Diskussion:Cramersche Regel

Um die Diskussionsseite übersichtlich zu halten, habe ich erledigte Sachen entfernt. In der folgenden Liste ist jeweils die letzte Version verlinkt, bevor das Thema entfernt wurde. Wenn jemand ein solches Thema weiterdiskutieren will, kann er es wieder in die Diskussionseite kopieren. --Squizzz 09:42, 6. Dez. 2006 (CET)

• Abschnitt „Die Inverse einer Matrix“
• Allgemeinverständlichkeit des Artikels
• Fehler im Artikel
• Gleichungssysteme mit det(A) = 0
• Kategorie: Numerische Lineare Algebra

Komplexität

Was bedeutet: "Der Aufwand der Cramerschen Regel beträgt O(nn!)."? Gruß, --Laudrin 11:50, 6. Jan 2006 (CET)

Der Satz trifft eine Aussage über die maximale Laufzeit des Algorithmus (das O(nn!) ist mit dem Artikel Landau-Symbole verlinkt, der diese Schreibweise erklärt). Ich habe das im neuen Artikel ein bisschen präzisiert. Allerdings weiß ich nicht, ob die Abschätzung stimmt und für welchen Algorithmus zur Berechnung der Determinante sie gilt. Ich werde es aber bei Gelegenheit rausfinden. --Squizzz 11:55, 20. Jan 2006 (CET)

So, auch hier sage ich noch etwas, unten habe ich ja shcon "meinen Senf" dazu gegeben: Die Laufzeit ist falsch angegeben. O(nn!)!! Naja, wenn ich das doof genug implementiere und n-mal über die Matrix renne, dann ist das vielleicht richtig. Aber so ist ja die O-Notation auch nicht zu verwenden. Es muss davon ausgegangen werden, dass alle Determinanten der Matrix Ai berechnet werden müssen. Laufzeit also O(n!). Vielleicht ist es auch nur ein Tippfehler mit "O(nn!)" gewesen.

Da keiner die falsche Laufzeit geändert hat, habe ich sie nun korrigiert. --Genscher 01.06.2006

Prinzipiell danke für die Korrektur, allerdings kann ich die Laufzeitangabe O(n!) immer noch nicht nachvollziehen. Ohne auf einen Algorithmus zur Berechnung der Determinante kann man meines Erachtens keine solche Aussage treffen. Deshalb habe ich die Aussage ganz gelöscht. Wenn sie wieder rein soll, dann bitte mit Quellenangabe oder zumindest Hinweis auf einen Algorithmus zur Berechnung der Determinante. --Squizzz 11:21, 1. Jun 2006 (CEST)

Es geht um eine prinzipielle Mindestzahl an nötigen Operationen. Hab bei Google kurz was gefunden [1] (pdf), hab aber gerade nicht mehr Zeit.--G 21:36, 1. Jun 2006 (CEST)

Hab jetz was gefunden: Hat man ein n-reihige Determinante braucht man n (n-1) reihige Determinanten (also bei einer 10 reihigen Det. braucht man zehn neunreihige Determinanten). In der Zweireihigen Det. hat man dann auch noch 2 Mulitplikationen also braucht man n*(n-1)*...*2=n! Multiplikationen. Für die Berechnung der Lösungen eines n-reihigen LGS bracht man n+1 Determinanten. Führt man Det. also auf zweireihige Determinanten zurück braucht man (n+1)*n! = (n+1)! Multiplikationen. (Quelle: Barth, Krumbacher, Barth: Anschauliche Analytische Geometrie).--G 14:10, 2. Jul 2006 (CEST)

Es gibt Verfahren zur divisionsfreien (oder fast div-freien) Berechnung von Determinanten, die mit $O(n^{4})$ Multiplikationen auskommen. Berechnet man die Determinante mit dem Gauss-Algorithmus, so benötigt man $O(n^{3})$ Multiplikationen und Divisionen. Das simultane Berechnen aller Determinanten mit Gauss ist zum direkten Lösen des Gleichungssystems mit Gauss äquivalent.--LutzL 12:02, 12. Okt. 2006 (CEST)

Weißt du zufällig etwas konkreteres oder hast du Quellen, die man angeben könnte?--G 16:56, 20. Okt. 2006 (CEST)

Es gibt den divisionsfreien Berkowitz-Algorithmus (1984). Dann gibt es ein relativ unbekanntes, aber recht einfaches Verfahren, da in gewissem Sinne das Horner-Schema umkehrt. D.h. es werden die Newton-Identitäten auf die Spuren der Matrixpotenzen angewandt, um die Koeffizienten des char. Polynoms zu erhalten. Dabei wird durch die Zahlen 2,...,n dividiert, dieses Verfahren ist also nur eingeschränkt divisionsfrei.

Start: i=0,C1=I,a[0]=1

Iteration von i=1 bis n

C=C1, C1=M*C, a[i]=-Spur(C1)/i

next i

Ergebnis: $P(X)=a[0]*X^{n}+a[1]x^{n-1}+\dots +a[n]$ ist das charakteristische Polynom, $M^{\#}=(-1)^{n-1}C$ ist die komplementäre oder adjunkte Matrix, $\det M=(-1)^{n}a[n]$ ist die Determinante.

