Diskussion:Pythagoreisches Tripel

Frage

Mich interessiert mal folgendes:

Ich habe für mich ein paar Formeln, zur Berechnung der Zahlen der pythagoräischen Tripel, aufgestellt, die den hier verwendeten nicht Widersprechen (nebenbei gefallen mir meine Formeln besser). Die Formeln, um die es hier geht, beutzen a, b, c, n = (c - b) und m = (c - a):

$a={\sqrt {b+c}}=2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+n={\frac {b^{2}-m^{2}}{2m}}={\sqrt {n(2b+n)}}$

$b=2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+m={\frac {a^{2}-n^{2}}{2n}}={\sqrt {m(2a+m)}}$

mit den beiden Formeln n = c - a und m = c - b kann ich mit zwei bekannten Zahlen den Rest des Tripels rekonstruieren.

Es würde mich freuen, wenn sich jemand mal zu diesen Formeln äussert. --Arbol01 20:28, 16. Mär 2004 (CET)

Hier ist ein uninteressierter Schüler der gezwungen wurde diese Seite anzusehen. Ich kapiere garnichts. --Benutzer:203.125.77.114

Ich kann den Schüler verstehen, den dies hier gar verwirrt. Die Darstellung der Tripel in der Form m²-n² , 2mn, m² + n² reicht völlig. Es gibt aber eine alternative Darstellung (u² + v²)/2 , uv, (u² -v²)/2. Beide Darstellungen lassen sich in einander überführen. Setze dazu u = (m+n) und v = (m-n). Arbol01 hat offenbar mit der zweiten Darstellung herumgerechnet, wobei er allerdings die Bezeichungen m,n statt u,v gewählt hat. --88.152.231.121 12:43, 24. Jan. 2012 (CET)

oder so was Ähnliches, ich verstehe es auch nicht, was er damit erreichen will. --88.152.231.121 12:47, 24. Jan. 2012 (CET)

@Arbol01: Was willst du mit deinen Formeln bezwecken? Aus zwei Zaheln die dritte rekonstruieren ging ja auch schon vorher. Pinoccio 4. Jul 2005 16:30 (CEST)

Ausgehend von den Beiden folgenden Formeln $a=2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+n$ und $b=2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+m$ kann man folgende Überlegung anstellen: Wenn man eine Zahl $2x^{2}=m\cdot n\$ so zerlegt, das die beiden Faktoren teilerfremd sind, so bekommt man Tripel, bei denen a, b und c ebenfalls teilerfremd zueinander sind.

2x2	n	m	a	b	c
2	1	2	3	4	5
8	1	8	5	12	13
18	1	18	7	24	25
18	2	9	8	15	17
32	1	32	9	40	41
50	1	50	11	60	61
50	2	25	12	35	37
72	1	72	13	84	85
72	8	9	20	21	29
98	1	98	15	112	113
98	2	49	16	63	65
...	...	...	...	...

--Arbol01 12:18, 31. Okt 2005 (CET)

e oder ä?

Scheint eine schwierige Frage zu sein, ich komme jedenfalls nicht aus Österreich und kenne die Schreibung mit ä. Google sagt: 87 für e und 101 für ä, aber mit leicht veränderten Suchanfragen bekommt man auch problemlos andere Zahlen.--Gunther 12:00, 8. Mär 2006 (CET)

Im Duden steht es mit "e", die Schreibweise mit "ä" wird dort mit österr. gekennzeichnet. Das pythagoreische Komma wird z. B. in der musiktheoretischen Fachliteratur immer mit "e" geschrieben. Ich bin der Meinung das wir uns gut auf ein "e" einigen können und die Schreibweisen mit "ä" als Redirect anlegen, was ja auch schon geschehen ist. Google liefert folgende Ergebnisse: pythagoreisch 506; pythagoräisch 252; Pythagoreer 17400; Pythagoräer 12400; Auch wenn ich nicht der Meinung bis das Google das Maß aller Dinge sein soll, sind die Ergebnisse aus Duden und Web in meinen Augen eindeutig. Auch sollte hier bedacht werden, das diese Frage nicht nur Mathematiker bedrifft sondern auch andere Fachgebiete. Ich komme aus dem Bereich der Musik und habe dort eine Schreibweise mit "ä" bisher nur sehr selten gesehen. --Thornard, ^Diskussion, 11:59, 9. Mär 2006 (CET)

Beides ist verbreitet, von daher erscheint es mir relativ egal. Generell sollte man unterschiedliche Konventionen in unterschiedlichen Fachbereichen aber akzeptieren. Gibt es denn irgendwelche Argumente, die sich auf die Wortentstehung stützen?--Gunther 12:22, 9. Mär 2006 (CET)

Die Wortentstehung ist sicher eine Frage für Sprachwissenschaftler. Auch kann ich mir noch viele ähnliche Problemfälle vorstellen. Dass man generell unterschiedliche Konventionen in unterschiedlichen Fachbereichen akzeptieren sollte, finde ich auch. Allerdingst finde ich, dass das hier keine Frage der Konvention ist, sondern eine Frache der deutschen Rechtschreibung. Frage: Wie werden Adjektive dieser Art gebildet? --Thornard, ^Diskussion, 12:46, 9. Mär 2006 (CET)

Mhh, die Österreicher haben die bessere Schreibweise, weil sie einen Hiat erzwingen. In Wikipedia darf man ja nur Vorhandenes darstellen, aber mag mal jemand den Leuten von der Rechtschreibreform vorschlagen, es "pythagorëisch" zu buchstabieren? Das wäre nicht nur ein guter Kompromiss, sondern auch die korrekte deutsche Schreibweise für den Glottisschlag. ;) --Modran 09:37, 17. Jun. 2010 (CEST)

Apfel -> Äpfel
Pythagoras -> pythgoräisch
Ist eigentlich nicht so schwer, oder?

