Diskussion:Lineares Gleichungssystem/Archiv/1

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[[Diskussion:Lineares Gleichungssystem/Archiv/1#Thema 1]]

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lineare Gleichung

Also das ist hier alles nicht ganz korrekt, siehe auch Lineare Gleichung. Was ist denn mit einer mehrdimensionalen Unbekannten?

Sobald ich dazu komme, versuch ich das zu korrigieren. Aber vielleicht ist jemand schneller! --Anonym 13:12, 3. Jul 2004 (CEST)

bin dazu gekommen --Anonym 15:30, 4. Jul 2004 (CEST)

Beispiel passt nicht wirklich

Als ich mir diese Seite hier durchgelesen hab, hab ich nach der Definition ein Beispiel erwartet dass auch dazu passt, aber das was hier steht hat mit dem Rest des Artikels (Matrizen, ...) nichts zu tun. Ich finde das sollte man entweder so ändern dass man ein Beispiel dafür hat wie das Lösen per Matrix aussieht oder als alternative Methode darstellen (Einsetzungsverfahren oder wie das heißt). Wenn ich nachher Zeit finde denke ich mir mal ein besseres Beispiel aus. -- DeNayGo 11:31, 6. Mai 2005 (CEST)

Matrizen sind nur ein Aspekt des Themas. Das Beispiel ist nicht das Beste aber ich finde nicht, dass man ein Matrizenbeispiel machen sollte, das gehört in Matrix (Mathematik). Lösungsverfahren gibt es ja eine ganze Menge, momentan sind sie in andere Abschnitte eingebaut, ein Abschnitt der sich mit der Lösung von Gleichungssystemen befasst wäre aber sicher nicht schlecht, das sollte dann aber mehr als eine reine Aufzählung sein.--G 15:20, 6. Mai 2005 (CEST)

überflüssiges Bild

Was soll das Bild von der Schultafel mit den Gleichungssystemen? @Stefan-XP, am besten mach doch gleich ein Foto von einer komplett vollgeschriebenen 3er-Tafel(3 solche Tafeln übereinander!) aus einer LinA-Vorlesung :-) --217.87.152.227 03:18, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich fand es illustrativ, sonst hat es noch niemanden gestört, eigntlich wollte ich grade reverten, aber mir ist es recht Egal ob das Bild hier zu finden ist oder nicht. --Stefan-Xp 12:37, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich sehe auch keinen wirklichen Nutzen, zumal man dem fertigen Tafelbild nicht so recht entnehmen kann, was da so vor sich gegangen ist.--Gunther 12:48, 17. Mai 2005 (CEST)

hast im Prinzip Recht, aber ich fand es dennoch "hübsch" für den Artikel... is aber egal, das Bild hat ja noch andere "Existenzberechtigung"... --Stefan-Xp 13:27, 17. Mai 2005 (CEST)

Formen von Gleichungssystemen

Bin beim Umschachteln von auf Quatsch gestossen - oder nicht?

Habe ich das richtig verstanden, daß ein Gleichungssystem in Stufenform nicht eindeutig lösbar ist?

Ja, wenn es "echte", d.h. waagerechte Stufe mit Breite größer 1 gibt.--Gunther 23:54, 9. Jun 2005 (CEST)

Es ist eindeutig lösbar wenn jede Zeile genau eine Unbekannte weniger vorkommt (es auch in Dreiecksform ist). Wenn es nur in Stufenform ist ist es nicht eindeutig lösbar.--G 14:44, 10. Jun 2005 (CEST)

Und-Verknüpfung

Ich habe gerade gelesen ein lineares Gleichungssystem sei eine Und-Verknüpfung. Kann mir ein Verbandstheoretiker verraten, ob es eine entsprechende Oder-Verknüpfung gibt? Ich vermute etwas multiplikatives. An der Aufgabe sieht man die Und-Verknüpfung ganz gut ein. Vater und Sohn zusammen y und Vater x·mal so alt wie Sohn.--Roomsixhu 02:38, 17. Jul 2005 (CEST)

Lösungsmenge

"Das homogene Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Nullvektor die einzige Lösung („triviale Lösung“) ist." ist falsch: wenn x != x' (x, x' Lösungen des inhomogenen GS), dh das inhomogene System wäre nicht eindeutig lösbar, resultiert daraus dass das homogene System ebenfalls Lösung(en) != 0 hat da (x - x') Lösung des homogenen GS. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.171.229.75 (Diskussion • Beiträge) 20:22, 19. Okt. 2006)

Dann hat das homogene System aber mehrere Lösungen und ist nicht eindeutig lösbar. Man beachte das Wort eindeutig. --Squizzz 16:37, 23. Okt. 2006 (CEST)

Fehler Ax + b = 0

Es ist klar, dass nach Zusammenfassung in Vektoren und Matrix das Gleichungssystem

Ax = b

geschrieben werden kann. Umgeformt ergibt sich dann:

Ax - b = 0

Ich schlage vor, im Artikel die erste Form zu verwenden (Ax = b). Es wird nirgendwo im Artikel die Form Ax - b = 0 zur Erklärung benötigt. Akropolit 14:30, 6. Nov 2004 (CET)

nichtlineare Gleichungssysteme

Ich wurde von Gleichungssystem auf Lineares Gleichungssystem weitegeleitet. Wo werden nichtlineare Gleichungssysteme in der Wikipedia behandelt? --RokerHRO 12:15, 30. Jul 2006 (CEST)

Soweit ich weiß gibt es dazu noch keinen Artikel.--G 15:27, 4. Aug 2006 (CEST)

Den habe ich auch schon vermisst. Insbesondere, da lineare Gleichungssysteme vergleichsweise einfach zu lösen sind. Eine Übersicht über Lösungsverfahren (die verschiedenen Iterationsverfahren) nichtlinearer Gleichungssysteme wäre klasse, ich traue mir aber nicht zu, selbst so etwas zu schreiben Iridos 00:45, 8. Sep 2006 (CEST)

Ich möchte gerne noch mal darauf hinweisen! Ich bin auch dafür, dass ein Artikel über nichtlineare Gleichungssysteme angelegt wird. Ich habe selbst wenig Ahnung davon, aber es würde mich sehr interessieren! --84.178.55.138 21:00, 11. Mär. 2007 (CET)

überbestimmt, unterbestimmt, was denn nun?

Der Absatz

"Hat das Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte, so spricht man von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Hat es jedoch mehr Gleichungen als Unbekannte nennt man es ein überbestimmtes Gleichungssystem."

widerspricht sich mit dem Artikel zur Unterbestimmtheit. Dort heißt es

"Ebenso ist ein Gleichungssystem unterbestimmt, wenn die zweite Gleichung keine neue Bedingung enthält."

Demnach wäre folgendes Gleichungssystem nach dem einen Artikel unter- und nach dem anderen Artikel überbestimmt,

 (1)   2x - 3y = 5
 (2)   4x - 6y = 10
 (3)   6x - 9y = 15

denn es enthält ja mehr Gleichungen als Unbekannte -> überbestimmt, aber zu wenige Informationen für eine eindeutige Lösung -> unterbestimmt.

Da ich davon ausgehe, dass ein Gleichungssystem nicht gleichzeitig über- und unterbestimmt sein kann, sollte dieser Widerspruch beseitigt werden; zumal die widersprüchlichen Seiten auch noch untereinander verlinkt sind. --Skoepp 17:21, 15. Dez. 2006 (CET)

Ich habe noch einmal nachgeschlagen (im Bronstein) dort geht es nur um die Zahl der Gleichungen, es ist ja auch nicht immer gleich offensichtlich, ob eine Gleichung neue Informationen erhält.--G 23:39, 16. Dez. 2006 (CET)

Deswegen habe ich die fragliche Passage doch mittlerweile auf die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen erweitert und diesen Begriff vorsichtshalber auch erläutert. --PeterFrankfurt 00:07, 18. Dez. 2006 (CET)

So ist es auf jeden Fall nicht falsch, aber die Frage bleibt, wie es bei einem System ist, das nicht linear unabhängig ist.--G 10:53, 18. Dez. 2006 (CET)

Dann ist auf jeden Fall der Rang der Matrix kleiner, und damit ist es wahrscheinlich unterbestimmt. --PeterFrankfurt 20:50, 18. Dez. 2006 (CET)

Was ihr gerade tut ist, die durch die Literatur nicht gedeckte Begriffsbildung die in Unterbestimmt vorgenommen wird, auch noch weiter zu verbreiten. Ich habe es entsprechend wieder rueckgaengig gemacht. Letzterer Artikel sollte dringend ueberarbeitet oder geloescht werden. --P. Birken 14:28, 19. Dez. 2006 (CET)

Willst Du uns hier veräppeln? Im Artikel Unterbestimmt steht doch praktisch überhaupt nichts, jedenfalls nichts mathematisch fassbares. Die einfache Anzahl der Gleichungen ist komplett unwichtig. Nur relevant ist die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen, denn die kann man nicht zu Nullzeilen wegtransformieren. Das ist mathematisch exakt und nicht so wischiwaschi ungenau wie das, was jetzt wieder da steht. Wir wollen hier doch Präzision abliefern. --PeterFrankfurt 01:45, 20. Dez. 2006 (CET)

Wir halten wir uns an das, was in den Lehrbüchern steht. Dein Text kommt rein, wenn Du belegen kannst, dass dies so in der Literatur verwendet wird. Was aktuell da steht ist eine saubere Definition von unterbestimmten und überbestimmten linearen Gleichungssystemen. Wir wollen hier nämlich keine Definitionen erfinden. --P. Birken 08:33, 20. Dez. 2006 (CET)

Wenn sich eine oder mehrere Gleichungen als Linearkombinationen anderer Gleichungen erweisen, so können eine oder mehrere Gleichungen gestrichen werden, ohne das sich an der Lösungsmenge etwas ändert. Es können so lange Gleichungen gestrichen werden, so lange noch Linearkombinationen möglich sind. Je nachdem der Zahl der übrigbleibenden Gleichungen ist dann das Gleichungssystem unterbestimmt, eindeutig oder überbestimmt. --Physikr 17:58, 20. Dez. 2006 (CET)

Hallo Physiker, das man linear abhängige Gleichungen streichen kann ist glaub' ich allen klar. Es geht darum wie man normalerweise überbestimmt/unterbestimmt definiert und die Definition, wie sie in überbestimmt steht habe ich noch nicht gesehen. Sondern

• überbestimmt="mehr Gleichungen als Unbekannte"
• unterbestimmt="weniger Gleichungen als Unbekannte"

So steht's auch im oben zitierten Bronstein. Grüße --Mathemaduenn 20:15, 20. Dez. 2006 (CET)

Ich hab nochmal Bücher gewälzt: die meisten Bücher erwähnen den Begriff gar nicht, sondern beschäftigen sich nur mit der Lösungstheorie, die mit Anzahl der Unbekannten und Gleichungen natürlich nur mittelbar zu tun hat. Einzige Ausnahme ist Mackens & Voss, Mathematik I für Ingenieure, die es so definieren wie es jetzt im Artikel steht, also rein über die Zahl der Gleichungen und Unbekannten. Es ist vielleicht die Frage, ob man das ganz aus der Einleitung rausnimmt und statt dessen die Lösungstheorie etwas stärker anschneidet. --P. Birken 21:05, 20. Dez. 2006 (CET)

Quelle: Mathe-Kursvorlesung 3. Semester "Lineare Algebra", Unterthema "lineare Abhängigkeit" (zu meiner Uni-Zeit). Es ist ja im Unterkapitel "Lösungsmenge" schon angedeutet, wenn auch nur zart, dass eben diese Linearkombinationen von Zeilen erlaubte Transformationen einer Matrix sind. Einerseits benutzt man sie, um eine Matrix zwecks Lösung auf Dreiecks- oder Diagonalform zu bringen. Andererseits kann man am Ergebnis dieser Umformungen auch den Rang der Matrix ablesen, und das ist nichts anderes als die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen dieses Systems. Nur ein anderer Ausdruck. Nochmal: Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem = irrelevant. Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen = Rang der Matrix = Anzahl der nicht verschwindenden Diagonalelemente (nach Umformung in Diagonalmatrix) = relevant. Noch ein weiterer Ausdruck wäre die Abhängigkeit von der Determinante: Wenn die Determinante Null ist = wenn Rang der Matrix kleiner Unbekanntenzahl, dann unterbestimmt. Das ist elementare Mathematik. Da ich eigentlich Physik studiert habe, kann ich im Augenblick keine Seitenzahl in einem Mathebuch liefern, aber vielleicht kann einer der Kollegen dem Ungläubigen und Unwissenden hier aushelfen? - Die Wikipedia bildet ja, gerade merke ich erst, dass wir ja einen Artikel "Lineare Unabhängigkeit" haben! Sorry, dass ich den bisher übersehen habe. Fall also belegt, geklärt, ich reverte also mal wieder. --PeterFrankfurt 22:51, 20. Dez. 2006 (CET)

