Diskussion:Orthogonalprojektion

Grafiken

In den Grafiken ist ein kleiner Fehler, der sich aber durchzieht: Der grüne Differenzvektor $x-P(x)$ müsste doch den Pfeil an der anderen Seite haben. -- HilberTraum (Diskussion) 16:16, 20. Jun. 2012 (CEST)

Wenn man mit dem Text vergleicht: Dort steht auch PP' bzw. P(x)-x. Falsch ist somit wohl nur die Beschriftung im ersten Bild. --Digamma (Diskussion) 16:53, 20. Jun. 2012 (CEST)

Meinst du im dritten und im fünften Bild jeweils P(x) - x statt x - P(x)? So würde es auch gehen. -- HilberTraum (Diskussion) 17:21, 20. Jun. 2012 (CEST)

Nochmal nachgedacht: Für die Geometrie ist es wohl egal, aber in Hinblick auf die abstrakteren Anwendungen unten fände ich x - P(x) und umgekehrte Pfeile schöner. Grundgedanke ist ja x in eine orthogonale Summe zu zerlegen, also x = Px + (I-P)x, d.h. in Px und x - Px. -- HilberTraum (Diskussion) 17:38, 20. Jun. 2012 (CEST)

Ich habe die Beschriftung korrigiert, danke für den Hinweis. Ich denke, die Pfeilrichtung ist zumindest in der Geometrie so rum intuitiver (es heißt ja auch Pro-jektion). Ich kann aber gerne noch eine Grafik zur orthogonalen Zerlegung machen, wo die Pfeilrichtung andersrum ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:52, 20. Jun. 2012 (CEST)

Hier

ist die Beschriftung noch falsch. --Digamma (Diskussion) 20:19, 20. Jun. 2012 (CEST)

Du musst wahrscheinlich deinen Browser-Cache erst leeren, damit du die neuen Versionen angezeigt bekommst. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:35, 20. Jun. 2012 (CEST)

Ja, du hast recht. Nach dem Leeren des Cache ist es nun richtig. --Digamma (Diskussion) 22:04, 20. Jun. 2012 (CEST)

Danke für die prompte Korrektur und den schönen, ausführlichen Artikel! -- HilberTraum (Diskussion) 21:22, 20. Jun. 2012 (CEST)

Danke für das Lob! Wäre es eigentlich besser, wenn ich jeweils Punkte in die kleinen Vierteilkreise eintrage, oder ist auch so verständlich, dass es sich um rechte Winkel handelt? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:52, 2. Jul. 2012 (CEST)

Wäre mir jetzt gar nicht so aufgefallen, aber stimmt, Punkte in den Viertelkreisen fände ich gut. -- HilberTraum (Diskussion) 13:42, 3. Jul. 2012 (CEST)

Habe ich ergänzt. Wenn jemand noch weitere Ideen zu (einfach realisierbaren) Grafiken hat, nur her damit. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:56, 4. Jul. 2012 (CEST)

Meinst du das allgemein und nicht nur auf diesen Artikel bezogen? Wenn ja: Der Artikel Skalarprodukt könnte schönere Grafiken vertragen. --Digamma (Diskussion) 22:14, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ich kann das Angebot natürlich auf andere Artikel in meinem momenaten Tätigkeits-Dunstkreis erweitern. Sollen die Grafiken in Skalarprodukt genauso, nur hübscher (farbig/mit Koordinatensystem etc.) werden oder auch inhaltlich anders? Vorschläge und Wünsche kannst du einfach auf dortigen Disk äußern. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 23:01, 4. Jul. 2012 (CEST)

Antwort dort. --Digamma (Diskussion) 20:59, 5. Jul. 2012 (CEST)

Projektion auf eine Ebene

Ich denke die alternative Berechnungsmethode mit dem Normalenvektor kommt viel zu "schlecht weg". Das dürfte die Methode sein, die im Schulunterricht gelehrt wird, und sie ist für nicht orthogonale Spannvektoren wohl auch deutlich einfacher. Wenn man den Normalenvektor n hat (berechnen geht einfach mit dem Kreuzprodukt), muss man kein Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen, sondern hat nur noch eine Unbekannte, d.h. man kann P(x) explizit angeben. In Spezialfall mit Ursprungsebene und normiertem n, bekommt man z.B. P(x) = x - (x · n) n. -- HilberTraum (Diskussion) 21:22, 20. Jun. 2012 (CEST)