Besser: Birnen, nichtglühende. Unvergleichlich. Ein Einzelne. Der Verdauung wegen. --Helium4 (Diskussion) 14:27, 28. Aug. 2020 (CEST)

Aus dem Artikel

Entschuldigung, ich weis, das hier keine Fragen rein gehören, aber vielleicht weis jemand, ob es auch Pythagoreische Tripel gibt, bei denen u und v gleich sind. Fals nicht bitte trotzdem schreiben. Danke. (nicht signierter Beitrag von 84.145.121.193 (Diskussion) 22:46, 8. Mär 2006) (aus dem Artikel hierher verschoben von Gunther 22:51, 8. Mär 2006 (CET))

Dann ist $x=0$ und $y=z=2u^{2}$, es handelt sich also jedenfalls nicht um ein primitives Tripel.--Gunther 22:51, 8. Mär 2006 (CET)

Nach der Definition im Artikel ist das gar kein p. T. (nur positive Zahlen sind zugelassen) Gruß von Wasseralm 08:30, 9. Mär 2006 (CET)

vielleicht kann man folgende Berechnug auch im Artikel unterbringen

 a = 2*(n-1)+1   
 b = 2*(n-1)*n
 c = 2*(n-1)*n+1
 

für jedes n grösser gleich 1 ergibt sich ein primitives Tripel

n     a       b       c
1     1       0       1     ( nur wenn 0 als Natürliche Zahl gilt )
2     3       4       5
3     5      12      13
4     7      24      25
5     9      40      41
6    11      60      61
7    13      84      85

usw (nicht signierter Beitrag von 195.243.150.181 (Diskussion) 15:23, 22. Mär 2006)

Das ist der Spezialfall $p=n,q=n-1$.--Gunther 23:42, 25. Mär 2006 (CET)

Die ersten primitiven pythagoreischen Tripel

39 80 89?

65 72 97?

Alle Zahlen < 101.

84.141.163.17 20:37, 12. Nov. 2008 (CET)

mich wundert daß hier der herkömmliche Herleitungsweg, Lösung der diophantischen Gleichung, fehlt

a²+b² = c² a² = (c+b)(c-b) = x²y², c = (x²+y²)/2, b = (x²-y²)/2 ....

Aber noch einfacher ist es mit Komplexen Zahlen

Wenn $\{a,b\}\subset \mathbb {Z}$, gilt nicht nur $\{A,B\}\subset \mathbb {Z}$ für $\displaystyle {z=(a+\iota b)^{2}=A+\iota B}$ sondern auch für den Betrag $C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\in \mathbb {Z}$ womit $\displaystyle {\{A,B,C\}}$ Pythagoreische Tripel sind.

Schreibfehler?

Müsste in dem Abschnitt über Erzeugen eines p. Tripels nicht stehen: "falls, u und v teilerfremd, erhält man ein primitives Tripel {x,y,z}", anstatt "falls x, y teilerfremd, ... ". So macht es auch nicht wirklich Sinn.

Falls sich in den nächsten Tagen niemand über meine bevorstehende Änderung beschwerdt, werde ich es korrigieren ~~schuster (nicht signierter Beitrag von 134.130.240.58 (Diskussion | Beiträge) 21:47, 26. Sep. 2009 (CEST))

Ich änder mal.schuster ~~ ----

bin mir jetzt nicht mehr sicher, weil wann sind 1 und eine andere natürliche zahl teilerfremd. habs mal wieder rückgängig gemacht. schuster ~~ ---- (nicht signierter Beitrag von 134.130.244.38 (Diskussion | Beiträge) 23:22, 27. Sep. 2009 (CEST))

Also ich dachte auch es sollte u, v heißen. Insbesondere auch, weil in der Auflistung darunter (u, v) = (6, 3) fehlt, was nicht teilerfremd ist und auch ein nicht-primitives Tripel ergibt. Natürlich ist das noch kein Beweis, aber vielleicht kann jemand Schlaues mal rausfinden, was denn nun richtig ist :) -- 62.227.201.90 12:51, 16. Nov. 2009 (CET)

Modrans Eintrag steckt voller Fehler

(Kopie von Benutzer-Disukssion)

1. Das hochgeladene Bild zeigt nicht, was es soll. Ich weiß nicht, welche Formel hierfür zugrunde liegt, jedenfalls ist es nicht gleichbedeutend mit pythagoreischen Tripeln. Das zeigt allein schon, dass Werte auf der 1. Winkelhalbierenden liegen, was nicht sein kann. 2. Das Bild zeigt Werte im Intervall von 1 bis 1000, nicht wie angegeben 1 bis 2500. 3. Die "deutlich dunklen Linien" sind hier auch keine exakten Geraden (die es sein müssten!) und zeigten im Übrigen Tripel der Form n3²+n4²=n5² bzw. (3n)²+(4n)²=(5n)² und nicht wie angegeben 3n²+4n²=5n². 4. Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden liefert das Inverse einer Funktion. Dass das Inverse des Inversen den Ursprungswert liefert, ist trivial und als Solches keine Veranschaulichung des Kommunikativgesetzes. -- 84.180.124.5 06:33, 27. Jun. 2011 (CEST)

Danke für Deinen Hinweis. Aber das Bild zeigt wirklich die Werte im Intervall 1 bis 2500. Da es jedoch nur 1000*1000 Pixel groß ist, sind die Positionen nicht exakt. Aus diesem Grund sind die Geraden auch nicht sauber. Die Alternativen wären gewesen, bei gleicher Bildgröße nur die Werte bis 1000 zu rendern, oder das Bild 2500*2500 groß zu machen - beides führte spätestens in der Thumbnail-Version zu unbefriedigenden Ergebnissen. Mit der Klammersetzung hast Du recht, korrigiere ich. Zu 4.: Das Bild zeigt kein Diagramm der Form y=f(x)! --Modran 07:25, 11. Jul. 2011 (CEST)

Fundamentaler Satz

Alle primitiven Tripel lassen sich in der Form (m² - n², 2 mn, m² + n²) mit teilerfremdem m,n und m+n ungerade schreiben. Dies ist jedenfalls aus meiner Sicht die zentrale und wichtige Aussage. --88.152.231.121 12:53, 24. Jan. 2012 (CET)

Und weil's so wichtig ist, steht's ja auch im Artikel, oder was ist jetzt genau das Problem? -- HilberTraum 18:11, 24. Jan. 2012 (CET)

ihr seid zwar alle mathematisch genial aber in deutsch hatet ihr genau wie ich ne 4 oder (nicht signierter Beitrag von 188.99.236.213 (Diskussion) 14:21, 31. Jan. 2012 (CET))

Unverständliche und unnötige Aussage

Der Satz

Man erhält alle pythagoreischen Tripel genau einmal, wenn man damit jedes primitive Tripel x,y,z berechnet und mit allen natürlichen Zahlen n>0 multipliziert: nx,ny,nz.

ist aus meiner Sicht eine Zumutung für den Leser. Genau einmal - was soll diese Aussage hier bedeuten? Es ist selbstverständlich, dass jedes pythagoreische Tripel (X,Y,Z) aus einem primitiven Tripeln (x,y,z) als (X=nx, Y=ny, Z=nz) mit einer natürlichen Zahl n>0 berechnet werden kann. Ja, die Zahl n, der größte gemeinsame Teiler von X, Y, Z, ist dabei eindeutig bestimmt. Aber wichtig erscheint mir diese Aussage nicht. Eigentlich kann der Satz ganz gelöscht werden. --88.152.231.121 17:52, 5. Feb. 2012 (CET)