Die Berechnung der Determinante kann vereinfacht werden, indem vorher gewisse Zeilenoperationen ausgeführt werden. Wendet man diese simultan auf die Determinante der Systemmatrix und die Zählerdeterminanten an, so ergibt sich dieselbe Rechnung wie beim Gauß- oder Gauß-Bareiss-Algorithmus. Letzterer ist so exakt wie der Datentyp und benötigt O(n³) Operationen

• S. J BERKOWITZ: On Computing the determinant in small parallel time using a small number of processors. In: Information Processing Letters. 18, 1984, S. 147–150.
• J. ABDELJAOUED: The Berkowitz Algorithm, Maple and Computing the Characteristic Polynomial in an Arbitrary Commutative Ring. In: Maple User Journal(?). 1996.
• H. Cohen: A course in computational algebraic number theory 1993.

--LutzL 08:46, 23. Okt. 2006 (CEST)

Änderung vom 5. Oktober 2006

Betrifft: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Cramersche_Regel&curid=217215&diff=22251109&oldid=22209280

FarSide, du gibst an, dass

$det(A)x_{i}=det(A_{i})$

die Cramersche Regel ist. Dies kann ich in der Literatur so nicht finden. Dort wird immer die Lösungsformel

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}$

als Cramersche Regel bezeichnet. Entsprechende Literaturstellen sind

• Detlef Wille: Repetitorium der Linearen Algebra. Teil 1. Binomi-Verlag, S. 114 Satz 3
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, S. 149 Korollar 6

Ich habe deshalb vorerst deine Änderung rückgängig gemacht. Insbesondere da du beim eindeutig lösbaren homogenen LGS einen kleine Ungenauigkeit eingebaut hast. Kannst du jedoch deine Aussage belegen, dann nehme ich sie gerne wieder auf. --Squizzz 18:20, 5. Okt 2006 (CEST)

Die angegebene Formel hat den Vorteil, dass sie auch dann richtig ist, wenn $\det A$ nicht invertierbar ist. Referenz: Lang, Algebra, XIII.4.4.--Gunther 22:43, 5. Okt 2006 (CEST)

Die beiden Formeln sind praktisch identisch, wenn du deine Version mit $det(A)$ multiplizierst erhältst du die Version von FarSide.--G 23:21, 5. Okt 2006 (CEST)

Das war nicht die Frage.--Gunther 23:23, 5. Okt 2006 (CEST)

Hallo, erstmal entschuldigung, dass ich das "die Lösung" durch "eine Lösung" ersetzt habe und es noch nichtmal in die Zusammenfassung der Änderung geschrieben hab. Hab nochmal drüber geschlafen und bin zu folgendem gekommen:

• Die Quellenangabe für meine Version ist in der Tat der Lang, und sie hat den Vorteil, immer zu gelten.
• Daraus folgt eine Bedingung, der mögliche Lösungen genügen müssen, (erstmal) nicht die Existenz einer Lösung.
• Im Fall $\det(A)\neq 0$ kann es für jedes $b$ nur eine Lösung geben, die durch $x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}$ bestimmt ist.
• An dieser Stelle kommt der letzte Absatz ins Spiel: Dass $0$ eine Lösung ist gilt immer und ist auch ohne Cramersche Regel offensichtlich. Dass es keine weitere Lösung geben kann folgt im Fall $\det(A)\neq 0$ daraus, dass für $b=0$ alle $\det(A_{i})=0$ sind. Das bedeutet, dass die Spalten von A linear unabhängig sind und den ganzen $\mathbb {R} ^{n}$ aufspannen. Deshalb muss es für jedes $b$ eine Lösung geben, die wir somit durch $x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}$ bestimmt haben.

Ich werde mich gleich mal daran versuchen, dass in den Artikel einzubauen, ohne den enzyklopädischen Charakter zu verletzen. Die von mir angegebene Form der Cramerschen Regel gilt auch für $\det(A)=0$ und, was für Anwendungen in der Algebra wichtiger ist, auch für Matrizen mit Einträgen aus kommutativen Ringen, wo nicht unbedingt dividiert werden kann. In diesem Fall folgt immer noch die Invertierbarkeit von Matrizen, falls $det(A)$ eine Einheit ist. In diesem Zusammenhang wird die Regel z.B. in Matsumura, Commutative Algebra, zitiert. Darauf sollte auch im Artikel hingewiesen werden (sie frühere Änderung und früherer Kommentar von mir), bin aber für andere Meinungen offen. FarSide 07:33, 6. Okt 2006 (CEST)

Danke für eure Hinweise. Ich komme jedoch erst am Montag dazu in den Lang reinzuschauen und mir ein Urteil über anstehende Änderungen zu bilden. Wer will kann ja schon mal die allgemeinere Verwendung einbauen. --Squizzz 09:47, 6. Okt 2006 (CEST)