Ja, du hast recht. Passt es so jetzt? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:41, 20. Jun. 2012 (CEST)

In 2D geht das natürlich dann analog. Die Schule ist einfach schon zu lang her :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:51, 20. Jun. 2012 (CEST)

Ok, jetzt hab ich es begriffen. Die alternative Darstellung ist immer dann vorteilhaft wenn die Dimension des Unterraums entsprechend groß ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:01, 24. Jun. 2012 (CEST)

Berechnung

Müsste in dem Fall wenn die Spannvektoren orthonormal sind die Formel nicht $\left|{\vec {u}}\right|\cdot \left|{\vec {u}}\right|=\left|{\vec {v}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|=1$ sein? (Anstelle von: ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=1$) --134.60.79.246 18:10, 27. Jul. 2012 (CEST)

Das ist eine gleichwertige Forderung, denn

${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=1\Leftrightarrow \left|{\vec {u}}\right|={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}=1\Leftrightarrow \left|{\vec {u}}\right|\cdot \left|{\vec {u}}\right|=1$.

Die Bedingung aus dem Artikel hat den Vorteil, dass man sie direkt in die darüberliegende Formel einsetzen kann. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:48, 27. Jul. 2012 (CEST)

Einschränkung für Angebbarkeit

„Damit eine Orthogonalprojektion auch explizit angegeben werden kann, muss der Raum noch weiter eingeschränkt werden.“

Worauf muss er eingeschränkt werden? Mir fällt kein besseres Kriterium ein als „auf Räume, wo man für den entsprechenden Unterraum, auf den projiziert werden soll, eine Orthonormalbasis angeben kann“ (wobei man die Projektion vllt. auch schonmal anderweitig darstellen kann, da fällt mir aber kein Beispiel ein). Separabilität ist jedenfalls unerheblich dafür, die im Rest des Abschnitts benutzt wird (auf $\ell ^{2}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))$ kann ich das problemlos angeben, auch wenns nicht separabel ist, auf $L^{2}({\text{absurde, lokalkompakte A2-Gruppe}})$ womöglich nicht, auch wenns separabel ist). Kann der Satz vllt. einfach weg? --Chricho ¹ ² ³ 15:37, 21. Jun. 2012 (CEST)

Separabilität ist halt hinreichend, aber nicht notwendig (wobei ich jetzt auch keinen anderen Fall nennen könnte). Wenn dir eine bessere Formulierung einfällt, nur zu. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:46, 21. Jun. 2012 (CEST)

Wieso hinreichend? Ein Isomorphismus in den $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ muss sich doch nicht unbedingt explizit angeben lassen, genauso wenig wie ein Isomorphismus in den $\ell ^{2}(d)$ bei irgendeiner anderen Dimension $d$. --Chricho ¹ ² ³ 15:57, 21. Jun. 2012 (CEST)

Ok, die Frage ist: was heißt explizit angebbar. Ich habe damit die darunterstehende Reihendarstellung gemeint, vielleicht kann man das irgendwie besser formulieren? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:03, 21. Jun. 2012 (CEST)

Wenn man eine ONB hat, dann sieht die Reihendarstellung im Nicht-Separablen Fall genauso aus, die besselsche Ungleichung funktioniert da ja auch genauso, insbesondere sind stets nur abzählbar viele Koeffizienten in dieser Darstellung ungleich Null, sodass da nicht viel mehr passiert. --Chricho ¹ ² ³ 16:13, 21. Jun. 2012 (CEST)

Ja, wenn du eine ONB für den Unterraum hast, dann ist es klar, aber wie bekommst du die im Allgemeinen abzählbar beispielsweise für den nichtseparablen Raum $\mathrm {AP} ^{2}$ der fast-periodischen Funktionen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:27, 21. Jun. 2012 (CEST)

Die ist im Allgemeinen nicht abzählbar. Aber wenn du jetzt eine Orthonormalbasis $v_{i}$ mit einer beliebigen Indexmenge $I\ni i$ hast, die dan Unterraum $V$ aufspannt, also $V={\overline {\operatorname {span} (\{v_{i}\})}}$, dann konvergiert für jedes $u$ aus dem Gesamtraum