Hallo PeterFrankfurt, kleine Korrektur den Ungläubigen ;-) Wie weiter oben schon gesagt Standard ist eben:

• überbestimmt="mehr Gleichungen als Unbekannte"

Sinnhaftigkeit ist dabei erstmal zweitrangig. Um allerdings keine andere Definition für nichtlineare Gleichungssysteme zu verwenden oder aber gleich zu Beginn komplizierte Lösungstheorien für diese Art der GS einzuführen würde ich das auch für sinnvoll halten. Generisch sind diese Formulierungen ohnehin oft äquivalent. Noch ein paar Literaturquellen zum Nachschauen(steht überall im index):

• Martin Hanke-Bourgeois, Grundlagender numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens, Teubner (2002)
• Golub van Loan, Matrix Computations, North Oxford Academic Publishers (1983)("overdetermined systems")
• Kielbasinski/Schwetlick, Numerische lineare Algebra, Deutscher Verlag der Wissenschaften (1988)
• Schwarz/Köckler Numerische Mathematik(2004) Seite 271(linear)
• Deuflhard/Hohmann Num.Math. (1993) Seite 107(nichtlinear)

Die Verlinkung habe ich entfernt und die Begriffe aus der Einleitung rausgenommen. Hier sollte man tatsächlich eher kurz zur Lösbarkeit was sagen. Weil das eben wichtiger ist. Grüße --Mathemaduenn 10:51, 21. Dez. 2006 (CET)

Kannst Du das bitte lassen und auch mal gucken, was Du da eigentlich tust? Darüberhinaus ist eine Mathekursvorlesung keine akzeptable Quelle, da sie nicht nachprüfbar ist. Im Gegensatz dazu wurde in zwei anderen Werken die aktuelle Fassung verifiziert. Nochmal: es geht hier nicht um Sinn und Unsinn, es geht nur um die Frage wie ein Begriff definiert ist. Recht hast Du, dass der Begriff so wie er laut Literatur gebräuchlich ist, nicht so wichtig ist. Das heißt aber nicht, dass wir hier einfach den Begriff umdefinieren, sondern dass wir dann einfach dem Thema weniger Raum im artikel geben sollten. All das wurde auch shcon in dieser Diskussion genannt. --P. Birken 23:42, 20. Dez. 2006 (CET)

Hier ist Hartnäckigkeit nötig. Wenn Lehrbücher solche Sachverhalte zum Zweck des einfacheren Verstehens erstmal lax formulieren, ist das deren Problem. Wenn man dort weiter liest, wird man irgendwann auf den Folgeseiten auf die Vervollständigung und Präzisierung der Aussagen treffen, ansonsten sollte man so ein Buch schnellstens entsorgen. Nochmal: Es gibt solche Gleichungen und solche. Die, die im Ausgangssystem stehen, können so zahlreich sein, wie sie wollen, das zählt am Ende nur dann, wenn sie untereinander linear unabhängig sind.

Konkretes Beispiel:

1*x1+1*x2+1*x3=2
1*x1-1*x2+1*x3=0
3*x1-1*x2+3*x3=2

Dies sind scheinbar (aber eben nur scheinbar) 3 Gleichungen für 3 Unbekannte, also sollte es nicht unterbestimmt sein. Bei genauerem Hinsehen stellt sich aber heraus, dass die dritte Gleichung dadurch entstanden ist, dass zur ersten das Doppelte der zweiten addiert wurde. Wenn man das rückgängig macht, fällt die dritte Zeile auf lauter Nullen zusammen. Also sind es nur zwei linear unabhängige Gleichungen. Das System ist definitiv unterbestimmt. Das kann man aber erst entscheiden, nachdem man die lineare Unabhängigkeit verifiziert hat und niemals vorher, sonst riskiert man einen Fehler. - Bekommt jetzt jemand mit, was ich meine? - Ich sträube mich einfach dagegen, in der aktuellen Form einfach von "Gleichungen" zu sprechen. Das ist nach obiger Betrachtung einfach zu wenig aussagekräftig. Und außerdem ist dieses Problem unter dem Lemma Lineare Unabhängigkeit (und dort dem Unterkapitel "Lineare Gleichungssysteme") genau so abgehandelt, wie ich es hier auch erbitte. Dort ist es korrekt, dann sollte man das bei diesem Artikel hier auch noch hinkriegen. Bitte. --PeterFrankfurt 02:48, 26. Dez. 2006 (CET)

Was Du schreibst, wird auch durch Wiederholung nicht richtiger. Es geht hier nicht um Sinn und Unsinn, sondern darum, wie Begriff in der Literatur, nicht von Dir definiert werden. Es ist nicht das erste mal, dass Du in mathematischen Artikeln irgendwas reinschreibst, was Deiner persönlichen Sicht der Dinge und nicht der der Fachwissenschaft entspricht und ich möchte Dich bitte, das endgültig zu lassen. --P. Birken 16:03, 27. Dez. 2006 (CET)

Na, na, na, es geht doch nicht um mich. Es geht um die Logik. Es geht nicht um Geschmack. Wenn mir nachgesagt wird, meine Formulierung sei "nicht richtig", dann streite ich das ab. Und ich akzeptiere als Entgegnung keine Zitate, sondern nur mathematische Argumente, s. u. Wenn hier in einem Mathematik-Artikel die Logik so eklatant verletzt wird, dann muss man diesen Fehler gefälligst schnellstmöglich korrigieren. Nochmal für kleine Hände: Wenn man der derzeitigen Formulierung folgt - dass es allein auf die Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem ankäme, ob ein System eindeutig, unter- oder überstimmt sei - bekommt man in dem von mir eben angeführten Gegenbeispiel heraus, dass dies zu der fehlerhaften Aussage führt, dass obiges System eindeutig lösbar sei. In Wirlichkeit ist es aber unterbestimmt. Ein eherner Grundsatz in der Mathematik lautet: ein Gegenbeispiel genügt. Also ist die derzeitige Formulierung falsch. Grottenfalsch. Und das steht hierdurch fest, vollkommen egal was in irgendwelchen noch so renommierten Büchern steht. Wo soll an dieser Argumentation was falsch sein? Die lässt sich doch nachvollziehen. Und wenn ein Lehrbuch diese Formulierung wirklich so (und ohne folgende Präzisierung, die hier evtl. verschwiegen wurde) aufstellen sollte, dann auf den Kehrricht mit diesem Buch. In meiner Vorlesung kam es jedenfalls richtig. Nachprüfbar richtig. Es gibt also auch jene Formulierung außerhalb meines Hirns. Hier in der Wikipedia muss bitteschön mathematisch korrekt formuliert werden und nicht Millionen Fliegen gefolgt werden, die sich ja wohl nicht irren können. Es handelt sich hier doch um einen Sachverhalt, den jeder mit etwas mathematischer Grundbildung nachvollziehen kann und mir eigentlich recht geben muss. Wenn Ihr das wirklich ernsthaft verweigert, dann muss man an der Menschheit (ver)zweifeln. --PeterFrankfurt 21:49, 27. Dez. 2006 (CET)

Äh, noch ein Punkt. Die Rede ist hier immer von "Definition" und "Begriffsbildung", als ob es bei eindeutig/unter-/überbestimmt um eine willkürliche Festlegung ginge. Das ist ja wohl nicht der Fall. Es handelt sich um einen harten Sachverhalt, der für jedes Gleichungssystem ermittelt werden kann (hoffentlich von den meisten Mitlesern hier). Und eine sinnvolle Definition muss ja wohl dem Sachstand nach Ermittlung aller Details gerecht werden. Eine Definition, die nur auf den äußeren Anschein abhebt (Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem), ist da m. E. fehl am Platze, weil sie dann wie im obigen Beispiel von der Realität als falsch entlarvt werden könnte. Solche fehleranfälligen Begriffe muss man meiden wie die Pest. --PeterFrankfurt 22:03, 27. Dez. 2006 (CET)

Ah! Erfolg auf der ganzen Linie. Oben haben ein paar Leute den Bronstein zitiert, und zwar falsch! Ich habe meinen endlich wieder hervorgeholt und nachgeschlagen. Ok, er ist 9. Auflage von 1969, aber an diesem Teil der Mathematik hat sich ja wohl seitdem nichts geändert. Es ist genau so, wie ich es schon vermutet habe: Wenn man weiterliest, wird es vollkommen präzise, vollständig und korrekt, mit anderen Worten so, wie ich es haben möchte. Ok, er verwendet eine noch andere Begriffswahl: eindeutig, unlösbar (=überbestimmt) und unbestimmt (=unterbestimmt). Man möge sich folgenden Auszug aus dem Bronstein auf der Zunge zergehen lassen: "Ein Gleichungssystem der Form (**) wird wie folgt gelöst: Wir bestimmen den Rang r der Matrix..." Mein Reden seit ein paar Tagen. - Jetzt geht es mir besser. Lest also bitte alle die Quellen ein bisschen sorgfältiger und baut endlich die Erweiterung wieder ein, die ihr mir immer wieder weggestrichen habt. Sie ist vom Bronstein voll bestätigt. Falls Ihr dem mehr vertraut als mathematischem Sachverstand. --PeterFrankfurt 00:09, 28. Dez. 2006 (CET)

Mein neuer Bronstein erwähnt die Begriffe ueberhaupt nicht. Ansonsten siehe die weiteren Literaturangeben von mir und Mathemaduenn. --P. Birken 21:59, 28. Dez. 2006 (CET)

Bronstein 6. Auflage, 2005: S. 286 (4.116): Als Überschrift "Überbestimmte Gleichungssysteme", dann "...besitze eine rechteckige Koeffizientenmatrix (...) Wegen m >=n spricht man von einem überbestimmten System", wobei m die Zahl der Zeilen und n die Zahl der Spalten angibt. --G 01:05, 5. Jan. 2007 (CET)

Mich würden halt noch brennend die zwei, drei Sätze davor und dahinter interessieren. Kannst Du die womöglich auch noch zitieren? --PeterFrankfurt 03:18, 5. Jan. 2007 (CET)

Auf Lösbarkeit wird vorher eingegangen(zumindest wenn es die Version des Harri Deutsch Verlages ist und sich seit 1995 nichts geändert hat.) Genau wie jede der genannten Quellen auf Lösbarkeit eingeht(vermutlich da bin ich jetzt zu faul zum nachschauen alternativ als bekannt vorausgesetzt). Das ist aber nicht der Punkt. Der Punkt ist ein lineares Gleichungssystem heißt:

• eindeutig lösbar wenn es eine eindeutige Lösung gibt.
• nicht lösbar wenn es keine Lösung gibt.
• unbestimmt wenn es mehrere Lösungen gibt.
• quadratisch wenn die Anzahl der Gleichungen mit der der Unbekannten übereinstimmt.
• überbestimmt wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt.
• unterbestimmt wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt.

Das Fachbegriffe nicht unbedingt der normalen Sprachlogik folgen ist vllt. nicht schön ist aber eben so. Es sind Festlegungen die sich wohl als praktisch erwiesen haben. Imho aus dem von G genannten Grund. Das Gleichungssysteme linear abhängige Zeilen haben läßt sich in Gleitkommarechnung ohnehin nicht entscheiden da jede Störung (fast sicher) daraus unabhängige Zeilen macht. Grüße --Mathemaduenn 08:44, 5. Jan. 2007 (CET)

Ich denke auch, dass unterbestimmt und überbestimmt zunächst mal die allgemein gehaltenen Definitionen über die Gestalt der Koeffizientenmatrix sind. Was es da nun für spezielle Folgen, etwa Inkonsistenz oder Lösbarkeit bei überbestimmten GS gibt, kann man dann entsprechen analysieren, ja nach Rang der Matrix. --Diabas 12:41, 5. Jan. 2007 (CET)

Die Definition ist ein eigener Abschnitt. Davor wird der Gaußsche Algorithmus, danach das Lineare Quadratmittelproblem behandelt, wobei da nicht zu unserem Thema drinnen steht.--G 00:01, 8. Jan. 2007 (CET)

Ich fasse mal zusammen.

