstrom

Minoritätsladungsträger * Fläche A

• n-Dotierung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S = \frac {e \cdot \mu \cdot A \cdot U_T \cdot n_i^2} {L_n \cdot N_A} }  ??

• p-Dotierung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S = \frac {e \cdot \mu \cdot A \cdot U_T \cdot n_i^2} {L_p \cdot N_D} }  ??

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S = I_S,n + I_S,p}  ?? verhältnis zur dritten Gleichung ??

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S = q \cdot A \left( \frac{ D_p \cdot p_{n0}}{L_p} \cdot \frac {D_n \cdot n_{p0}}{L_n} \right)}

q = ?? Elementarladung

n_p0 = n_p(T = 0 K) ??

• e – Elementarladung
• A – Querschnitt des pn-Überganges
• μ – Elektronenbeweglichkeit
• U_T – Temperaturspannung U_T = k · T/e
• n_i – Intrinsische Ladungsträgerdichte
• N_A – Akzeptorenkonzentration (≈Majoritätsladungsträgerdichte)
• L_n – Diffusionslänge der Elektronen (Majoritätsladungsträger)
• N_D – Donatorenkonzentration
• L_p – Diffusionslänge der Löcher
• D_n – Diffusionskonstante der Elektronen D = k·T / µ (Einstein-Relation)
• D_p – Diffusionskonstante der Löcher
• k – Boltzmann-Konstante

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http://bwrc.eecs.berkeley.edu/Classes/IcBook/SPICE/UserGuide/overview.html

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(T) = I(T_{ref}) \cdot \left(\frac{T}{T_{ref}}\right)^{\frac{XTI}{N}} \cdot e^{\frac{E_g \cdot q}{N \cdot k}\cdot \frac{T \cdot T_ref}{T - T_{ref}}}}

T_ref -> Bezugstemperatur

XTI -> Herstellungsparameter ca. 3

N -> Elektronenemmisionskoeffizient 1..2 (Quelle: Shockley-Gleichung)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu (T) = \mu (T_{ref}) \cdot \left( \frac {T}{T_{ref}}\right)^{-1{,}5}}

-1 * XTI/N ≈ -1,5 (?)

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   I_S \propto \mu \cdot k_b \cdot T \cdot n_i^2 \Rightarrow I_S = A \cdot \mu \cdot k_b \cdot T \cdot n_i^2
   \mu = \mu_0 \cdot T^M
   n_i \propto T^3 \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}} \Rightarrow n_i = B \cdot T^3 \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}}
   I_S = A \cdot B \cdot \mu_0 \cdot T^{4+M} \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}} (Quelle###) 

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Anwendung

Shockley-Gleichung (Dioden-Strom)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_D = I_S \cdot \left( e^\frac{U_D}{n \, U_T} - 1 \right)}

Großsignal-Gleichung des Bipolartransistors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_C = I_S \cdot e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)}

I_C ist der Strom der durch die BE-Strecke fließen würde, wenn keine Quelle am Kollektor angeschlossen wäre, analog zur Shockley-Gleichung. Liegt die CE-Spannung über der BE-Spannung entspricht der Kollektorstrom dem Strom der eigentlich von der Basis geliefert werden müsste.

Bandabstandsspannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_G = \frac{1}{e_0} \cdot \left( W_G - T \cdot \frac{\mathrm{d}W_G}{\mathrm{d}T}\right)}

(Quelle: [1], [2])

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}W_G}{\mathrm{d}T} \propto T }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}U_G}{\mathrm{d}T} \propto T }

Empirisch ermitteltet Formel nach Y. P. Varnshni:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_G(T) = W_G(0) - \frac{\alpha\cdot T^2}{\beta + T} \ ; \ \alpha_{Silizium} = 4{,}73\cdot10^{-4} \frac{eV}{K} \ ;\ \beta_{Silizium} = 636 K}

(Quelle: [3] [4], Varshni, Y.P., Temperature dependence of the energy gap in semiconductors, Physica, 1967)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}W_G}{\mathrm{d}T} = \frac{\alpha \cdot 2\cdot T \cdot (\beta + T) - \alpha \cdot T^2 \cdot 1}{T^2} = \frac{\alpha \cdot T^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \beta \cdot T}{T^2} = \alpha + \frac {2 \cdot \alpha \cdot \beta}{T} }

Quelle: ?