Ich habe nun einmal wahllos zwanzig Bücher aus dem Lineare-Algebra-Regal genommen und festgestellt, dass fast immer die Quotientenformel als Cramersche Regel bezeichnet wird. An eine Kopie des Originals von Cramer bin ich nicht gekommen. Lang nimmt in seinem Buch Algebra die allgemeine Form, bezeichnet jedoch selbst in der 2. Auflage seiner Linear Algebra die Quotientenformel explizit als Cramersche Regel. Da ich auf Grund dessen davon ausgehe, dass die Quotientenformel im Allgemeinen mit den Begriff Cramersche Regel in Verbindung gebracht wird, habe ich diesbezüglich wieder den alten Zustand des Artikels hergestellt und auf die allgemeine Form am Ende der Einleitung verwiesen. Können damit alle gut leben? --Squizzz 23:55, 16. Okt. 2006 (CEST)

OK, dass die Cramersche Regel meist in der Quotientenform angegeben wird, lässt sich nicht bestreiten. Trotzdem finde ich meine Beschreibung, die erst die Produktform angibt und dann zwei Zeilen später auf den (wichtigen) Spezialfall $\det(A)\neq 0$ eingeht, besser. Squizzz, Du schreibst, die Regel ließe sich "erweitern" auf die Produktformel. Dabei kehrt man aber nur zur ursprünglichen Form zurück, die man vorher eingeschränkt hat. Außerdem gehen die meisten Bücher über Lineare Algebra von Matrizen mit Einträgen in einem Körper (typischerweise R oder C) aus, die Regel gilt aber auch in kommutativen Ringen. Hier ist das Hindernis bei einer Division nicht "Division durch null", sondern es geht um Kürzung gleicher Teiler.

Die Quotientenform ist sicher die gebräuchlichste und für Ingenieure, Physiker, Informatiker, Numeriker... also fast alle auch die relevante. Aber eine mathematisch saubere Formulierung ist weder länger noch schwerer verständlich (finde ich), warum also darauf verzichten? Die Darstellung bei MathWorld ist übrigens ähnlich.

Ich bin aber schonmal froh, dass wenigstens der Beweis, den nochmal jemand eingebaut hat, nicht wieder mit "kein Mehrwert" diskussionslos rausgeschmissen wurde. -- FarSide 03:21, 17. Okt. 2006 (CEST)

Schreibweise „Cramer’sche Regel“

Hallo Stefan,

du hast im o.g. Artikel die alte Schreibung Cramersche Regel durch eine neue, angeblich durch die neue deutsche Rechtschreibung gestützte, ersetzt. Nach § 96 sieht das amtliche Regelwerk drei Fälle zur Verwendung des Apostrophs vor. (1) Eigennamen, deren Nominativform auf einen s-Laut enden, bekommen im Genitiv den Apostroph. Hier: nicht gegeben (2) Wörter mit Auslassungen, die ohne Kennzeichnung schwer lesbar oder missverständlich sind. Hier: nicht gegeben. (3) Wörter mit Auslassungen im Wortinneren. Hier: auch nicht gegeben. Vielleicht habe ich ja irgendetwas übersehen/-lesen. Gruß --Wladyslaw [Disk.] 15:37, 2. Jul. 2007 (CEST)

Falscher Paragraph.

§62 Kleingeschrieben werden adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph verdeutlicht wird, ferner alle adjektivischen Ableitungen mit anderen Suffixen.

--Stefan Birkner 16:11, 2. Jul. 2007 (CEST)

I.O. Danke. --Wladyslaw [Disk.] 17:07, 2. Jul. 2007 (CEST)

Bei "Cramersche Regel" handelt es sich um einen mehrteiligen Eigennamen (§ 60) bzw. um eine begriffliche Einheit (§ 64), da "cramersch" kein eigenständiges Adjektiv ist. --Grüner Klee 12:46, 19. Mai 2009 (CEST)

Das stimmt alles so nicht, siehe das offizielle Regelwerk. Selbstverständlich greift §62, weil die cramersche Regel ein perfektes Analogon zu den bernoullischen Gleichungen ist (siehe offizielle Beispiele hierzu). §64 behandelt (siehe die offiziellen Beispiele) keine Adjektive, die auf sche/scher/sches enden. §60 greift nicht, weil §60 definiert, was ein Eigenname ist, und die cramersche Regel passt in keine einzige der Definitionen. --Tolentino 12:54, 19. Mai 2009 (CEST)

In § 59 werden Eigennamen so definiert: "Eigennamen sind Bezeichnungen zur Identifizierung bestimmter einzelner Gegebenheiten (eine Person, ein Ort, ein Land, eine Institution usw.)." Das trifft hier doch wohl zu. Falls man die "Cramersche Regel" trotzdem nicht als Eigennamen einstufen will, handelt es sich zumindest um eine begriffliche Einheit gemäß § 64 (der von Wortendungen unabhängig ist), da "cramersch" alleinstehend keinen Sinn ergibt. --Grüner Klee 14:19, 19. Mai 2009 (CEST)

Es geht hier um die "cramersche Regel", welche, wenn überhaupt, ein mehrteiliger Eigenname mit nichtsubstantivischem Bestandteil ist (weil cramschersch kein Substantiv, sondern adjektivisch ist), und darüber gibt §60 Aufschluss, nämlich im negativen Sinne, während §62 die Sache im positiven Sinne entscheidet. --Tolentino 14:43, 19. Mai 2009 (CEST)