Die gebräuchliche Definition scheint zu sein:

Ein LGS mit n Gleichungen und m unbekannten heißt

• überbestimmt, wenn n>m
• unterbestimmt, wenn n<m

Die intuitive sprachliche Deutung der Begriffe

• "überbestimmt = zu viele Informationen, also nicht lösbar"
• "unterbestimmt = zu wenige Informationen, also unendlich viele Lösungen"

oder eine Festlegung auf "linear unabhängige" Gleichungen entspricht damit nicht der gängigen mathematischen Definition und ist damit hier nicht zulässig.

Es bleibt lediglich die folgende relativ schwache Aussagen über die Lösbarkeit des LGS:

"LGS unterbestimmt" folgt "LGS nicht eindeutig lösbar (d.h. gar keine oder unendlich viele Lösungen)"

Aus "überbestimmt" folgt ohne weitere Informationen keine Aussage über die Lösungsmenge. In der Praxis führen solche Systeme in der Regel jedoch zu keiner exakten Lösung -> Ausgleichsrechnung. --Skoepp 20:44, 14. Jan. 2007 (CET)

Entscheidend ist der Rang r der Matrix und damit die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungssysteme. Die Anzahl der Gleichuzngssysteme ist völlig uniteressant!!!!!

• Wenn $\left(r<m\right)\land \left(\exists b_{i}\neq 0\ \forall i>r\right)$ ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Ansonsten ist es lösbar.

Ist das Gleichungssystem lösbar, werden die Zeilen $\left(r+1\right)\cdots n$ nicht benötigt, da diese in der Halbdiagonalform nur aus Nullen bestehen. Bei Lösbarkeit des Gleichungssystems gilt weiter:

• Wenn $r=n$ ist das System eindeutig lösbar.
• Wenn $r<n$ hat das System unendlich viele Lösungen, wobei der Lösungsraum genau $n-1$ Dimensionen besitzt.

MovGP0 22:01, 27. Mär. 2007 (CEST)

Da waren wir schon etwa 10 Kb Text weiter oben. Neue Argumente? --Mathemaduenn 22:24, 27. Mär. 2007 (CEST)

PeterFrankfurt hat recht. Alles andere ist falsch. Aber als ordentlicher Mathematiker nimmt man einen Beweis, welcher etwa auch durch einen Gegenbeweis erbracht werden kann. Ich mache das im Folgenden so einfach wie möglich, damit es jeder versteht.

Beweis

${\begin{matrix}x+y=4\\x+y=4\end{matrix}}$

Sind zwei Gleichungen, aber nur eine linear unabhängige Gleichung. Obwohl man also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte hat, kann man das Gleichungssystem nicht eindeutig lösen. Damit ist bewiesen, dass nicht die Anzahl der Gleichungen (sondern die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen) relevant ist.

Da es bewiesen ist, dass mathematische Beweise dieser Art unantastbar sind, bin ich auf deine Gegenargumentation gespannt.

MovGP0 23:12, 27. Mär. 2007 (CEST)

Ganz einfach es geht nicht um einen Beweis sondern um eine Definition viele Grüße --Mathemaduenn 23:34, 27. Mär. 2007 (CEST)

Blödsinn: Eine allgemein anerkannte Definition, die einen fehlerhaften Sachzusammenhang herstellt, musst man mir in der Mathematik erst mal zeigen. --PeterFrankfurt 02:37, 28. Mär. 2007 (CEST)

ICh hoffe das ist mal eine schwer umzuinterpretierende Quelle --Mathemaduenn 12:34, 28. Mär. 2007 (CEST)

Leider kann ich da nichts sehen, da ich keinen Account bei Google habe und auch zögere, einen einzurichten. Aber aus den zwei der früher angeführten Literaturstellen, die ich bisher einsehen konnte, schließe ich mal, dass auch diese hier einfach falsch interpretiert wurde; jene zwei unterstützen eindeutig meine Sicht der Dinge: seitenlange Vorreden mit Warnungen, dass man vor jeder Aussage erst den Rang der Matrix und des GS bestimmen muss, und dann, viel später, kommen irgendwann die Begriffe unterbestimmt und überbestimmt. Für diese gelten also auch jene kompletten Vorreden, man darf sie mitnichten aus dem Zusammenhang reißen. --PeterFrankfurt 14:21, 28. Mär. 2007 (CEST)

Welche Quellen sind das? --Mathemaduenn 15:30, 28. Mär. 2007 (CEST)

Bronstein und der Auszug aus "Numerical Recipes in C: The Art of Programming", den Du mir mal geschickt hattest. --PeterFrankfurt 18:23, 28. Mär. 2007 (CEST)

Dann hat sich ja nichts geändert zum einen der alte Bronstein in dem die Begriffe nicht auftauchen und zum anderen der link mit folgendem Zitat zu overdetermined: "In the opposite case there are more equations than unknowns,M >N. When this occurs there is, in general, no solution vector x to equation (2.0.1), and the set of equations is said to be overdetermined." --Mathemaduenn 20:30, 28. Mär. 2007 (CEST)

Wie ich es gesagt habe, nicht vollständig gelesen. Wenn man das Zitat zwei Absätze vorher beginnt, steht dort "If M < N, or if M = N but the equations are degenerate, then there are effectively fewer equations than unknowns." Das ist aber sowas von haargenau das, wovon ich immer rede. Erst dann kommt jener Satz oben, zu dem das zuletzt Zitierte also mit zur Voraussetzung gehört: Man muss die effektive Anzahl der Gleichungen betrachten, also die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen des GS. q.e.d., Punkt für mich. --PeterFrankfurt 02:22, 29. Mär. 2007 (CEST)

Die Verwendung des Wörtchens overdetermined bleibt davon unberührt oder steht da "im Folgenden werden wir stets lin. unabhängige Gleichungen annehmen"? --Mathemaduenn 10:49, 29. Mär. 2007 (CEST)

Ja natürlich. Wie ich es formulierte, "seitenweise Voraussetzungen, die ab da auch für die folgenden Aussagen gelten". An einem einzelnen Absatzende ist ja nicht der Text zuende. Also gelten die Einschränkungen, die zwei Absätze vorher gemacht werden, auch noch an der Stelle mit dem overdetermined. Da fängt ja zwischendurch kein neues Kapitel an. Das ist für mich eindeutig. - Nochmal: Nirgendwo in der Mathematik geht man (bisher, Ihr wollt das ja anscheinend ändern) so vor, dass man sagt, na ja, pappen wir erstmal einen Namen an die Sache, wird schon grob stimmen, und wenn wir nach genauerem Hinsehen das Gegenteil finden, ändern wir halt die Beschriftung. Nein, da geht von vornherein so exakt wie nur irgend möglich vor. Und das wird in diesem Text ja auch gemacht. Es werden reihenweise die Voraussetzungen und Aspekte erläutert, die beachtet werden müssen. Immer. Und danach fällt das Stichwort overdetermined. Und da soll man all diese Vorreden schon wieder weggeschmissen haben? Also nee. --PeterFrankfurt 18:17, 29. Mär. 2007 (CEST)

Wenn die Vorausetzungen im Folgenden gelten sollen sagt das jeder gewissenhafte Autor mit dazu. Siehe das unten von MovGP0 zitierte. --Mathemaduenn 09:59, 30. Mär. 2007 (CEST)

Aber doch nicht alle drei Zeilen. Das wird im Fließtext als lebenswichtig zu beachtende Bedingung erläutert und ist dann ein paar Zeilen später innerhalb desselben Kapitels natürlich immer noch gültig. So eine Selbstverständlichkeit muss keinesfalls jedesmal wieder neu aufgeführt werden. --PeterFrankfurt 17:03, 30. Mär. 2007 (CEST)

Sicher nicht alle 3 Zeilen sondern nur einmal wie unten eben "Im folgenden wird dies stets vorausgesetzt." Wird aber nicht gemacht. --Mathemaduenn 18:27, 30. Mär. 2007 (CEST)

Ich hab mich mit meinem Datenkraken-Google-Account eingeloggt und mir das Buch angesehen. Ich zitiere Abschnitt 2.3 auf Seite 33:

Wir betrachten wieder ein lineares Gleichungssystem Ax = b, lassen aber zu, daß mehr Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind, also A ∊ ℝ^m×n, b ∊ ℝ^m mit m > n gilt. Solche Systeme nennt man überbestimmt.

aber auf der selben Seite findet sich einen Absatz weiter unten

Falls die Spalten von A linear unabhängig sind, …. Im folgenden wird dies stets vorausgesetzt.

Somit möchte ich behaupten, dass das Buch einfach nur schlecht gegliedert ist, da ebendiese Vorraussetzung bereits einen Absatz früher angenommen wurde. — MovGP0 22:57, 28. Mär. 2007 (CEST)

Nachtrag: Es gibt in der Mathematik keine Definition ohne Beweis! Es geht also sehr wohl um Beweisführung. Alles was in der Mathematik nicht bewiesen ist ist eine Vermutung und keine Definition. — MovGP0 23:55, 28. Mär. 2007 (CEST)

"schlecht gegliedert". Soso.Naja da braucht ich ja nix erwidern. Oder ist das Buch nach WP:QA nicht als Referenz geeignet. --Mathemaduenn 10:49, 29. Mär. 2007 (CEST)

Das Problem ist wohl, dass sich sowohl Quellenangaben finden lassen, welche die eine Sichtweise vertreten, als auch Quellen, welche die andere Sichtweise vertreten. Allerdings scheint die Variante welche die Bestimmtheit andhand der Lösbarkeit definiert etwa in Webforen häufiger verbreitet zu sein. Interessant ist es etwa dieses Beispiel, bei dem die Definition der Bestimmtheit unter der Überschrift Lösbarkeit firmiert.

SVL schlägt einen Konsens vor, bei dem beide Varianten im Text Erwähnung finden sollten. Ich bin aber nicht sicher ob das sinvoll ist, da sich beide Varianten ausschließen und man meiner Meinung nach eine Variante bevorzugen müsste. — MovGP0 23:32, 12. Apr. 2007 (CEST)

Vater und Sohn

Ja, und wie löst man jetzt das Rechen-Beispiel unter Matrix - Einsatz? Könnter das noch eben mit einfügen, daß man auch als mäßiger Mathematiker was davon hat? Thx. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.182.175.82 (Diskussion • Beiträge) 10:56, 17. Jul. 2005)

Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Der Abschnitt "Loesungsverfahren" wird bestimmt noch erweitert werden. --DaTroll 16:28, 19. Jan 2006 (CET)

Super, vielen Dank!(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.57.136.32 (Diskussion • Beiträge) 17:45, 19. Jan. 2006)

Coppersmith-Winograd-Algorithmus / 'untere Schranke'

2 Möglichkeiten: Ich hab ein Brett vor dem Kopf oder es sollte 'obere Schranke' heissen. Im ersteren Fall bitte kurz das Brett wegreissen, sonst bitte korrigieren: Wenn in der entsprechenden Arbeit steht, dass es einen Algorithmus gibt, der ein LGS in O(n^2,376) löst, ist es doch 'mathematisch langweilig', einen langsameren Algo zu finden, zumal es davon beliebig viele geben dürfte. Eher dürften sich die Gelehrten auf das Problem stürzen, einen Algorithmus mit einer Komplexität < O(n^2,376) zu finden. Grüßle, --Gnu1742 09:57, 12. Nov. 2007 (CET)

Anmerkung: oberer Beitrag war ursprünglich durchgestrichen. -- Emdee 15:34, 26. Aug. 2008 (CEST)

