Diskussion:Mathematischer Konstruktivismus

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Begriffsklärung?

Ich nehme mal Amtiss' Beitrag so auf: Vielleicht wäre eine Art Begriffsklärung sinnvoll:

• Konstruktive Mathe, wie sie Mathematiker machen, wenn sie etwas (leidenschaftslos) feststellen, dass der Beweis sogar konstruktiv geführt werden kann.

• Konstruktive Mathe als Philosophische Richtung in Europa: Weyl, Poincaré bis Lorenzen usw.

• Konstruktive Mathe in USA Bishop usw.

Was meint Ihr? PaCo 19:28, 16. Dez 2005 (CET)

Also, ich halt mich da raus :-) Ich fand einfach nur die Einleitung schlecht, und der 1.Satz sah eben nach so einer "Dieser Artikel"-Bemerkung aus. -- Amtiss, SNAFU ? 11:56, 17. Dez 2005 (CET)

Begriffsklärungen werden benutzt, wenn ein Wort verschiedene Bedeutungen hat. Hier geht es aber um verschiedene Auffassungen zu einer Bedeutung. Die "Dieser Artikel"-Vorlage passt da nicht. --Fuzzy 12:03, 17. Dez 2005 (CET)

Jetzt sollte nur noch darüber entschieden werden, ob der Artikel verschoben werden soll, wenn die Einleitung schon mit den Worten "Der mathematische Konstruktivismus" beginnt. -- Amtiss, SNAFU ? 11:29, 19. Dez 2005 (CET)

Hi Amtiss, leider ist das alles weder klar, noch Konsens. Auch Dein drittes und viertes Wort: "nur noch" nicht. Man sollte es vielleicht mit Fuzzy, Gunther, (Rtc, wenn der noch mitmacht?) und anderen besprechen. PaCo 12:11, 19. Dez 2005 (CET)

konstruktiv-istisch-e M

Ist das Lemma eigentlich korrekt? Muesste es nicht konstruktivistische Mathematik heissen? Viele gruesse --P. Birken 15:03, 29. Feb. 2008 (CET)

Sehe ich auch so. Und waren es wirklich die konstruktivisten, die im grundlagenstreit standen? Ich hatte eher das gefühl, es seien die intuitionisten. soweit ich weiß, bestehen da philosophische differenzen. --rtc 16:09, 29. Feb. 2008 (CET)

Wieso müsste es eigentlich konstruktivistische Mathematik heißen? Ich sehe die Gründe noch nicht. Quellen? Konstruktiv wäre es, wenn wir bei vielen Beteiligten einen Prostatakrebs (siehe Knuth) nachweisen und konstruktivistisch ist dann richtig, wenn sie in ihrem Bücherschrank mal ein philosophisches Buch stehen hatten?--PaCo 16:33, 29. Feb. 2008 (CET)

Wenn es Dir nachts alpträume bereitet, dass der prostatakrebs im artikel ist, so dass er Dich auch hier jetzt verfolgt, dann nimm ihn von mir aus wieder raus. --rtc 16:50, 29. Feb. 2008 (CET)

Wenn ihn das ganz besonders als Wissenschaftler charakterisiert, dann gehört es doch herein.--PaCo 16:52, 29. Feb. 2008 (CET)

Rein in die Kartoffeln oder raus aus die Kartoffeln, du musst Dich schon entscheiden. --rtc 17:01, 29. Feb. 2008 (CET)

Kartoffeln hier off-topic. (Wenn ich sonderliches Interesse an dem DKnuth-Artikel hätte, dann würde ich dafür kämpfen es dort rauszunehmen...) Konstruktiv wird manchmal von allen Mathematikern auch als eigenes Fachwort genommen, um die konstruktiv gültigen Beweisrichtungen gegenüber einer nur axiomatisch gültigen zu unterscheiden. - Insofern kann für die philosophisch-mathematische Richtung eine Unterscheidung konstruktivistisch vs konstruktiv demgegenüber Sinn machen. Ich würde das allerdings nicht empfehlen, weil dies nicht einschlägig belegbar ist, denn die philosophisch-mathematische Richtung nennt sich selbst nicht so und wird nur gelegendlich so genannt.--PaCo 17:19, 29. Feb. 2008 (CET)

Sorg lieber mal dafür, dass Du den Status quo bei Hacker behebst, wo Du vor geraumer Zeit auf die falsche Version revertiert hast um mich ein bisschen zu ärgern, und wo seitdem das Kid auf dem Tisch tanzt. --rtc 10:21, 1. Mär. 2008 (CET)

