Diskussion:Exponentialfunktion/Archiv/1

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Allgemeinere Exponentialfunktionen

Sollten nicht auch Funktionen $x\mapsto a^{x}$ mit anderen $a$'s Exponentialfunktionen heißen? Die Exponentialfunktion ist natürlich die beschriebene, aber ich würde die anderen auch so nennen. (Vgl. Diskussion:Funktionalgleichung)--Gunther 10:28, 18. Mär 2005 (CET)

Hab mich mal umgeguckt und in der gesamten Wikipedia keinen anderen passenden Artikel für exponetielle Funktionen mit der Vorschrift $f(x)=c\cdot a^{x}$ gefunden. Von mir aus kann man ja auch nur die spezielle Funktion $f(x)=e^{x}\,\!$ behandeln, aber es sollte doch etwas für die allgemeine Funktion geben. Der einzige Artikel, der sonst noch auf "exponentiell" anspricht, ist Exponentieller Vorgang, wobei hier auch nur das Thema angeschnitten wird und schnell auf Exponentialfunktion zurückverwiesen wird. --El Fahno 20:54, 19. Apr 2005 (CEST)

"weshalb dieser Artikel im Folgenden auf die Exponentialfunktion zur Basis e fokussiert ist." scheint mir doch für Nicht-Mathematiker unverständlich. --Fmrauch 17:26, 3. Dez. 2009 (CET)

Außerdem heißen die Dinger nicht Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion hat e als Basis. Ansonsten redet man im Deutschen von einer exponentellen Funktion. Kleiner, Unterschied. Aber insofern auch wieder unwichtig, weil man die exponentielle Funktion einmal definiert und dann wieder vergißt und mit e rechnet. Beziehungsweise a^x als Schreibweise für e^xlna ansieht, was ja im Komplexen und Irrationalen sogar die Definition ist. --77.4.127.38 00:20, 14. Okt. 2010 (CEST)

Vereinfachung!!!

Ein umfassender Artikel, schön und gut. Aber leider verstehe ich nur Bahnhof. Schliesslich sollte man ein online-Lexikon auch ohne Matura verstehen können.

Sage es bitte ein wenig konkreter. Was genau ist unverständlich? Was willst Du eigentlich wissen? Was soll besser erklärt werden? Ansonsten: Ganz ohne Nachdenken wird es leider nicht gehen. "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik". --NeoUrfahraner 12:40, 23. Mai 2005 (CEST)

Mir geht es ähnlich... Zu viele Fachbegriffe, Ausdrücke und Variablen in einem Satz. Eine evtl. vereinfachte Grunderläuterung wäre für den Anfang sehr hilfreich um das Prinzip zu verstehen. --Azrah 09:59, 11. Okt 2005 (CEST)

Ich kann meinen beiden Vorrednern nur Recht geben. Dieser Artikel mag für Mathematik-Studenten und -Doktoranden o.k. sein. Aber für die Allgemeinheit? Im letzten halben Jahr hat sich in dieser Hinsicht nichts getan! Wenn ich bedenke, dass die Exponentialfunktion im Stoffplan der 10. Klasse Realschule und Gymnasium steht. Nur was sollen diese Schüler mit diesem Artikel anfangen? Ich setze das Lemma jetzt auf meine ToDo-Liste.

Vor allem fehlt auch die Bedeutung der Funktion in der Einleitung. Vorbildlich ist in diesem Zusammenhang der durchaus schwierigere Artikel Differentialgleichung. Damit werde ich mal anfangen. --Wolfgang1018 15:09, 31. Mai 2006 (CEST)

Differentialgleichung

Ist es unangebracht zu fragen, ob man nicht als ein praktisches Beispiel hier mit Hilfe der Exponentialfunktion die Differentialgleichung y'=cy darstellen könnte, oder finde ich die woanders? --Roomsixhu 01:25, 28. Mai 2005 (CEST)

Von mir aus kannst Du es gerne dazufügen. --NeoUrfahraner 09:44, 28. Mai 2005 (CEST)

exp als Differentialgleichung

Sorry, ist ein bißchen lang geworden. --Roomsixhu 16:55, 29. Mai 2005 (CEST)

Kein Problem, kürzen kann man immer *eg* ;-) --Gunther 17:43, 29. Mai 2005 (CEST)

Danke für diesen Abschnitt; ein paar Anmerkungen habe ich allerdings dazu:

1) Worauf willst Du mit "Umkehrfunktion" hinaus? Den Zusammenhang mit der Differentialgleichung sehe ich nicht; ist das nicht eher ein davon unabhängiger Abschnitt?

2) Du schreibst "so erhält man daraus eine Definition von $e^{x}$." Meinst Du hier wirklich "Definition"? Dann müsste man diese möglichen Definition der Exponentialfunktion von Anfang an im Artikel einbauen. Derzeit steht ja am Anfang "Die Exponentialfunktion zur Basis e kann auf zwei Arten definiert werde". Denkbar wäre natürlich ein Aufbau ähnlich zu en:Definitions of the exponential function. Meiner Meinung nach fügt es sich besser in den Artikel ein, wenn keine zusätzliche Definition der Exponentialfunktion gegeben wird, sondern gesagt wird, dass das bereits definierte $e^{x}$ die Lösung dieser DGL ist.