Neue Beiträge

Ich habe die neuen Beiträge erstmal zurückgesetzt: i) In mathematischen Artikeln bitte nicht \vec etc verwenden. Siehe dazu auch Diskussion:Vektor. ii) Das Beispiel bringt IMHO keinen Mehrwert für diesen Artikel. Es erklärt das Gauß-Verfahren, das sollte aber im Artikel zum Gauß-Verfahren passieren und nicht hier. Darüberhinaus ist der Abschnitt einfach nur dazugeklatsche und sortiert sich nicht in den Artikel ein. Vorstellbar wären IMHO ganz knappe Beispiele beim Abschnitt zur Lösbarkeit, dann aber nur die Form zeigen, an der man das direkt ablesen kann. iii) Für den Abschnitt zur Trapezform gilt dasselbe, er ordnet sich nicht in den Artikel ein, darüberhinaus ist es fraglich, wieso das überhaupt gebracht wird: Trapezform ist ein eher unüblicher Begriff. --P. Birken 15:45, 18. Mär. 2007 (CET)

1. Die Vektorschreibweise mit dem Pfeil wende ich nur zur besseren Unterscheidung an, grundsätzlich verwende ich die korrekte Fettschreibweise. Kursivschrift ist jedenfalls falsch.
2. Genau genommen basiert die Lösung der Beispiele auf verschiedenen Lösungsalgorithmen - hier wollte ich vor allem auf die Lösbarkeit eingehen, da diese wie ich finde nicht gut beschrieben ist.
3. Einen Eintrag bei Gauß-Algorithmus hielt ich nicht richtig, da wie gesagt das Beispiel verschiedene Algorithmen verwendet.
4. Den Begriff "Trapezform" hab ich vom Mathe-Professor übernommen. Wie gut, dass ich auch den Begriff "Halbdiagonalform" erwähnt habe. Man kann ja in den Artikel schreiben, dass der Begriff "Trapezform" eher selten verwendet wird. Ich glaube aber der Begriff sollte der Vollständigkeit halber erwähnt werden.
5. Das sich der Abschnitt nicht gut eingliedert mag daran liegen, dass ich die Matrixschreibweise benutze und der Artikel eine Polynomschreibweise verwendet. Ich wage jedoch zu behaupten, dass die Matrixschreibweise professioneller ist.
6. Mein Vorschlag: Gliedern wir die Beispiele in einen Unterartikel aus.
7. Zweiter Vorschlag: Gliedern wir die Beispiele wieder ein, aber für den Lösungsweg verweisen wir auf den entsprechenden Artikel.

MovGP0 16:34, 18. Mär. 2007 (CET)

Ich bin auf jeden Fall gegen die Matrixschreibweise, das ist vielleicht professioneller, aber hier sollten wir die einfachere Schreibweise benutzen. Beispiele schaden sicher nicht, vielleicht könnte man sie etwas kürzen.--G 17:41, 18. Mär. 2007 (CET)

Seltsam. Ich halte die Matrixschreibweise für einfacher, da sie ungemein weniger Arbeit macht. Und ich sage das, obwohl ich selbst die Matrixschreibweise erst seit dieser Woche verstehe und bisher immer mit Polynomen herumgerechnet habe.

Kürzen kann man die Beispiele einfach, indem man nicht den ganzen Rechengang notiert, sondern nur die Zwischenergebnisse.

MovGP0 18:04, 18. Mär. 2007 (CET)

i) Nein, das ist Unsinn. ii) Lösbarkeit gehört zum Abschnitt Lösbarkeit, nicht in Beispiele. iii) Wie Du ja inzwischen selbst sagst, sind die Rechnungen hier nicht unbedingt angebracht. iv) Auch Halbdiagonalform ist nicht gebräuchlich. Ich möchte Dich übrigens bitten, nicht alles, was Du gerade in der Vorlesung gehört hast, in die Wikipedia zu schreiben. v) Nein, das liegt daran, dass Du einfach ohne zu gucken neue Abschnitte einfügst. vi) Unterartikel mit Beispielen sind löschwürdig. vii) Ich mach mal was. --P. Birken 08:58, 19. Mär. 2007 (CET)

1. Das mit dem Vektorpfeil bitte in der Vektordiskussion diskutieren. Solange kein Konsens gefunden wird musst du es aktzeptieren, dass es keinen Konsens gibt.
2. Na gut - das lässt sich machen.
3. k
4. Es stört mich nicht, dass es nciht gebräuchlich ist solange es nicht falsch ist. Übrigens lernt man in der Vorlesung interessante Dinge, die sicher auch den einen oder anderen Wikipedia-Leser interessieren. Natürlich muss man abwägen ob es sinnvoll ist etwas einzupflegen - aber in diesem Fall bin ich mir sicher.
5. k - ist sicher Geschmackssache. Aber wie gesagt, ich bin auch damit einverstanden die Beispiele weiter oben einzupflegen.
6. neuer Vorschlag: verschieben in die Wikiversity und verlinken.
7. bin gespannt

MovGP0 18:23, 19. Mär. 2007 (CET)

Zum Rechnen ist sicher die Matrixschreibweise besser, im Artikel eher nicht.--G 23:41, 19. Mär. 2007 (CET)

warum nicht beides? MovGP0 17:54, 20. Mär. 2007 (CET)

Weil man nicht wissen muß, was eine Matrix ist um zu verstehen was ein lineares Gleichungssystem ist. Beides geht aber auch. viele grüße --Mathemaduenn 20:40, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die gleiche Meinung wird scheinbar auch im Vermittlungsausschuss von SVL bevorzugt. Ich werde die Matrizendarstellung also wieder hineinnehmen. Gegen Verbesserungsvorschläge habe ich selbstverständlich nichts einzuwenden. — MovGP0 23:45, 12. Apr. 2007 (CEST)

Stufenform

In Koecher^{<ref name="Koecher1997">Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 4. Auflage, Springer-Verlag, 1997.</ref>} wird unter Stufenform etwas anderes verstanden. Bei ihm können reelle Matrizen durch eine orthogonale Trafo immer auf Stufenform gebracht werden. Dazu müssen auch 2x2-Blöcke auf der Diagonalen zugelassen werden.--TN 22:17, 26. Mär. 2007 (CEST)

Gerade fällt mir ins Auge, dass hier unter ferner liefen auch der Begriff "Staffelform" fällt. Aha, das passt doch zu der Staffelrechnung, die ich vor längerer Zeit mal ins Spiel gebracht hatte. Anscheinend bin ich doch nicht der einzige auf dieser Welt, der diesen Terminus schon mal bei Gleichungssystemen gehört hat :-). --PeterFrankfurt 17:21, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die "Trapezform" kann ich mit dem Denecke^{<ref name="Denecke2003">Klaus Denecke, Algebra und diskrete Mathematik für Informatiker, Teubner Verlag 2003, Seite 115, ISBN 3519027496</ref>} und die "Halbdiagonalform" mit Burg-Haf-Wille^{<ref name="Burg-Haf-Wille2002">Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Höhere Mathematik für Ingenieure, Band 3, Teubner Verlag 2002, Seite 192, ISBN 3519329573</ref>} und notfalls noch mit den mathematischen Analen^{<ref name="mathematischen Analen">Bartel Leendert Waerden, Carl Neumann, Otto Blumenthal, Mathematische Annalen, Stanford University 1918 und Springer 1937, Seite 636</ref>} belegen und es hat mir trotzdem nichts genützt. MovGP0 18:44, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die „Zeilenreduzierte Form“ fehlt übrigens auch. Das ist übrigens ein Gleichungssystem der Form

${\begin{pmatrix}1&*&*&*&*\\0&1&*&*&*\\0&0&1&*&*\\0&0&0&1&*\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

— MovGP0 18:06, 15. Apr. 2007 (CEST)

Vermittlungsausschuss

Da es hier viele Unstimmigkeiten und einen EditWar gibt -- bei dem sämtliche Korrekturen am Artikel revertiert werden -- und ich nicht länger zusehen möchte, wie ausgerechnet ein Mitglied des Wikimedia-Vorstands unsachlich handelt, habe ich mich an den Wikipedia:Vermittlungsausschuss gewendet um das Problem regulär zu lösen. Ich hoffe, dass dies im Sinne aller ist. — MovGP0 18:37, 30. Mär. 2007 (CEST)

von meiner Diskussionsseite:

Und wer soll vermitteln? --Mathemaduenn 19:33, 30. Mär. 2007 (CEST) Das soll mir egal sein. Aber es muss wohl jemand sein der (a) neutral ist und (b) sich gut mit Mathematik auskennt. — MovGP0 20:30, 30. Mär. 2007 (CEST) Naja dann such Dir halt einen raus. --Mathemaduenn 20:44, 30. Mär. 2007 (CEST) SVL scheint die meiste Erfahrung zu haben, allerdings ist er Versicherungsmathematiker und daher vermutlich nicht ganz auf dem mathematischen Level der benötigt würde. Vermutlich wäre es besser einen der User zu fragen, die sich mit Tensorrechnung oder Determinanten auskennen, da dies Artverwandte Artikel sind. Deshalb dachte ich ursprünglich an User:Gunther (mit dem auch ich so meine Auseinandersetzungen hatte und deshalb sicher neutral gewesen wäre), aber der ist leider inaktiv. — MovGP0 20:58, 30. Mär. 2007 (CEST)

— MovGP0 20:58, 30. Mär. 2007 (CEST)

SVL ist doch O.K. Um soviel Mathematik gehts nun auch wieder nicht. --Mathemaduenn 21:01, 30. Mär. 2007 (CEST)

Eine Nachfrage bei SVL hat ergeben, dass er nächste Wo. auf Geschäftsreise ist. Wir haben also zwei Möglichkeiten:

1. wir suchen jemand anderen
2. wir warten eine Woche

Beide Möglichkeiten finde ich aktzeptabel. — MovGP0 15:22, 31. Mär. 2007 (CEST)

Zeit ist imho genug da. Also reicht 2.--Mathemaduenn 12:26, 2. Apr. 2007 (CEST)

Eilig habe ich es auch nicht. --PeterFrankfurt 00:47, 3. Apr. 2007 (CEST)

Artikelsperre

Ich habe den Artikel jetzt erstmal vollgesperrt; und falls jemand an einer einfachen Problemlösung interessiert ist: In Matheartikeln sind Mathematiker die Experten. Wenn diese darlegen, warum bestimmte Änderungen falsch/unsachlich/undidaktisch/etc. sind, dann wird dem wohl auch so sein. Man muss darauf nicht mit einer künstlichen Debatte reagieren, sondern das einfach anerkennen. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 12:46, 13. Apr. 2007 (CEST)

Anmerkung: die anderen sind aber auch Mathematiker... — MovGP0 13:18, 13. Apr. 2007 (CEST)

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass diese gemeinsam an Artikeln arbeiten und sich aufgrund ihrer fachlichen Ausbildung schnell auf die richtigen Versionen einigen können. Vermittlungen sind eigentlich immer nur dann nötig, wenn sich interessierte Laien an Artikeln versuchen. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 13:25, 13. Apr. 2007 (CEST)

Nachdem der Vermittlungsausschuss zum linearen Gleichungssystem zumindest die Einbringung der Matrizen (mit Veränderungen) gebilligt hat möchte ich darum bitten den Artikel für eine erneute Überarbeitung wieder freizugeben.

Ich schlage zudem vor, dass Azrael die Veränderungen vornimmt um Vorbehalte auszuräumen.