Genau wegen dieses Unterschieds würde ich immer konstruktivistisch sagen und kenne beispielsweise auch eher Begriffe wie "konstruktivistisch stetig". Wirklich tief in der Materie stecke ich allerdings nicht drin und kenne die einschlägige Literatur auch nicht. --P. Birken 11:33, 1. Mär. 2008 (CET)

Die Ausdrucksweise "konstruktivistisch stetig" kenne ich so nicht. Sie widerspräche genau dem, was ich oben sagte, denn sie nivelliert ja genau den gemachten Unterschied. Kannst Du Quellen nennen? Ich kenne die Sprechweise eigentlich nur so wie in Beweis_(Mathematik)#Konstruktive_und_nicht-konstruktive_Beweise. Habe ich über google gefunden und sehe die Stelle zum erstem Mal...--PaCo 18:03, 2. Mär. 2008 (CET)

Ich denke auch, dass "konstruktivistisch" besser ist, den das Wort beinhaltet auch die Philosophie des ganzen. Auch wenn der Begriff heute abwertend ist und die diskreditierung des ganzen ausdrückt, aber das haben die Konstruktivisten nicht besser verdient. ;) Ich würde eine Umbenennung in "mathematischer Konstruktivismus" vorschlagen, so stehts ja schließlich auch in der Einleitung. --rtc 11:39, 1. Mär. 2008 (CET)

Neee, Kommando zurück! In einem relevantem Maße gibt es weder "mathematischen Konstruktivismus" (eigentlich nur den Aufsatz "Mathematischer Konstruktivismus im Lichte kantischer Philosophie" von Mainzer) noch "konstruktivistische Mathematik" (Grundrauschen von etwa 3%). Seit Gödels Zeiten heißt es "Konstruktive Mathematik" und ob man als Wikipedia-Autor den Namen nun gut findet oder einen anderen vorzieht, tut nichts zur Sache. --Pjacobi 21:24, 2. Mär. 2008 (CET)

Bist Du sicher, dass der mathematische Konstruktivismus und die konstruktive Mathematik nicht etwas verschiedendes sein könnten? Ersteres könnte eher die prinzipiellen philosophischen Positionen meinen, zweiteres ihre Anwendung und die daraus resultierende Mathematik. --rtc 10:44, 3. Mär. 2008 (CET)

Diese Unterscheidung erschiene mir logisch, aber er wird nicht vom realen Sprachgebrauch in der Mathematik gedeckt. Soweit meine Erinnerung, mein Handvorrat an Büchern und im WWW frei zugängliche Literatur reichen -- falls Du Gegenteiliges in signifikanter Qunatität und Qualität auftreiben kannst, nur zu! --Pjacobi 11:00, 3. Mär. 2008 (CET)

Ich habe auch nix handfestes; mir ist nur aufgefallen, dass dieses Suchergebnis größenordnungsmäßig noch vergleichbar viele Treffer liefert wie dieses Möglicherweise wird oft nur von Konstruktivismus gesprochen, wenn der Kontext es sowieso auf den mathematischen festnagelt. --rtc 11:24, 3. Mär. 2008 (CET)

Hochqualifizierte Erörterungen! Man ist in der Lage Google-Abfragen durchzuführen. Donnerschlag. Und weltbewegende Erkenntnisse werden zu Tage gefördert, die unerhört ergreifende wissenschaftliche Erkenntnisse vom höchsten Niveau präsentieren. Donnerschlag. Das man das miterleben darf! Ich erstarre vor Respekt.--PaCo 11:42, 3. Mär. 2008 (CET)

www.mathe-ecke.de? Versuche wenigstens mal Google Books oder Google Scholar zu nehmen. --Pjacobi 14:17, 3. Mär. 2008 (CET)

Das Ergebnis ist dort nicht wesentlich anders. --rtc 14:37, 3. Mär. 2008 (CET)

Dann brauchst Du 'ne Brille: 6:2:52

• http://scholar.google.de/scholar?q=%22konstruktivistische+Mathematik%22&hl=en&lr=&btnG=Search
• http://scholar.google.de/scholar?q=%22mathematischer+konstruktivismus%22&hl=en&lr=&btnG=Search
• http://scholar.google.de/scholar?hl=en&lr=&q=%22konstruktive+Mathematik%22&btnG=Search

--Pjacobi 14:55, 3. Mär. 2008 (CET)