Auch ein mehrteiliger Eigenname ist ein Eigenname. Gemäß § 60 man kann die Cramersche Regel beispielsweise als ein Objekt der Klasse "Mathematische Regeln" einordnen. Die Kleinschreibung ist jedenfalls irreführend, weil dadurch der Eindruck entsteht, es handele sich um eine Regel, die "cramersch" (???) ist. --Grüner Klee 15:40, 19. Mai 2009 (CEST)

Hast du schon mal §62 überhaupt gelesen? Es geht um eine Regel, die nach Cramer benannt ist. Außerdem habe ich niemals behauptet, dass "cramersche Regel" ein mehrteiliger Eigenname ist, denn er fällt nicht in eine der Kategorien von §60, sprich: Er ist kein mehrteiliger Eigenname. Die Klasse mathematische Regeln existiert nämlich nicht in der Definition der mehrteiligen Eigennamen, auch wenn du es gerne so hättest. --Tolentino 15:43, 19. Mai 2009 (CEST)

In § 62 geht es nur um die adjektivischen Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch für sich allein genommen. Wenn sie aber Bestandteil eines mehrteiligen Eigennamens oder einer begrifflichen Einheit sind, werden sie jedoch gemäß § 60 oder § 64 groß geschrieben. In § 60 steht zum Beispiel "Eigennamen von Objekten unterschiedlicher Klassen", und warum sollten mathematische Regeln keine Klasse bilden? Man kann natürlich nicht alle möglichen Klassen im Regelwerk aufzählen, da es wohl beliebig viele gibt. --Grüner Klee 16:46, 19. Mai 2009 (CEST)

Das Thema wurde tausendmal schon diskutiert und es hat sich die Kleinschreibung gemäß §62 der NdR durchgesetzt. Die Fachwelt streitet sich und Duden und co. schreiben es ebenfalls nach NdR klein. Die Interpretation der Regeln in der Hinsicht eines Eigenamens ist möglich und kann auch nach NdR genutzt werden. Nach Wikipedia:Namenskonventionen#Von Personennamen abgeleitete Adjektive und Eigennamen wird dies aber in Einklang mit der NdR in der Wikipedia nicht gemacht! P.S. derartige Grundsatzdiskussion gibt es zig, daher bitte die Namenskonventionen beachten und bei Einsprüchen diese dort zur Diskussion stellen, nicht hier. --Cepheiden 16:03, 19. Mai 2009 (CEST)

@Grüner Klee: Sagen wir mal so: Es hat sich hier eingebürgert, richtige Schreibweisen nicht durch andere (möglicherweise) richtige Schreibweisen zu ersetzen. Es wäre vielleicht sinnvoll, wenn du Wikipedia bereichern könntest durch irgendwelche Beiträge, die außerhalb dieses Fragenkomplexes stehen. --Tolentino 16:16, 19. Mai 2009 (CEST)

Die Kleinschreibung ist hier aber falsch und auch irreführend, weil eben wie oben schon gesagt der Eindruck entsteht, die Regel sei "cramersch", was aber keinen Sinn ergibt! --Grüner Klee 16:46, 19. Mai 2009 (CEST)

Das mag nach deinem Verständnis so sein, aber die amtliche NdR von 2006 regelt dies eben doch so. Zusätzlich belegt sie die Kleinschreibung mit diversen zu diesem Prolem analogen Beispielen (die darwinsche Evolutionstheorie, das wackernagelsche Gesetz, die goethischen Dramen, die bernoullischen Gleichungen). Ähnliche Entsprechungen finden sich unter §60 oder §64 nicht. An dieser Stelle nochmals der Hinwesi auf Wikipedia:Namenskonventionen#Von Personennamen abgeleitete Adjektive und Eigennamen. --Cepheiden 17:03, 19. Mai 2009 (CEST)

Einige Beispiele sind sehr ungünstig gewählt: Die "Darwinsche Evolutionstheorie", das "Wackernagelsche Gesetz", die "Goethischen Dramen" und die "Bernoullischen Gleichungen" enthalten zwar als erstes Wort adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, sind aber als Ganzes "Bezeichnungen zur Identifizierung bestimmter einzelner Gegebenheiten", also (mehrteilige) Eigennamen, außerdem begriffliche Einheiten, und daher groß zu schreiben. Das steht doch auch so in den Namenskonventionen, z.B. "Meyersches Lexikon", "Halleyscher Komet". --Grüner Klee 21:47, 19. Mai 2009 (CEST)

Geh lieber davon aus, dass sie bewusst gewählt wurden. Im privaten darfst du so oder so schreiben wie du willst, hier in der Wikipedia richte dich bitte nach den aktuellen Richtlinien, danke. --Cepheiden 07:37, 20. Mai 2009 (CEST)