3) Die Überschrift "exp als Differentialgleichung" gefällt mir nicht. Abgesehen davon, dass Exponentialfunktion in der Überschrift nicht abgekürzt, sondern ausgeschrieben werden sollte, ist die Exponentialfunktion ja keine Differentialgleichung, sondern löst eine Differentialgleichung. Je nachdem, worauf Du den Schwerpunkt legen willst, würde ich etwas wie "Die Exponentialfunktion als Lösung einer Differentialgleichung", "Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" oder allgemeiner "Die Exponentialfunktion und Differentialgleichungen" passender finden.

--NeoUrfahraner 07:09, 30. Mai 2005 (CEST)

Hallo! Zu 1. Die Gleichung y'=y wird gelöst mit dem Logharitmus, den man über das Integral definieren kann (insbesondere ihre Eigenschaften). (Integrale definieren ja neue Funktionen). Nach dem Monotonieverhalten ist er umkehrbar,also auch eine Definition der e-Funktion.(nach Courant)

2. Ich meine Definition (nach Duden Rechnen und Mathematik, Nachweis der Identität aufgrund der Eigenschaften?), mir würde aber auch Erklärung reichen. Aber ich kann dazu eh nichts weiteres sagen. Die e-Funktion erfüllt nur den Anspruch für mein normatives Hobby Descartes und dx und Identität. Einige Leute (Weyl,Freytag-Löringhoff) machen einer anderen Person (Hilbert) den Vorwurf Algebra fast vernichtet, bzw Logik polemisch behandelt zu haben.

3. "Die Exponentialfunktion und Differentialgleichungen" finde ich gut."Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" ehrlich gesagt besser, weil individueller (Individuelles ist in der Logik universell).

Bitte verändere nach Belieben. Worauf es mir ankam, war den Zusammenhang mit einer Differentialgleichung zu zeigen, weil es wohl kaum irgendwo schöner geht als hier. Das Thema Differentialgleichung ist ja sonst höchst komplex. Deswegen habe ich auch die Hinweise auf die zwei Definitionsmöglichkeiten eingestreut, um anzudeuten, daß man von hieraus (Normierung) anfangen kann. Während die Grenzwertdefinitionen, das Problem frontal angehen. $e^{x}$ hat ja auch diesen Einheitscharakter. Meine Differentialschreibweise ist ja auch wieder höchst historisch. Aber was ich ganz schön finde ist das Durchgängige: Von der Definition bis zur Anwendung. Und so kurz! Auch wenn ich ungenau war, ich glaube das liegt am Thema (,das mich nicht braucht, was mir völlig klar ist), daß überall Assoziationen auftauchen.

Die Schritte die ich sehe sind:

1. y'=y Grundlegung (=2 Definitionen)
2. Erweiterung y'=cy inclusive Identitätsnachweis.(Rechnung differentiell)
3. Lösung des Beispiels durch Ansatz und Deutung von c und Alpha.(Solche Probleme sind

ja erst lösbar seit dem y zu y' wird (1684, ich meine es hier historisch) und man überhaupt erst y'=y als Aufgabe oder Lösung stellen bzw angeben kann.(Identität!))

Wenn das erhalten werden könnte wäre das schön. Nicht Tertium non datur!

So jetzt sehe ich mir die englische Seite an. Aber die haben nicht das ausführliche Differential.

P.S: 1684 hieß es ja noch dy = y dx. Auch wenn wir langsam Klarheit kriegen, sie haben schon gleich nach 1684 Differentialgleichungen gelöst, und Euler lebte auch nicht allzu lange nachher. Gruß--Roomsixhu 04:39, 31. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt den Abschnitt auf "Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" umbenannt. Worauf Du hinauswillst, habe ich weit gehend verstanden; ein

wenig muss wohl noch geglättet werden, damit der gesamte Artikel ein harmonisches Ganzes wird; im Detail weiß ich aber noch noch wie. --NeoUrfahraner 08:15, 31. Mai 2005 (CEST)

Ich kucke gerade unter lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung nach. Aber ich glaube es macht wenig Sinn sie zu zitieren hier. Sie ist nur weniges anders als hier, aber den ganzen Zusammenhang andeuten kann ich auch nicht. Lustiger Weise beginnt hier auch ein Zugang zur Algebra (d.i.Logik), da Lösungen der homogenen Differentialgleichung einen Vektorraum bilden. P.S. Ich habe diesen Ansatz im englischen Artikel zugefügt, vielleicht kriegen wir von dort Hilfe, ebenso in Diskussion:Gewöhnliche_Differentialgleichung um Hilfe gebeten. --Roomsixhu 20:22, 31. Mai 2005 (CEST)

Es steht in der enlischen Wikipedia:

4. Define e^x to be the unique solution to the initial value problem

$y'=y,\quad y(0)=1.$

[1]

[2] Randwertproblem auf Deutsch ?

--Roomsixhu 21:07, 31. Mai 2005 (CEST)

Initial Value Problem ist das Anfangswertproblem. --DaTroll 21:23, 31. Mai 2005 (CEST)

Es handelt sich um eine lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Der Artikel über die Exponentialfunktion sollte sich meines Erachtens auf diesen speziellen Fall beschränken; allgemeinere DGL sind bei Gewöhnliche_Differentialgleichungen besser aufgehoben. --NeoUrfahraner 09:39, 1. Jun 2005 (CEST)

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Ich glaube in der Formel $\vert x\vert <0{,}5N+1$ fehlt eine Klammer um N+1. Hab mir den Beweis für die Abschätzung des Restgliedes angesehen, und es müsste $\vert x\vert <0{,}5(N+1)$ heißen.