Kuerzen

Genau betrachtet kann man nicht von gekuerzte Zahlen x,y und z reden. Die Definition von 'kuerzen' bezieht sich auf einen Bruch. Nijdam (Diskussion) 11:13, 9. Jun. 2013 (CEST)

Haskell Code

Der Haskell code scheint mir unnötig komplex (hier geht es schließlich auch irgendwie um Verständlichkeit), wie wäre es mit dieser Variante, welche zum gleichen Ergebnis führt, sehr viel verständlicher ist und zudem noch extrem nah an der mathematischen Formulierung:

pythTripels n = [(x,y,z) | x <- [1   .. n-2],
                           y <- [x+1 .. n-1],
                           z <- [y+1 .. n  ],
                           x*x + y*y == z*z]

-- Jazzorn (Diskussion) 21:01, 22. Jun. 2013 (CEST)

Es sollen aber doch die Formeln von oben benutzt werden und nicht die Lösungen durch Ausprobieren gefunden werden. -- HilberTraum (Diskussion) 20:23, 23. Jun. 2013 (CEST)

Diese Ansatz wurde offenbar beim Python-Code nicht gefolgt. Dort ist "elegant" in meinen Augen auch recht pov. Möglichst kurzer Code ist nicht zwingend verständlich und elegant. -- Phil1881 (Diskussion) 00:03, 27. Sep. 2021 (CEST)

Gut verständlich ist der Python-Code ja schon, und in dem Sinn "elegant". Aber eben naiv und ineffizient und die Erkenntnisse, die im Artikel dargestellt werden, nicht ausnutzend. Einen Mehrwert sehe ich da nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:48, 8. Aug. 2022 (CEST)

Alternative Methode zur Erzeugung der pythagoreischen Tripel

In dem sehr informativen Artikel wird unter "Erzeugung der pythagoreischen Tripel" und "Die ersten primitiven pythagoreischen Tripel", eine Formel mit deren Herleitung gut verständlich vorgestellt. Für den Leser ensteht m. E. der Eindruck es gibt hierfür nur diese Formel.
Mein Vorschlag wäre die folgende leicht nachvollziehbare Formel, zu der nach Proklos angeblich von Pythagoras entdeckten Methode für Tripel der Form u, (u²-1)/2, (u²+1)/2 (in der immer z = y + 1 ist), als Alternative zu beschreiben.

Wird für $u=x$, für ${\frac {u^{2}-1}{2}}=y$ und für ${\frac {u^{2}-1}{2}}=z$ eingesetzt, ergibt sich die Formel:

x als eine ungerade natürliche Zahl >0
$y={\frac {x^{2}-1}{2}}$
$z={\frac {x^{2}+1}{2}}$

Beispiele

x	y Berechnung	y	z Berechnung	z
3	${\frac {3^{2}-1}{2}}$	4	${\frac {3^{2}+1}{2}}$	5
5	${\frac {5^{2}-1}{2}}$	12	${\frac {5^{2}+1}{2}}$	13
7	${\frac {7^{2}-1}{2}}$	24	${\frac {7^{2}+1}{2}}$	25
15	${\frac {15^{2}-1}{2}}$	112	${\frac {15^{2}+1}{2}}$	113

Ggf. würde ich einen Mathematiker ersuchen, mich bei der Einarbeitung zu unterstützen. Gruß Petrus3743 (Diskussion) 19:58, 14. Apr. 2016 (CEST)

Hallo, das steht schon – auch mit einem Hinweis auf Pythagoras – etwas versteckt unter der Tabelle im Abschnitt Pythagoreisches Tripel#Die ersten primitiven pythagoreischen Tripel. Grüße -- HilberTraum (d, m) 08:40, 15. Apr. 2016 (CEST)

Servus, ja du hast recht. Leider finde ich nicht explizit die Formel zur Methode von Pythagoras und auch keinen namentlichen Hinweis auf ihn. In dieser Enzyklopädie wäre es m. E. schon sinnvoll die Methode nach Pythagoras (mit vorhandenem Beleg), der im Vergleich zu Euklid ca. 300 Jahre früher lebte, in diesem Artikel einzuarbeiten. Ich bin überzeugt, du findest eine Möglichkeit die diesbezüglich sicherlich erste Methode, nach deinen Vorstellungen, in den Artikel zu integrieren. Gruß aus München Petrus3743 (Diskussion) 12:15, 15. Apr. 2016 (CEST)

In dem Abschnitt steht „x = 2n+1; y, z = x²/2 ± ½ “, das sind doch die Formeln. Und in Einzelnachweis [5] wird Pythagoras erwähnt und belegt. Wie gesagt, schön und gut lesbar ist das alles nicht, aber eher ein „kosmetisches“ als ein inhaltliches Problem. -- HilberTraum (d, m) 12:23, 16. Apr. 2016 (CEST)

Danke, genau das habe ich gemeint mit "... ja du hast recht". Die umgeformte Formel und den Einzelnachweis (an der richtigen Stelle eingetragen?) habe ich nicht übersehen. Pardon, ich war offensichtlich der irrtümlichen Meinung, dass der Vorschlag eine sinnvolle und damit akzeptable Ergänzung wäre. --Petrus3743 (Diskussion) 15:04, 16. Apr. 2016 (CEST)

Siehe zur alternativen Erzeugung auch den gelöschten Eintrag: [1] (nicht signierter Beitrag von 2.247.246.56 (Diskussion) 12:27, 11. Dez. 2020 (CET))

Zahlenfolgen

Es gibt bei den meisten Zahlenfolgen einen Verweis auf eine entsprechende Datenbank. Gibt es nicht auch eine Liste der Tripel?--Mideal (Diskussion) 13:34, 31. Mai 2016 (CEST)

Ich glaube, diese Folgen sind zu wenig spezifisch für Pythagoreische Tripel und zu trivial, um irgendwo erwähnt zu sein. Sie entprechen ja entweder einfach den ungeraden Zahlen und (nach +1) der Hälfte ihres Quadrat, oder den geraden Zahlen und den plus/minus-Hälften des Doppelten. Insofern finde ich den Abschnitt irreführend. Für jede ungerade Zahl Z gibt es zwei Quadratzahlen, die ihr entsprechen, namentlich den trivialen Fall der dritten binomischen Formel A^2 - (A-1)^2 = Z mit 2A = Z+1. Ist Z selbst eine Quadratzahl, entsteht ein pythagoreisches Tripel, ansonsten kann man immer einfach 2A verwenden, um die Zahl als Produkt trivialer Faktoren wie angegeben darzustellen (auch bei Primzahlen).