Das waren Deine Suchanfragen, nicht meine. --rtc 15:13, 3. Mär. 2008 (CET)

Ich denke der Stand der Diskussion begründet, dass die Begriffe "mathematische Konstruktivismus" und "Konstruktivistische Mathematik" als TF aus dem Artikel zu tilgen sind. --Pjacobi 16:20, 3. Mär. 2008 (CET)

Hmmmm

Eigentlich sind auch alle anderen Probleme des Artikels ungeklärt, oder? Auch ich würde erst einmal sagen, das Konstruktive Mathematik ganz einfgach Mathematik mit einem anderen als den üblicherweise verwendeten Axiomensystem ist. Intuitionistische Mathematik versucht diese andere Axiomensystem aus der Reflektion über mathematisches Schließen zu bestimmen. Und die Philosophie der Mathematik mag sich meinetwegen damit beschäftigen, welches Axiomensystem "richtiger" ist. --Pjacobi 00:45, 4. Mär. 2008 (CET)

Natürlich sieht das jeder vernünftig denkende Mensch so, aber eben nicht die Konstruktivisten. Für die handelt es sich nicht um Axiome, die Eigenschaften beschreiben (sowas verteufeln sie), sondern um Anweisungen, die besagen, wie ein Objekt zu konstruieren ist. Sie sind der Ansicht, dass Gewissheit nur durch einen solchen Akt des Konstruierens erreichbar ist, frei nach dem Schlagwort: "Am Anfang war die Tat" (Dingler). Und weil Gewissheit ihrer Ansicht nach das Ziel ist und weil der Satz vom ausgeschlossenen Dritten keine Konstruktionsanweisung gibt, wollen sie ihn verbieten. Der Unterschied zwischen Konstruktivisten und Intuitionisten scheint noch zu sein, dass erstere der Ansicht sind, dass diese Konstruktionsanweisungen Dinge nachkonstruieren, die unabhängig vom menschlichen Geist existieren (also eine gewisse Nähe zur platonschen Ideenlehre), während sich für die letzeren die konstruierten Objekte rein im Kopf des Mathematiker befinden, und auch nur am Ende eines Vorgangs, bei dem der Mathematiker die Konstruktion durchrechnet.(Nachträglich editiert) Der Intuitionismus ist eine Unterform des Konstruktivismus, der die Position vertritt, dass sich die konstruierten Objekte rein im Kopf des Mathematiker befinden, und auch nur am Ende eines Vorgangs, bei dem der Mathematiker die Konstruktion durchrechnet. Man kann den Konstruktivismus prinzipiell aber auch objektivistisch vertreten, d.h. zusammen mit der Position, dass die Konstruktionsanweisungen Dinge nachkonstruieren, die unabhängig vom menschlichen Geist existieren (also ähnlich wie die platonsche Ideenlehre). Das ist jetzt alles pauschalisiert und schematisiert und Paco wird sicher wieder aufschreien und sagen das stimmt alles nicht und ist alles POV, aber das war bisher das beste Verständnis, das ich zu diesem Konstruktivistenzeug finden konnte. --rtc 06:20, 4. Mär. 2008 (CET)

Kein Problem, ich nehm den Artikel mal für ein halbes Jahr aus meiner Beobachtungsliste.--PaCo 10:05, 4. Mär. 2008 (CET)

@rtc: Also, Axiome sind weder Eigenschaften noch Handlungsanweisungen. Was redest Du Da? --Pjacobi 11:16, 4. Mär. 2008 (CET)

Ich verstehe die Frage nicht. Ich habe nicht behauptet, dass Axiome Eigenschaften oder Handlungsanweisungen sind. Ich habe gesagt dass nach axiomatischem Verständnis die Sätze der Mathematik Eigenschaften von Objekten beschreiben, nach konstruktivistischem Verständnis Handlungsanweisungen. Die Konstruktivisten lehnen den Axiombegriff ab. --rtc 12:07, 4. Mär. 2008 (CET)

Nein. (Zum letzten Satz). --Pjacobi 13:34, 4. Mär. 2008 (CET)

Ich verstehe nur noch Bahnhof, sorry. Wie ich Paco immer erlebt habe war die axiomatische Mathematik das Feindbild der Konstruktivisten. Wenn Du's besser weißt, dann werd mal etwas expliziter statt Dir jeden Buchstaben einzeln aus der Nase ziehen zu lassen. --rtc 13:42, 4. Mär. 2008 (CET)

Ergänzungen zur Literatur

In Österreich gilt Prof. Rudolf Taschner (Dozent auf der TU Wien) als Vertreter der konstruktiven Mathematik. Er hat ein Einführungswerk (3 Bde) geschrieben:

Rudolf Taschner, Lehrgang der konstruktiven Mathematik Teil 1. Zahl und Kontinuum, Wien: Manz [u.a.], 1991. - 402 S.