$\sum _{i\in I}\langle u,v_{i}\rangle =P_{V}(u)$

unbedingt. Insbesondere git nur für abzählbar viele $i\in I$ $\langle u,v_{i}\rangle \neq 0$ (so etwas wie eine überabzählbare Summe von reellen Zahlen ungleich $0$ gibt es (üblicherweise) nicht), d. h. wenn dir das lieber als unbedingte Konvergenz ist, kannst du dir auch genauso gut vorstellen, dass du dir abzählbar viele rausgepickt und die auf die übliche abzählbare Weise aufaddiert hast. --Chricho ¹ ² ³ 16:40, 21. Jun. 2012 (CEST)

Ok, jetzt verstehe ich was du meinst. Separabilität reicht für eine explizite Angebbarkeit nicht aus, weil man den Isomorphismus auf $\ell ^{2}$ nicht kennt. Stattdessen sollte man direkt die Angabe einer ONB für den Unterraum fordern. Wie formuliert man das am besten? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:50, 21. Jun. 2012 (CEST)

Wie wäre es so? Ansonsten wäre ich dafür, den nicht-separablen Fall aufzunehmen, aber da wollte ich dich vorher fragen. Denkst du, man sollte dann trotzdem den abzählbaren Spezialfall erstmal davor stehen lassen? --Chricho ¹ ² ³ 17:23, 21. Jun. 2012 (CEST)

Liest sich noch etwas holprig, aber ich verstehe auf was du raus willst. Ich denke, man sollte beide Fälle erwähnen, erst den separablen mit $\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }$ und dann den nicht-separablen mit $\textstyle \sum _{i\in I}$. Aber deswegen musst du nicht speziell mich vorher fragen ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:10, 21. Jun. 2012 (CEST)

Genau an einer solchen Antwort war ich interessiert. ;) Wär dir die Formulierung andersrum lieber: Erst darauf hinweisen, dass es eine ONB gibt, und dann erst, dass man damit die Projektion darstellen kann? --Chricho ¹ ² ³ 20:35, 21. Jun. 2012 (CEST)

Ja, darüber habe ich auch gerade gegrübelt, momentan geht es einmal zu viel hin und her. Erst die Existenz einer ONB und dann die Darstellung der Projektion ist denke ich besser. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:54, 21. Jun. 2012 (CEST)

Dann hab ich das einfach mal gemacht. --Chricho ¹ ² ³ 21:10, 21. Jun. 2012 (CEST)

Wunderbar. Vielen Dank, --Quartl (Diskussion) 21:28, 21. Jun. 2012 (CEST)

Vorsicht wegen Sesquilineariät

Der Artikel verweist auf den Artikel Skalarprodukt. Dort werden Skalarprodukte im komplexen Fall als semilinear im ersten und linear im zweiten Argument definiert (Physiker-Konvention). Bei den Formeln zur Berechnung der orthogonalen Projektion mit Hilfe einer ONB und des Skalarprodukts muss dann der Vektor, der projiziert wird, im Skalarprodukt an zweiter Stelle stehen, damit die Abbildung linear ist. Beispiel: Statt

$P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}\langle v,u_{i}\rangle u_{i}$

muss es

$P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}\langle u_{i},v\rangle u_{i}$

heißen. Das gilt an vielen Stellen im Artikel, sowohl im Teil lineare Algebra als auch im Teil Funktionalanalysis. Die Definition für das Skalarprodukt zu ändern würde nicht genügen, denn an einigen Stellen wird das Standardskalarprodukt verwendet in der Definition

$\langle x,y\rangle =x^{H}y.$

Mit dieser Definition ist es semilinear im ersten Argument und linear im zweiten. --Digamma (Diskussion) 22:33, 4. Jul. 2012 (CEST)

Gibt es da einen WP-Standard? Gram-Schmidt und Orthonormalbasis scheinen auch die Physikervariante zu nutzen. Gibt es konkrete Vor- und Nachteile? --Chricho ¹ ² ³ 22:50, 4. Jul. 2012 (CEST)