Also z.B. 185 = 93^2 - 92^2 = (93+92)*(93-92) = 185*1 Gerade Zahlen lassen sich so bzw. über die dritte binomische Formel mit zwei Faktoren nur auflösen, wenn sie durch 4 teilbar sind, wie im Arteikel dunkel angedeutet: 372 = 2*186 = 94^2-92^2 = 186 * 2 Mit 186 selbst gibt es nur die Auflösung 2 *(47^2-46^2), keine reine binomische Formel und kein Tripel.

Das alles hat mit den pythagoreischen Tripeln nur zu tun, dass man zufällig eins hat, wenn man statt der beliebigen Zahlen hier ihre Quadrate betrachtet und entprechende Quadrate ihrer (erhöhten) Hälften. Also z.B. 11^2 = 121 = 61^2 - 60^2 bzw. 11^2 + 60^2 = 61^2 An der Darstellung der Folgen über die erste binomische Formel stört mich auch, dass sich kein ganzzahliges Binom ergibt bzw. erst für hinreichend große Zahlen. Mit 2n^2 + 2n + 1 hat man Wurzel aus 2 im Quadrat, das auch wieder Geheimnisse in die Zahlen projiziert, die nur aus der irreführenden Beschreibung resultieren. Die impliziten Einsichten über die Quadratzahlenreihe sind ganz interessant, aber zum Glück unabhängig von den Tripeln.

Es fehlt der einfache Zugang zu den Tripeln über die trivialen Faktoren, also die umgekehrte Darstellung: 11^2 = 121, also (121+1)/2 = 61 und somit 61^2 - 60^2 = 11^2. Bzw. pythagoreisch getripelt: 11^2 + 60^2 = 61^2. Beweis mit der dritten binomischen: (wäre wenn verallgemeinert) 61^2-60^2 = 11^2 <=> (61+60)*(61-60) = 121 *1 = 11^2 So lassen sich blitzschnell pythagoreische Tripel finden, die allerdings eben trivial sind, weil sie keine analytischen Faktoren repräsentieren. Die Formeln im Beitrag sind fast sämtlich sehr umständlich, mitunter ja aus historisch referierenden Gründen, also insofern zielt meine Kritik nicht darauf. --URitter (Diskussion) 01:10, 8. Mär. 2018 (CET) Für die primitiven Tripel sehe ich die drei Varianten:

1) Basis B von Z = B^2 ist ungerade Zahl:

A^2 - (A-1)^2 = Z mit 2A = Z+1 und Z = B^2

also z.B. B = 3 (zum Quadrat = 9) und 3^2 = 4^2 + 5^2 denn 4+5 = 9 und 5-4 = 1

2) Basis B von Z = B^2 ist gerade Zahl, kein Vielfaches von 4:

((A + 1)^2 - (A - 1)^2 = Z bzw. B^2 und 4A = Z (z.B. B = 14, dann 196:4 = 49, 2 *49(=2A) = 98, *2(+1--1) = 196 )

3) Basis B von Z = B^2 ist gerade Zahl und bereits B durch 4 teilbar. Dann gibt es zusätzlich:

((A + 4)^2 - (A - 4)^2 = Z = B^2 = 16A =Z (z.B. B = 20, dann Z = 400, A = 25, 2A = 50, *8 (+4--4) = 400.)

Die Aussagen treffen allgemein auf Quadratdifferenzen zu, pythagoreische Tripel sind nur der Spezialfall, dass Z = B^2. Entsprechend gibt es für jedes B^2 zwei andere Quads, sodass usw., --23:12, 9. Mär. 2018 (CET)--URitter (Diskussion) 23:16, 9. Mär. 2018 (CET)

„Erzeugung der pythagoreischen Tripel“

„Jedes pythagoreische Tripel (X,Y,Z) kann … mit einer ganzen Zahl n größer als null …. Die natürliche Zahl n …“ ist eine natürliche Zahl und muß nicht unbedingt als ganze Zahl „vorselektiert“ werden. Obendrein: {3, 4, 5} ist also nicht primitiv? Immerhin erhält man dieses Tripel durch Multiplikation des primitiven Stamms mit einer Zahl, die gerade mal so eben größer als Null ist: eine Eins! (Die Null möchte übrigens, etwas weiter oben, doch auch ernst genommen werden. Erst die Achten sind eitel und gürten sich 😎) BTW: tät’s dem Pythagoras eigentlich weh, nimmt man ihm das Trema über dem a, verbeult es zum e?

Editwar

Hallo Galinitgrau!

Du bist schon so lange dabei, daß Du eigentlich wissen solltest, daß Du mit dieser erneuten Durchführung Deiner von mir begründet revertierten Bearbeitung einen sog. Edit-War begonnen und damit gegen die entsprechende Richtlinie verstoßen hast. Wie Du dieser leicht entnehmen kannst, hättest Du stattdessen „zuvor die Diskussion mit dem Revertierenden (vorzugsweise auf der zum Artikel gehörenden Diskussionsseite) suchen“ sollen.

Ich gebe Dir hiermit gerne die Möglichkeit, Deinen Fehler auszubessern, indem Du den unzulässigen Revert selbst wieder zurücksetzt. Danach kannst du dann hier Deine Argumente für eine Wiedereinsetzung vorbringen, wonach sich neben mir auch andere dazu äußern können. Falls Du dieses Angebot nicht annehmen solltest, müßte ich (um einen Verstoß meinerseits durch Fortführen des von Dir begonnenen Edit-Wars zu vermeiden) die Angelegenheit einer administrativen Entscheidung zuführen, was neben einer „amtlichen“ Rücksetzung auf die Version vor dem Edit-War auch noch andere Folgen haben könnte. Ich hoffe und glaube aber, daß dies nicht nötig sein wird, weil Du nach der Lektüre der oben verlinkten Richtlinienseite sicherlich Einsicht zeigen wirst.