Die Beispiele "tschechisches Bier, indischer Tee, englischer Stoff" sind klar, da es sich nicht um Eigennamen handelt. Man kann die Adjektive auch anders kombinieren, z.B. "tschechischer Stoff, indisches Bier, englischer Tee", oder mit beliebigen anderen Substantiven kombinieren, z.B. "tschechische Sprache, indische Städte", etc., weil sie eine eigenständige Bedeutung haben. Es gibt aber z.B. nicht "die Darwinschen Gleichungen" oder "die Wackernagelsche Evolutionstheorie". Die "Cramersche Regel" ist ein Fall wie "Meyersches Lexikon" und "Halleyscher Komet" und daher groß zu schreiben. So steht es in den Namenskonventionen, also bitte erst mal selbst die aktuellen Richtlinien nachlesen, danke. --Grüner Klee 09:02, 20. Mai 2009 (CEST)

Glaub mir ich habe diese oft genug gelesen (auch wenn ich mich bewusst oder unbewusst nicht immer dran halte), dass brauchst du mir nicht empfehlen. Die Abwandlungen der Beispiel die zum Teil exakt der Sachlage hier entsprechen, zeigt nur, dass hier keine Einigung mit dir erzielt werden kann, weil du alles verdrehst um für deine Auslegung zu Argumentieren. Ich habe nun schon mehrmals auf Wikipedia:Namenskonventionen#Von Personennamen abgeleitete Adjektive und Eigennamen hingewiesen und gesagt, dass dies die aktuelle Richtlinie in der Wikipedia ist. Beschwerden sind dort anzubringen. Das Thema ist hier für mich erledigt. P.S. Die Großschreibung der Begriffe vor der Reform von 1996 ging in übrigen nicht auf die Definition des Begriffs als Eigennamen zurück, aber da du dich sogut mit der Materie auskennst, erzähl ich dir sicher nichts Neues. Grüße --Cepheiden 09:24, 20. Mai 2009 (CEST)

Die "Cramersche Regel" ist eine ganz bestimmte Regel, die nach Cramer benannt ist, d.h. sie hat einen eigenen Namen, genauso wie das Meyersche Lexikon und der Halleysche Komet. Daher ist sie nach den Namenskonventionen groß zu schreiben. Wenn Dir das nicht gefällt, dann kannst Du Dich ja beschweren. --Grüner Klee 10:49, 20. Mai 2009 (CEST)

related: user talk:Grüner Klee. -- seth 23:10, 24. Mai 2009 (CEST)

Dritte Meinung: Google-Buchsuche liefert nur die Großschreibung. Im Sinne der im Rahmen der Rechtschreibreform gewünschten „Sicherung einer einheitlichen Rechtschreibung“ (Vorwort) sollte diese Großschreibung auch in der Wikipedia verwendet werden, vgl. Benutzer:Hafenbar/62 ... Hafenbar 13:08, 26. Mai 2009 (CEST)

Die Diskussion über diese Angelegenheit sollte nicht an dieser Stelle (sondern z. B. in Wikipedia_Diskussion:Namenskonventionen) geführt werden, da es sich um eine allgemeinere Fragestellung handelt. Im Übrigen ist die Darstellung verzerrt, wenn man haufenweise Bücher in den Vergleich einbezieht, die in alter Rechtschreibung geschrieben sind. --Tolentino 13:53, 26. Mai 2009 (CEST)

Benutzer:Cepheiden hat auf Wikipedia:Dritte Meinung um diese gebeten. Im übrigen kennt Google-Buchsuche die Möglicheit einer zeitlichen Filterung hier nur 2009 erschienene. Der Kleinschreibungs-Anteil cramersche Regel in der Fachliteratur *der letzten Jahre* liegt nach meiner Kurzrecherche jedenfalls weit unter 5% ... Hafenbar 15:40, 26. Mai 2009 (CEST)

Ich habe spaßeshalber mal das erste Buch deiner Liste angeklickt und - oh Wunder - es ist komplett in alter Rechtschreibung geschrieben, somit ist die Darstellung selbstverständlich immer noch verzerrt. Im Übrigen ist das alles kein stichhaltiges Argument, und ich bitte nochmals darum, die Diskussionsseite dieses Artikels nicht zu nutzen, um eine bisher schier unendlich lange Diskussion aufzuwärmen, sondern dies auf der von mir oben genannten Seite zu tun, die dafür da ist. --Tolentino 18:19, 26. Mai 2009 (CEST)

Hallo Benutzer:Tolentino:

Zunächst, das mit „deiner Liste“ verstehe ich jetzt nicht, inwiefern sind die von Google indexierten aktuellen Fachpublikationen des Jahres 2009 "meine" Liste?

„Im Übrigen ist das alles kein stichhaltiges Argument, ...“ natürlich nicht, ist ja nicht deines ;-)

Ich würde Dir gerne mal hier eine Frage stellen (Du agierst und diskutierst ja schließlich auch hier):

Da Du dich oben in der Gesetzesauslegung versuchst: „Selbstverständlich greift §62, weil die cramersche Regel ein perfektes Analogon zu den bernoullischen Gleichungen ist (siehe offizielle Beispiele hierzu). [...] --Benutzer:Tolentino 12:54, 19. Mai 2009 (CEST)“ ... Wie deckt sich dass im konkreten Fall mit der "Präambel" des Gesetzeswerkes, deren oben von mir zitierten Vorwort? Kanntest Du das überhaupt? Ich habe gewisse Zweifel, ob die Kleinschreibung von Cramersche Regel wie von Dir hier umgesetzt wirklich zur Sicherung einer einheitlichen Rechtschreibung beiträgt. Du nicht? Bist völlig überzeugt von deinem Tun auf der Basis *einzig des* 62 bzw. seiner Auslegung? Eine Antwort wäre nett, weil mich gewisse Mechanismen des Projektes Wikipedia sehr interessieren ... Hafenbar 21:54, 26. Mai 2009 (CEST)