Es gibt halt nicht eine Definition sondern zwei Definitionen. Vielleicht sollte das in Skalarprodukt noch stärker herausgestellt werden. Innerhalb eines Artikels sollte die Verwendung des Skalarprodukts natürlich konsistent sein, ich werde das hier natürlich korrigieren. Konsistenz zwischen den Artikeln zu erwingen halte ich aber nicht für sinnvoll, denn es gibt zwei gleichwertig gültige Definitionen. Vielmehr sollte man im Zweifelsfall dazu sagen, welche der beiden Definitionen man verwendet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 23:15, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ja sicherlich ist keine falsch, beide werden oft benutzt. Man muss es nicht erzwingen, aber falls man gerade Glück hat und die meisten Artikel die eine Variante benutzen, könnte man ja auch den hier angleichen (wo ja bei beiden Varianten hier etwas geändert werden müsste). --Chricho ¹ ² ³ 23:20, 4. Jul. 2012 (CEST)

Bei den Normen habe ich jetzt relativ konsistent (mit einer Ausnahme, die ich nachträglich umgeändert habe) die zweite Komponente konjugiert. Ansonsten geht es in der Mathematik recht durcheinander. Ich würde mich jetzt gegen einen WP-weiten Standard nicht sperren, aber das müsste schon im Portal beschlossen und in den Richtlinien vermerkt werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 23:46, 4. Jul. 2012 (CEST)

Es gab hier mal eine alte Diskussion dazu, mit dem Tenor, dass es mathematisch egal ist, in Mathebüchern beide Varianten vorkommen mit einem leichten Übergewicht der Version vorne linear, hinten semilinear, die Physiker aber durchweg die andere Variante vorne semilinear, hinten linear benutzen. Die Empfehlung war damals, da es mathematisch egal ist und die Mathematiker sich eh nicht einig sind, die Physikervariante zu benutzen, aber im Prinzip muss es nur innerhalb eines Artikels einheitlich sein, und jeder Artikel muss sagen, welche Variante er benutzt.

Ich habe daraufhin (bei größeren Bearbeitungen, die sowieso anstanden), die Artikel Prähilbertraum, Sesquilinearform und Skalarprodukt nach der Physikervariante vereinheitlicht. Natürlich immer mit dem Zusatz, dass es auch die andere Variante gibt. Ein Grund für mich, diese Variante zu bevorzugen, ist die Form des Standardskalarprodukts. Wenn man Vektoren wie üblich als Spaltenvektoren versteht, dann lautet das Standardskalarprodukt mit der Physikervariante $\langle x,y\rangle =x^{H}y$. Der Vektor, der transponiert wird, wird auch konjugiert. Mit der Variante vorne linear, hinten semilinear wäre es $x^{T}{\overline {y}}$, vorne transponiert, hinten konjugiert. --Digamma (Diskussion) 13:27, 5. Jul. 2012 (CEST)

Oder $y^{H}x$, das ist die Version, mit der ich aufgewachsen bin :-). Ich habe eine entsprechende Anmerkung ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:31, 5. Jul. 2012 (CEST)

Möglicherweise bin ich betriebsblind, aber ich bin den Artikel nochmal durchgegangen und es wird durchgängig die Skalarprodukt-Variante, die im zweiten Argument semilinear ist, verwendet. Wo genau ist es denn inkonsistent? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:59, 5. Jul. 2012 (CEST)

Wo steht denn so etwas ($\langle x,y\rangle =x^{H}y.$) im Artikel? Habe es jetzt nicht gefunden. --Chricho ¹ ² ³ 11:03, 5. Jul. 2012 (CEST)

Im Abschnitt Matrixdarstellung #Koordinaten steht

Wählt man für den Vektorraum $V$ eine Orthonormalbasis $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ bezüglich des Skalarprodukts $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, dann kann jeder Vektor $v\in V$ als Koordinatenvektor $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in {\mathbb {K} }^{n}$ über

$v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$   mit   $x_{i}=\langle v,e_{i}\rangle$

dargestellt werden. Die Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sind dabei genau die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die Basisvektoren. Das Skalarprodukt $\langle v_{1},v_{2}\rangle$ zweier Vektoren $v_{1},v_{2}\in V$ ist in Koordinatendarstellung dann das Standardskalarprodukt $x_{2}^{H}x_{1}$ der zugehörigen Koordinatenvektoren $x_{1},x_{2}\in {\mathbb {K} }^{n}$, wobei $x^{H}$ der adjungierte Vektor (im reellen Fall der transponierte Vektor) zu $x$ ist.