Liebe Grüße, Franz 23:25, 1. Dez. 2016 (CET)

Papyrus Kahun (Lahun)

Frank Müller-Römer, Der Bau der Pyramiden im Alten Ägypten, Utz Verlag, Seite 140. Im Papyrus Kahun soll es eine Tabelle mit vier pythagoreischen Tripeln geben. Welche Tripel sind es? Ich möchte diese Tripel im Artikel benennen. Ich habe die Tabelle nicht gefunden.--Nfhrfh (Diskussion) 11:24, 15. Jan. 2017 (CET)

Tripel 20 : 21 : 29

Der Neigungswinkel der roten Pyramide ist der Winkel des Tripels 20 : 21 : 29. Der Winkel beträgt 43° 36′ 11″. Man kann auch ebenso 43,603° scheiben. Es handelt sich bei der Angabe 20 : 21: 29 nur um eine andere Schreibweise (!) des selben Winkels. Die Schreibweise des Winkels in der Form wird auch als Rücksprung bezeichnet. Es gibt auch noch den normierten Rücksprung (Seked) auf ein Meh. Das ist dann noch eine weitere Schreibweise des selben Winkels. Der Winkel wurde von Perring bestimmt. --Nfhrfh (Diskussion) 08:53, 28. Feb. 2017 (CET) Die Schreibweise der Winkel als Rücksprung war die übliche (!) Schreibweise von Winkeln im alten Ägypten. Die Einteilung in Grad war noch nicht erfunden bzw. noch nicht bekannt. --Nfhrfh (Diskussion) 10:08, 28. Feb. 2017 (CET)

Man hat dich inzwischen auch administrativ ermahnt, bei Bearbeitungen Quellen anzugeben (Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2017/02/21#Benutzer:Nfhrfh_.28erl..29). Die Behauptung, die du jetzt nochmal in den Artikel gedrückt hast, ist immer noch ohne Beleg und wird entsprechend von mir in den nächsten Tagen erneut entfernt. --GiordanoBruno (Diskussion) 18:06, 28. Feb. 2017 (CET)

Herr Bruno Sie wurden schon mehrfach wegen Löschungen ohne Begründung und Vandalismus ermahnt. Sie löschen alles, was sie nicht verstehen, und sie verstehen nicht viel. Kein Autor hat etwas gegen konstruktive Hinweise und Kritik. Jedoch ihre unangebrachte Überheblichkeit ist erschreckend. z.B. Auch in der Diskussion zur Quelle Dr. Unterberger im Artikel Chephren Pyramide haben sie sich nicht korrekt verhalten. Ich habe nun im Artikel eine hoffentlich in Ihren Augen angemessene Quelle eingefügt. --Nfhrfh (Diskussion) 09:16, 1. Mär. 2017 (CET)

Wo wurde ich ermahnt? Die von dir gestarteten VMs wurden ausnahmslos als Gegenstandslos oder nicht nachvollziehbar geschlossen. Der einzige, der mehrfach ermahnt wurde, Quellen anzugeben und sich an die Regeln zu halten, bist du - die entsprechenden Punkte kann ich bei bedarf raussuchen. --GiordanoBruno (Diskussion) 16:58, 1. Mär. 2017 (CET)

Die Schreibweise des Rücksprunges im alten Ägypten am Beispiel des Tripels (20, 21, 29): Das sind 7,35 Seked. Nur kannten die alten Ägypter das Komma nicht. Sie bildeten dafür die Summe von Stammbrüchen. $7+1/3+1/60$ Seked. Diese Schreibweise (in Stammbrüchen) war üblich und wurde von den Priestern so verwendet. In der Baupraxis für Böschungswinkel an den Pyramiden, wo permanent nachgemessen werden musste (Quelle: Dr. Unterberger) ist diese Scheibweise des Rücksprunges unhandlich. Die Harpedonapten verwendeten zur Bestimmung des Böschungswinkels keine Zwölfknotenschnüre, sondern das auf Tripel (3, 4, 5) basierende Merchet. Bei Bestimmung des Winkels 43,603° kommt das Merchet mit dem Lot einer Länge von 4 Remen zum Einsatz. Die Schreibweise des Winkels vereinfacht sich dadurch auf Rücksprung 4 Remen + 1 Schesep. Diese 4 Oberarme und eine Hand werden an der hölzernen Messleiste des Merchet eingestellt. Alles ohne Stammbrüche, jedoch als Rücksprung. Zum Vergleich die Cheops-Pyramide mit 51,8428°: Das Merchet mit dem Lot einer Länge von 4 Königsellen. Die Schreibweise des Winkels vereinfacht sich auf Rücksprung 3 Königsellen + 1 Schesep. Die Einteilung auf der hölzernen Messleiste und Handhabung des Merchet stellen die Verbindung zum Basistripel her. Durch Handhabung des Merchet entsteht so eine diskrete (!) Folge von üblichen Böschungswinkeln. --Nfhrfh (Diskussion) 12:11, 3. Mär. 2017 (CET)

Zur Winkelangabe in Rücksprung

Theoretisch sind alle pythagoreischen Tripel zur Darstellung von Winkeln in der Schreibweise als Rücksprung geeignet. In der Praxis wird jedoch nur der Tripel (3 : 4 : 5) und seine Abkömmlinge für die Darstellung von Winkeln historisch belegt verwendet. Abkömmlinge sind z.B. (6 : 8 : 10) oder (15 : 20 : 25) und auch (20 : 21 : 29). Der Tripel (20 : 21 : 29) entsteht durch Zuschlag von 6 zur x-Achse aus dem Tripel (15 : 20 : 25). Das ist der direkte Übergang. Der Tripel (20 : 21 : 29) ist der Tripel mit der geringsten Streuung unter den üblich verwendeten Tripeln. Dadurch hat er die größte Genauigkeit bei seiner Anwendung. --Nfhrfh (Diskussion) 10:31, 1. Mär. 2017 (CET)

Die Bezeichnung in der Ägyptologie ist Seked, siehe en:Seked, das war ihre Notation für Winkel. Im rechtwinkligen Dreieck ist die eine Katheterseite (Höhe) eine königliche Elle (= 7 Handbreiten), die Basis ist das Seked, angegeben in Handbreiten und Fingerbreiten. Häufig taucht bei Pyramiden ein Seked von 5,5 auf (5 Handbreiten, 2 Finger), entsprechend Kathetenverhältnissen von 14 zu 11, entsprechend einem Winkel von 51,8 Grad (das Verhältnis wird auch in dem Buch von Lehner, The complete pyramids, erwähnt, allerdings so weit ich sehe keine pythagoräischen Tripel außer 3:4:5 und es werden mehrere Methoden erwähnt rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen). Das muss aber nicht unbedingt mit Pythagoräischen Tripeln zusammenhängen. Es gibt nach Corinna Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge UP 2003, S. 217, nur eine explizite Erwähnung pythagoräischer Tripel in Papyri, in einem demotischen Papyrus aus dem 3. Jh. v. Chr., also lange (2000 Jahre) nach der Pyramidenzeit, dort sind 3-4-5, 5-12-13, 20-21-29 erwähnt. Ansonsten wurde zwar danach in anderen (älteren) Papyri gesucht, die Ergebnisse sind aber nach Rossi nicht überzeugend.--Claude J (Diskussion) 13:05, 1. Mär. 2017 (CET)