Noe, ist korrekt.

$|r_{N}(x)|\leq 1+{\tfrac {|x|}{N+2}}+{\tfrac {|x|^{2}}{(N+2)(N+3)}}+\dots \leq \sum _{k=0}^{\infty }\left({\tfrac {|x|}{N+2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {|x|}{N+2}}}}$

ist kleiner als 2, wenn |x|/(N+2)<1/2, gdw. |x|<N/2+1.--LutzL 17:29, 26. Jan. 2007 (CET)

Es wird die Zerlegung des Exponenten x in Vielfache von ln2, ln3 und ln5 vorgeschlagen. Finde ich zwar gut, aber ich hätte gerne ne Quelle dafür. Selbst hab ich mir überlegt, das man doch auch Vielfache von ln(sqrt(sqrt(2))) rausziehen kann. Denn sqrt(sqrt(2))^k ist numerisch einfach zu berechnen (gegenüber großen Potenzen von 3 und 5) und damit lässt sich x auf das Interval [0 ; 0,173] reduzieren. --skoehler 12:05, 21. Aug. 2009 (CEST)

Quelle ist ein nicht weiter veröffentlichter Vortrag von A. Schönhage in Dagstuhl (Feb. 04): Fast Algorithms for Computing exp, ln, sin, cos at Medium Precision. Dabei ging es um schnelle Arithmetik mit 80-500 Dezimalstellen, also Rechnen in mittlerer Genauigkeit. Und so groß werden die Potenzen von 3 und 5 gar nicht (-4..4 bzw. -3..3). Es wird ja erst mittels der ln2 reduziert, und dann im Prinzip die 12-Ton-Skala auf der Oktave verwendet. Praktisch ist es aber lange für kleine Genauigkeiten ausreichend, nur mittels der ln2 zu reduzieren und den Rest dann mittels Halbieren und Quadrieren zu erledigen.--LutzL 13:18, 21. Aug. 2009 (CEST)

Ursprung der Exponentialfunktion

Betrachtet man eine Funktion die, abgeleitet, sich selbst ergibt (exp(x)) als unendliches Polynom (Def. durch Summe aller x^n / n!), so ergibt sich noch nicht der Beleg dafür, eine Konstante (e) als Basis und die Variable (x) als Exponenten zu verstehen.

Meine Frage lautet daher: Wie kann man zeigen, dass exp(x) = e^x ?

Die Umkehrfunktion nenne man Logarithmusfunktion ln(x), es lässt sich ohne Kenntnis der "Exponentenschreibweise" der Exponentialfunktion deren Ableitung als 1/x belegen (Ableitung der Umkehrfunktion), aber noch nicht der Logarithmuscharakter. Besonders nicht der zur Basis "e". Auch durch andere Ansätze (Differentialgleichungen...) erkenne ich noch nicht die Schreibweise mit e^x bzw. log"e"(x). Ich bitte Sachverständige um eine Erklärung für diese hoffentlich verständliche(n) Frage(n).

e^x hat ohne die Exponentialfunktion gar keine Bedeutung für nichtganze Zahlen. Für ganze Zahlen lässt sich die Gleichheit aus der Funktionalgleichung beweisen. --P. Birken 22:47, 5. Mär. 2007 (CET)

Danke, aber das meinte ich nicht. Vielmehr ging es mir um den Beweis, dass d(e^x)/(dx) = e^x Mittlerweile habe ich diesen selbst gefunden, glaube ich: Es sei d(exp(x))/(dx)=exp(x) die Definition für die exp-Funktion (darstellbar als konstruiertes Polynom der Art: Summe aller n von 0 bis unendlich von x^n/n!), dann folgt aus der Ableitung von exp(n*x)^(1/n) die Lösung 1/n*exp(n*x)^(1/n-1)*n*exp(x). Vereinfacht ergibt sich der Ausgangsterm. Damit ist belegt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus exp(n*x) folglich exp(x) ergibt (Definition). Betrachtet man nun den Fakt (c^(n*x))^(1/n)=c^x so ergibt sich die exp(x)-Funktion als Funktion der Form C^x (C ist die Konstante, ungleich 1) und über die Beziehung exp(1)=Summe aller n von 0 bis unendlich von 1/n! =e die Konstante C als e. Damit ist dann belegt, dass exp(x)=e^x und, dass die Ableitung von e^x ebenfalls e^x ergibt.

Ich bitte nun einen Fachkundigen dies geeignet zu formatieren und mit in den Artikel zu schreiben. Ich denke der Beweis ist für den Artikel relevant.

Nochmal: e^x wird erst über die Exponentialfunktion definiert. Entsprechend ist der komplette Beweis sinnfrei. Der Fehler steckt in der Gleichung (c^(n*x))^(1/n)=c^x. Diese hat ohne die Exponentialfunktion keine Bedeutung für nichtganze x. --P. Birken 22:19, 6. Mär. 2007 (CET)

Ich fühle mich missverstanden. Wie kann man dann beweisen, dass d(e^x)/dx = e^x ?