— MovGP0 22:43, 20. Apr. 2007 (CEST)

Artikel ist frei. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 13:39, 22. Apr. 2007 (CEST)

Nachdem keine Einigung erzielt wurde, schlage ich vor, auf beide Definitionen hinzuweisen. Das ist sicherlich nicht optimal, aber hier geht es um eine reine Begriffsdefinition ohne große mathematische Konsequenzen.--G 00:00, 30. Apr. 2007 (CEST)

Es tut mir leid, aber ich lasse garantiert keine falschen Dinge in Artikeln um des lieben Friedens willen. --P. Birken 08:44, 30. Apr. 2007 (CEST)

Vielleicht würde es einfach reichen, wenn sich der Laie mit den Dingen beschäftigen würde, mit denen er sich auskennt. Lässt du dir beim Schreiben einer wissenschaftlichen Arbeit auch von Erstsemestern eines anderen Fachs reinreden? Das ist doch absurd. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 09:27, 30. Apr. 2007 (CEST)

Äh, Erstsemester? Wo? --PeterFrankfurt 00:09, 1. Mai 2007 (CEST)

Kann natürlich sein, dass MovGP0 mittlerweile Zweitsemester ist. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 10:58, 1. Mai 2007 (CEST)

Da scheinst Du aber arg auf einem Holzweg zu sein, fürchte ich. --PeterFrankfurt 00:21, 2. Mai 2007 (CEST)

Ich meine mich zu erinnern diesen Holzweg hätte MovGP0 selbst angelegt. (finde es aber jetzt nicht wieder). --Mathemaduenn 00:58, 2. Mai 2007 (CEST)

Sowas ähnliches steht zumindest im Vermittlungsausschuss, letztlich ist das aber auch egal. Seine Änderungen bpsw. zu Fourierkoeffizienten und Orthonormalbasen letztens zeugten jedenfalls nicht von viel Ahnung von der Materie. Um mehr ging es mir eigentlich nicht. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 10:23, 2. Mai 2007 (CEST)

In Orthonormalbasis hat er gar nichts gemacht, bei Fourierreihe nur den letzten, aktuellen Edit?! --KnightMove 15:34, 14. Mai 2007 (CEST)

Edit-War - Anregungen

Ich habe jetzt etliche Quellen studiert und bin zum Schluss gekommen, dass es keine einheitliche und anerkannte Definition der Begriffe "überbestimmt" und "unterbestimmt" gibt. Jedenfalls wird in der elementaren Linearen Algebra zumindest "überbestimmt" nie verwendet. Zuviele linear unabhängige Gleichungen? Dann ist es unlösbar und Ende der Debatte. Da die Begriffe aber auch bei anderen Gleichungssystemen verwendet werden (siehe z. B. hier), sollte vielleicht die ganze Diskussion aus dem Artikel ausgelagert werden. --KnightMove 14:37, 14. Mai 2007 (CEST)

Mittlerweile sage ich auch: lieber raus damit, als was Falsches stehenlassen. --PeterFrankfurt 23:51, 14. Mai 2007 (CEST)

Der Stöcker erwähnt die Zahl der Gleichungen als notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für Unter- und Überbestimmtheit. Demnach kann man die Ausdrücke also tatsächlich nicht so stehen lassen. Gibt es Einwände, dass ich sie aus dem Artikel entferne? --KnightMove 14:35, 15. Mai 2007 (CEST)

Wer ist denn der Stoecker und wovon redet er? --P. Birken 14:37, 15. Mai 2007 (CEST)

Horst Stöcker, "Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren", beschreibt auch lineare Gleichungssysteme und über die umstrittenen Begriffe das oben erwähnte. --KnightMove 14:43, 15. Mai 2007 (CEST)

Ein ernsthaftes Problem, wenn die Begriffe einfach rausfliegen, habe ich nicht. Allerdings sollte man schon zwischen linear und nichtlinear unterscheiden. Letzteres ist eine komplett andere Welt. --P. Birken 14:50, 15. Mai 2007 (CEST)

Das steht hier ja gar nicht zur Diskussion?! Dann schaue ich mal, wie man das am elegantesten streicht. --KnightMove 14:52, 15. Mai 2007 (CEST)

Den Kommentar habe ich gebracht, weil Du den Punkt aufgebracht hast. --P. Birken 15:01, 15. Mai 2007 (CEST)

Mir wird gerade klar, dass ich Dich missverstanden hatte: Du meinst, dass "überbestimmt" und "unterbestimmt" bei linearen und nichtlinearen Systemen Verschiedenes bedeuten. Aber was genau, Deiner Meinung nach? --KnightMove 15:07, 15. Mai 2007 (CEST)

Mir ist im Bereich nichtlinearer Gleichungen keine etablierte Begriffsbildung bekannt. Ich habe aber gerade letzte Woche einen Vortrag gehoert, bei dem jemand seine Forschung ueber genau das Thema und seinen Begriffsvorschlag dafuer vorgestellt hat. Das ging sehr tief in die Trickkiste von Analysis und Algebra. --P. Birken 15:14, 15. Mai 2007 (CEST)

Die neue Variante ohne die Streitfrage bzgl. über-/unterbestimmt gefällt mir besser - obwohl mir beide Varianten gleichwertig fast noch lieber wäre.

@KnightMove: Villeicht kannst du auch bei der anderen Streitfrage helfen. Wärst du eher für oder gegen eine verstärkte Matrizenschreibweise im Artikel? Alternativ- und/oder Kompromissvorschläge sind natürlich ebenso willkommen. — MovGP0 21:49, 15. Mai 2007 (CEST)

Mit dem weglassen bin ich auch zufrieden. --Mathemaduenn 21:59, 16. Mai 2007 (CEST)

Bemerkt sei noch das die Aussage in Horst Stöcker, "Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren" auch dieser Definition widerspricht und selbst gar nichts definiert. --Mathemaduenn 11:54, 5. Jun. 2007 (CEST)

Sorry, aber ich besitze dieses Buch nicht. Kann man da nicht den einen oder anderen Kernsatz zitieren? --PeterFrankfurt 22:44, 5. Jun. 2007 (CEST)

Sorry vergessen, Zitat:

• " Überbestimmtes lineares Gleichungssystem, notwendige(aber nicht hinreichende) Voraussetzung : n<m"
• " Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, notwendige(aber nicht hinreichende) Voraussetzung : n>m"

--Mathemaduenn 22:36, 23. Jul. 2007 (CEST)

(Erste Antwort bitte ignorieren, zu schnell geschrieben.) Dabei ist halt noch zu klären, ob damit wirklich das nackte m (Anzahl Ausgangsgleichungen) gemeint ist oder das "echte" m, nach Eliminierung eventuell linear abhängiger Gleichungen. Vielleicht stehen nur kurz vor diesen Zitaten entsprechende Erörterungen, wie es z. B. in meinem Bronstein der Fall ist. – 2. Nachtrag: Die erste Antwort war doch auch richtig. Denn wenn dort die Formulierung mit dem m korrekterweise als nicht hinreichend bezeichnet wird, heißt das ja, er will für die Unterscheidung unter-/überbestimmt wirklich den Rang der Matrix heranziehen und eben nicht die Anzahl der Ausgangsgleichungen allein! Punkt für mich. Wie immer :-). --PeterFrankfurt 10:28, 24. Jul. 2007 (CEST)

Was der Autor will weiß ich nicht dazusagen tut er auf jeden Fall nicht das nun vorher linear abhängige Gl. zu eliminieren wären. Dieses Vorgehen würde dann auch den Zusatz "aber nicht hinreichende" überflüssig machen. Geht man (da keine solche Einschränkung dasteht) davon aus das die nackte Anzahl der Gleichungen gemeint ist so würde das GS:

x+y=1

2x+2y=2

3x+3y=3

Die notwendige Bedingung für Unterbestimmtheit verfehlen.--Mathemaduenn 09:19, 25. Jul. 2007 (CEST)

Äh ja, genau, ist doch mein Reden. Nochmal: Der Autor verwendet sein m offensichtlich für die Anfangsanzahl der Gleichungen und sagt korrekterweise, dass er damit keine hinreichenden Voraussetzungen formulieren kann. Wenn man also im Sinne des Autors eine hinreichende Voraussetzung formulieren möchte – und warum um alles in der Welt sollte man das unterlassen (oder kurz davor aufgeben), wo es doch so einfach geht? – dann muss man statt des m lediglich den Rang des GLS oder (gleichbedeutend) die Zahl der linear unabhängigen Gleichungen verwenden. Das würde dann auch bei dem letzten Beispiel funktionieren, denn dort bleibt bei 2 Unbekannten gerade 1 linear unabhängige Gleichung übrig, also unterbestimmt. --PeterFrankfurt 00:06, 26. Jul. 2007 (CEST)

Richtig nach deiner Definition wäre es unterbestimmt und lt. Quelle würde es eine notwendige Voraussetzung für Unterbestimmtheit verfehlen. -> Widerspruch --Mathemaduenn 10:08, 26. Jul. 2007 (CEST)

Lösbarkeit

Die fraglichen Aussagen sind ja jetzt im Kapitel Lösbarkeit versammelt. Dieses fängt mit völlig korrekten Betrachtungen zu Rang und Determinante an. Danach kommt aber recht unvermittelt wieder diese schwammige Formulierung mit "mehr Gleichungen als Unbekannten". Ich plädiere dafür, an dieser Stelle, konform zu der Vorrede in den Absätzen direkt davor und innerhalb desselben Kapitels, noch die Präzisierung "mehr linear unabhängige Gleichungen als Unbekannten" unterzubringen. Das würde dann aus einem Guss sein. --PeterFrankfurt 23:42, 15. Mai 2007 (CEST)

Da hier "oft" dabeisteht, ist das mMn halbwegs korrekt und OMA-tauglich. Anderes Problem: Was ist denn bitte eine Nebendeterminante? Das Wort wird nur in diesem Artikel verwendet und nirgends erklärt. Ich vermute, es ist eine Unterdeterminante gemeint - aber auch dieses Wort müsste noch im Artikel Determinante (Mathematik) oder einem eigenen Lemma erklärt werden. --KnightMove 14:28, 16. Mai 2007 (CEST)

Ich hab ja auch nicht behauptet, dass es so falsch sei. Es ist aber unpräzise, schwammig, wenn man sich schon so auf ein "oft" konzentrieren muss. Und man kann es so einfach glattziehen und präzise formulieren. Und das sollte bei einem mathematischen Artikel doch immer das Ziel sein. Bloß angesichts der Vorgeschichte traue ich mich zu sowas eigentlich Selbstverständlichem schon gar nicht mehr. - Und was eine Nebendeterminante ist, weiß ich auch nicht, stammt nicht von mir. --PeterFrankfurt 01:36, 17. Mai 2007 (CEST)

ÜA+

Das ist immernoch nicht korrekt. Vordem ÜA war vom Rang die Rede, das war richtig, jetzt nur noch Zahl der Gleichungen. Bitte richtigstellen!!!--Alfred 20:48, 25. Jan. 2008 (CET)

Du sprichst mir ja aus der Seele, aber das kriegen wir wohl nicht durch. --PeterFrankfurt 00:05, 26. Jan. 2008 (CET)

Wieso schreibst du "kriegen wir nicht durch"? Es geht doch einfach darum, daß der Artikel richtig anfängt, indem er die Lösbarkeit vom Verhältnis Rang/Zahl der Variablen abhängig macht und dann plötzlich nur noch von der Zahl der Gleichungen die Rede ist. *grübel* --Alfred 00:13, 26. Jan. 2008 (CET)

Hier gibt es aber Mathe-Autoritäten, die das alles ganz anders sehen... --PeterFrankfurt 00:40, 26. Jan. 2008 (CET)

Haben die auch einen (Benutzer-)Namen? --Alfred 00:54, 26. Jan. 2008 (CET)

Hallo Alfred, keine Ahnung wo das Problem liegen soll. Daher habe ich das überarbeiten wieder entfernt. Grüße --Mathemaduenn 17:24, 26. Jan. 2008 (CET)

Lösbarkeit und Coppersmith-Winograd-Algorithmus

"Die Frage, wieviele arithmetische Operationen mindestens nötig sind, um ein beliebiges lineares Gleichungssystem zu lösen, ist offen. Die beste theoretische untere Schranke liefert ein praktisch nicht anwendbarer Algorithmus von Coppersmith und Winograd aus dem Jahre 1990, der ein n \times n-System in O(n2,376) löst."