OK, ich habe hier übersehen, dass $x_{2}$ und $x_{1}$ vertauscht wurden. Dann ist es natürlich richtig (aber aus meiner Sicht sehr unschön und sehr leicht zu übersehen).

Aber hier noch eine andere Anmerkung: $x_{1},x_{2}$ sind in den ersten beiden Sätzen die erste Koordinaten des Vektors $x$, im dritten Satz aber zwei komplette Koordinatenvektoren. --Digamma (Diskussion) 13:27, 5. Jul. 2012 (CEST)

Danke für den Hinweis, ich habe die Bezeichnungen etwas abgeändert und hoffe, es ist so weniger verwirrend. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:25, 5. Jul. 2012 (CEST)

Mein LA-Prof hat Zeilenvektoren verwendet und $xy^{+}$ geschrieben (+ für das Adjungieren). Gruß zurück. --Digamma (Diskussion) 19:13, 5. Jul. 2012 (CEST)

Verwechslungsgefahr bei den Formeln von 'Projektion auf eine Gerade'

In dem Kapitel Projektion auf eine Gerade heißt es in dem Text nach der Überschrift Berechnung dass ${\vec {r}}_{0}=(0,0)$ gilt. Diese Bemerkung - finde ich - geht unter, wenn man sich nur schnell die Formel ziehen möchte. Weiter unten bei der Überschrift Allgemeinfall kommt dann erst die Formel welche man tendenziell sucht.

Persönlich finde ich die Überschrift 'Berechnung' etwas schlecht gelungen! Meines erachtens ist hier die Überschrift 'Herleitung' geeigneter, da sie mit der Beschränkung auf Ursprungsgeraden nicht die allgemeingültige Formel entsteht. Daher schlage ich vor, die Überschrift Berechnung in Herleitung und die Überschrift Allgemeinfall in Berechnung zu ändern. Dies ist zwar nur eine kleine Änderung, wird die Verwechslungsgefahr meines erachtens jedoch enorm reduzieren. (nicht signierter Beitrag von 145.253.240.50 (Diskussion) 09:18, 4. Dez. 2014‎ (CET))

Danke für den Vorschlag, ich habe ihn direkt umgesetzt. Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:24, 4. Dez. 2014 (CET)

Fehler beim Abschnitt Funktionalanalysis bei der Definition einer Orthogonalprojektion

Da fehlt doch, dass die Abbildung idempotent ist. So ist das doch Unfug. (nicht signierter Beitrag von 134.60.66.220 (Diskussion) 18:02, 7. Feb. 2020 (CET))

Heute, 2 1/2 Jahre später, ist das doch immer noch falsch. Man bräuchte, dass die Abbildung idempotent ist oder dass sie eine Operatornorm von 1 hat (das wird im Funktionalanalysis-Buch von Werner gefordert), damit die Definition der gängigen Definition entspricht. Wenn man nach der aktuellen Definition eine Orthogonalprojektion P hat, so ist 2P auch eine solche.--134.155.216.19 17:55, 8. Aug. 2022 (CEST)

Du hast Recht. Du kannst es gerne korrigieren, ich sichte es dann. Ich mag es nicht selbst korrigieren, weil ich kein Fachbuch habe, aus dem ich die Definition entnehmen könnte bzw. mit dem ich die Definition belegen könnte. --Digamma (Diskussion) 18:48, 8. Aug. 2022 (CEST)

Fehler bei der Algebraischen Darstellung

Dort wird die Orthogonalprojektion auf Vektorräumen definiert, aber man muss doch einen Hilbertraum verlangen, damit die Nennung des Skalarproduktes Sinn ergibt. (nicht signierter Beitrag von 2003:C2:CF15:8D00:493C:50BD:3FA3:D089 (Diskussion) 17:11, 20. Jun. 2022 (CEST))

Das steht doch im Absatz darüber, dem einleitenden Absatz im Abschnitt "Lineare Algebra". "Algebraische Darstellung" ist nur ein Unterabschnitt davon. Man muss für die Definition keinen Hilbertraum voraussetzen, sondern nur einen Vektorraum mit Skalarprodukt (Prähilbertraum). --Digamma (Diskussion) 20:15, 20. Jun. 2022 (CEST)