Bloch-Funktion

Darstellung einer Isofläche des Betragsquadrates einer Blochwellenfunktion in Silizium

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper (Bloch-Elektron).

Die Form dieser Wellenfunktionen $\psi$ wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist:

Satz: Es sei ein periodisches Potential $V({\vec {r}})$ mit der Periodizität ${\vec {R}}$ gegeben: $V({\vec {r}})=V({\vec {r}}+{\vec {R}})$ Dann existiert eine Basis von Lösungen der stationären Schrödingergleichung der Form $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})=e^{\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\cdot u_{\vec {k}}({\vec {r}})$ mit der Eulerschen Zahl $e$ der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ einem beliebigen Vektor ${\vec {k}}$ einer vom Parameter ${\vec {k}}$ abhängigen periodischen Funktion $u_{\vec {k}}({\vec {r}})$ mit Periode ${\vec {R}}$: $u_{\vec {k}}({\vec {r}})=u_{\vec {k}}({\vec {r}}+{\vec {R}})$

Die Periodizität des Potentials $V({\vec {r}})$ überträgt sich also auf $u_{k}({\vec {r}})$ und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $|\psi ({\vec {r}})|^{2}=|\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})|^{2}$ des betrachteten Teilchens im Potential. Für ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich groß und zeigt den gleichen räumlichen Verlauf. In einem kristallinen Festkörper ist die Periodizität gegeben durch das Kristallgitter, ${\vec {R}}$ ist ein Gittervektor. Ist das Potential zeitunabhängig, kann $u_{k}({\vec {r}})$ als reell angesetzt werden.

Aussagen

Nach dem Bloch-Theorem sind die Einteilchen-Energieeigenzustände $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ über einen Wellenvektor ${\vec {k}}$ parametrisiert, wobei dessen Komponenten ${\vec {k}}=\left(k_{x},k_{y},k_{z}\right)$ alle reellen Zahlen durchlaufen können. Für eine vollständige Parametrisierung genügen schon die Wellenvektoren ${\vec {k}}$ der ersten Brillouin-Zone ($|k_{x}|\leq \pi /a_{x}$ etc.). Denn eine Blochfunktion $\psi ({\vec {r}})=e^{\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\cdot u_{\vec {k}}({\vec {r}})$ bleibt unverändert, wenn ${\vec {k}}$ durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k' = \vec k + \vec {G_n}} , mit einem beliebigen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {G_n}=\sum_{i=1}^3 n_i \vec b_i} des reziproken Gitters, ersetzt wird und gleichzeitig die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_\vec k(\vec r)} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{\vec k'}(\vec r) = e^{-\mathrm i \vec r_{ } \cdot \vec {G_n}} u_\vec {k}(\vec r)} . Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(\vec r) = e^{\mathrm i \vec k \cdot \vec r} \cdot u_\vec k(\vec r) \equiv e^{\mathrm i \vec k' \cdot \vec r} \cdot u_{\vec k '}(\vec r)} , denn per Definition ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{\mathrm i \vec {R_{ }} \cdot \vec {G_n}} =1 } , und damit ist auch die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{\vec k'}(\vec r) } periodisch wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{\vec k}(\vec r) } . Das ermöglicht bei der Beschreibung von Wellenfunktionen und Gitter-Energien, vom erweiterten Zonenschema zum reduzierten Zonenschema überzugehen.

Zur Beschreibung aller Einteilchen-Wellenfunktionen des Kristalls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_{\vec k'}(\vec r)} , insbesondere der gitterperiodischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{\vec k'}(\vec r)} , im reduzierten Zonenschema werden die Beiträge des gesamten reziproken Gitters, d. h., aller äquivalenten reziproken Gittervektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {G_n}} benötigt, sodass hier ein weiterer Index n eingeführt werden muss. Dieser vermittelt gerade über den reziproken Gittervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {G_n}} den Beitrag der n-ten Brillouin-Zone zum Energiespektrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E \vec(k')} und zur Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_{\vec k'}(\vec r)} .