Das ist korrekt. Das Seked ist der auf ein Meh (Königselle) normierte Rücksprung. Der allgemeine Rücksprung ist immer auf eine Verbindung zum Basistripel (3 : 4 : 5) rückführbar. Das Tripel (20 : 21 : 29) ist der Zuschlag von 6 Handbreiten zum Basistripel (3 : 4 : 5) um den gewünschten Winkel der roten Pyramide darzustellen. Es ist also ebenfalls die Anwendung des Basistripels. Noch genauer formuliert - es ist der Basistripel gebildet aus der Maßeinheit Bau-Remen (Bau-Remen = 5 Handbreiten) mit dem Zuschlag von 6 Handbreiten. Drei zu vier zu fünf Bau-Remen. Mehr ist das nicht. --Nfhrfh (Diskussion) 14:34, 1. Mär. 2017 (CET)

Das ist doch reiner Zufall dass du so ein neues pythagoräisches Tripel erhälst und ist keine allgemeine Konstruktionsmethode. Bei der Roten Pyramide sind die Winkel zwar ähnlich wie im 20:21:29 Tripel, das bedeutet aber nur dass sie möglicherweise ein solches Tripel benutzt haben, ein Beweis ist das nicht. Die 3-4-5 Schnur braucht man zunächst ja nur um einen rechten Winkel zu konstruieren, die Neigung kann dann prinzipiell frei gewählt werden (und für die Konstruktion rechter Winkel gibts wie gesagt auch andere Methoden). --Claude J (Diskussion) 16:56, 1. Mär. 2017 (CET)

Der Winkel der roten Pyramide wurde von John Perring ermittelt. Er ist eine reputable Quelle. Es geht nicht um Konstruktion. Der NeigungsWinkel der roten Pyramide wird eben so angegeben. Der von John Perring ermittelte Winkel ist der Winkel des Tripels 20:21:29. Es ist keineswegs ein rechter Winkel. Wie bei Pyramiden normal ist es jedoch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Die Winkelschreibweise (!) in Rücksprung oder in Grad ändert nichts an diesen beiden Tatsachen. Es ist vergleichbar mit der Angabe des Neigungswinkels der Chephren-Pyramide, für die in der Literatur 3:4:5 angegeben wird. --Nfhrfh (Diskussion) 21:03, 1. Mär. 2017 (CET)

Leider ist aus deinen Antworten nicht zu ersehen, was du aus der Literatur entnommen hast, und was du dir selbst ausgedacht hast. Ich versuche es nochmal mit einfachen Fragen:

• Welche Quelle ist "Perring"? Wie heißt das Werk?
• Hat Perring nur den Winkel ermittelt, oder nimmt er Bezug auf das Trippel 20:21:29? Falls ja, was schreibt er dazu? --GiordanoBruno (Diskussion) 22:02, 1. Mär. 2017 (CET)

Herr Bruno die Angabe des Winkels als Tripel/ Rücksprung ist nur eine der möglichen Schreibweisen des Winkels. Man kann den Winkel auch in Bogenmaß angeben oder in Grad oder in Winkelminuten/ Sekunden oder weiter Möglichkeiten. Die primäre Quelle kann man sicher ermitteln. John Shae Perring hat gemeinsam mit R. Howard Vyse und auch selbständig veröffentlicht. Da könnte man noch mal nachschlagen. Nach meiner Erinnerung hat Perring den Winkel in Grad/ Bogenminuten und in normierten Rücksprung auf eine Königselle d.h. in Seked angegeben.--Nfhrfh (Diskussion) 08:02, 2. Mär. 2017 (CET) Quelle: Appendix to Operations Carried on at Gizeh auf Seite 65, Darin geht es nicht nur um Gise wie der Titel vermuten lässt. Die Pyramide ist darin als nördliche Steinpyramide bezeichnet und nicht als rote Pyramide. Ist aber die selbige. --Nfhrfh (Diskussion) 08:52, 2. Mär. 2017 (CET) Die Winkelangabe ist nicht nur in Bogenminuten, sondern sogar in Bogensekunden. Genauer geht es nun wirklich nicht. Aus dem Bild in der o.g. Quelle ist weiterhin ersichtlich, dass der Neigungswinkel über die ganze Seitenfläche bis zur Spitze gemessen wurde, d.h. nicht nur an den unteren Schichten der Verkleidungssteine (Vergleich Messungen an der Chephren-Pyramide). --Nfhrfh (Diskussion) 11:18, 2. Mär. 2017 (CET)

Der Einfachheit halber wiederhole ich die 2 bis jetzt nicht beantworteten Fragen

• Welche Quelle ist "Perring"? Wie heißt das Werk?
• Hat Perring nur den Winkel ermittelt, oder nimmt er Bezug auf das Trippel 20:21:29? Falls ja, was schreibt er dazu? --GiordanoBruno (Diskussion) 13:29, 2. Mär. 2017 (CET)

Er meint J. S. Perring, Howard Vyse, The Pyramids of Gizeh, Vol. III, Appendix of Operations carried on at the Pyramids of Gizeh in 1837, London, Wyle/Nickisson 1842, S. 65, google books. Dort wird eine Neigung von 43 Grad und 36 Bogenminuten angegeben. Es findet sich aber nichts zu Pythagoräischen Dreiecken.--Claude J (Diskussion) 13:58, 2. Mär. 2017 (CET)

Danke JlClaude. Es werden noch 11 Bogensekunden dort angegeben. Änderung im Artikel ist o.k. --Nfhrfh (Diskussion) 08:57, 3. Mär. 2017 (CET) Bin begeistert! Prima. --Nfhrfh (Diskussion) 09:19, 3. Mär. 2017 (CET)

Indische Formeln

Die Bezeichnung der Euklid-Formeln für die Tripel als "indische Formeln" steht zwar so bei Harald Scheid in seiner Einf. in die Zahlentheorie, kann ich aber sonst nicht finden. Es wäre auch merkwürdig, da die Formel auch schon zuvor bei Euklid vorkommt, möglicherweise auch den Babyloniern bekannt war und die Darstellung bei Brahmagupta anscheinend in eine Übungsaufgabe verklausuliert (siehe engl. Wiki Artikel zu Brahmagupta, wenn das die richtige Stelle bei Brahmagupta ist)--Claude J (Diskussion) 22:33, 2. Mär. 2017 (CET)

Kommt mir auch seltsam vor. Da es bis jetzt keine Antwort gab: Soll man das löschen? --Digamma (Diskussion) 20:05, 5. Okt. 2017 (CEST)

Gnomon

Die Bildung von pythagoreischen Tripeln mittels Gnomon sollte noch in den Artikel eingeführt werden. Es ist der geometrische Einstieg in das Thema. --Nfhrfh (Diskussion) 17:27, 3. Dez. 2017 (CET)

Das kenne ich nicht. Kannst du das näher erklären oder Literatur dazu angeben? --Digamma (Diskussion) 19:02, 3. Dez. 2017 (CET)

