Diskussion:Lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Überarbeitung 2007

Hallo, großer Mathematiker. Was soll dieser Unfug? Gute Mathematiker ( Mangoldt/Knopp, Smirnow, Kneschke oder Physiker wie Sommerfeld) haben den Sachverhalt wesentlich besser beschrieben als Du. Es handelt sich hier um einen Fall der unqualifizierten Selbstdarstellung. Deshalb mein Eintrag "Überarbeitung". [Dies ist ein nicht-signierter Beitrag von J. Berger Zittau]

Kann diese Kritik nicht nachvollziehen.

• Mathematische Definition
• Spezielle Beispiele vorhanden
• Lösungsstruktur deutlich beschrieben

• Wer konkret die Herleitungsverfahren lesen möchte, sehe bei Fundamentalsystem oder Variation der Konstanten nach; dies gehört aber bestimmt nicht in einen Übersichtsartikel über lineare Differentialgleichungen

Insbesondere soll hier auch klar werden, dass lineare DGls mehr sind als nur Ausrechnen von Lösungen. Man untersucht auch qualitatives Verhalten, Stichwort Floquet-Theorie.

Gute Bücher (z.B. Amann, Chicone) gehen heutzutage weg von bloßen Lösungsverfahren hin zu qualitativer Theorie.

Ach, und ja, ich bin Mathematiker im Gegensatz zur kritisierenden Person. Tolentino 18:21, 20. Sep. 2007 (CEST)

Ich bin nicht nur eine kritisierende Person sondern Theoretischer Physiker, d.h. ich kenne mich in der Mathematik recht gut aus. Mir geht es mit der etwas zu harten Kritik nur darum, daß die WP gerade sehr komplizierte mathematische Sachverhalte exakt, aber auch für Menschen mit nicht großer mathematischer Ausbildung, nachvollziehbar darstellen sollte. Ansonsten schaffen wir doch noch mehr Vorbehalte gegen diese Wissenschaft! Und wenn ein Beitrag gelesen wird der eine Notation und Argumentation nutzt, die der Leser schon kennt wird er auch von zusätzlichen Informationen mehr davon verstehen. Es ist also ein methotisches Problem. Unter diesem Gesichtspunkt sehe ich auch Deine anderen Überarbeitungen der Beiträge zu Differentialgleichungen (ich habe auch einige Probleme diese im Detail zu verstehen(!)es geht auch einfacher). Ich hoffe wir werden in der Diskussion bleiben.--JBerger 18:50, 20. Sep. 2007 (CEST)

Zunächst mal möchte ich festhalten, dass es mich erfreut, dass der Umgangston inzwischen menschlicher geworden ist. Der hatte nämlich zu Beginn ein bisschen gelitten.

Jetzt zur Sache. Warum habe ich diesen Artikel neu angelegt? Vorher waren genau diese Inhalte im Hauptartikel über gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten (zusammen mit Konstruktionsverfahren für Fundamentalsysteme u.v.m.). Da hat das nichts zu suchen. Die Gruppe der linearen DGLs hat dasselbe Recht, einen eigenen Artikel zu besitzen, wie ein Riccati-DGL etc. Außerdem sollte nicht der Eindruck entstehen, die Theorie der Gew. DGL wäre eine Lösungsmethoden-Theorie. Einige Formulierungen (wie über Laplace-Transformation) hier sind noch unausgegoren, da direkt aus dem Hauptartikel übernommen und werden demnächst noch überarbeitet. Das ist nicht die totale Endfassung des Artikels. Ich denke, dass wir hierin übereinstimmen, dass lineare DGLs einen eigenen Artikel verdient haben. Mal davon abgesehen, dass der Hauptartikel über gew. DGL irgendwann auch zeigen soll, womit man sich „wirklich“ beschäftigt, nämlich qualitativer Theorie von Systemen, ohne explizite Lösungen ausrechnen zu können.

Aus Übersichtsgründen habe ich mich entschieden, Konstruktionsverfahren für Fundamentalsysteme zu Fundamentalsysteme zu tun. Ebenso wurden die anderen Aspekte dort eingegliedert, wohin sie gehören. Dadurch wird dieser Artikel als Übersichtsartikel übersichtlicher, und wer konkret sich für Fundamentalsysteme interessiert, sollte dort hineinschauen. In dieser Hinsicht ist meine Auswahl der hier beschriebenen Aspekte begründet.

Besondere Phänomene des Linearen ist nun einmal die lineare Lösungsstruktur. Wie man sie herstellt, kann man in den dort angelegten Artikel genauer im Detail sehen. Aber das Prinzip ist hier, so finde ich, klar dargestellt: Der Lösungsraum der homogenen DGL ist ein Raum, der Lösungsraum der inhomogenen DGL ist ebenfalls sehr klar dargestellt. Was will man daran nicht verstehen?

Weitere Untersuchungen (die nur im Linearen sind) wären ebenem Floquet-Theorie. Da gehörten eigentlich auch Klassifikation von Ruhelagen in Systemen zweiter Ordnung hin, aber so viel Zeit hatte ich noch nicht.

