Benutzer:Biezl/Schrottplatz

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoVorlage:SSen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Biezl auf.

Bandgap-Referenz

Temperaturkoeffizent

Die Bedingung

$\Delta U_{BE}+U_{BE1}=U_{BE2}$

gilt für alle Temperaturwerte und führt direkt zur Bedingung

${\frac {\mathrm {d} \Delta U_{BE}}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} U_{BE1}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}$.

Damit gilt für die Spannung U_Basis:

${\frac {\mathrm {d} U_{Basis}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}$

$U_{BE}=U_{T}\cdot \ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}$

Ableiten der Spannung U_BE nach der Temperatur T mittels der Produktregel.

$\ln {f}\Rightarrow (\ln(f))'={\frac {f'}{f}}$ (Logarithmische Ableitung)

${\left({g \over h}\right)'}={{g'\cdot h-g\cdot h'} \over {h^{2}}}$ (Quotientenregel)

$\ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}{\overset {Ableitung}{\Rightarrow }}{\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {{\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}\cdot I_{S}-I_{C}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}}{I_{S}^{2}}}={\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {{\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}\cdot I_{S}}{I_{S}^{2}}}-{\frac {I_{S}}{I_{C}}}\cdot {\frac {I_{C}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}}{I_{S}^{2}}}={\frac {\frac {\mathrm {d} I_{C}}{\mathrm {d} T}}{I_{C}}}-{\frac {1}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}$

Eingesetzt in die Ableitung der Spannung U_BE

${\frac {\mathrm {d} U_{BE}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C}}{I_{S}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}$

Damit gilt für die Spannung U_BE2:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C2}}{I_{S2}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}$

Im Grundgerüst wurde die Spannung U_BE2 abgeleitet. Nun müssen noch die fehlenden Ableitungen von I_C1/C2 und I_S2 ermittelt und eingesetzt werden.

Wenn die Bedingung

$I_{C1}=I_{C2}$

gilt, dann muss auch die Bedingung

${\frac {\mathrm {d} I_{C1}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} I_{C2}}{\mathrm {d} T}}$

zutreffen.

Durch Einsetzen und Ableiten ergibt sich:

$I_{C2}=I_{C1}={\frac {\Delta U_{BE}}{R3}}={\frac {U_{T}\cdot \ln {n}}{R3}}$

${\frac {\mathrm {d} I_{C2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{T}}{T}}\cdot {\frac {\ln n}{R3}}$

Aufwändiger ist die Herleitung und Ableitung des Sättigungssperrstroms I_S2.

$I_{S}\propto \mu \cdot k_{b}\cdot T\cdot n_{i}^{2}\Rightarrow I_{S}=A\cdot \mu \cdot k_{b}\cdot T\cdot n_{i}^{2}$

$\mu =\mu _{0}\cdot T^{M}$

$n_{i}\propto T^{3}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}\Rightarrow n_{i}=B\cdot T^{3}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}$

$I_{S}=A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot T^{4+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}$ (Quelle###)

• n_i – Intrinsische Ladungsträgerdichte
• μ – Mobilität der Minoritätsladungsträger(Quelle###)
• μ₀ – Mobilität der Minoritätsladungsträger bei 0 K (Quelle?)
• M – Herstellungsparameter Wertebereich -1…-1,5 (Quellen###)
• k_B – Boltzmann-Konstante
• U_T – Temperaturspannung
• A – Konstante
• B – Konstante

Ableitung des Sättigungssperrstromes mit der Produktregel.

${\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot (4+M)\cdot T^{3+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}+A\cdot B\cdot \mu _{0}\cdot T^{4+M}\cdot e^{-{\frac {U_{G}}{U_{T}}}}\cdot -U_{G}\cdot {\frac {\frac {U_{T}}{T}}{U_{T}^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {I_{S}}{T}}+I_{S}\cdot -U_{G}\cdot {\frac {1}{T\cdot U_{T}}}$

Normierung mit ${\frac {U_{T}}{I_{S}}}$

${\frac {U_{T}}{I_{S}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}$

${\frac {U_{T}}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}=(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}$

Einsetzen des Temperaturkoeffizienten vom Sättigungssperrstrom I_S2 in den Koeffizienten der Basis-Emitter-Spannung U_BE2.

Nochmals die Ausgangsformel:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE2}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{T}}{\mathrm {d} T}}\cdot \ln {\frac {I_{C2}}{I_{S2}}}-U_{T}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}+U_{T}\cdot {\frac {1}{I_{S2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{S2}}{\mathrm {d} T}}$

Einsetzen der ermittelten Formeln:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE}}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{BE}}{T}}-(4+M)\cdot {\frac {U_{T}}{T}}-U_{G}\cdot {\frac {1}{T}}+U_{T}\cdot {\frac {R3}{U_{T}\cdot \ln {n}}}\cdot {\frac {U_{T}}{T}}\cdot {\frac {\ln n}{R3}}$

Nach Kürzen und Zusammenfassen folgt:

${\frac {\mathrm {d} U_{BE}}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{BE}-(4+M)\cdot U_{T}-U_{G}+U_{T}}{T}}$ (Quelle?)