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {G_n}} aber diskret ist, bildet sich für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k'} ein diskretes Energiespektrum aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\vec k'}(\vec k')=E_{\vec k+\vec{G_n}}(\vec{k}+\vec{G_n})=E_{n\vec k}(\vec{k}+\vec{G_n})} , das sich aber als Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} innerhalb der ersten Brillouin-Zone kontinuierlich verändert. Das quasi-kontinuierliche, aber diskrete Energiespektrum kann dadurch über n diskrete Energiebänder dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\vec k'}(\vec k') \rightarrow E_{nk}(\vec k,G_n)}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{\vec k'}(\vec r)\rightarrow u_{n\vec k}(\vec r,G_n) \Rightarrow u_{\vec k'}(\vec r)=\sum_n u_{n\vec k}(\vec r,G_n)}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_{\vec k'}(\vec r)= e^{\mathrm i \vec k \cdot \vec r} \cdot\sum_n u_{n\vec k}(\vec r,G_n)}

Das ist die Grundlage der in der Festkörperphysik verbreiteten Darstellung der Bandstruktur im Bändermodell.

Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} und n, genannt Bandindex, sind daher geeignete Indizes zur Bezeichnung der Einteilchen-Energieeigenzustände und Einteilchen-Wellenfunktion des Gitters. Der Wellenvektor wird auch als Quasiimpuls oder Kristallimpuls bezeichnet. Der Name ist damit begründet, dass im Falle einer schwach veränderlichen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_\vec k(\vec r) \approx const } der Impuls des Teilchens näherungsweise durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \vec p \rangle\approx \hbar \vec k} gegeben ist, so dass der Kristallimpuls noch näherungsweise die Eigenschaften des Impulses hat, z. B. bei der Impulserhaltung bei Stößen oder Emission und Absorption von Photonen. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_\vec k(\vec r) = const } , gilt das exakt.

Vereinfachte Herleitung

Da das Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(\vec{r})} invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec R} ist (in einem Kristall ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{R}} ein Gittervektor), ist es auch der Hamiltonoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + V(\vec r)} des Teilchens. Eine Eigenfunktion, die um die Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{R}} verschoben wird, ist daher sicher wieder eine Eigenfunktion zur selben Energie. Wenn keine Entartung vorliegt, beschreibt sie denselben Zustand wie vor der Translation, kann sich von der unverschobenen Funktion also nur um einen festen Phasenfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} unterscheiden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(\vec{r} + \vec{R}) = f\ \psi(\vec{r})}

Bei n-fach wiederholter Ausführung der Translation multiplizieren sich die Phasenfaktoren (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^n} ), während sich die Strecken addieren (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\vec R} ).

Da aber die Teilchendichte erhalten bleiben soll:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\psi(\vec{r} + \vec{R})\right|^2 = \left|\psi(\vec{r})\right|^2 } ,

muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} allgemein gegeben sein durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\vec{R}) = e^{\mathrm i \vec{k} \cdot \vec{R}}}

mit einem geeigneten festen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} . Für eine aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(\vec{r})} gebildete Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(\vec{r}) = e^{-\mathrm i \vec{k} \cdot \vec{r}}\psi(\vec{r}) } folgt dann einfache Periodizität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(\vec{r} + \vec{R}) = u(\vec{r})} . Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(\vec{r}) = e^{\mathrm i \vec{k}\cdot\vec{r}} u(\vec{r}) }

Siehe auch

• Modell der quasifreien Elektronen

Literatur

• Felix Bloch: Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern. In: Zeitschrift für Physik A. 52, 1929, S. 555–600, doi:10.1007/BF01339455.
• Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors. Fourth Edition. World Scientific, Singapore / River Edge / London, S. 29 ff.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1&2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999.
• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage. Oldenbourg-Verlag, München 2006, S. 187 f.
• Harald Ibach, Hans Lüth: Festkörperphysik. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1999, S. 160 ff.