Du hast recht, Ziel ist es in WP, mathematische Aussagen auch exakt(!) darzustellen, nämlich nicht nur Halbwahrheiten darzustellen. Ein Beispiel (auch wenn es nicht ganz zu dieser Seite hier passt) dafür wäre der Missbrauch der Folgerungszeichenrichtung. Was meine ich damit? Gegeben eine Bernoulli/...-DGL y'=[bla]. Dann setzt man z(x) := [bla] => z' erfüllt irgendwas anderes. Jetzt schließt man, dass die Rücktransformation die ursprüngliche DGL löst. Warum ist das logisch falsch? Weil der Pfeil nämlich nach links muss! Man muss ausgehen von einer einfachen DGL, die z erfüllt, und daraus folgern, dass y die kompliziertere DGL löst. [Würde man mit der falschen Richtung arbeiten, müsste man streng logisch gesehen nämlich stets eine Probe machen.] In der Hinsicht habe ich die Aussagen nunmehr in der (für die Anwendung wichtigen) Richtung formuliert. Dass die meisten Lehrbücher das falschherum machen, ist zwar wahr, darf aber nicht der Maßstab von Argumentationen sein. Die Masse hat nicht immer recht.

Ansonsten wäre es viel geschickter, mal im Detail zu diskutieren, was genau an den einzelnen Formulierungen nicht zu verstehen wäre. Dann könnte man auch im Detail anschließend genauer erläutern bzw. durch Beispiele erhellen. Was sich aber nicht ändern lässt, ist eine inhärente mathematische Präzision, die insbesondere im Bereich Gewöhnliche DGL erheblich gelitten hat. Ich werde niemals etwas schwammiger formulieren oder falsch vereinfacht schreiben, damit Nicht-Mathematiker glauben, etwas zu verstehen, was sie nicht tun. Manche Begriffe muss man nun einmal kennen, sonst wird es nichts mit Verständnis von Mathematik. --Tolentino 08:27, 21. Sep. 2007 (CEST)

Du hast recht. Lineare DGLs haben einen eigenen Artikel verdient. Besonders wichtig finde ich den Hinweis in der obigen Diskussion, daß die Theorie der DGLs keine Lösungstheorie ist (dieser Fakt ist mir, und anderen sicherlich auch, während der Berufstätigkeit abhanden gekommen). Es ist bestimmt sinnvoll das auch explizit in der Einleitung zu erwähnen, damit nicht falsche Erwartungen geweckt werden.

Nun einige Hinweise. Im Abschnitt "Globale Existenz ..." ist Dir der Hinweis auf die Sätze von Peano u.a. wahrscheinlich entgangen.

Im Abschnitt "Periodische Systeme" habe ich einige Verständnisprobleme. 1.) Gilt A(x)=A(x+omega) oder bezieht sich die Aussage darauf daß die Matrix A(x) periodische Lösungen produziert (Konjugiert komplexe Eigenwerte im Fall konstanter Koeffizienten)? 2.) Die "Floquet-Multiplikatoren" sind nicht definiert und auch nicht im Beitrag "Floquet-Zustand" nicht enthalten.--JBerger 11:10, 21. Sep. 2007 (CEST)

Ja, es gilt A(x) = A(x+omega). Da steht aber auch dass "A omega-periodisch" sein soll. Doch, die Floquet-Multiplikatoren sind im Artikel hier bereits definiert gewesen. Sie sind die Eigenwerte der Matrix Phi(omega)*Phi(0)^{-1}, worin Phi irgendeine Fundamentalmatrix des Systems ist. Welche man wählt, ist egal, da man beweisen kann, dass die Eigenwerte von der konkreten Wahl unabhängig sind. Zur globalen Existenz könnte man durchaus noch was schreiben, das ist wahr. Allerdings würde Picard-Lindelöf alleine nicht ausreichen, da er nur lokale Lösungen liefert. Im Prinzip bräuchte man noch die Grönwall'sche Ungleichung für eine a-priori-Schranke. Der Artikel ist in diesem Abschnitt sicher nicht in der Endfassung, da werde ich mich noch mal drum kümmern. --Tolentino 12:48, 21. Sep. 2007 (CEST)

Picard-Lindelöf für n-te oder 1. Ordnung ?

Laut dem einen Abschnitt gibt der Satz von Picard-Lindelöf eine Aussage darüber, wann eine lin. gewöhl. DGL n-ter Ordnung eine eindeutige Lösung besitzt. Laut Satz von Picard-Lindelöf und meiner Mathevorlesung sagt er aber nur etwas über solche DGL.en erster Ordnung etwas aus... -- 212.201.55.6 20:52, 12. Feb. 2008 (CET) aka Benutzer:Amtiss

Jede skalare DGL $n$-ter Ordnung lässt sich als DGL-System von $n$ Gleichungen erster Ordnung umschreiben. Auf dieses System wendet man den Satz von Picard-Lindelöf an. Wenn du Details brauchst, melde dich, dann werde ich genauer. --Tolentino 10:41, 15. Feb. 2008 (CET)

hmm, hab schon vermutet, dass es darauf hinausläuft. Sollte man diesen Zwischenschritt denn noch in den Artikel einbauen ? -- Amtiss, SNAFU ? 17:55, 15. Feb. 2008 (CET)

Hm, ich bin mir selber ein bisschen uneins diesbezüglich. Andererseits reicht ja nicht die allgemeine Feststellung, dass n-te Ordnung allgemein in Systeme 1. Ordnung transformiert werden können, sondern dass bei diesem Prozess Linearität beibehalten wird. Das könnte durchaus erwähnenswert sein. --Tolentino 17:06, 16. Feb. 2008 (CET)