Sättigungssperrstrom

Minoritätsladungsträger * Fläche A

• n-Dotierung: $I_{S}={\frac {e\cdot \mu \cdot A\cdot U_{T}\cdot n_{i}^{2}}{L_{n}\cdot N_{A}}}$ ??

• p-Dotierung: $I_{S}={\frac {e\cdot \mu \cdot A\cdot U_{T}\cdot n_{i}^{2}}{L_{p}\cdot N_{D}}}$ ??

• $I_{S}=I_{S},n+I_{S},p$ ?? verhältnis zur dritten Gleichung ??

• $I_{S}=q\cdot A\left({\frac {D_{p}\cdot p_{n0}}{L_{p}}}\cdot {\frac {D_{n}\cdot n_{p0}}{L_{n}}}\right)$

q = ?? Elementarladung

n_p0 = n_p(T = 0 K) ??

• e – Elementarladung
• A – Querschnitt des pn-Überganges
• μ – Elektronenbeweglichkeit
• U_T – Temperaturspannung U_T = k · T/e
• n_i – Intrinsische Ladungsträgerdichte
• N_A – Akzeptorenkonzentration (≈Majoritätsladungsträgerdichte)
• L_n – Diffusionslänge der Elektronen (Majoritätsladungsträger)
• N_D – Donatorenkonzentration
• L_p – Diffusionslänge der Löcher
• D_n – Diffusionskonstante der Elektronen D = k·T / µ (Einstein-Relation)
• D_p – Diffusionskonstante der Löcher
• k – Boltzmann-Konstante

---

---

http://bwrc.eecs.berkeley.edu/Classes/IcBook/SPICE/UserGuide/overview.html

$I(T)=I(T_{ref})\cdot \left({\frac {T}{T_{ref}}}\right)^{\frac {XTI}{N}}\cdot e^{{\frac {E_{g}\cdot q}{N\cdot k}}\cdot {\frac {T\cdot T_{r}ef}{T-T_{ref}}}}$

T_ref -> Bezugstemperatur

XTI -> Herstellungsparameter ca. 3

N -> Elektronenemmisionskoeffizient 1..2 (Quelle: Shockley-Gleichung)

$\mu (T)=\mu (T_{ref})\cdot \left({\frac {T}{T_{ref}}}\right)^{-1{,}5}$

-1 * XTI/N ≈ -1,5 (?)

---

---

   I_S \propto \mu \cdot k_b \cdot T \cdot n_i^2 \Rightarrow I_S = A \cdot \mu \cdot k_b \cdot T \cdot n_i^2
   \mu = \mu_0 \cdot T^M
   n_i \propto T^3 \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}} \Rightarrow n_i = B \cdot T^3 \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}}
   I_S = A \cdot B \cdot \mu_0 \cdot T^{4+M} \cdot e^{-\frac{U_G}{U_T}} (Quelle###) 

---

---

Anwendung

Shockley-Gleichung (Dioden-Strom)

$I_{D}=I_{S}\cdot \left(e^{\frac {U_{D}}{n\,U_{T}}}-1\right)$

Großsignal-Gleichung des Bipolartransistors

$I_{C}=I_{S}\cdot e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A}}}\right)$

I_C ist der Strom der durch die BE-Strecke fließen würde, wenn keine Quelle am Kollektor angeschlossen wäre, analog zur Shockley-Gleichung. Liegt die CE-Spannung über der BE-Spannung entspricht der Kollektorstrom dem Strom der eigentlich von der Basis geliefert werden müsste.

Bandabstandsspannung

$U_{G}={\frac {1}{e_{0}}}\cdot \left(W_{G}-T\cdot {\frac {\mathrm {d} W_{G}}{\mathrm {d} T}}\right)$

(Quelle: [1], [2])

${\frac {\mathrm {d} W_{G}}{\mathrm {d} T}}\propto T$

${\frac {\mathrm {d} U_{G}}{\mathrm {d} T}}\propto T$

Empirisch ermitteltet Formel nach Y. P. Varnshni:

$W_{G}(T)=W_{G}(0)-{\frac {\alpha \cdot T^{2}}{\beta +T}}\ ;\ \alpha _{Silizium}=4{,}73\cdot 10^{-4}{\frac {eV}{K}}\ ;\ \beta _{Silizium}=636K$

(Quelle: [3] [4], Varshni, Y.P., Temperature dependence of the energy gap in semiconductors, Physica, 1967)

${\frac {\mathrm {d} W_{G}}{\mathrm {d} T}}={\frac {\alpha \cdot 2\cdot T\cdot (\beta +T)-\alpha \cdot T^{2}\cdot 1}{T^{2}}}={\frac {\alpha \cdot T^{2}+2\cdot \alpha \cdot \beta \cdot T}{T^{2}}}=\alpha +{\frac {2\cdot \alpha \cdot \beta }{T}}$

Quelle: ?