Fuer die Reihendarstellung funktioniert das ueber die Cauchy-Produktformel. --P. Birken 17:08, 12. Mär. 2007 (CET)

Begründung für Änderungen in der Orthographie

Nach der neuen deuschen Rechtschreibung gibt es für die Kombination ein Eigenname + sche nur zwei korrekte Möglichkeiten: Eigenname groß geschrieben + Apostroph (d.h. Einstein'sche Relativitätstheorie) oder Eigenname klein geschrieben + kein Apostroph (d.h. einsteinsche Relativitätstheorie). Die gemischte Schreibung Eigenname groß + kein Apostroph (d.h. Einsteinsche Relativitätstheorie) ist verboten. Diese Änderungen habe ich hier eingearbeitet. Siehe hierzu beispielsweise Abschnitt 4.3 in http://de.wikipedia.org/wiki/Neue_deutsche_Rechtschreibung.

Laut WP:NK ist dann die kleinschreibung vorzuziehen und das Apostroph zu vermeiden. Eulersche Zahl ist ein Eigenname wie Halleyscher Komet, da passiert also gar nichts.--LutzL 12:50, 27. Jul. 2007 (CEST)

Das ist schlichtweg Unsinn. Und eine Firma, im Handelsregister unter „Eulersche Zahl“ eingetragen, ist mir bisher noch nicht begegnet. Du behauptest beispielsweise in Deiner Änderung, es müsse „Jordansche Normalform“ heißen. Das ist definitiv falsch. Das ist der klassischste von allen klassischen Fällen, die in der folgenden Regel (§62 aus der neuen deutschen Rechtschreibung, z.B. einzusehen in http://www.neue-rechtschreibung.de/)

„Kleingeschrieben werden adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph verdeutlicht wird, ferner alle adjektivischen Ableitungen mit anderen Suffixen.“

erfasst ist. Es muss definitiv genauso (wahlweise) Jordan'sche Normalform oder jordansche Normalform heißen wie Ohm'sches Gesetz bzw. ohmsches Gesetz. Im offiziellen Regelwerk steht explizit als Beispiel zu §62 „die bernoullischen Gleichungen / Bernoulli'schen Gleichungen“.

Wenn Dir die Regel nicht gefällt, ist das Deine Sache. Dass die meisten Deutschen keine Ahnung davon haben, eine weitere. Beides ändert aber nichts daran, dass das Regelwerk der Rechtschreibung die „Jordansche Normalform“, „Eulersche Zahl“ und „Halleyscher Komet“ verbietet. (nicht signierter Beitrag von 134.130.131.116 (Diskussion) 14:23, 27. Jul. 2007 (CEST))

Bitte signiere Deine Diskussionsbeiträge, z.B. mit Kürzel und 5~. Die JNF muss dann eben Jordan-Normalform heißen. Bitte lass, wie in der Mehrzahl Deiner die Apostrophform weg und gehe zur Kleinschreibung über, das sieht wenigstens nicht ganz so übel aus.--LutzL 14:23, 27. Jul. 2007 (CEST)

In eulersche Zahl wird die Kleinschreibung ohne Apostroph verwendet. Können wir uns auf diese Variante einigen? --NeoUrfahraner 13:43, 27. Jul. 2007 (CEST)

Klar, Kleinschreibung ohne Apostroph ist erlaubt. (nicht signierter Beitrag von 134.130.131.116 (Diskussion) 14:23, 27. Jul. 2007 (CEST))

An LutzL: Kannst Du auch mit Kleinschreibung ohne Apostroph leben? --NeoUrfahraner 13:51, 27. Jul. 2007 (CEST)

Das ist die Norm auf Wikipedia, s. Link oben. Es wäre nebenbeigesagt gut, wenn die IP ihre Beiträge unterschreiben oder mit Datumsstempel signieren würde.--LutzL 14:23, 27. Jul. 2007 (CEST)

Diese Diskussion bestärkt mich in meiner Meinung, dass die sogenannte Rechtschreibreform mehr Schlechtes als Gutes gebracht hat. --Hanfried.lenz 17:37, 4. Nov. 2007 (CET).

Tschuldigung wegen des Signierens. Das hole ich jetzt nach. In einem Punkt habe ich mich vertan: Der Halleysche Komet geht als Eigenname durch gemäß §60 Absatz (3.1), demzufolge stellare Objekte als Eigennamen gelten. Jedoch sind "jordansche Normalform" und "eulersche Zahl" keine Eigennamen, wie aus der Definition aus §60 zu entnehmen ist. Die "Euler'sche Zahl" habe ich jetzt in "eulersche Zahl" umgeändert. --134.130.131.116 14:42, 27. Jul. 2007 (CEST)

Scheinbar ein vollständige Auflistung, wenn da nicht §60 (3.3) wäre Als Eigennamen im Sinne dieser orthografischen Regelung gelten ... (3) Eigennamen von Objekten unterschiedlicher Klassen, so ... (3.3) von einzeln benannten Tieren, Pflanzen und gelegentlich auch von Einzelobjekten weiterer Klassen Ist da jetzt die eulersche Zahl vielleicht doch der Eigenname eines Einzelobjekt einer weiteren Klasse? Wie dem auch sei, es gibt da sicher wichtigere Fragen. --NeoUrfahraner 14:56, 27. Jul. 2007 (CEST)

Die eulersche Zahl fällt ganz gewiss nicht unter §60 (3.3), dazu gibts mehrere Gründe:

1. Man sehe sich die Beispiele an, die in §60 (3.3) aufgeführt sind, nämlich "der Fliegende Pfeil", "die Alte Eiche". Die eulersche Zahl ist definitiv keines von obiger Bauart.