Meines Wissens dient der [Coppersmith-Winograd-Algorithmus] nur der multiplikation zweier nxn-Matrizen und nicht der lösung von Koeffizientenmatrizen, weiß da jemand mehr zu oder gibt es da noch einen zweiten? --Sur3

Ich habs aus dem Golub/van Loan. --P. Birken 09:36, 27. Jun. 2007 (CEST)

Sei es so, aber wenn man den Algorithmus recherchiert, kommt man nur auf Matrixmultiplikation. Wenn es einen Zusammenhang mit Matrixmultiplikation gibt, dann gehört der auch erklaert. Deshalb den Absatz gelöscht. -- Ulrich

Die untere Schranke ist wichtig und deswegen gehört sie erwähnt. --P. Birken 22:10, 21. Apr. 2008 (CEST)

paarweise nicht äquivalente

Die Formulierung "paarweise nicht äquivalente" Gleichungen ist doch dasselbe, wie die von mir bevorzugte Formulierung der linear unabhängigen Gleichungen, oder sehe ich da was falsch? Die lineare Unabhängigkeit hätte halt den zusätzlichen Charme, dass man sie zu ihrem eigenen Hauptartikel verlinken könnte. --PeterFrankfurt 01:45, 22. Jul. 2007 (CEST)

Sehe ich ähnlich - es muss halt nur irgendein Zusatz rein, denn sonst ist das nicht korrekt. :) --Scherben 13:14, 22. Jul. 2007 (CEST)

Bei längerem Nachdenken fällt mir sogar auf, dass dieses "paarweise nicht äquivalent" nicht exakt ist. Denn es gibt ja den Fall, dass eine Gleichung von allen anderen einzeln betrachtet linear unabhängig ist, jedoch linear abhängig von einer Linearkombination mehrerer der restlichen Gleichungen ist. Auch dann fällt ja eine Zeile auf Null zusammen. Ich trau mich mal und ändere das auf lineare Unabhängigkeit. --PeterFrankfurt 23:05, 22. Jul. 2007 (CEST)

Lösungsmenge

Mir fällt gerade ein neuer Ansatz auf, den alten Streitpunkt über unter-/überbestimmte Systeme elegant aufzulösen. Man könnte im Kapitel Lösungsmenge einen Satz ergänzen:

Wenn die Lösungsmenge leer ist, spricht man von einem überbestimmten, bei einer unendlichen Lösungsmenge von einem unterbestimmten Gleichungssystem.

--PeterFrankfurt 23:09, 22. Jul. 2007 (CEST)

Was nach den oben angegebenen Quellen wieder eine Umdefinition von "überbestimmt/unterbestimmt" wäre und somit nicht akzeptabel. --Mathemaduenn 22:03, 23. Jul. 2007 (CEST)

Man sollte vielleicht nicht so ausschließlich auf Quellen schielen, wenn man die wie oben ausführlich diskutiert sehr verschieden auslegen kann. Solche Quellen helfen nicht wirklich weiter. Die einfache, direkt hier vor Ort nachvollziehbare Logik reicht dagegen vollkommen aus. Sie muss doch letztendlich entscheiden, ob eine Aussage wahr oder falsch ist, dafür muss ich doch nicht immer erst Herrn Gauß fragen, das sieht man doch auch so. --PeterFrankfurt 00:13, 26. Jul. 2007 (CEST)

siehe WP:TF Ich habe auch keine große Lust darüber zu diskutieren(hatten wir ja auch irgendwie schon). --Mathemaduenn 10:11, 26. Jul. 2007 (CEST)

Ja, dort wird eine "gut belegte" Theorie gefordert. Das kann man auch über glasklare Logik erreichen, sogar besser als über schwurbelige Interpretationen irgendwelcher Literaturstellen! An der Logik gibt es im Gegensatz dazu rein gar nichts zu deuteln, und die reicht für unsere Belange hier allemal. --PeterFrankfurt 01:41, 27. Jul. 2007 (CEST)

Endliche Körper

Im Artikel ist teilweise vom Körper K die Rede, falls K endlich ist, gibt es auch im unterbestimmten Fall nur endlich viele Lösungen. Andim 14:00, 30. Mär. 2007 (CEST)

Auch erledigt, s. Abschnitt Lösbarkeit. 80.146.111.93 17:43, 23. Mai 2009 (CEST)

Vandalismus und +ÜA

Es ist schon ziemlich tumb, einfach kommentarlos einen ÜA-Baustein rauszunehmen, wo doch völlig offensichtlich ist, daß die Formulierungen an der monierten Stelle des Artikels falsch sind.

Wenn diese aber durch einen offenbar der Mathematik kundigen Benutzer geschieht, grenzt dies an Vandalismus.

Um's vielleicht für die, die es nicht verstehen wollen, deutlicher zu machen. Ob ein Gleichungssystem eine einelementige, mehrelementige oder die Leere Menge als Lösungsmenge hat, ist abhängig davon, ob es ein Homogenes oder inhomogenes GS ist und vom Verhältnis des Ranges und der Zahl der Variablen. Wenn dort implizit steht, ein Gleichungssystem mit der gleichen Zahl von Variablen und Gleichungen sei eindeutig lösbar, dann ist das schlichtweg falsch. Daran ändert auch der Zusatz "meistens" nichts, der macht es bestenfalls zu einer Glückspielveranstaltung. --Alfred 17:30, 26. Jan. 2008 (CET)

Du hast Recht, es wurde hier von Benutzer:Peter Frankfurt eingebaut. Mathemaduenn hats ja jetzt wieder korrigiert und ich hoffe, Dein Rumkrakele hat damit wieder ein Ende. --P. Birken 19:38, 26. Jan. 2008 (CET)

quadratisches lineares Gleichungssystem?

Im Artikel ist mehrfach von einem "quadratisches lineares Gleichungssystem" die Rede, ohne darauf einzugehen, was das "quadratisch" in diesem Zusammenhang bedeutet, und ohne auf einen anderen Artikel zu verweisen. Es kann sein, dass ich nicht umfassend genug informiert bin, aber das "quadratisch" macht m.M.n. keinen Sinn. Vielleicht ist damit gemeint, dass die Koeffizientenmatrix quadratisch ist. Das würde bedeuten, dass das Gleichungssystem die gleiche Anzahl an Gleichungen und Unbekannten hat. Damit wird es aber nicht zu einem quadratischen Gleichungssystem. In einem solchen müssten die Unbekannten quadratisch vorkommen, was aber in einem linearen Gleichungssystem nie der Fall ist. --212.66.137.226 12:12, 15. Okt. 2008 (CEST)

Deswegen ja auch "quadratisches lineares Gleichungssystem" und nicht "quadratisches Gleichungssystem". Sollte man aber tatsächlich vor dem ersten Auftauchen definieren, später passiert es ja. --Scherben 20:42, 16. Okt. 2008 (CEST)

Die Definition hab ich erst eingefügt, die Formen könnte man generell weiter nach oben bringen.--G 17:27, 21. Okt. 2008 (CEST)

null vs. Null

„Man schreibt das Zahlwort klein: null Grad; sie verloren drei zu null; das ist null und nichtig; er hat null Fehler; man darf nicht durch null teilen; acht minus acht ist [gleich] null [...]; der Erfolg war gleich null [...]“

– aktueller Duden

„[...]Groß schreibt man das Substantiv, das für die Ziffer oder für Versager steht: die Zahl / Ziffer Null; du bist eine reine Null; schreibe die Ziffern Null bis Zehn an die Tafel; Peter hat eine schöne Null gemalt; es handelte sich um eine Zahl mit fünf Nullen.“

– aktueller Duden

Gruß, -- Emdee 16:35, 25. Aug. 2008 (CEST)

Steht da tatsächlich "Ziffern Null bis Zehn"? --Kreuvf 14:11, 2. Feb. 2009 (CET)

Tsts... :-) --Tolentino 14:19, 2. Feb. 2009 (CET)

Man stolpert drüber, aber ich möchte hier auf die verschiedenen Bedeutungen und Verwendungsmöglichkeiten des Begriffes Ziffer hinweisen. Betrachtet man allerdings das dezimale Stellenwertsystem, macht eine Ziffer 10 keinen Sinn. -- Emdee 14:40, 2. Feb. 2009 (CET)

Beispiel Nebendeterminante

Ein Beispiel für ein Gleichungssystem (A|b), welches man wegen det(A)=0 auch noch auf Nebendeterminanten untersucht, um die Lösungsmenge zu bestimmen, wäre hier mMn sinnvoll.--Mordwinzew 16:14, 10. Dez. 2008 (CET)

Gaußsche Norm

was ist das? wird auch im verlinkten Artikel über normierte Räume nicht erklärt.. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 85.197.2.148 (Diskussion • Beiträge) 20:05, 5. Jul. 2005)

Erledigt, Begriff schon längst nicht mehr im Artikel verwendet. 80.146.111.93 17:41, 23. Mai 2009 (CEST)

Lösbarkeit

Würde unter den Punkt Lösbarkeit nicht noch ein Verweis auf die Determinante weiter unten gehören? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.182.175.82 (Diskussion • Beiträge) 10:56, 17. Jul. 2005)

Es ist übrigens nicht richtig, dass die Lösungsmenge entweder leer, nur ein Element oder unendlich viele Elemente enthält. Ich glaube, es ist wichtig, das man an dieser Stelle sagt, dass es sich hier um Einträge aus den reelenn Zahlen handelt (da wäre das so richtig). Betrachtet man den Körper mit zwei Elementen, so besteht die Möglichkeit, das man auch eine 4-elementige Lösungsmenge bekommt. Bsp.: A sei Matrix 2x3 mit erster Zeile nur 1 und zweite Zeile nur 0. sei b Vektor 2x1 mit b=0. Die Lösungsmenge ist dann {(0,0,0) + l*(1,1,0) + k*(1,0,1)} mit l,k aus dem Körper mit zwei Elementen. Damit ergibt sich offensichtlich eine 4-elementige Lösungsmenge. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.129.92.200 (Diskussion • Beiträge) 23:09, 13. Nov. 2006)

Anzahl der Lösungen schon längst präzisiert: [1]. 80.146.111.93 17:40, 23. Mai 2009 (CEST)

Homogene Gleichungssysteme haben stets die gültige (triviale) Lösung, dass alle Variablen 0 sind

Homogene Gleichungssysteme haben stets die gültige (triviale) Lösung, dass alle Variablen 0 sind

NICHT, WENN DER RANG DER KOEFFIZENTENMATRIX KLEINER ALS ANZAHL DER Zeilen (quadratische Koeffizientenmatrix), ES GÄBE UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN, DA ABHÄNGIGKEITEN HERRSCHEN ZWISCHEN DEN VARIABLEN. BEISPIEL GERADE IM R^5.

LG RALF -- 84.177.198.88 02:20, 10. Sep. 2009 (CEST)

Noch ein Beispiel:

Ja, ja, aber die Lösung Null ist auf jeden Fall mit dabei, mehr ist damit ja nicht gesagt, insbesondere nicht, dass das die einzige Lösung wäre. Weiter unten, bei "Lösungsmenge" steht dazu noch ein bisschen mehr, wo man auch davon ausgeht, dass die Lösung Null nicht die einzige sein muss. --PeterFrankfurt 01:14, 11. Sep. 2009 (CEST)

Koeffizientenmatrix als Körper

Die Menge der mxn Matrizen ist meiner Meinung nach kein Körper (wie bei Matrixform angegeben), es gibt nicht zu jeder mxn Matrix ein Inverses und auch kein neutrales Element. Nur nxn Matrizen bilden mit Multiplikation eine Gruppe, aber keine abelsche. Oder habe ich etwas falsch verstanden? -- BroyJoerg 17:50, 14. Mai 2010 (CEST)

Im Artikel steht: "Sowohl die Koeffizienten [...] entstammen demselben Körper." Die Koeffizientenmatrizen bilden selbst i. A. keinen Körper - eben u. a. wegen der von dir genannten Dinge. Klärt das deine Frage? Pinoccio 17:17, 16. Mai 2010 (CEST)

GPS

Das Problem aus dem Abstand zu Satelliten mit bekannter Position die eigene Position zu bestimmen ist imho nichtlinear daher eher ein nicht so gutes Beispiel oder irre ich hier? --Mathemaduenn 01:54, 10. Mai 2010 (CEST)

Dummerweise kenne ich den genauen Rechenweg auch nicht (habe ihn jedenfalls nicht durchgearbeitet). Aber als ich vor einiger Zeit mal wegen unseres anderen Streitpunkts googelte, fiel mir auf, dass Beispielrechnungen mit GPS-Auswertungen sehr oft in Uni-Übungsskripts auftauchten und offensichtlich eine aktuelle Standardübungsaufgabe zu Optimierungen bei überbestimmten Gleichungssystemen darstellen. Ich kann nur raten, dass man das Problem in irgendeiner immer noch ausreichend genauen Näherung linearisiert und dann so behandeln kann. --PeterFrankfurt 02:34, 10. Mai 2010 (CEST)

Die Mathematik hinter der GPS-Signalauswertung ist hier von einem Insider dargestellt. Ich kann aber jetzt nicht nachprüfen, wie weit dabei lineare Gleichungssysteme entscheidend sind.--TeesJ 06:20, 10. Mai 2010 (CEST)

Das eine (nichtlineare Abhängigkeiten bei GPS) hat mit dem anderen (Anwendung linearer Gleichunsgsysteme zur Fehlerrechnung) nichts zu tun. Die Methode der kleinsten Quadrate löst ja nicht die nichtlinearen Gleichungen. Pinoccio 14:27, 10. Mai 2010 (CEST)

Habe nochmal gegoogelt, konkret nach "Gleichungssystem GPS Übung". Ein Ergebnis war das hier, wo ein bisschen zu den Details der Berechnung erläutert wird. Demnach ist es doch nicht mit nur einem linearen Gleichungssystem getan, eine zusätzliche quadratische Gleichung ist dann auch noch zu lösen. Ok, damit sehe ich auch ein, dass das nicht unbedingt in den Artikel hier reinmuss. --PeterFrankfurt 01:32, 11. Mai 2010 (CEST)

Dann pack ichs mal wieder raus. --P. Birken 18:32, 17. Mai 2010 (CEST)

Lösungsverfahren

Ich möchte hiermit die Aufnahme der Erwähnung von Mehrgitterverfahren in diesem Abschnitt zur Diskussion stellen. Meine entsprechende Ergänzung des Artikels fiel der Sichtung zum Opfer.