Rudolf Taschner, Lehrgang der konstruktiven Mathematik Teil 2. Differentialrechnung, Wien: Manz [u.a.], 1992. - 551 S.

Rudolf Taschner, Lehrgang der konstruktiven Mathematik Teil 3. Funktionen, Wien: Manz [u.a.], 1993. - 383 S.

vgl. http://math.space.or.at/betreiber/taschner.html http://www.pricomm.at/files/weltwoche-int-proftaschner.pdf

Bezug zur theoretischen Informatik

Ich würde mich sehr freuen, wenn ein Experte hier die Gemeinsamkeiten und Unterschiede mit Bereichen der theoretischen Informatik erläutern würde.

Rekursionstheorie (en:recursion theory), Theorie der Berechenbarkeit (computability theory) und Berechenbare Analysis (computable analysis) sind aus meiner Sicht konstruktive Mathematik. Die berechenbaren Objekte werden ja mit endlich vielen elementaren Operationen unter Nutzung endlich vielen Speichers konstruiert.

Mein Eindruck ist, dass der Unterschied nicht so gross ist, vermutlich im Fokus auf allgemeine mathematische Objekte vs. für die Informatik interessante Objekte liegt.

--Marc van Woerkom 13:36, 6. Sep. 2008 (CEST)

Der Zusammenhang liegt auf der Hand. Guter Hinweis! Hartmut Wedekind kennt sich da wohl aus. [1] Aber ohne Belege ist das wohl (noch) Theoriefindung--Pacogo7 19:30, 3. Mai 2009 (CEST)

Vergleich mit engl. Version

Ich habe gerade diese Seite mit dem englischen Pendant (s.d.) verglichen, weil ich über den Absatz mit der Grenzwert-Konstruktion der reellen Zahlen gestolpert bin. Dabei ist mir aufgefallen, daß

• die Behauptung, die konstruktivistisch über Cauchy-Folgen konstruierten Zahlen hätten kleinere Kardinalität als $|\mathbb {R} |$, in der englischen Fassung nur für eine spezielle Spielart des Konstruktivismus, nämlich die algorithmische Auffassung, behauptet wird. In der intuitionistischen Sichtweise ist der benutzte Grenzwertbegriff der gleiche wie üblich, und deswegen kommt auch die Standard-Vervollständigung, nämlich der ganze echte $\mathbb {R}$, heraus.
• die englische Fassung insgesamt wesentlich ausführlicher und -- nach meinem Dafürhalten -- auch vorsichtiger und differenzierter mit den einzelnen Strömungen umgeht. Wie steht die Community dazu, wesentliche Abschnitte des dortigen Artikels zu übersetzen und dann einzubauen?

--SW.vonDeylen (Diskussion) 19:53, 23. Apr. 2012 (CEST)

Cantors Beweis zur Existenz transzendenter Zahlen ist konstruktiv

Cantors Beweis ist konstruktiv. (bzw. lässt sich konstruktiv wenden, den Ausdruck gab es zu seiner Zeit noch nicht.) Die algebraischen Zahlen lassen sich effektiv aufzählen, deren n-te Nachkommastelle lässt sich berechnen. Es gibt also ein Programm, dass die n-te Stelle der n-ten algebraischen Zahl berechnet. Entsprechend gibt es ein Programm, dass die Stellen so einer Cantor-Zahl ausgibt.--Frogfol (Diskussion) 04:19, 23. Aug. 2012 (CEST)

Habe den fraglichen Satz entfernt. Jetzt steht das da so im Raum – fällt dir ein prägnantes, bekanntes, elementares Beispiel ein? --Chricho ¹ ² ³ 22:44, 17. Okt. 2012 (CEST)

Ich fände irgendeine Anwendung des Auswahlaxioms sehr angebracht, weil das ja ein wichtiger Streitpunkt zweischen konstruktiven und nicht-konstruktiven Mathematikern. Eine mögliche Mengenfamilie wäre z.B. die Potenzmenge von IR.--Letkhfan (Diskussion) 14:59, 27. Okt. 2012 (CEST)