2. Die eulersche Zahl und die bernoullische Gleichung gehören in dieselbe Kategorie. Die bernoullische Gleichung fällt wegen der expliziten Erläuterung aus §62 nicht die Kategorie Eigenname, also auch nicht die eulersche Zahl.

3. Die eulersche Zahl ist kein Einzelfall. Es gibt tausende, wenn nicht gar zehntausende solcher Begriffe, wenn man alle aus Mathematik, Physik etc. zusammennähme.

4. §60 (3.3) ist kein Freibrief, alles so zu schreiben, wie man es sich gerne wünschte. Das erkennt man schon daran, dass es zu diesem Abschnitt nur zwei (!) Beispiele gibt, am wenigsten von allen (zusammen mit dem Abschnitt für Orden). Es ist wirklich nur für seltenste Einzelfälle gedacht. Dies wird auch dadurch belegt, dass die Beispiele zu §60 (3.3) extrem abstrus sind.

5. Dass die Begriffe mit -sche / -ische in aller Regel NICHT unter Eigenname fallen, ist ja gerade die Aussage aus §62. Noch expliziter kann man es gar nicht aufschreiben. Das Abweichen von der üblichen Regel §62 (wie eben bei stellaren Objekten: Halleyscher Komet) bleibt nun einmal die Ausnahme. Zigtausend-fache Ausnahmen wären explizit aufgeführt.

So unwichtig ist die Sache nicht. Vermutlich sind auf den Wikipedia-Seiten tausende Rechtschreibfehler obiger Bauart.

--134.130.131.116 13:12, 28. Jul. 2007 (CEST)

Vor "Numerische Berechnugsmöglichkeiten" findet sich der Ausdruck "Das Exponential". Der sollte definiert werden. --Hanfried.lenz 17:24, 4. Nov. 2007 (CET).

Erst ist die Sprache (einschließlich ihrer Verschriftlichung!), hernach kommt erst die Rechtschreibung. Wenn jeder Professor festlegen kann, ob bei ihm 0 jetzt natürlich ist oder nicht, dann kann erst recht die Sprachgemeinschaft festlegen, ob sie den Euler nun groß- oder kleinschreiben will. Sollte die Sprachgemeinschaft im allgemeinen wie 1995 schreiben, so much the worse für die Rechtschreibreform. --77.4.127.38 00:16, 14. Okt. 2010 (CEST)

Anwendungsbezüge

Könnte man in dem Artikel noch "Anwendungsbezüge" ergänzen, z.B. Medikamentenabbau o.ä.? --Malexmave 14:26, 13. Jan. 2008 (CET)

Sind doch jede Menge angegeben unter 9.3? --P. Birken 07:42, 15. Jan. 2008 (CET)

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Ich bin also in diesem fall klar im Nachteil. Danke dir! --Malexmave 14:56, 15. Jan. 2008 (CET)

Warum gilt die behauptete Gleichheit?

Der Artikel behauptet

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{nx}=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{m}$.

Warum gilt das? 217.17.196.241 11:32, 15. Mär. 2008 (CET)

Gehört zwar nicht hierher, sondern eher auf den Matheplaneten: Du bist von der Konvergenz beider Folgen überzeugt? Nimm x vorerst als rational an, dann gilt die Gleichheit der Grenzwerte für eine Teilfolge, die durch den Nenner bestimmt ist. Wegen Stetigkeit muss das dann für alle reellen x gelten.--LutzL 12:39, 15. Mär. 2008 (CET)

Ich bin nicht einverstanden. So ist das leider kein Beweis! Und in eben einer solchen Kategorie des Artikels ist es aufzufinden. Warum darf man denn bitte x aus dem Exponenten in den Limes ziehen? lim [(1+x/nx)^n)] ^x =/= lim [(1+x/nx)^nx] Meiner meinung nach gehört das Ding weg oder ordentlich bewiesen. Schöne Grüße, arneL (nicht signierter Beitrag von 84.60.185.33 (Diskussion | Beiträge) 16:02, 30. Dez. 2009 (CET))

Das ist Quatsch. Im Artikel soll kein Beweis stehen, sondern einfach nur dieser elementare Fakt. Die Behauptung ist für reelle x richtig, wie man durch Logarithmieren oder was auch immer feststellen kann. Interessant wird das Problem nur, wenn man einen elementaren Beweis verlangt, ohne die Stetigkeit von Exponential und Logarithmus vorauszusetzen. Ansonsten ist das einfach eine Folgerung aus

$\lim _{n\to \infty }n\,\ln(1+{\tfrac {x}{n}})=\lim _{n\to \infty }n\,(\;{\tfrac {x}{n}}+O({\tfrac {1}{n^{2}}})\;)=x$.

--LutzL 17:19, 30. Dez. 2009 (CET)

Form des Graphen der Exponentialfunktion?