Die Schreibweise cramersche Regel widerspricht weder dem Duden noch den Wikipedia-Regeln und ich persönliche favorisiere sie (mittlerweile) auch. Da ich der Hauptautor des Artikels bin, nehme ich mir heraus bei der Schreibweise in diesem Artikel ein gewisses Mitspracherecht zu haben. Die jetzige Diskussion habe ich lange beobachtet. Da jedoch keine bleibenden Änderungen am Artikel durchgeführt wurden, habe ich mich herausgehalten. Meine etwas vereinfacht dargestellte Meinung zur Schreibweisendiskussion: wer die (nicht falsche) Schreibweise ändern will, soll erstmal etwas inhaltlich zum Artikel beitragen. -- Stefan Birkner 23:44, 26. Mai 2009 (CEST)

Diese Diskussionsseite sollte sich mit inhaltlichen Fragen des Artikels beschäftigen. Daher möchte ich mich nicht weiter auf dieser Seite zu diesem Thema äußern und bitte nochmals darum, auf Wikipedia_Diskussion:Namenskonventionen überzugehen, wo das dann weiterdiskutiert werden kann. --Tolentino 08:32, 27. Mai 2009 (CEST)

Einfache Regel für LGS Ax=b, wobei A $2\times 2$-Matrix ist.

Soweit mir bekannt ist, gibt es eine recht simple Vereinfachung der Cramer'schen Regel, falls lediglich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten vorliegen. Diese lautet

$x={\frac {1}{det(A)}}\left({\begin{array}{cc}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}}\right)$

Die Regel liefert direkt den Lösungsvektor und nicht die einzelnen Komponenten. Deshalb ist sie anwenderfreundlicher und bei Nicht-Mathematikern sehr beliebt. Allerdings weiß kaum ein Anwender, dass die Cramersche Regel dahinter steckt.

Ich finde, dass diese Regel, aufgrund ihrer Einfachheit, hier erwähnt werden müsste. Gruß Dieter S.

Ich habe mal die Vorzeichen korrigiert: Diagonalelemente vertauschen, bei den Nichtdiagonalen die Vorzeichen wechseln, durch Determinante teilen.--LutzL 23:48, 9. Mär. 2009 (CET)

Eigentlich ist das keine eigenständige Regel, sondern folgt aus der Berechnung der inversen Matrix A^-1 einer 2x2-Matrix, wie sie z.B. hier steht. -- Jesi 18:54, 27. Mai 2009 (CEST)

differential geometry

Fehlt nicht noch ein Abschnitt, der beschreibt wie man Ableitungen mithilfe der Cramerschen Regel errechnen kann. hier --Jörg 20:43, 13. Mär. 2009 (CET)

Fehler

inverse von A  ist 1/ det A   * ((adj A) transponiert)! (nicht signierter Beitrag von 92.228.19.64 (Diskussion | Beiträge) 13:15, 13. Jul 2009 (CEST)) 

Bitte markiere Deine Beiträge mit vier Tilden. Hier und meist sonst ist es üblich, dass die Adjunkte schon als Transponierte der Kofaktormatrix definiert wird. Du müsstest also nachweisen, dass die Verwendung der Adjunkten bzw. Komplementärmatrix auf WP inkonsistent gehandhabt wird.--LutzL 13:22, 13. Jul. 2009 (CEST)

Anmerkung

Hier im Artikel wird nur ein ausführliches Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten erklärt.

Unerfahrene Leser, die das Ganze noch nicht so verstanden haben, fragen sich vielleicht, wie es für eine 3x3 Matrix geht...

Zwar sollte das aus den momentanen Seiteninhalt hervorgehen, aber ich fände ein solches Beispiel trotzdem hilfreich.

Also, vielleicht würde ja jemand ein solches Beispiel erstellen?

Oder, wenn niemand etwas dagegen hat, könnte ich ja auch eins machen... (müsste mich allerdings erst in die Formatierungen einarbeiten...) LG --Stevenbary 04:02, 14. Dez. 2009 (CET)

Na ja, wie es aussieht, beobachtet niemand aktiv diesen Artikel... Ich habe jedenfalls ein weiteres Beispiel hinzugefügt und das andere noch etwas verbessert (in Hinblick auf Ausfürlichkeit) LG --Stevenbary 00:34, 20. Dez. 2009 (CET)

Finde ich gut, was du hinzugefügt hast. Meiner Meinung nach könnte man noch mehr Aspekte die, wie oben erwähnt, im englischen Pendant stehen hier noch hinzufügen. Ich glaube du könntest das. Viele Grüße, Jörg 14:18, 29. Dez. 2009 (CET)