Hintergrund: Iterative Lösungsverfahren werden in der Regel eingesetzt, wenn die zum linearen Gleichungssystem gehörende Matrix dünnbesetzt ist. Eine wesentliche Quelle derartiger Matrizen sind Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen (z.B. die Finite-Elemente-Methode). Neben den erwähnten Krylovunterraumverfahren ist die Klasse der Mehrgitterverfahren heute in der Praxis des wissenschaftlichen Rechnens von entscheidender Bedeutung (z.B. auch als Vorkonditionierer für Krylovunterraumverfahren). Diese Verfahren können im Idealfall lineare Komplexität erreichen, d.h. der Arbeitsaufwand skaliert (asymptotisch) linear mit der Anzahl der Unbekannten. (Siehe z.B. Wolfgang Hackbusch: Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme, 2. Auflage, Teubner Studienbücher, 1993, ISBN 3-519-12372-X).

Ich räume ein, daß selbst algebraische Mehrgitterverfahren nicht für beliebige lineare Gleichungssysteme geeignet sind, aber IMHO ist die Erwähnung dieser Verfahrensklasse aufgrund ihrer praktischen Bedeutung der vollständigkeithalber sinnvoll. --InfoBroker2020 13:58, 12. Mai 2010 (CEST)

Es fehlte der Hinweis zu den Mehrgitterverfahren, dass sie nur bei speziellen Gleichungssystemen einsetzbar sind. Es bleibt wieder unklar, ob sie als Vorkonditionierer bei beliebigen dünnbesetzten Systemen verwendet werden können; das wäre m. E. auch erwähnenswert.--TeesJ 05:25, 13. Mai 2010 (CEST)--TeesJ 20:35, 14. Mai 2010 (CEST)

Ich habe nicht wirklich verstanden, warum du die Mehrgitterverfahren komplett entfernt hast. Ich habe sie mal wieder eingefügt. --P. Birken 18:40, 17. Mai 2010 (CEST)

Beste obere Schranke

1. Derzeit steht im Artikel, "Die derzeit beste bekannte asymptotische obere Schranke an Operationen, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, liefert ein praktisch nicht anwendbarer Algorithmus von Don Coppersmith und Shmuel Winograd aus dem Jahre 1990, der ein n×n-System in O(n^2,376) löst.[1] " wobei auf diesen Artikel der SIAM-News verwiesen wird.
   Ich habe den Artikel nun mehrmals gelesen, sehe aber keinen Zusammenhang zur Lösbareit Linearer Gleichunsgsysteme (d.h. als Quelle an dieser Stelle unbrauchbar). Auch mir ist weiterhin nicht klar,wie der Coppersmith-Winograd-Algorithmus die Lösung lienatrer GLeichungssysteme, beschleunigen soll. Da das an dieser Stelle schonmal kurz andiskutiert wurde, wollte ich es erstemal nicht editieren, sondern hier diskutieren.
2. Dann steht da noch: "Jedoch ist unbekannt, wie viele arithmetische Operationen asymptotisch mindestens nötig sind, um ein beliebiges lineares Gleichungssystem zu lösen." Eine (triviale) Schranke ist n^2, der Satz sollte dann auch umformuliert werden.
   

Pinoccio 15:33, 10. Mai 2010 (CEST)

Stimmt, das Pdf behandelt ein ganz anderes Thema. Ich habe mal eine bessere Quelle angegeben und auch die untere Schranke erwähnt. --P. Birken 18:38, 17. Mai 2010 (CEST)

Danke. Pinoccio 13:18, 18. Mai 2010 (CEST)

Es wäre der Korrektheit wegen vielleicht nicht schlecht an dieser Stelle auch zu erwähnen, daß sich diese Aussagen auf Gleichungssysteme mit (im wesentlichen) vollbesetzten Matrizen beziehen. Im Falle dünnbesetzter Matrizen sieht die Sache ganz anders aus. --InfoBroker2020 13:58, 12. Mai 2010 (CEST)

Dass für spezielle Gleichungssysteme schneller Algorithmen existieren, ist doch trivial? --P. Birken 18:38, 17. Mai 2010 (CEST)

Für den bereits (dahingehend ausreichend) vorgebildeten Leser sicherlich. Aber für den informationssuchenden Durchschnittsleser eher nicht so. Ich würde eine derartiger Ergänzung befürworten, und evtl. darauf hinweisen, wo dünnbesetzte Systeme entstehen können (z. B. Finite Elemente, wie ja auch im Artikel Dünnbesetzte Matrix geschehen). Pinoccio 13:18, 18. Mai 2010 (CEST)

Bestimmtheit (1)

Die Änderungen habe ich vorläufig rückgängig gemacht. Leider habe ich im Kommentar den Link ins Archiv versaut, hier korrekt: Diskussion:Lineares_Gleichungssystem/Archiv/2007 und dort gleich mehrere Unterkapitel. In Kurzform: Das ist ein hochkontroverser Aspekt, der in der Vergangenheit schon heftigst diskutiert wurde und wo man mittlerweile bei einem Konsens steht, dass gewisse Begriffe einfach ganz weggelassen wurden. Wenn diese jetzt in einer noch wieder anderen Terminologie wieder eingeführt werden sollen, hilft auch nicht richtig. Nochmal in kurz: Die Formulierungen Ein Gleichungssystem ist genau dann unterkritisch rsp. unterbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. ... Überkritische bzw. überbestimmte Gleichungssysteme enthalten mehr Gleichungen als Unbekannte. halte ich so für falsch, da man immer auf die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen abstellen muss, weil ja sonst alles noch kollabieren kann (wenn man von der Zahl der Ausgangsgleichungen ausgeht, ohne diese zu überprüfen) und dann das Gegenteil herauskommt. --PeterFrankfurt 02:32, 17. Jun. 2010 (CEST)

Man könnte es ja noch als Faustregel durchgehen lassen. Allerdings wäre mir wohler, wenn bei der Einpflege von Begriffen wie überkritisch, unterkritisch, gleichkritisch, Kritik (habe ich bis zur Klärung erst mal auf Kritizität geändert), Quadratik deren Verwendung und genaue Bedeutung durch Quellen belegt würde. (Der schnelle Google-Test mit "Quadratik Gleichung" und "unterkritisch Gleichung" spricht ganz deutlich für WP:TF). Wenn da nicht schnell(!) etwas kommt, sieht es für den Abschnitt zur Kritizität sehr kritisch aus.--Hagman 22:02, 17. Jun. 2010 (CEST)

Wie schon früher mehrfach ausgeführt, ist die derzeitige Formulierung schlicht und ergreifend falsch und wäre zu löschen. Es geht um die Anzahl von Gleichungen: Das muss mehr eingegrenzt werden auf die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen. Beispiel: 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, das scheint ein quadratisches System zu sein. Es kann aber sein, dass man bei der (beispielsweise) Gauß-Elimination feststellt, dass zwei der Gleichungen durch einen Faktor auseinander hervorgehen, sie also linear abhängig sind (es gibt auch kompliziertere Fälle), und eine der Gleichungen dann zu einer Nullzeile kollabiert, und nur 3 Gleichungen übrigbleiben. Plötzlich ist das System dann unterbestimmt. Man darf so eine Aussage also nur machen, wenn man sich über den Rang des Systems ( = die Zahl der linear unabhängigen Gleichungen darin) klar ist. Man darf nicht einfach nur die Ausgangsgleichungen zählen, das kann fürchterlich in die Irre und zu Falschaussagen führen. Sobald wie oben die lineare Unabhängigkeit in die Formulierung mit aufgenommen wird, kann ich zustimmen. Erfahrungsgemäß haben aber genau gegen solche Formulierungen andere Herrschaften hier traditionell was dagegen (aus mir immer noch nicht verständlichen Gründen). Das war der große Knatsch vor drei Jahren. Und jetzt fängt das womöglich alles wieder von vorne an. Schauder. --PeterFrankfurt 01:32, 18. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe auf die Version vom 7. Juni aus mehreren Gründen zurückgesetzt: Der neue Abschnitt wird auch von mir als Theoriefindung angezweifelt, damit sind wir schon drei. Die Layoutsachen bestanden vor allem darin, genau das eben nicht erwünscht Forcieren der TeX-Darstellung einzubauen, siehe dazu Hilfe:TeX. Damit bleibt zwar noch einiges sinnvolles übrig, nur ist es leider extrem viel Arbeit, das rauszufischen und wenn ich ehrlich bin, macht es auch keinen großen Unterschied. Ich hoffe damit sind alle einverstanden? --P. Birken 20:04, 28. Jun. 2010 (CEST)

Bestimmtheit (2)

Ich habe gesehen dass das Thema schon mehrfach ausführlich diskutiert wurde. Jedoch soweit ich das überblicke kam man zu keinem endgültigem Ergebnis. Alte Diskussionen: Diskussion:Lineares Gleichungssystem/Archiv/1#Bestimmtheit (1), Diskussion:Lineares_Gleichungssystem/Archiv/1#.C3.BCberbestimmt.2C_unterbestimmt.2C_was_denn_nun.3F. Meiner Ansicht nach gehört die Bestimmtheit von Gleichungssystemen allerdings in diesen Artikel. Ich denke es gibt einige Leser die danach Suchen. Es wird ja wohl auch möglich sein in Bezug auf den Rang eine allg. gültige Definition zu erstellen. Ich bin kein Mathematiker, aber bei einem vollen Rang sollte die n > m => unterbestimmtes System etc. - Regeln doch Gültigkeit besitzen. --Nescius 14:41, 2. Sep. 2010 (CEST)

Ja klar. Wenn man es wie Du von vornherein mit dem Rang formuliert, ist es ja auch korrekt. Nur wollten hier einige eine Formulierung durchsetzen, die nur von der Zahl der Gleichungen im Ausgangssystem ausging, unbesehen des eigentlich ausschlaggebenden Rangs, was etwas vollkommen anderes ist. In diesem Streit wurde sich dann auf den kleinsten Nenner geeinigt, dass man es erstmal ganz weglässt. Nicht direkt befriedigend, in der Tat. --PeterFrankfurt 03:26, 3. Sep. 2010 (CEST)

So sollte es nicht bleiben. Ein strittiges Thema einfach weg zulassen ist wohl die schlechteste Lösung des Problems. In meinen Augen gibt es kein schlagkräftiges Argument die korrekten Definitionen nicht in den Artikel einzufügen. --Nescius 14:24, 3. Sep. 2010 (CEST)

Dann versuche doch mal DIE richtige Definition einzufügen. Viel Erfolg! --Pinoccio 17:08, 3. Sep. 2010 (CEST)

Habe nun versucht EINE in meinen Augen korrekte Definition einzufügen. Mit der Bedingung der linearen Unabhängigkeit des Systems. Bin aber wie gesagt kein Mathematiker. Liebe Grüße --Nescius 02:06, 4. Sep. 2010 (CEST)