Hat der Graph der Exponentialfunktion eigenlich eine spezielle Form? Hyperbel oder ähnliches? Falls ja, wäre es nicht schlecht, wenn das mal jemand noch in den Artikel einarbeiten könnte. Über Antwort hierzu auf der Diskussionsseite wäre ich ebenfalls dankbar. --Layer8 08:45, 2. Sep. 2008 (CEST)

Naja, sie sieht wie eine Exponentialfunktion aus. Streng monoton wachsend, ohne Polstellen, gegen plus Unendlich schneller wachsend als jede Polynomfunktion. Gegen minus Unendlich ist die x-Achse die Asymptote. Viel mehr kann man da nicht sagen.--LutzL 10:26, 2. Sep. 2008 (CEST)

Danke. Dass das Ding keine Hyperbel sein kann, ist mir später sogar selber noch aufgefallen, denn es fehlt schlichtweg die zweite Asymptote. Ableitung von exp(x)=exp(x) ... *kopfhau* --Layer8 19:40, 2. Sep. 2008 (CEST)

"Exponentialansatz vs. Sinus-Ansatz"

Welchen Vorteil bietet der Exponentialansatz gegenüber dem Sinus/Cosinus-Ansatz bei der Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung? -Ulf (nicht signierter Beitrag von 132.199.146.175 (Diskussion | Beiträge) 18:24, 27. Jul 2009 (CEST))

Auf welche Stelle im Artikel beziehst Du Dich? --NeoUrfahraner 22:22, 27. Jul. 2009 (CEST)

Auf diesen "Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion". Kann ich nun eine Antwort erwarten oder nicht? (nicht signierter Beitrag von 132.199.146.175 (Diskussion | Beiträge) 17:52, 29. Jul 2009 (CEST))

Ist das jetzt ein Trollversuch oder einfach nur unfreundlich? Für verständlich gestellte Verständnisfragen gibt es andere Foren, wie z.B. matheplanet.com. Hier sollte nur die Darstellung im Artikel diskutiert werden. Aber kurz: Der Exponentialansatz ist allgemeiner als der Ansatz mit den Winkelfunktionen, da diese aus Exponentialfunktionen zusammengesetzt werden können, z.B. $\sin(ax)={\tfrac {1}{2i}}(e^{iax}-e^{-iax})$. Die Winkelfunktionen erhält man zurück, wenn man sich am Ende der Rechnung wieder auf die reellwertigen Lösungen einschränkt. Dass das so funktioniert ist Grundlage für die Beleibtheit der Laplace-Transformation.--LutzL 19:38, 29. Jul. 2009 (CEST)

Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus...

Hallo, äh, muss es der natürliche Logarithmus sein? Man kann hier doch den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis benutzen? Oder nicht? Deshalb finde ich die Beschränkung auf den natürlichen Logarithmus an dieser Stelle irreführend. Hier wird ln bzw. e eine Bedeutung "angedichtet", die dieses "Pärchen" nicht hat.

Stutzt mich bitte zurecht, falls ich unrecht habe. Viele Grüße Dirk. -- 91.32.150.99 (10:15, 13. Okt. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Es geht um die Darstellung von a^x durch die Exp-Funktion. Und da taucht nunmal der nat. Logarithmus als Umkehrfunktion auf, und nicht ein anderer. Es gilt natürlich allgemein auch $a^{x}=b^{x*\log _{b}(a)}$, nur geht es hier ausschließlich um den Fall b=e.--LutzL 12:05, 13. Okt. 2009 (CEST)

Ich kann verstehen, dass es in dem Abschnitt ja speziell um die e-Funktion gehen soll - trotzdem ließt es sich für WP:OmA, als ob diese Rechenregel nur mit e^x und ln(x) gehen würde.

Und da es auch mit beliebiger anderer Basis geht, ist speziell diese Regel auch nicht geeignet als Begründung, warum der restliche Artikel v.a. die e-Funktion erklären soll.

Das muss besser formuliert werden, und für "deshalb befasst dieser Artikel sich [...] mit [...] Basis e" muss eine schlüssigere Erklärung her (z.B. das Ableiten von a^x ...)

--arilou 13:50, 2. Jan. 2012 (CET)

Explizte Darstellung der eulerschen Identität

Hallo, ich habe vor einiger Zeit versucht die eulersche Identität explizit mit anzugeben,unter Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen direkt über "Dies ist äquivalent zur eulerschen Identität." . Dies wurde wieder Rückgängig gemacht mit der Begründung das der Verweis darauf gleich da steht. Die Form,

$e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi$

wie man sie nur bei Sinus und Kosinus findet, finde ich aber so wie sie ist sehr hilfreich. Ich habe sie schon oefter gesucht, und intuitiv geht meine Suche immer zuerst zu den Exponentialfunktionen und erst danach zu den Trigonometrischen Funktionen. Meiner Meinung nach wuerde man damit vielen Physikstudenten im 1. und 2. Semster sehr helfen(danach weiss man es auswendig), ohne den Artikel abzuwerten/vermuellen. Natuerlich kann man sich diese Darstellung auch mit den gegebenen Informationen herleiten, aber meist will man so was einfach nur finden und das moeglichst schnell. --AirLancer 16:12, 14. Nov. 2009 (CET)

Ja, aber reicht da nicht der Link auf Eulersche Identität? --P. Birken 20:28, 17. Nov. 2009 (CET)

Mittlerweil anscheinend schon. Als ich es damals gesucht habe, stand der Beweis mittels Reihenentwicklung noch nicht da.--AirLancer 23:28, 1. Dez. 2009 (CET)

Die reelle Exponentialfunktion \exp:\R\to\R_{\geq 0} ist positiv, stetig und streng monoton wachsend. Sie ist folglich bijektiv.