Gnomon In der Geometrie. Ist die Ergänzungsfläche eines Parallelogramms. Im Falle der pythagoreischen Tripel weden Ergänzungen zu Quadraten (Spezialfall des Parallelogramms) vorgenommen. Die Form des Gnomons ist dann wie eine rechtwinkelige Spitze , die auf einer Ecke des Quadrates sitzt und dieses zu einem größeren Quadrat ergänzt. --Nfhrfh (Diskussion) 13:16, 4. Dez. 2017 (CET)

Und was hat das mit pythagoreischen Tripeln zu tun? Ein kleines und ein großes Quadrat machen noch kein pythagoreisches Tripel. --Digamma (Diskussion) 17:52, 4. Dez. 2017 (CET)

Die Wurzel aus der Fläche des Gnomon ist die fehlende Kathete des Tripels. Oder gegenständlich die mechanische Lösung der Wurzelrechnung: Durch Umordnung der Kästchen der Fläche des Gnomon (aus der Anordnung als Gnomon) zu einem Quadrat erhält man die Lösung. Wenn es einen pythagoreischen Tripel gibt, dann gelingt die Umordnung zum Quadrat. Einfach mal mit dem Quadrat mit 4 mal 4 Kästchen und einem Gnomon der Schichtdicke eins an der östlichen und nördlichen Seite des Quadrates auslegen. Danach das Gnomon umordnen. Cantor hat den Vorgang an weiteren Beispielen (Seite 68) als Folgenentwicklung beschrieben.

http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/13366/1/cantor_ind_math.pdf

--Nfhrfh (Diskussion) 20:56, 4. Dez. 2017 (CET)

Ich sehe noch immer nicht den Mehrwert. Das kommt mir recht trivial vor. --Digamma (Diskussion) 21:36, 4. Dez. 2017 (CET)

Das Gnomon ist nicht nur eine geometrische Form, es ist auch eine Methode. Es war die Methode zur Ermittlung der pythagoreischen Tripel (und Quadratwurzelberechnung) im alten Griechenland und Ägypten. Mit dem Gnomon beschrieb Aristoteles das von den Griechen als „gnonomisches Wachstum“ bezeichnete philosophische Prinzip. Ursprünglich die Bezeichnung für ein Zimmermannswekzeug, ist das Gnomon definiert als eine Figur, die, wenn sie einer anderen hinzugefügt wird, eine der ursprünglichen gleiche Form erzeugt. Die pythagoreischen Tripel des Altertums wurden so erzeugt/ aufgefunden. Mit der Methode erhält man jedoch nicht (!) alle pythagoreischen Tripel. Die Methode ist einfach, aber keineswegs trivial. Sie erlaubt das Auffinden von pythagoreischen Tripeln ohne (!) den Satz des Pythagoras. --Nfhrfh (Diskussion) 09:31, 5. Dez. 2017 (CET)

Quelle, die WP:Q genügt? --GiordanoBruno (Diskussion) 16:29, 5. Dez. 2017 (CET)

@Nfhrfh: Man braucht nie den Satz von Pythagoras, um pythagoreische Tripel zu finden. Der einzige Zusammenhang zum Satz von Pythagoras ist der, dass pythagoreische Tripel sich als Seitenlänge von rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seiten interpretieren lassen. Mit Hilfe von pythagoreischen Tripeln kann man also solche Dreiecke finden. Aber nicht umgekehrt. Man kann pythagoreische Tripel nicht geometrisch über rechtwinklige Dreiecke finden. --Digamma (Diskussion) 17:05, 5. Dez. 2017 (CET)

Stimmt. Man kann pythagoreische Tripel nicht geometrisch über rechtwinklige Dreiecke finden. Nur bei Gnomonen kommt das Wort „Dreieck“ gar nicht vor. Die Auffindung der pythagoreischen Tripel mittels Gnomon geht den anderen oben beschriebenen Weg. Meine eingehende Frage/ Anregung lautete: "Die Bildung von pythagoreischen Tripeln mittels Gnomon sollte noch im Artikel eingeführt werden." Bezug zu Aristoteles. --Nfhrfh (Diskussion) 11:34, 6. Dez. 2017 (CET)

Gemeint ist die andere Bedeutung von Gnomon, siehe ausführlicher (mit Bild, die schiefe L-förmige Figur beim Parallelogramm) en:Gnomon--Claude J (Diskussion) 12:02, 6. Dez. 2017 (CET)

OK. Der verlinkte Aufsatz von Moritz Cantor hat mich auch überzeugt. Allerdings sehe ich mich nicht im Stande, dies auszuführen. Im Wesentlichen geht es darum, dass die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen die Folge der ungeraden Zahlen durchläuft. Dies kann man mit ineinandergeschachtelten Quadraten veranschaulichen. Das Gnomon stellt dann die ungerade Zahl dar. Ist diese ungerade Zahl eine Quadratzahl, so erhält man ein pythagoreisches Tripel. Im Wesentlichen scheint mir das dennoch ein arithmetischer und kein geometrischer Sachverhalt zu sein. --Digamma (Diskussion) 14:58, 6. Dez. 2017 (CET)

Die alten Ägypter machten es zuerst geometrisch und dann die alten Griechen arithmetisch.

Das Gnomon mit b=1 (Schichtdicke eins) ist eine ungerade Zahl (richtig erkannt). Das Gnomon mit b=2 hat immer eine geradzahlige Fläche. Bei b=2 weden zwei Schichten am Quadrat mit einem Schritt angefügt. Cantor fasst das auch als Gnomon auf. Da kann man jedoch anderer Ansicht sein.

Weitere Literatur: Miranda Lundy, Sacred Number. The Secret Qualiies of Quantities. Walker Publishing Company, New York 2005--Nfhrfh (Diskussion) 16:57, 7. Dez. 2017 (CET)

ternäre Bäume der primitven Pythagoreischen Tripel

• ternäre Bäume der primitven Pythagoreischen Tripel
• 

  Baum bei Verwendung der Iteration nach Berggrens

• 

  Baum bei Verwendung von Berggrens's Iteration nach Price

Hi en:tree of primitive Pythagorean triples behandelt vorwiegend die Iterationsformeln nach Berggrens und behandelt die Formeln nach Price jedoch nur "stiefmütterlich". Deshalb wurde Bild:Price's tree (classical approach).svg von mir während der letzten beiden Tage erzeugt.
Wer hat die Muße an einem Artikel zu den ternären Bäumen primitver Pythagoreischen Tripel mitzuwirken. Die Iterationsformeln sind teilweise (unter Verwendung von Matrizenmultiplikation teilweise in expliziter Schreibweise vorhanden. m:user:קיין ומוויסנדיק פּרעפֿערענצן enthält eine Gallerie equivalenter Darstellungen der Baumobjekte.
Gruß no bias — קיין אומוויסנדיק פּרעפֿערענצן — keyn umvisndik preferentsn ^{talk contribs} 21:21, 19. Jul. 2019 (CEST)

