Benutzer Diskussion:MRewald/Spielwiese

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Physikalische Ähnlichkeit

  • Vor einigen Jahren sorgte für Furore, dass Paläontologen die These aufgestellt hatten, dass Dinosaurier keine Reptilien sein konnten, was man bis dahin angenommen hatte, sondern warmblütig gewesen sein müssen. Mit Hilfe der Ähnlichkeitstheorie hatte man versucht aus der Größe der Dinosaurier deren Gewicht abzuschätzen und daraus, wie Leistungsfähig die Muskulatur sein muss, um ein Tier dieser Größe und dieses Gewichts tragen und bewegen zu können. Man hatte geschlossen, dass nur die Muskulatur eines Warmblüters die nötige Leistungsfähigkeit nachhaltig erbringen konnte. Hintergrund: Die Muskelkraft nimmt mit dem Querschnitt eines Muskels zu, also quadratisch mit der Größe. Das Gewicht dagegen nimmt mit dem Volumen, also mit der 3. Potenz der Größe zu. Das Verhältniss von Kraft zu Gewicht, wird mit der Größe also immer ungünstiger. Mit den Mitteln der Ähnlichkeitsphysik lässt sich das näher betrachten.

Grenzen

In Beispiel 2 ist der Sprung eines Menschen verglichen, mit dem Sprung eines Flohs. Während beim Menschen, mit einer Masse von rund 75kg die Luftreibung vernachlässigt werden kann, spielt sie beim Floh, mit seinen wenigen mg, eine entscheidende Rolle. Bei der Abschätzung der Sprunghöhe müssten also die Strömungseigenschaften der Athmosphäre mit berücksichtigt werden (z. B. deren Viskosität). Das Verändern von Temperatur und/oder Druck im erforderlichen Maß, würde eines der Lebewesen nicht überleben.

Anwendungsbeispiel

Beispiel 2

Immer wieder findet man Aussagen wie: Wenn der Mensch so hoch springen könnte, wie ein Floh, dann könnte er mühelos über den Eifelturm springen. Eine nähere Betrachtung zeigt:

  • Sei der Größen-Maßstab M. Bei dem Vergleich Floh zu Mensch wäre M ungefähr 1:1.000.
  • Die Kraft F eines Muskels ist in etwa proportional zum Querschnitt des Muskels, wächst also quadratisch mit dem M.
  • Das Gewicht G eines Tieres ist in etwa proportional zu seinem Volumen, wächst also mit der 3. Potenz des Größenmaßstabs M
  • Kraft ist Masse mal Beschleunigung, bzw. die Beschleunigung a, mit der ein Tier beim Sprung von der Erde weg beschleunigt, ist proportional zur aufgewandten Kraft, aber umgekehrt proportional zu seiner Masse M.
  • Allerdings kann ein Tier über eine um so größere Strecke beschleunigen, bevor die Beine ganz gestreckt sind und den Boden verlassen, je größer es ist. Die geringere Beschleunigung wird dadurch (mindestens teilweise) kompensiert.
    Für die Geschwindigkeit gilt:
     mit Beschleunigung a und während der Beschleunigung zurückgelegter Strecke s.
und mit        und        gilt damit:
Die Absprunggeschwindigkeit ist vom Maßstab M also unabhängig.
  • Da sich Massenträgheit und Erdbeschleunigung bei der Sprunghöhe gegenseitig aufheben, hängt die Sprunghöhe nur von der Absprunggeschwindigkeit ab. Wie eben gezeigt ist die Absprunggeschwindigkeit aber vom Größen-Maßstab gar nicht abhängig, und damit auch die Sprunghöhe nicht. Alle Lebewesen, mit vergleichbarer Muskelphysiologie sollten also in etwa gleich hoch springen können.

Zu Berücksichtigen ist noch, dass für die Beurteilung der Sprunghöhe maßgäblich ist, wie weit sich der Schwerpunkt nach oben bewegt. Beim Menschen liegt der Schwerpunkt in Nabelhöhe, und damit schon beim Absprung erheblich über dem Boden. Ähnliches würde für ein Pferd gelten. Bei einem entsprechenden Training kann man seinen Schwerpunkt beim Sprung knapp 1,50m nach oben bewegen. Die rund 20cm, die ein Floh schafft, sind vor dem Hintergrund der Ähnlichkeitstheorie also gar nicht so beeindruckend.

Zu beachten ist auch: Mit der Größe des Tieres und der Srunghöhe, sind beide Male die räumlichen Dimensionen betroffen. Dennoch kommt es zu unterschiedlichen Maßzahlen (1 : 1.000 einerseits und 1 : 1 andererseits). Dies unterstreicht, dass die Ähnlichkeitsphysik nicht nach Schema-F angewandt werden kann, sondern ein fundiertes Verständnis der physikalischen Zusammenhänge nötig ist, um sie sinnvoll anzuwenden.

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