Definition der Linearität

Passt die Definition

$y^{(n)}=f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)$

zur weiter unten angegebenen DGL $y'(x)=A(x)y(x)+b(x)$ ? Ich fürchte: nein. (Wegen $b(x)$ natürlich.) Die en-Version betrachtet DGLen von der Form $b=f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ und nennt sie linear. Ich schlage vor, diese Version zu übernehmen. --Stefan Neumeier 01:48, 24. Aug. 2008 (CEST)

Hm, Linearität von $f$ im 2. bis (n+1)ten Argument reicht nicht, man hätte nämlich noch Multilinearität am Hals und müsste z.B. $y'y$ als „linear“ zulassen... Mein Vorschlag: f muss linear und homogen vom Grad 1 im 2. bis (n+1)ten Argument sein. Die zugehörigen Definitionen würde ich explizit beigeben. --Stefan Neumeier 02:07, 24. Aug. 2008 (CEST)

Schande über mein Haupt, ich habs überarbeitet und hoffe, dass es jetzt in Ordnung ist. --Tolentino 12:28, 24. Aug. 2008 (CEST)

Ja, schon besser. :-) Aber ich habe noch Haare in der Suppe gefunden, sorry. Gut die Absicherung, dass bei $y^{(n)}$ keine Null als Koeffizient stehen kann. Aber in der ersten Gleichung fehlt links das Argument $x$, womit wir schon bei der zweiten, „punktweisen“ Gleichung wären.

Wenn Du magst, schreibe $y^{(n)}=f\left(\cdot ,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+g$. Der Definitionsbereich von $f$ muss eh’ geändert werden, etwa in der Art $I\times (C^{n}(I,\mathbb {R} ^{m}))^{n}$. Die genaue Terminologie mit dem $C^{n}(M,N)$ will ich jetzt nicht mehr nachschlagen.

Die Rede von der „2. Komponente“ ist m.E. sehr irreführend, wenn nicht sogar falsch. Die Funktion $f$ hat $n$ Argumente (auch nicht „Komponenten“). Oder man muss den Definitionsbereich in der Art $I\times ((\mathbb {R} ^{m})^{n})$ schreiben (abgesehen davon, dass Funktionsmengen und nicht Zahlmengen beschrieben werden müssten) und entsprechend feinsinnig klammern: $f\left(x,\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right)$. Aber das ist schon sehr unüblich und auch nicht nötig. Mein Vorschlag ist es, bei einer Formulierung wie „linear und homogen vom Grad 1“ zu bleiben. – Desweiteren würde ich $g=0$ oder $g(x)=0,x\in I$ schreiben; die Schreibweise mit $\equiv$ kommt aus der Mode und ist nur noch Ingenieurlatein. --Stefan Neumeier 23:50, 24. Aug. 2008 (CEST)

Nein, jetzt muss ich erst einmal heftig widersprechen. $f$ selber frisst nur Vektoren, keine Funktionen! Der Definitionsbereich hat gar nichts mit $C^{n}$-Funktionen zu tun. Das ist mit Sicherheit völlig falsch. Es war vorher, wie es oft (ungenau) geschrieben wird, mit teilweise weggelassenen Argumenten versehen, gemeint ist aber immer das Einsetzen von Argumenten, wie ich es jetzt nochmal eingefügt habe. Die Operatorversion käme hinein, wenn du $L(y):=[x\mapsto f(x,y_{1}(x),\ldots )+g(x)]$ nimmst, dann ist $L:C^{n}(I,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$, und es gilt, einen Fixpunkt von $L$ zu suchen. Diese Sichtweise (Existenz mittels Fixpunktargumenten in Banachräumen) möchte ich an dieser Stelle nicht forcieren, insbesondere weil man die Schieflage (Regularitätsverlust) noch irgendwie berücksichtigen müsste.

Die $\equiv$-Schreibweise ist sicher noch gebräuchlich, aber ich hab es deinem Wunsch entsprechend abgeändert.

"linear und homogen vom Grad 1" mag ich nicht, weil die Definition dann nur noch verständlich wäre für jemandem, der etwas mit dem Begriff "homogen" anfangen könnte, und eigentlich ist das eine unnötige Hürde.

Was die Sache unschön macht, ist, dass man die Kompoenten der Ableitung "aufbrechen" muss. Beispielsweise ist

$y_{1}''=y_{1}+y_{2}\ ,\ y_{2}''=y_{1}$

nicht von der Form

$f(x,((y_{1}(x),y_{2}(x)),(y_{1}'(x),y_{2}'(x))))\$

mit einem $f:\mathbb {R} \times (\mathbb {R} ^{2})^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, so dass $f(t,\cdot ):(\mathbb {R} ^{2})^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ (für jedes feste $t$) linear ist, sondern von der Form

$f(x,(y_{1}(x),y_{2}(x),y_{1}'(x),y_{2}'(x)))\$

mit einem $f(t,\cdot ):\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, so dass $f(t,\cdot ):\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ (für jedes feste $t$) linear ist. Ich hab mal alles überarbeitet. Gruß, --Tolentino 10:17, 25. Aug. 2008 (CEST)

Ich sehe nicht so richtig, warum man nicht die Operatorversion nehmen sollte. Fände ich sachlich angemessener. (Im nächsten Abschnitt (Spezialfälle) müsstest Du übrigens $y$ erklären.) Ganz dringend fehlt noch für den ersten Satz, was $y$ ist; außerdem der Term $x\in I$ (der Definitionsbereich für das erste Argument von $f$ wird nicht „vererbt“ auf den Definitionsbereich von $y^{(n)}$, auch weil eben $y$ nicht erklärt wurde).