Dann liefer bitte Quellen, dass dies überhaupt, eine, wenn möglich, die Definition dafür ist. Das Fehlen einer etablierten Definition für diesen Begriff ist nämlich genau der Grund, warum das hier fehlt. --P. Birken 11:39, 5. Sep. 2010 (CEST)

Das Problem scheint in der Tat zu bestehen. Vielleicht sollten wir überlegen dies in den Artikel einfließen zu lassen. Überraschender weise stellte ich fest das die meisten Quellen (wenn die Begriffe erwähnt wurden), die Begriffe lediglich durch n > m => unterbestimmtes System ohne weitere Nebenbedingungen beschrieben. Ich muss dazu sagen das die Zahl meiner mathematischen Literatur begrenzt ist. Darüber hinaus fand ich nach einer Internetrecherche noch lediglich zwei andere Definitionen: Quellen: http://www.mathematik.uni-kassel.de/~seiler/Papers/PDF/Overdet.pdf, http://www.uni-koblenz.de/FB4/Institutes/ICV/AGPaulus/Teachings/ws0304/MedBV/glgsys.pdf. Da zumindest nach meiner kleinen Recherche mehr Quellen keine weiteren Bedingungen für die Bestimmtheit angeben, könnte ich diese Definition nicht als falsch betrachten, wobei sie nicht auf eine Lösungsmöglichkeit schließen lässt (wofür dann weitere Bedingungen erforderlich wären). Demnach wäre die ausschließliche Angabe der Bestimmtheit nahezu nichts sagend. Nun wäre mein Vorschlag das wir die Bestimmtheit nach "verbreiteterer" Definition einbauen (und auch Belegen) und dann darauf hinweisen das sich so auf keine Lösungsmöglichkeit schließen lässt, da eine weitere Bedingung erforderlich ist. Dann könnte man noch so etwas schreiben wie: "ist die Zusatzbedingung erfüllt, dann ist es z.B. nicht eindeutig lösbar" oder so etwas. Oder wir fügen die, ich nenne sie mal: "erweiterte Definition" ein (Belegt durch eine der angegebenen Internetquellen z.B.) und erwähnen dass die zusätzliche Bedingung in anderen Quellen häufig nicht auftaucht, was allerdings dazu führt das man auf keine Lösungsmöglichkeit schließen kann. Was würdet ihr von diesen Varianten halten? Liebe Grüße --Nescius 13:42, 5. Sep. 2010 (CEST)

Ich werd mal was einwerfen. Vielleicht ist das anschaulicher, vielleicht kann man daraus ja was machen.

Betrachten wir mal eine 3x3 Matrix $A$ mit $Ax=b$, wobei $x$ und $b$ Vektoren sind.

Jetzt kann man die einzelnen Zeilen betrachten, beispielsweise die erste: $a_{11}\cdot x_{1}+a_{12}\cdot x_{2}+a_{13}\cdot x_{3}=b_{1}$. Das ist die Gleichung einer Ebene im Raum mit dem Normalvektor ${\mathbf {(a_{11},a_{12},a_{13})^{T}}}$, so wie man sie aus der Analysis/Geometrie kennt. Jetzt haben wir noch 2 Zeilen, was noch 2 weitere Ebenen bedeutet. Der Schnittpunkt aller 3 Ebenen ist ein Punkt ${\vec {x}}$ und dieser DIE einzig mögliche (nicht-triviale) Lösung von $Ax=b$.

Sind nun 2 oder 3 Ebenen parallel(aber nicht gleich), gibt es gar keinen Schnittpunkt.

Sind 2 der 3 Ebenen gleich, dann schneiden sich alle 3 Ebenen in einer Geraden, womit es unendlich viele Lösungs-"Punkte" gibt.

Sind alle 3 Ebenen gleich ist die Schnittmenge eine Ebene, was auch unendlich viele Lösungen bedeutet.

Wenn 2 (3)Ebenen gleich sind, kann man auch eine (zwei) der betreffenden "Ebenen"( Zeilen der Matrix und der Vektoren) streichen, womit man auf Rang 2 (1) käme(richtig?). Das ist gleichbedeutend mit weniger linear-unabhängige (Zeilen-)Vektoren als unbekannte, was nach Definition dann wahrscheinlich unterbestimmt heißt.

Hat man jetzt aber eine zusätzliche Ebene, womit man eine 4x3-Matrix hätte und 4x1-Vektoren, müsste man die extra betrachten. Was passiert, wenn sie gleich einer anderen Ebene von oben wäre, schrieb ich schon, ...dann könne man sie weglassen. Wenn sie allerdings parallel zu einer der anderen verläuft, liefert sie zusätzliche Infos und einen zusätzlichen Schnittpunkt. Ist sie aber eine Kombination aus den ersten 3 Ebenen, kann sie sogar 3 zusätzliche Schnittpunkte liefern. In diesem Fall würden die Ebenen einen Tetraeder darstellen. Das wird die Definition von überbestimmt sein, nehme ich an.

Jetzt brauche ich eine zusätzliche Meinung, ob ich daraus einen brauchbaren/verstehbaren Artikel machen kann...ob euch das so passt oder nicht.... --JoiNMAC 22:49, 19. Jan. 2011 (CET)

Also ich fürchte, dass nicht sehr viele Leser die Vorstellungskraft haben, aus so einer Zeilengleichung eine Ebene im Raum erstehen zu lassen. Das macht es wohl eher nicht einfacher. Am Ende läuft es aber auf das Gleiche hinaus: Wenn Ebenen gleich sind, dann ist der Rang der Matrix kleiner als 3, und dann darf man sagen, dass sie unterbestimmt ist. Aber das stößt halt in dieser Reihenfolge auf Widerspruch. --PeterFrankfurt 01:40, 20. Jan. 2011 (CET)

Ich glaube, dass man es eher versteht, sich ein paar Ebenen im Raum zu denken, als Sätze wie "[...], falls $\mathbb {K}$ kein endlicher Körper ist, ansonsten ist die Anzahl der Lösungen eine Potenz der Mächtigkeit von $\mathbb {K}$. " Ebenen im Raum haben die meisten nämlich schon in der Schule... :) --JoiNMAC 07:50, 20. Jan. 2011 (CET)

Schon, aber die Verbindung zu dieser mathematischen Darstellung, die eine Ebene produzieren soll, ist ein arg großer Schritt. --PeterFrankfurt 01:47, 21. Jan. 2011 (CET)

Asymptotische Untere Schranke

"...liefert ein praktisch nicht anwendbarer Algorithmus von Don Coppersmith und Shmuel Winograd aus dem Jahre 1990..."

evtl. könnte man das noch ein wenig ausführen? Warum soll dieser praktisch nicht anwendbar sein? --88.75.183.154 15:26, 31. Jan. 2011 (CET)

Lösbarkeit

Im Abschnitt "Lösbarkeit" kommt folgende Aussage vor: "Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist." Ich bin mir nicht 100% sicher, aber nach dem was ich in Mathe gelernt habe müsste es heißen "... gleich Null ist.", oder? So steht es zum Beispiel auch im Artikel über die symbolische Berechnung von Eigenwerten. -- Belgariath 11:51, 24. Jul. 2011 (CEST)

Es handelt sich um zwei verschiedene Aussagen (allerdings beide mit quadratischen A):

• Hier: $Ax=b$ ist eindeutig lösbar gdw. $\operatorname {det} A\neq 0$. (Die Lösung ist dann $x=A^{-1}b$).
• Dort: $Ax=0$ hat Lösung $x\neq 0$ gdw. $\operatorname {det} A=0$.

Man bemerke, dass der Spezialfall der Aussage im hiesigen Artikel mit $b=0$ ist:

• $x=0$ ist die einzige Lösung von $Ax=0$ gdw. $\operatorname {det} A\neq 0$.

--Daniel5Ko 13:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

Oder anders: Wenn die Determinante Null ist, dann sind die Zeilen (oder Spalten) der Matrix NICHT linear unabhängig voneinander. Es folgt auch, dass der Rang der Matrix kleiner als n ist. Und dann gibt es auch keine eindeutige Lösung, sondern ganz viele. Begründung: Zur Ermittlung der Determinante ist ja eine der Methoden, die Matrix per Gaußscher Elimination auf Dreiecksform zu bringen und dann die Diagonalelemente zu multiplizieren. Die Matrix ist nur eindeutig lösbar, wenn alle diese Diagonalelemente ungleich Null sind, ansonsten s. o. --PeterFrankfurt 02:28, 25. Jul. 2011 (CEST)

Bestimmung über die erweiterete Koeffizientenmatrix

Dieser Abschnitt ist fehlerhaft. Dreiecksform ist nur für rang(A)=n möglich (es ist ja wohl kaum die Form einer oberen Dreiecksmatrix gemeint) - gemeint ist wohl ZSF, wobei die Pivotspalten durch Spaltenvertauschungen (!) links angeordnet werden, so dass alle Pivots auf der Hauptdiagonalen liegen. Viele der genannten Punkte treffen nur auf den Speziallfall einer quadratischen Matrix zu (was auch die dargestellte Matrix, in der m=n angenommen wurde, vermuten lässt) - für allgemeinere Matrzen sind Umformulierungen und Ergänzungen notwendig. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 19:14, 11. Okt. 2011 (CEST))

LGS über Ringen

Ohne daß es im Artikel explizit erwähnt wird, geht es dort nur um LGS über Körpern.

Es gibt aber auch LGS über Ringen, die i.A. keine Körper sind, etwa den ganzen Zahlen. Dort gelten ja manche Aussagen nicht, etwa daß ein LGS immer dann lösbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist.

Es wäre toll, wenn jemand, der Ahnung und Zeit dafür hat, etwas dazu ergänzen könnte.

Nachtrag: eher beiläufig wird doch erwähnt, daß es um LGS über Körpern geht.

--129.217.132.38 23:17, 6. Mär. 2013 (CET)

Bestimmung über die erweiterte Koeffizientenmatrix - fehlerhafte Matrix

Die angegebene Matrix impliziert, dass jede m x n-Matrix in die genannte Form gebracht werden kann. Dies ist zb für

$\left({\begin{array}{cccc|c}1&2&3&4&b_{1}\\0&5&6&7&b_{2}\\0&0&8&9&b_{3}\end{array}}\right)$

nicht möglich. Je nach Interpretation implizieren die Punkte auf der Diagonalen zudem, dass m = n sein muss, also dass die Matrix quadratisch sein muss (somit wäre die Umformung tatsächlich möglich, bzw. richtig, allerdings nicht so allgemein wie behauptet).

--2001:67C:10EC:3F42:8000:0:0:2E8 14:56, 19. Jul. 2013 (CEST)

Ja, das geht bestimmt besser. Vielleicht hast Du Lust? --P. Birken (Diskussion) 17:58, 19. Jul. 2013 (CEST)

erledigtErledigt

Die aktuelle Version der angegebenen Matrix scheint mir immer noch fehlerhaft. Zb die Matrix

$\left({\begin{array}{cccc|c}1&1&4\\2&2&5\\3&3&6\end{array}}\right)$

lässt sich nicht in die gegebene Form umwandeln, das Gauß-Jordan-Verfahren ergibt die reduzierte Zeilenstufenform

$\left({\begin{array}{cccc|c}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right)$

Die Realität ist hier leider etwas komplizierter, als es der fragliche Abschnitt hier suggeriert. --84.19.193.194 11:07, 5. Nov. 2017 (CET)

praktische anwendung lineares Gleichungssystem

Das Vater-Sohn Beispiel ist völlig aus der Realität gegriffen. Eine solche Frage wird sich nie jemand stellen und als Beispiel für eine praktische Anwendung deshalb ungeeignet. (nicht signierter Beitrag von Landerson (Diskussion | Beiträge) 14:39, 2. Dez. 2013 (CET))

Als Einführungsbeispiel mag es okay sein. Aber als Anwendungsbeispiel - da gebe ich Landerson absolut recht - erscheint es ungeeignet. (nicht signierter Beitrag von 94.221.88.11 (Diskussion) 13:46, 18. Jul 2014 (CEST))

Beispiel wäre nicht schlecht

"Über einem endlichen Körper ist die Anzahl der Lösungen eine Potenz der Mächtigkeit von K {\displaystyle K} K. " Hier wäre ein Beispiel nicht schlecht. 2003:E7:2F09:BAD2:191D:B44:B76:CF6B 17:41, 8. Jul. 2019 (CEST)