Damit aus positiv, stetig und streng monoton wachsend Bijekitvität folgt muss die Funktion auch surjektiv sein. Da die funktion so wie sie hier beschrieben ist von R\to\R_{\geq 0} geht, ist die folgerung denk ich auch nicht richtig, weil R_{\geq 0} auch die null enthällt und somit nicht surrjektiv ist.

Ich ändere auf: \exp:\R\to\R_{> 0} ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv. Sie ist folglich bijektiv.

Was das "positiv" zur sache tun soll versteh ich übrigens überhauptnicht. Erstens steht das ja sowieso schon bei der formalen Schreibweise, abgesehen davon hast das ja mit der bijektivität nichts zu tun. Ich bin dafür das zu löschen, weils aber nicht falsch is könnt ich ja nur den sinn nicht verstanden haben.

-- 213.47.167.58 20:18, 2. Feb. 2010 (CET)

gudn tach!

du hast recht und ich habe deine aenderung soeben gesichtet. danke fuer den hinweis und auch die selbst vorgenommene korrektur.

das "positiv" koennte tatsaechlich raus, weil es mehr verwirrt als nuetzt. sinn war vermutlich bloss redundanz, da nicht jeder die formale schreibweise so schnell aufnimmt. -- seth 23:42, 2. Feb. 2010 (CET)

Abschätzung nach oben

Die Abschätzung kann nicht stimmen. Dort steht $exp(x)<{\frac {1}{1-x}}$. Gegenbeispiel: $exp(2)=7,389...$ , aber ${\frac {1}{1-2}}=-1$ -- 79.215.137.193 14:15, 14. Feb. 2010 (CET)

gudn tach!

es gilt: 2>1

vorausgesetzt wird jedoch x<1. -- seth 16:38, 14. Feb. 2010 (CET)

Ableitung

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt. Wenn man zusätzlich

   ...

fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet.

Das stimmt doch nicht ganz oder? Denn die Ableitung von f(x)=0 ist ebenfalls 0 (nicht signierter Beitrag von 46.223.233.227 (Diskussion) 23:08, 18. Dez. 2011 (CET))

gudn tach!

wichtig ist, was du durch drei punkte ersetzt hast: wenn man zusaetzlich f(0)=1 fordert, erfuellt f(x)=0 die bedingung trivialerweise nicht. -- seth 23:23, 18. Dez. 2011 (CET)

Problem ^(0.5)

IP-User 5.146.55.15 : (Komplex entfernt, da Rechenregeln a^(x*y) = (a^x)^y für komplexe Exponenten falsch, z.B.: -1 = e^(pi*i) = e^(2*pi*i*1/2) != (e^(2*pi*i))^(1/2) = 1)

Dazu:

2^(2*0.5) = 2^1 = 2

(2^2)^0.5 = 2.Wurzel( 2^2 ) = +- 2

Ein Exponent 0.5 o.ä. erzeugt eine zusätzliche negative (oder zusätzliche positive) Lösung. Das ist unabhängig von "komplex". Damit fällt das Argument des IP-Users.

--arilou (Diskussion) 09:18, 5. Nov. 2012 (CET)

Nein, der IP-User hat schon recht, das Problem ist allgemeiner Natur: Im Komplexen gilt nicht immer $(e^{z})^{w}=e^{zw}$, anderes Beispiel: $(e^{2\pi i})^{i}=1$, aber $e^{2\pi i\cdot i}=e^{-2\pi }$. -- HilberTraum (Diskussion) 10:01, 5. Nov. 2012 (CET)

Ich sage nicht, dass im Artikel "komplex" (an umstrittener Stelle) hin oder nicht-hin gehört. Ich will nur sagen: Des IP-Users Begründung ist Müll. Deine ist gut. --arilou (Diskussion) 12:16, 5. Nov. 2012 (CET)

Meiner Meinung nach müsste im Artikel der reelle und der komplexe Fall deutlicher getrennt werden, dann hätten z.B. auch Schüler mehr davon. Einen extra Abschnitt für die Exponentialfunktion im Komplexen gibt es ja schon, aber davor geht es ziemlich wirr durcheinander zwischen komplexen und reellen Aussagen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:29, 5. Nov. 2012 (CET)

Exponentieren

Ich vermute, es ist Potenzieren gemeint? Ra-raisch (Diskussion) 19:19, 15. Okt. 2018 (CEST)

Und wie soll man herausfinden, wovon du sprichst, wenn du es gleich im Artikel änderst? --Digamma (Diskussion) 20:47, 15. Okt. 2018 (CEST)

Zur Sache: Ich glaube nicht. Potenzieren ist die Operation $x\mapsto x^{r}$. Exponentieren ist die Operation $x\mapsto a^{x}$. --Digamma (Diskussion) 20:51, 15. Okt. 2018 (CEST)

Mag sein, danke für den Hinweis. Im Artikel Potenz_(Mathematik) werden beide Begriffe gleich behandelt: "Potenz ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation)", an der Artikelstelle hier kommt es wohl nicht auf eine Differenzierung beider Vorgänge an. Ra-raisch (Diskussion) 23:14, 30. Okt. 2018 (CET)

Doch genau hier kommt es darauf an. Im Artikel Potenz_(Mathematik) spielt es keine Rolle, denn die Basis wird potenziert, der Exponent aber exponentiert. Hier, wo es um die Exponentialfunktion geht, spielt das aber eine Rolle, denn die Verben beziehen sich auf die unabhängige Variable x. Ich werde deshalb deine Änderung zurücksetzen. --Digamma (Diskussion) 09:20, 31. Okt. 2018 (CET)

