Benutzer:Hesselp/Cesàro-Mittel
Die arithmetischen Mittel der Glieder 1 bis n einer Folge heißen Cesàro-Mittel der Folge; wenn sich diese Mittel einen Grenzwert nähern nennt man die Folge Cesàro-konvergent und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge.
Eine Folge heißt Cesàro-summierbar wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist.
Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück.[1] Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.
Definitionen
Konvergente Folge - Cesàro-konvergente Folge - Cesàro-Grenzwert
Wenn sich die Glieder einer Folge einen Grenzwert nähern, heißt die Folge konvergent .
Wenn (für ) sich die arithmetischen Mittel der Anfangsglieder einer Folge einen Grenzwert nähern, heißt Folge Cesàro-konvergent, C1-konvergent oder C1-limitierbar[2], und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge.
Durch den Cauchyschen Grenzwertsatz läßt sich zeigen, dass der Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge dem normalen Grenzwert dieser Folge gleich ist.
Summierbare Folge - Cesàro-summierbare Folge - Cesàro-Summe
Wenn (für ) sich die Partialsummen () der Anfangsglieder einer Folge einen Grenzwert nähern, heißt Folge summierbar, und der Grenzwert Summe der Folge.
Wenn (für ) sich die arithmetischen Mittel der Anfangsglieder der Partialsummenfolge einer Folge einen Grenzwert nähern, heißt Folge Cesàro-summierbar oder C1-summierbar, und der Grenzwert Cesàro-Summe der Folge. Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich.
Nomenklatur mit 'Reihe'
Vor dem 20. Jahrhundert wurde konvergent sein (und konvergieren) sowohl für 'ein Grenzwert haben' als auch für 'eine Summe haben' gebraucht.[3] Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe genannt.[4][5][6][7][8][9] [10][11] Infolgedessen wird noch immer oft von konvergenter Reihe oder, seltener, summierbarer Reihe gesprochen (statt summierbarer Folge), wenn sich die Partialsummen einer Folge die 'Summe der Reihe' (Summe der Folge) nähern.
Ebenso wird Cesàro-summierbare Reihe (seltener Cesàro-konvergente Reihe), und Cesàro-Summe einer Reihe gesagt.
Das Wort 'Reihe' kann vorkommen in eindeutig definierte zusammengesetzte Namen, aber das Wort selbst hat in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung.
Beispiele
Zur divergenten Folge 1, -1, 1, -1, 1, ··· (Grandi-Folge, G) gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1, (1-1)/2 = 0, (1-1+1)/3 = 1/3, (1-1+1-1)/4 = 0, 1/5, 0, 1/6, 0, usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt Folge G Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.
Zur nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge 1, 0, 1, 0, 1, ··· , mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1, (1+0)/2 = 1/2, (1+0+1)/3 = 2/3, (1+0+1+0)/4 = 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8, usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt Folge G Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.
Anwendungen
Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.
Einzelnachweise
- ↑ Bull. des Sciences Math., Bd.(2) 14:1 (1890) S. 114-120
- ↑ Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 2. erw. Aufl. (1924) XIII. Kap.; in englischer Übersetzung: limitable C1 p.462-515
- ↑ C.F. Gauss, Werke Abt.I, Band X, S.400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung ....".
- ↑ A-L Cauchy, Cours d'Analyse, S.123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités ..." [Eine unendliche Folge von Größen heißt Reihe], S.2: "nous appliquerons uniquement la dénomination de quantités aux quantités réelles positives ou négatives...." [wir gebrauchen die Bezeichnung Größe nur für positieve oder negatieve reelle Größen....].
- ↑ C.L.B. Susler, A.L. Cauchy's Lehrbuch der algebraischen Analysis, 1828, S.92: "Eine unbestimmte Reihenfolge von Größen [...] welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander abgeleitet werden können, heißt eine Reihe".
- ↑ Pierer's Universal-Lexikon, 4. Aufl. 1862, 14. Band, S. 2-3: "Reihe, [...] 3) jede Folge von Größe welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. [...] Außerdem lassen sich über Reihen als Formen einer Größe, überhaupt merkwürdige Untersuchungen aufstellen, ..."
- ↑ Moritz Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Band III, 2.Aufl., 1901: Niemals 'Folge', nur Reihe, Reihenlehre, Reihenentwicklung.
- ↑ Heinrich Weber, Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analyses 2. Aufl. 1906, S. 397: "Unter einer Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art ..."
"Die Reihe der Aν heißt die Summenreihe der Reihe der aν" . - ↑ H. von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, 2. Band; 2. Aufl. 1919, S.175: "Beispielsweise kann also die Summe einer konvergenten unendlichen Reihe u1; u2; u3; u4; ··· durch das Zeichen u1 + u2 + u3 + u4 + ··· dargestellt werden, ... " .
- ↑ D.A.Quadling, Mathematical Analysis, 1955-1968, S. 85: "When the sequence ur is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an infinite series ". [Wenn eine Folge im Hinblick auf ihre Summenfolge betrachtet wird, nennt man die Folge häufig unendliche Reihe.]
- ↑ S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (The Mathematical Association of America) 1994, S. 196: "In older usage, series sometimes meant what we would call now a sequence." [Im älteren Gebrauch sagte man manchmal Reihe für das, was wir jetzt eine Folge nennen.]
Literatur
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
- Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
- Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
- Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
- Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94-118, insbesondere S. 96