Ja, ich hatte damals deinen Beitrag oben zur Ableitungsberechnung gelesen und mir auch so gedacht, dass man das noch einfügen müsste. Vielleicht könnte man auch noch etwas ausführlicher die Verallgemeinerung mit Vektoren und noch einige andere Dinge darstellen... OK, wenn ich mal wieder etwas mehr Zeit habe werde ich mich damit mal beschäftigen... LG, --Stevenbary 17:30, 29. Dez. 2009 (CET)

Rechenaufwand nicht nachvollziehbar

Im Artikel steht, der Rechenaufwand für eine Determinante sei "$(n-1)\cdot n!$ Multiplikationen und $n-1$ Additionen". Für eine 3x3-Matrix ergibt das also 12 Multiplikationen und 2 Additionen, was definitiv nicht [[2]] stimmt (prima Fehler in der Wiki-Software) - korrekt wären 12 Multiplikationen und 5 Additionen. Auch für 4x4 Matrizen kommt etwas falsches heraus (richtig wären so etwa 52 Multiplikationen und 23 Additionen). Lediglich für 2x2-Matrizen stimmt die Angabe. Womöglich sind also n!-1 Additionen nötig, ob das allgemein wirklich so ist, weiß ich aber nicht. Aber anhand der drei ausprobierten Stützstellen kommt das ziemlich gut hin. Vielleicht hat ja mal jemand die Zeit und Lust, das genauer nachzuverfolgen. 79.198.34.228 13:40, 17. Jan. 2010 (CET)

Sehe gerade, dass die Anzahl der Multiplikationen auch gründlich nicht stimmt. det(3x3) benötigt 12 Multiplikationen, (3-1)*3! = 12. So weit so gut. Zur Lösung einer det(4x4) nach Laplace müssen vier det(3x3) gelöst werden. Also schonmal 48 Multiplikationen. Dazu noch die 4 Vorfaktoren, macht 52 Multiplikationen. Aber (4-1)*4! = 72, nicht 52. Habe ich da irgendwo 20 Multiplikationen verloren oder stimmt das auch nicht? 79.198.34.228 13:45, 17. Jan. 2010 (CET)

Die Anzahl der Additionen ist falsch und muss $n!-1$ sein. Die Anzahl von Rechenoperationen für die Leibniz-Formel lässt sich dann leicht nachvollziehen. Jeder Summand enthält $n$ Faktoren und muss deshalb mitteln $n-1$ Multiplikationen berechnet werden. Von diesen Summanden gibt es $n!$ viele. --Stefan Birkner 15:55, 17. Jan. 2010 (CET)

(erledigt) Verallgemeinerung vs. Spezialfall

Hallo Juliabackhausen, ich habe deine Änderung am Artikel Cramersche Regel wieder zurückgesetzt, da die Verallgemeinerung im Allgemeinen nicht als cramersche Regel bezeichnet wird. Sie kam auch absichtlich erst gegen Ende des Artikels, das sie eine eher unwichtige Ergänzung ist. --Stefan Birkner 07:27, 3. Nov. 2010 (CET)

Ich habe mir viel Mühe gegeben, den Artikel so zu formulieren, dass er eher einem Eintrag in einer Enzyklopädie, denn einem Eintrag in einem Mathematik-Lehrbuch entspricht. Deine Änderungen stellen wieder das Satz-Schema her, das man von Lehrbüchern kennt. Ich sehe darin jedoch keinen Vorteil. Warum findest Du Deine Version besser als die bisherige? --Stefan Birkner 22:33, 3. Nov. 2010 (CET)

Wenn ich mich einmischen darf: Ich finde die Zwischenüberschrift "Satz" auch nicht unbedingt gut. Die Regel selbst sollte aber meiner Meinung nach eine eigene Überschrift erhalten und nicht in der Einleitung abgehandelt werden. -- Digamma 08:28, 4. Nov. 2010 (CET)

LGS

Es sollte, entweder in der Einleitung oder in der Formulierung der Regel selbst, erklärt werden, was die Schreibweise "Ax = b" bedeutet, also dass A eine Matrix ist und x und b Spaltenvektoren, bzw. es sollte das LGS ausgeschrieben werden. So versteht es nur jemand, der sich schon mit LGS auskennt. -- Digamma 08:14, 4. Nov. 2010 (CET)

Ich warte Juliabackhausens Feedback ab, warum Sie den Artikel abgeändert hat. Persönlich fand ich die alte Version besser. Mal abwarten. --Stefan Birkner 08:23, 4. Nov. 2010 (CET)

Ich habe mir viel Mühe gegeben, den Artikel so zu formulieren, dass er eher einem Eintrag in einer Enzyklopädie, denn einem Eintrag in einem Mathematik-Lehrbuch entspricht. Deine Änderungen stellen wieder das Satz-Schema her, das man von Lehrbüchern kennt. Ich sehe darin jedoch keinen Vorteil. Warum findest Du Deine Version besser als die bisherige? --Stefan Birkner 22:33, 3. Nov. 2010 (CET)