Ist die in der Praxis gesuchte Lösung $y$ tatsächlich der Fixpunkt von $L$, erfüllt also $L[y]=y$ ? Mit dem gegebenen $f$ verstehe ich das nicht.

„Homogen vom Grad 1“ hast Du raffiniert umschifft, indem Du aus $f$ eine Abbildung der Wronskimatrix in $\mathbb {R} ^{m}$ machst. Ich würde „(für jedes feste t \in I)“ genau nicht in Klammern setzen, denn das ist wesentlich und nicht bloß eine stützende Erläuterung. In der Notation halte ich übrigens $\mathbb {R} ^{n\cdot m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}:(a_{1},\ldots ,a_{n\cdot m})\mapsto f(t,a_{1},\ldots ,a_{n\cdot m})$ für konventionsgemäß (erst die Mengen, dann die punktweise Abbildungsvorschrift).

Zu Deinem Beispiel: Was hältst Du von $f:\mathbb {R} \times (\mathbb {R} ^{2})^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,u,v)\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}u$?

beste Grüße --Stefan Neumeier 14:45, 25. Aug. 2008 (CEST)

Ich fange mal wieder links an, weil die Doppelpunkte im Moment etwas nervig sind... Ja, ich habe Tomaten auf den Augen, vergiss bitte mein Beispiel alles aus seinem Umfeld.

Trotzdem ist das mit dem Operator Unsinn, es ist nicht die Funktion $f$, die Operatoren schluckt, sondern die Operatorfunktion wird mittels $f$ definiert. Der lineare Operator $L:C^{n}\rightarrow C^{0}$ wäre gegeben durch $L(y)=[x\mapsto f(x,y(x),...,y^{(n-1)}(x))]$. Die Funktion $f$ hat trotzdem nichts mit $C^{n}$ zu tun, es ist nämlich hierbei immer noch $f:I\times (\mathbb {R} ^{m})^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$. Die Operatorfassung kann nicht die $(\mathbb {R} ^{m})^{n}$-Fassung ersetzen, sie ist ein Überbau, der diese Struktur trotzdem benötigt!

Ja, erst Urbild/Zielbereich, dann die punktweise Vorschrift. Das ist mir beim Tippen einfach nur durcheinandergegangen, und ich habe es jetzt korrigiert.

Ich sehe nicht, warum hier etwas in der Definition fehlen sollte. Um es mal konkret zu machen: Im ersten Satz wird definiert, dass

$y'(x)=5y(x),x\in \mathbb {R}$

eine lineare DGL ist. Um die Struktur der DGL zu definieren, benötige ich nicht anzugeben, welche $y$ man erlaubt. Das hat vor allem den Grund, dass es durchaus verschiedene Lösungsbegriffe (regulär, schwach, mild, distributiv) geben kann (und bei partiellen DGLs auch tatsächlich gibt).

[Was man hier aber vorwerfen kann, ist dann die Voraussetzung, dass $f,g$ stetig sind. Damit nimmt man implizit schon vorweg, dass die Definition auf reguläre Lösungen hinauslaufen wird. Man könnte ja auch gut und gerne $g\in L_{1}(I,\mathbb {R} ^{m})$ fordern, nur dann gibts keine Lösungen in dem hier angegeben Sinne. Trotzdem ist die DGL immer noch linear, ja da ist im Moment noch was im Argen...]

Daher kommt est nach der Definition der Struktur der DGL die Definition, was unter einer (regulären) Lösung dieser DGL zu verstehen ist, und erst jetzt muss man Farbe bekennen, aus welchem Raum man die $y$ zu wählen hat, nämlich in diesem Fall unter den $n$-mal differenzierbaren Funktionen. Diese beiden Schritte (1. Klärung der formalen Struktur der DGL, 2. Lösungsbegriff) sollte man durchaus trennen, weil bei komplizierteren DGLs auch völlig verschiedene Lösungsbegriffe existieren, die nicht äquivalent sind.

Mit dem Fixpunkt hab ich etwas zu schnell gegriffen, das sieht man hier noch nicht (nein, es ist nicht $y=L(y)$ das Problem). Als ein Beispiel: Will man $y'(x)=f(x,y(x))$ lösen, so bekommt man durch Integrieren über $[a,x]$ grob so etwas wie $y(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}f(t,y(t))dt$. Dann definiere man den Operator $L(y):=x\mapsto \int _{0}^{x}f(t,y(t))dt]$, und jetzt steht da endlich die Gleichung $y=L(y)$. Danach versuche man, eine Fixpunktlösung zu finden. Dann muss ihre Differenzierbarkeit nachgewiesen werden, und falls sie es ist, muss $y$ dann auch eine Lösung des AWPs $y'=f(x,y(x)),y(a)=y_{0}$ sein.