Ist schon in Ordnung, vor allem ist die Formulierung jetzt besser, allerdings: unter "Iteration der Exponentiation" würde ich dann aber verstehen: $a^{x^{x^{x^{x}}}}$, meinst Du nicht auch? Ra-raisch (Diskussion) 12:45, 2. Nov. 2018 (CET)

Hyperbolisch vs. Exponential

Ist die Hyperbel Teil der Exponentialfunktion? (Oder Teil einer Basisfunktion lt. vorherigem Abschnitt?)
Der Artikel zur Hyperbel beschreibt sie hervorragend anschaulich als Kegelschnitt. Das ist aber eine nicht kompatible Form zur Exponentialfunktion, weswegen ich da eine Erklärung suche. --JLeng (Diskussion) 11:22, 31. Okt. 2018 (CET)

Nein, Hyperbeln sind keine Graphen von Exponentialfunktionen. Hyperbeln treten auf als Graphen der Funktionen der Form $f(x)={\frac {a}{x}}$ (die x-Achse und die y-Achse sind Asymptoten) oder als Graph der Funktionen der Form $f(x)=\pm {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$ bzw. $f(x)=\pm {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$ (in beiden Fällen sind die Geraden mit der Gleichung $y=a$ und $y=-a$ Asymptoten). Mit Exponentialfunktionen hat das alles gar nichts zu tun. --Digamma (Diskussion) 16:32, 31. Okt. 2018 (CET)

 

Danke. :) --JLeng (Diskussion) 15:40, 7. Nov. 2018 (CET)

e-Funktion und die Natur

Warum findet sich die e-Funktion ständig in der Natur - natürlich, empirisch kann man es festellen, dass Bakterienkulturen etc. mit der e-Funktion wachsen aber: gibt es auch theoretische Beweise? Vielleicht wachsen ja Bakterienkulturen garnicht mit der e-Funktion, sondern mit einem ganz anderen Wert, der sich um 0,01 % unterscheidet?

Daher meine Vorschläge für den Artikel: e-Funktion auf die Natur übertragen, mit Beispielen. Und Gründe geben, weshalb man sich sicher ist, dass so vieles in der Natur per e-Funktion ausgedrückt wird.

danke, --Abdull 12:41, 7. Feb 2005 (CET)

Stimmt so ja gar nicht, exponentielles Wachstum ist immer nur näherungsweise und hat dann die Form $a^{x}=\exp(x\ln a)=10^{x\log a}$, das hat noch gar nichts mit e zu tun, sondern geht mit jeder anderen Basis (z.B. 10) genauso. Aber: e taucht auf, wenn man eine Exponentialfunktion ableiten will: $a^{x}$ abgeleitet ist $a^{x}\ln(a)$, da kommt der natürliche Logarithmus und somit die Zahl e unweigerlich ins Spiel. Außerdem taucht e als Lösung der Differentialgleichung $f'(x)=f(x)$ auf, die Lösung ist nämlich $c\cdot \exp(x)$. Dein Vorschlag, diese Zusammenhänge irgendwie einzuarbeiten, ist aber berechtigt. Ich habe ein wenig umformuliert, vielleicht wird es jetzt klarer. --NeoUrfahraner 13:50, 7. Feb 2005 (CET)

Bakterienkulturen wachsen theoretisch in der Tat nach einer e-Funktion, solange es ungebremst läuft. Das tut es aber nur, solange Nährlösung da ist, Platz zum Ausbreite und sich die Bedingungen nicht ändern. Das tun sie allerdings, weil der Platz schon zu Beginn des Wachstums sofort abnimmt, die Luftzirkulation sich ändert, die Bakterien sich gegen seitig behindern und die Nährlösung wegnehmen. Damit kommt dort immer etwas total anderes heraus. Die EXP kann trotzdem als Grundfunktion verwendet werden. Man muss eben die Basis und den Exponenten anpassen. Man darf aber nicht erwarten, dass die Änderungen dieser Funktion auch der EXP gehorchen, was normal ja so ist (Ableitung!) StatistikusMaximus (Diskussion) 18:42, 6. Mai 2020 (CEST)

P.S.: Die Geschichte gilt auch für Viren in Populationen :-) StatistikusMaximus (Diskussion) 18:42, 6. Mai 2020 (CEST)

Generell Kritik: Eine Enzyklopädie ist Information für alle (nicht nur für Mathematiker)

Bei fast allen Mathematik Seiten der deutschen Wikipedia handelt es sich um Belege einer guten mathematischen Ausbildung und nicht um eine allgemeinverständliche Information. Die englische Version der Wikipedia ist ein Beispiel wie man es besser machen kann. Ich habe leider immer wieder den Eindruck, dass wir Deutschen ständig das Bedürfnis haben Klassenbeste zu sein. Ich rate Euch Artikelschreiber dringend endlich die penetrante Intelligenzbeweiserei sein zu lassen! Viele Grüsse aus Mexiko Dr. Philipp von Bülow

Das gehört wohl eher nach Portal_Diskussion:Mathematik --Manorainjan 10:23, 26. Sep. 2017 (CEST)

Was genau stört dich und was wird nicht verstanden? Allgemein "das ist nicht gut genug" hilft nicht weiter. StatistikusMaximus (Diskussion) 18:44, 6. Mai 2020 (CEST)