Eine Anwendung des Auswahlaxioms wäre etwa der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Irgendein konstruiertes Beispiel macht doch keinen Sinn. Aber ich würde davon absehen, jetzt hier irgend etwas ohne Bezug auf ordentliche Literatur zur Bedeutung des Auswahlaxioms in der Debatte hineinzuschreiben. --Chricho ¹ ² ³ 19:25, 27. Okt. 2012 (CEST)

Erster Satz

Der grenzt vom Platonismus ab, nicht aber vom heute weitaus bedeutenderen Formalismus… Das ist etwas schwach. --Chricho ¹ ² ³ 22:34, 17. Okt. 2012 (CEST)

Naiv

Es erscheint, als würde hier ein Philosoph argumentieren, der keine Ahnung von Mathematik und den Wert der Abstraktion hat. Konstruktive Mathematik schränkt nicht ein, sondern bereichert und verallgemeinert. (Durch frei erfundene Axiome ermöglichte "Konstruktionen" sind problemlos legal. Man muss sie nur explizit angeben statt sie als Default vorauszusetzen. Im Programmierer-Jargon ist das "Programming against an interface".)

Argumentationen darüber, was "die meisten Mathematiker" für richtig und wichtig halten, sind auch egal. Mathematik ist keine Demokratie. Die meisten Mathematiker (gemessen an Mathematikern) sind Idioten, wie überall. --77.5.188.49 01:26, 21. Jun. 2014 (CEST)

Da die Wikipedia aber den Anspruch hat, selbst keine Theorien zu finden, sondern nur Theorien (und "gesichertes Wissen") darzulegen, ist die Meinung der Mehrheit natürlich doch relevant. Schließlich will man den Konsens der Experten darstellen. Es gibt so gut wie immer einige wenige Fachleute, die anderer Meinung sind. In den Artikeln über Kosmologie werden ja auch nicht die Steady-State-Theorie und die Ansichten von Halton Arp erwähnt... (nicht signierter Beitrag von 188.100.31.97 (Diskussion) 23:07, 24. Jan. 2015 (CET))

Die Experten zum Thema konstruktive Mathematik sind innerhalb der Mehrheit der Mathematiker praktisch nicht zu finden. Dieser Fakt wird in deinem Beitrag ignoriert. Im Gegenteil tust du so, als wäre die Mehrheit ein Experte. Die Meinung, dass man weniger beweisen könne, ist zwar verbreitet, aber falsch. Das ist ganz einfach: Erstens kann man "klassische" global angenommene Axiome als lokale Hypothesen explizit benennen. Daher: definitiv nicht weniger. (Es ist vielleicht so, dass einige, die sich als konstruktive Mathematiker verstehen, Sätze mit solchen Hypothesen als uninteressant ansehen, da sie potentiell wichtige Unterscheidungen von vorne herein obliterieren, ohne dass dafür ein wichtiger Grund angegeben wird.) Zweitens spricht man mit weniger Axiomen über mehr Modelle. Man kann (muss aber nicht) auch Axiome verwenden, die etwa mit LEM oder AC nicht verträglich sind. Daher: definitiv sogar mehr.

Zitierbare Experten sind auch leicht zu finden. Man muss nicht von einer schwammig umrissenen und doch sowieso uninteressanten - weil bildungslückenbehafteten - Mehrheit sprechen.

Vernünftigere Infos zum Thema sind unter anderem hier oder im englischsprachigen Schwesterartikel zu finden (jeweils mit weiterführenden Referenzen). --217.51.90.49 01:31, 14. Feb. 2015 (CET)

Existenzaussagen

Aus dem Artikel:

Mathematische Aussagen der Form „Es gibt …“ werden abgelehnt und − wenn möglich − ersetzt durch Sätze der Form „Wir können … konstruieren“ (bspw. „Es gibt irrationale Zahlen $a$, $b$, so dass $a^{b}$ rational ist.“ vs. „Wir können solche Zahlen $a$, $b$ konstruieren“).

In der Quelle steht jedoch:

Constructive mathematics is distinguished from its traditional counterpart, classical mathematics, by the strict interpretation of the phrase “there exists” as “we can construct”.

Die Formulierung „Es gibt …“ wird durchaus verwendet, nur wird $\exists x\ P(x)$ in der konstruktiven Mathematik eben erst dann als wahr angenommen, wenn es auch möglich ist, ein $x$, für das $P(x)$ gilt, zu konstruieren. -- IvanP (Diskussion) 19:37, 1. Aug. 2019 (CEST)