Und was, wenn $y$ dann nicht differenzierbar ist, beispielsweise, wenn $f,g$ nur integrierbare, messbare Funktionen sind? Dann stehen wir direkt bei einem neuen Lösungsbegriff, man würde eine messbare Funktion $y(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}f(t,y(t))dt$. als schwache Lösung von $y'(x)=f(x,y(x))$ definieren. [Nochmals: Das kann vorkommen. Zwar ist die Abbildung $f(t,\cdot )$ für festes $t$ linear, also stetig, aber wenn man $t\in I$ variieren lässt, muss $f(\cdot ,\cdot )$ trotzdem nicht stetig sein.] Dieses Konzept der schwachen Lösung macht durchaus Sinn (vor allem, wenn keine regulären Lösungen existieren). Daher plädiere ich deutlich darauf, eine Definition der Struktur zu geben, die unabhängig vom Lösungsbegriff ist. --Tolentino 15:29, 25. Aug. 2008 (CEST)

Ich glaube weiterhin, dass man nicht drumherumkommt, in $y'(x)=5y(x),x\in \mathbb {R}$ auch den Symbolen $y(x)$ und $y'(x)$ eine Bedeutung zu geben. Irgendwas musst Du schon sagen; diese beiden Symbole undefiniert zu lassen, geht einfach nicht.

Zum Stichpunkt Schwache Lösungen: Die Funktionalanalysis konstruiert zur IGL (so wie mit Deinem $L$), die von einer (messbaren, integrablen…) Funktion $y$ gelöst wird, formal eine DGL und nennt $y$ eine schwache Lösung derselben. Wenn $y$ nicht bloß integrabel, sondern sogar genügend oft differenzierbar ist, ist die konstruierte DGL buchstäblich auch als ordinäre DGL lesbar.

Meiner Meinung nach kann man DGL zunächst nur für differenzierbare Funktionen direkt definieren. DGL können verallgemeinert werden, indem man sie als konstruierte Entsprechungen von IGL betrachtet. Gerne kann man eine lineare DGL n-ter Ordnung als „alternative“ Schreibweise einer IGL mit $n$-fach iteriertem Integral schreiben, aber da wird meiner Meinung nach viel zu viel Theorie in eine Definition reingepackt und ist auch nicht ästhetisch, da die schöne Einbettung von ordinären DGLen in schwache DGL nicht mehr sichtbar ist. Ich glaube, Du wirst nicht drumherum kommen, für jeden der von Dir aufgezählten Lösungsbegriffe den Begriff „Lineare DGL“ zu erklären. Dass diese diversen DGL-Typen miteinander verwandt sind, ist ja gerade die Beobachtung in der Funktionalanalysis.

Noch etwas: Der Absatz, der mit „Trotzdem ist das“ beginnt, ist inhaltlich nicht konsistent. Wenn ich ihn genau lese, verstehe ich ihn nicht. Die punktweise Definition des Operators $L$ legt die Abbildung $C^{n}(I)\rightarrow C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$ nahe, ganz sicher bin ich mir nicht. Mir ist schon klar, dass Du mit $f$ von Zahlen auf Zahlen abbildest. Mein „Operatorvorschlag“ ist es, $f$ stattdessen auf $I$ kreuz einem Kreuzprodukt von Funktionenräumen zu erklären. Dass eine Abbildung zwischen Funktionenräumen letzlich auf Zahlenniveau heruntergebrochen werden muss, hat m.E. nur praktischen Belang; man muss halt Definitions- und Wertebereich von solchen Abbildungen konsistent angeben, so wie das im Beispiel Linearer Operator#Beispiel gemacht wird.

Offen gestanden, die Bemühung, lineare DGL möglichst allgemein zu definieren, halte ich für ähnlich umfänglich zu bewältigen wie einen megauniversellen Integralbegriff zu finden, der alle im Laufe der Zeit entdeckten Integraltypen gleichzeitig erwischt… --Stefan Neumeier 18:02, 25. Aug. 2008 (CEST)

So, ich habe jetzt das Buch von H. Amann vor mir liegen mit genau der ISBN wie in [[1]] angegeben. Ich schlage S. 151 auf und entnehme der Vorgabe für die Abbildung $A$, dass $x$ (was noch nicht mal als „Lösung“ bezeichnet wird) aus dem Banachraum $L(E)$ stammt. Erst nach dieser Information wird eine Symbolkette in Gl. (1) hingeschrieben und als lineare DGL bezeichnet. In dieser Symbolkette Gl. (1) ist alles aber vorher definiert worden. Das Einzige, was mich wundert, dass er nicht mehr sagt, dass $L(E)$ einmal-differenzierbare Funktionen enthalten muss. In den Beispielen des Kapitels 1 erwähnt er noch stets irgendwas mit $C^{1}[\ldots ]$, was aber dann irgendwann gegen Ende des Kapitels 1 untergeht… (Oder kenne ich bloß den Satz nicht, der C^1 sichert für Elemente aus $L(E)$ ??) --Stefan Neumeier 21:15, 26. Aug. 2008 (CEST)

Amann schreibt es ganz genau so auf, wie es bisher im Artikel steht. (Es ist dabei bei Amann $E=\mathbb {R} ^{m}$ und hier im Artikel $n=1$ zu setzen). $L(E)$ als Menge der stetigen Endomorphismen von $E$ ist in diesem Fall kanonisch mit $\mathbb {R} ^{m\times m}$ zu identifieren. Insbesondere hat $L(E)$ nichts, aber auch gar nichts mit irgendwelchen $C^{1}$-Räumen zu tun.