Hier der Vergleich. Man kann es sicher anders formulieren... Die alte Version enthielt keinerlei Erklärung für A. Ohne diese Erkärung weiß man gar nicht, was man tun soll. Was soll "Dieses System muss zusätzlich eindeutig lösbar sein, was sich am einfachsten überprüfen lässt, indem man die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnet. Ist diese von null verschieden, ist die Voraussetzung erfüllt," heißen? "überprüfen" heißt hinreichende Bedingung überprüfen, dass die Determinante Ungleich Null ist, ist aber auch eine notwendige Bedingung, was aus dem alten Text nicht klar wird. Dass man A und b noch erklären kann, ist richtig. Aber, wir können ja nicht in jedem Artikel, das LGS aufgreift noch mal erklären, was ein LGS ist, und wie es im Allgemeinen aussieht, dafür ist doch der Artikel LGS da... Mir ist ja jede Formulierung recht, sie sollte nur mathematisch präzise sein und alle benötigten Variablen einführen. In der alten Version wird von "die rechte Seite des Gleichungssystems" gesprochen. Wenn ich nirgends vorher klarstelle, dass mein Gleichungssystem die Form "Ax=b" hat, dann kann man auch denken, dass das System "b=Ax" ist, dann ist die rechte Seite "Ax" und die soll ich jetzt in die Matrix einsetzen? "Koeffizientenmatrix" steht im alten Text - das versteht man, ohne sich mit LGS auszukennen??? --Juliabackhausen 09:31, 4. Nov. 2010 (CET)

Bewertung der Lösbarkeit

Aus dem Artikel LGS

"Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar."

Ich habe keinen Beweis dafür gefunden, halte das aber für wichtig (auch in diesem Artikel). -- Murata 20:14, 9. Feb. 2011 (CET)

Die Cramersche Regel ist nur dann anwendbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist, weil man ja durch diese Determinante dividieren muss. Die Cramersche Regel macht keine Aussage über Lösbarkeit im Fall, dass die Determinante 0 ist. Deswegen gehört das meiner Ansicht nach nicht hierher.

Das angegebene Kriterium ist zwar sicher richtig, aber nur ein notwendiges, kein hinreichendes. Was eigentlich dahinter steckt:

Das LGS ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix = 0, so ist deren Rang kleiner als die Zahl der Variablen und Gleichungen n. Ist eine der "Nebendeterminanten" ≠ 0, so ist der Rang der erweiterten Matrix = n und damit größer als der der Koeffizientenmatrix. => keine Lösung.

Sind jedoch alle Nebendeterminanten = 0, so folgt daraus auch nur, dass der Rang der erweiterten Matrix kleiner als n ist. Ob er aber größer oder gleich dem der Koeffizientenmatrix ist, darüber sagt das Kriterium nichts. Mit der Cramerschen Regel hat es nichts zu tun. Determinanten werden hier nur benutzt um Aussagen über Linearunabhängigkeit und damit den Rang einer Matrix zu machen. -- Digamma 20:29, 9. Feb. 2011 (CET)

Schreibweise

@HilberTraum: Ich glaube, dass bei ausgeschriebenen Determinanten, die Schreibweise mit den senkrchten Strichen sehr viel häufiger ist, also die mit "det" und Matrixklammern. Insbesondere, wenn es ums Rechnen geht und nicht um die Theorie. Was hattest du für einen Grund für deine Änderung? Gruß, --Digamma (Diskussion) 22:22, 21. Mai 2015 (CEST)

Nun ja, zwei verschiedene Schreibweisen für ein und dieselbe Abbildung innerhalb desselben Artikels (ich weiß schon, dass Vereinheitlichung über verschiedene Artikel hier relativ sinnlos ist) halte ich für verwirrend, zumal die andere Schreibweise ja anscheinend nochmal (zweimal!) textlich erklärt werden musste. (Außerdem halte ich persönlich die Schreibweise mit den senkrechten Strichen für ziemlich ungünstig, weil z. B. in der Analysis häufig Beträge von Determinanten verwendet werden, beispielsweise beim Transformationssatz) Grüße –HilberTraum (d, m) 22:42, 21. Mai 2015 (CEST)

Bei letzterem stimme ich dir zu. Aber ich erinnere mich nicht, dass ich die Cramersche Regel (ausgeschrieben) je in der Form mit "det" gesehen hätte. Es sind in gewisser Weise auch nicht zwei verschiedene Schreibweisen für dasselbe, denn "det" wird zusammen mit einer Variablen für die Matrix verwendet, die senkrechten Striche aber mit einem explizit angegebenen Schema. Sie werden auch in anderen Artikeln bei Determinanten verwendet. Allerdings ist der Gebrauch auch in Determinante nicht einheitlich. --Digamma (Diskussion) 23:22, 21. Mai 2015 (CEST)

Ich hab hier z. B. den Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik I, da wird durchgängig det verwendet. Aber du hast schon recht, dass viele Texte hier die senkrechten Striche verwenden. Persönlich verwende ich die Striche nie, insofern bekenne ich mich schuldig im Sinne von WP:Korrektoren :) Du kannst also gern die andere Schreibweise wiederherstellen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 07:59, 22. Mai 2015 (CEST)

Ich frage mal beim Portal nach. --Digamma (Diskussion) 20:50, 27. Mai 2015 (CEST)