Nochmals: $L(E)=\{h:E\rightarrow E\ |\ h\ {\textrm {linear\ und\ stetig}}\}$ und $C^{1}(J,E)=\{h:J\rightarrow E\ |\ h\ {\textrm {stetig\ differenzierbar}}\}$ haben zueinander keinen Zusammenhang. Keine der Menge ist Teilmenge der anderen. --Tolentino 08:57, 27. Aug. 2008 (CEST)

Im Artikel steht es eben nicht genau so wie bei Amann (selbst nach den von Dir angegebenen Spezifizierungen). Pardon, Monsieur. Im Artikel fehlt bis zum Satz „Unter einer Lösung…“jeglicher Hinweis zu $y$. Man könnte bei allen $y,y',\dots$ das $(x)$ genauso gut wegradieren. Erst der Satz „Unter einer Lösung…“ erklärt die drei Zeichen $(x)$. Vorher nicht.

Bei Amann wird (indirekt) $x\in E$ gesagt (Gestern habe ich $x\in L(E)$ geschrieben, was falsch ist; ich nehm's zurück, danke für Deine erneute Erhellung zu $A(t)$.). Amann sagt in seinem Buch immer (auch im 1. Kapitel) irgendetwas vorher zur gesuchten Funktion, bevor er eine DGL hinmalt und danach erklärt, was eine Lösung ist.

Zu dem Punkt, der mich noch gewundert hat, warum er noch ein ${\dot {x}}$ hinmalt (obwohl $E$ gar nicht von $t$ abhängt): Aus der Formulierung auf S. 74 ziehe ich heraus, dass er ${\dot {x}}$ zunächst nur als ein weiteres Zeichen neben $x$ verwendet; erst mit der Bedingung (iii) verbindet er ${\dot {x}}$ mit $x$.

$E$ wird an einer Stelle (S.17) sogar definiert, nämlich gleich $C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} ^{m})$. Mir scheint, dass er auch auf den folgenden Seiten mit $E$ immer diesen Raum meint. Dann wäre ${\dot {x}}$ immer erklärt. Aber das ist nicht mein Kritikpunkt am Wiki-Artikel.

Es geht um das inhaltsleere $y(x)$. --Stefan Neumeier 17:38, 27. Aug. 2008 (CEST)

Mit Verlaub, die Aussage $E=C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} ^{m})$ ist völliger Unsinn. Das $E$ aus Seite 17 ist gänzlich verschieden von dem $E$ aus Seite 151, welches einen endlichdimensionalen Banachraum über $\mathbb {K}$ bezeichnet; das Alphabet hat nun mal nicht tausende Buchstaben. Du hast nicht verstanden, dass Amann (weil er ein Stück weit auf die Theorie der Evolutionsgleichungen vorbereiten will) $E$-wertige Differentialgleichungen betrachtet. Insbesondere ist nicht $x\in E$, sondern $x(t)\in E$. Darüber hinaus sind Differentialoperatoren im Allgemeinen nicht stetig, aber das sei nur am Rande bemerkt.

Amann nennt darüber hinaus beispielsweise bereits das Konstrukt

${\dot {x}}=5x$

eine lineare Differentialgleichung, und es gibt mit sicherheit abertausende Papers, die zu Beginn immer von einer Differentialgleichung, beispielsweise

$u_{t}=-\Delta (\varphi (u)\cdot u)$

reden. Anschließend erfolgt eine Definition, was unter einem Lösungsbegriff zu verstehen ist und danach der Satz, dass eine Lösung in diesem Sinne existiert. Es ist heutzutage in der Praxis der Mathematik völlig üblich, eine Differentialgleichung symbolisch hinzuschreiben und sich erst bei der Definition des Lösungsbegriffs Gedanken zu machen, was eine Lösung ist und in welchem Sinne sie die symbolische Gleichung erfüllen soll. [In unserem Fall würde mal als (reguläre) Lösung eine $C^{1}$-Funktion definieren, die die Gleichung punktweise überall erfüllt.] Damit ist die hier beschriebene Vorgehensweise (ob's dem Puritaner gefällt, ist unerheblich) üblich und keine Theoriefindung. --Tolentino 08:45, 28. Aug. 2008 (CEST)

(Ich find's witzig, dass ausgerechnet Du Dich jetzt von Puritanismus distanzieren möchtest – angesichts Deiner substanziellen Beiträge in anderen Artikeln. Übrigens, das Jokerwort Theoriefindung halte ich in einer exakten Wissenschaft wie der Mathematik für ein rein politisches Totschlagargument. Es geht darum, eine saubere Formulierung zu finden. Das ist hier immer noch nicht der Fall.)

Was ist mit den $y(x),y'(x),\ldots$ gemeint?

Du schreibst immerhin schon, dass die DGL zunächst symbolisch hingeschrieben sei. Im Artikel wird aber nirgends gesagt, dass die hingemalte DGL symbolisch sei. Nach einigem Durchstöbern habe ich ein passendes Buch gefunden, dessen einführenden Abschnitt ich Dir dringend empfehle: Bernd Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichungen, ISBN 3-8274-1492-X. Die Definition 1.1.1 ist genau die Variante, die Du augenscheinlich haben möchtest. Nur steht dort bei den $x,{\dot {x}},\ldots$ kein $(t)$. Auf der nächsten Seite wird sogar in der Bemerkung 1.1.2 diese „befremdliche“ Symbolwahl erläutert. Von alledem, selbst von der „völlig üblichen“ Praxis, wie von Dir angedeutet, wird im Artikel nichts gesagt. --Stefan Neumeier 13:30, 28. Aug. 2008 (CEST)

Naja, in der ursprünglichen Version stand dort auch kein $x$ (bzw. bei Aulbach das $t$). Da stand noch (nach Einbau der inzwischen behobenen Fehler und Reduktion auf $n=1$, wenn man's mir erlaubt)

$y'=f(x,y)+g$.

Das blöde ist das $x$ in der ersten Variablen, welches man vielleicht besser zu

$y'=f(\cdot ,y)+g$

ändern könnte (allerdings ist immer noch $f:I\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, völlig unabhängig, ob man $y$ hineinschreibt. Den Aulbach hab ich hier nicht zur Hand, aber ich würde darauf wetten, dass auch bei ihm die zweite Komponente des Definitionsbereichs von $f$ ein $\mathbb {R} ^{m}$ ist, weil alles andere keinen Sinn macht.)

Ich ändere es erst einmal provisorisch in diese Form um. --Tolentino 13:55, 28. Aug. 2008 (CEST)

Ja, sieh zu, dass Du den Aulbach in die Hände bekommst. Nach den Symbolen $x,{\dot {x}},\ldots$, die in der Tat in so etwas wie $\mathbb {R} ^{m}$ liegen und ohne eingeklammertes $t$ stehen, benutzt er für die Lösungen stets $\lambda (t),{\dot {\lambda }}(t),\ldots$, also mit eingeklammertem $t$. Das hält Aulbach durch – so dass bei der Definition (1.5) einer linearen DGL die Inhomogenität und die Matrix ihr $t$ bekommen, aber nicht die would-be Lösung $x$, was auf den ersten Blick überraschend ist. Aber man muss eben gesagt haben, dass $x$ und ${\dot {x}}$ nur zwei verschiedene Symbole sind und der Punkt genauso gut z.B. durch eine Schlange ersetzt werden könnte: ${\tilde {x}}$.

Mit der aktuellen Version bin ich sogar einverstanden und würde sie stehen lassen, vorausgesetzt, im Lemma Differentialgleichung würde auf diese symbolische Notation eingegangen werden. --Stefan Neumeier 14:29, 28. Aug. 2008 (CEST)

Naja, dass ich den Aulbach in den Händen hatte, ist schon etwas her. Ich fand ihn nicht gut, weil er Interesse an qualitativer Theorie nicht befriedigen kann. Aber so, wie du ihn beschreibst, sind $x,{\dot {x}},\ldots$ doch nur die Variablennamen, man könnte sie auch (wie im Artikel selber etwas weiter unten angedeutet ist) $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$ nennen. Schön ist es, dass wir hier zu einer Einigung kommen konnten, und ich denke, dass der Artikel auch einiges profitiert hat, mal ganz abgesehen davon, dass es zu Beginn ja sogar völliger Blödsinn war... Gruß, --Tolentino 15:24, 28. Aug. 2008 (CEST)

Sieht so aus, als ob wir uns nun gegenseitig verstanden haben. :-)

Es bleibt für den unschuldigen WP-User mit Abiturwissen eben recht verwirrend, wenn ausgerechnet im DGL-Kontext die Symbole $y,y',\ldots$ (erstmal) nur verschiedene Symbole ohne Zwischenbezüge sein sollen. So ist $y'-y=0$ mit $y,y'\in \mathbb {R}$ als eine lineare Gleichung und auch als eine lineare DGL 1.Ordnung lesbar. Im ersten Fall gibt es für jede reelle Zahl $r$ eine Lösung $y'=r,y=r$, und im zweiten Fall eine $C^{1}$-Lösung durch $y(x)=re^{x}$. Da ist die Notation mal nicht ganz so intuitiv… --Stefan Neumeier 01:17, 29. Aug. 2008 (CEST)

Beim näheren Hinsehen stellt sich mir jetzt doch die Frage, ob man nicht doch $f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})$ anstelle von $f(\cdot ,y,\ldots ,y^{(n-1)})$ schreiben sollte (Typ $y'=xy$). Was meinst du, welche Fassung besser ist? Ich fange so langsam an, zu ersterem zu tendieren. --Tolentino 09:05, 29. Aug. 2008 (CEST)

Du kannst das $x$ in $f$ rein- und bei $g$ in Klammern dranschreiben, aber nicht bei den diversen $y$'s; zugleich solltest Du aber schon benutzerfreundlich erklären, dass diese $y,\ldots ,y^{(n)}$ zunächst nur einbuchstabige Symbole sind, die nicht miteinander verwandt sind. In der zweiten Gleichung kommt dann die Rede mit der Lösung, wodurch sogar bei den $y$'s die $(x)$ drangehängt, die Strichelchen bei den $y$ als Ableitungsstriche gelesen und die Symbole damit als zusammengesetzt aufgefasst werden dürfen und schließlich die DGL in einer solchen Form steht, wie sie der gebildete Rechenknecht erwarten würde. --Stefan Neumeier 14:59, 29. Aug. 2008 (CEST)

Ich denke, es ist so jetzt in Ordnung, oder bist du anderer Meinung? Jetzt darf man auch von der Differentialgleichung $y'=xy$ sprechen, wie es die Physiker gerne machen. Und eine Lösung ist dann eine differenzierbare Funktion, die $y'(x)=x\cdot y(x)$ punktweise überall erfüllt. --Tolentino 15:40, 29. Aug. 2008 (CEST)

tut mir leid - vor allem weil da offensichtlich sehr viel arbeit steckt - , aber dieser artikel ist katastrophal und überhaupt nicht zu gebrauchen. ich finde wikipedia sollte dazu da sein sachverhalte einfach, greifbar und in für ALLE verständlicher sprache darzustellen. und gerade denen eine hilfe sein, die mit normalen lehrbüchern nicht weiterkommen. dieser artikel verwirrt und frustriert aber nur. (nicht signierter Beitrag von 134.100.32.47 (Diskussion) )

Es wäre da schon sehr hilfreich, wenn du mit deiner Kritik, wenn sie schon nicht konstruktiv ist, so doch zumindest genügend konkret bist, sprich: Welche Formulierungen (im Speziellen) gefallen dir nicht? --Tolentino 08:36, 8. Sep. 2008 (CEST)

Retardierte DGL

Kann ein mathematisch gebildeter Wikipedianer noch bei 'Spezialfälle' etwas über retardierte lineare gewöhnliche DGL schreiben? Ich denke das ist eine wichtige Gruppe von DGL. Sie wird für z.B. Populationsgleichgewichte benutzt. Falls sich niemand findet versuche ich das, aber ich bin kein Mathematiker...

--Rappel1 märz 2009 --

Hm, ich fände, dass retardierte DGLs durchaus Erwähnung finden sollten, aber nicht in dem extremen Spezialfall von linearen DGLs, sondern entweder in einem eigenen Artikel Retardierte Differentialgleichung (dort dann auch partielle retardierte DGL erwähnen) oder als Variante im allgemeinen Artikel Gewöhnliche Differentialgleichung. --Tolentino 11:55, 13. Mär. 2009 (CET)

OK, das stimmt wahrscheinlich. Wir könnten uns es einfach machen und einfach den englischsprachigen Beitrag übersetzen, [2]. Möchte das jemand machen?

Überarbeitung 2012

Das soll jemand kapieren "Im Folgenden seien $f$ und $g$ zusätzlich stetig. Dann versteht man unter einer Lösung dieses Differentialgleichungssystemes eine $n$-mal differenzierbare Funktion $y:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, welche

$y^{(n)}(x)=f\left(x,y(x),\ldots ,y^{(n-1)}(x)\right)+g(x)$

(punktweise) für alle $x\in I$ erfüllt. Ist $f$ unabhängig von der ersten Variablen, so bezeichnet man das Differentialgleichungssystem als eines mit konstanten Koeffizienten."

f von irgenwas ist doch keine lineare Funktion. Ohne ein Beispiel z.B. aus der Schwingungslehre ist der Artikel imo so nicht zu gebauchen. Zu den Lösungsverfahren gehört bei lin. DGL mit konstanten Koeffizienzen auch die Lösung der charakteristischen Gleichung. Viele Artikel, die auf hierher verlinkt haben finden nur schwer verständliches vor.-- Wruedt 13:56, 5. Jan. 2012 (CET)

Ich war mal so frei, eine neue Diskussion aufzumachen, damit das Bearbeiten und Verfolgen etwas leichter geht. Die bisherigen Punkte sind:

• das seltsame Vergeheimnissen der Linearität,
• elementare Beispiele, wobei es unten ja einen Satz nicht ganz so elementarer Beispiele gibt,
• das völlige Fehlen eines Hinweises oder Abschnittes, dass bei konstanten Koeffizienten eine geschlossene Lösung angegeben werden kann.

Für den ersten Punkt müsste man in den oben diskutierten Büchern nachsehen, ob es eine nachvollziehbare Motivation gibt. Außer der Einordnung in den allgemeinen Kontext gewöhnlicher Differentialgleichungen.--LutzL 10:59, 6. Jan. 2012 (CET)

Basis für neuen Unterartikel Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

In einem zu erstellenden Unterartikel sollte das Thema auf dem Niveau von einfachen Anfangsvorlesungen an Uni und FH dargestellt werden und mit vielen Beispielen illustriert werden. --Bgm2011 (Diskussion) 11:39, 17. Mär. 2012 (CET)
siehe auch Artikel Variation der Konstanten

Spezielle Lösung

In diesem Artikel ist von einer „Spezielle[n] Lösung“ die Rede. Ich glaube, dass das einfach die Lösung zu der inhomogenen Differentialgleichung ist, aber sicher bin ich mir nicht. Das sollte auf jeden Fall erklärt werden. --Martin Thoma 18:29, 23. Sep. 2012 (CEST)

Ja, so ist es. Es ist aber natürlich nicht "die" Lösung zu der inhomogenen DGL, sondern nur "eine". "Speziell" ist hier gemeint im Unterschied zu "die allgemeine Lösung", was soviel bedeutet wie: die Menge aller Lösungen. --Digamma (Diskussion) 19:54, 23. Sep. 2012 (CEST)

Bedeutung "n-te Ordnung"

In der Definition wird leider nicht auf die Zahl n eingegangen, vielleicht möchte das jemand ergänzen. Steht n = 3 für eine Differentialgleichung der 3. Ordnung, oder für eine DGL der 2. Ordnung?--131.246.35.184 11:30, 18. Aug. 2015 (CEST)

Inhalt des Abschnitts "Einzelnachweise"?

Bei mir wird der Abschnitt "Einzelnachweise" ohne jeden Inhalt angezeigt. Fehlt da tatsächlich der Inhalt?--Kafka Is An Ok Writer (Diskussion) 10:50, 11. Sep. 2018 (CEST)

Ja, das ist tatsächlich so. Der Artikel enthält keine Einzelnachweise. --Digamma (Diskussion) 18:27, 11. Sep. 2018 (CEST)