Es gibt genau drei (eindeutige und vollständige) ternäre Bäume der pPT, gebildet aus sieben Ästen. Siehe dazu Quelle Firstov im Artikel. --Ralf Preußen (Diskussion) 08:37, 27. Jul. 2020 (CEST)

Es gab hier [2] einen "Bearbeitungsunfall" - das sollte sich mal bitte ein WP-Programmierer tiefer ansehen, da ich die beiden Absätze nicht gelöscht habe. --Ralf Preußen (Diskussion) 08:56, 27. Jul. 2020 (CEST)

Ich habe die Übersetzung von en:tree of primitive Pythagorean triples in Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel erstellt. --Fidoez (Diskussion) 15:05, 15. Mär. 2021 (CET)

Primitiver Tripel

Was ist ein "primitiver Tripel"? Welche "Nicht-primitiven" gibt es? Wodurch unterscheiden sich diese voneinander und von den primitriven? Gruss, --Markus (Diskussion) 22:22, 26. Jul. 2020 (CEST)

Die Antworten auf deine Fragen finden sich zwar – sogar ziemlich am Anfang – im Artikel, aber ich erkläre es gerne auch ein bisschen genauer: Ein Tripel (x,y,z) natürlicher Zahlen x, y und z heißt primitives Tripel, wenn die drei Zahlen teilerfremd sind, wenn also für ihren größten gemeinsamen Teiler gilt: ggT(x,y,z)=1. Ein Beispiel dafür ist (3,4,5), weil die erste Zahl 3 nur die Teiler 1 und 3 hat, die zweite Zahl 4 nur 1, 2 und 4 und die dritte Zahl 5 nur 1 und 5. Der einzige (allen drei Zahlen) gemeinsame Teiler ist also 1, das ist daher auch der größte gemeinsame Teiler dieser drei Zahlen. Anders liegen die Verhältnisse etwa bei den Tripeln (6,8,10) oder (30, 40, 50), weil hier der größte gemeinsame Teiler der drei Zahlen mit 2 bzw. 10 größer als 1 ist. So ein Tripel nennt man dann ein nicht-primitives Tripel, das Kriterium hierfür ist also ggT(x,y,z)>1. Aus einem primitiven Tripel (x,y,z) wird durch Multiplikation aller drei Zahlen mit derselben natürlichen Zahl a ein nicht-primitives Tripel (ax, ay, az) mit ggT(ax,ay,az)=a, in den obigen zwei Beispielen war a gleich 2 bzw. 10. Gruß, 91.118.242.246 23:06, 26. Jul. 2020 (CEST)

Danke für die mir verständliche Erklärung. Die Erklärung im Artikel schreibt etwas von "u" und "v" - wo es doch um x,y,z geht. Das ist nun trotz Deiner Erklärung hier, dort immer noch unverständlich.

Kann man auch sagen: ein Tripel ist primitiv, wenn mindestens eine Zahl eine Primzahl ist, und diese in den anderen beiden nicht als Teiler vorkommt? Gruss, --Markus (Diskussion) 09:06, 27. Jul. 2020 (CEST)

1. Zu „u und v“: Dazu hattest du nichts gefragt, weshalb ich auch nichts dazu geschrieben habe. Es handelt sich um eine Art Parameter, durch die pythagoreische Tripel aus der Menge aller Tripel ausgesondert werden können. So liefern die indischen Formeln etwa für u=5 und v=3 das pyth. Tripel (x,y,z)=(16,30,34), während das nicht-pyth. Tripel (10,20,30) durch keinerlei Wahl für u und v erzeugt werden kann.
2. Zu „mindestens […] eine Primzahl“: Ja, wenn Du „Tripel“ durch „pyth. Tripel“ ersetzt. Diese Bedingung ist dann jedoch nur hinreichend, aber nicht notwendig (Letzteres wegen des Gegenbeispiels (16, 63, 65), das primitiv ist ohne eine Primzahl zu enthalten).

91.118.242.246 12:50, 27. Jul. 2020 (CEST)

Nein, zu 1. (u,v) hatte ich nichts gefragt. Es scheint aber eine Rolle zu spielen und im Artikel wird es nicht erklärt (zumindest nicht am Anfang der Formeln, wo ich es vermuten würde). Gruss, --Markus (Diskussion) 15:30, 27. Jul. 2020 (CEST)

Beispiele

Unter Beispiele steht eine Tabelle - nach welchen Kriterien ist diese sortiert? Haben die ZZeilen und Spalten eine Bedeutung? welche? Kann das vielleicht noch jemand dort ergänzen? Gruss, --Markus (Diskussion)

Die Spalten und Zeilen haben keine Bedeutung: Es handelt sich um keine Tabelle, sondern um eine einfache (lineare) Liste, in der nach jedem vierten Eintrag ein Zeilenumbruch eingefügt wurde. Diese Liste ist aufsteigend nach der größten der drei Zahlen sortiert, bei Gleichheit aufsteigend nach der kleinsten. Ich halte die Art der Sortierung für so bedeutungslos, dass ich keine diesbezügliche Ergänzung im Artikel vornehmen will. Aber du kannst das natürlich selbst machen. Gruß, 91.118.242.246 23:17, 26. Jul. 2020 (CEST)

Danke für die Erklärung, das habe ich vermutet. Als Laie frage ich mich, wie das Ganze Sinn macht. Wenn man mit $(3,4,5)$ einen rechten Winkel konstruieren kann, wozu braucht man dann den ganzen Rest der Tripel? Eine Überlegung ist, ob man mit grösseren Zahlen einen genaueren rechten Winkel konstruieren kann? Vermutlich aber eher im Gegenteil, da sich bei der Knotenschnur ein einzelner Knoten-Fehler ja mit der Anzahl eher vergrössert? Oder es geht bei den weiteren Tripeln nicht primär um den rechten Winkel, sondern um die zwei anderen Winkel? Die dann als Böschungswinkel genutzt werden bzw. als Steigung in Grad, Prozent oder als Verhältniszahl? Dann würde es aber Sinn machen, aus der simplen (und verwirrend "tabellenförmigen") Liste eine sortierbare Tabelle zu machen und die Winkel und Steigungen anzufügen:

Primitive Tripel

Tripel	kurze Kathete	lange Kathete	Hypothenuse	Knoten- Summe	Winkel		Steigung
					Alpha	Beta	Alpha	Beta
$(3,4,5)$	3	4	5	12	53,1°	36,9°	1,33	0,75
$(5,12,13)$	5	12	13	30
$(8,15,17)$	8	15	17	40
$(7,24,25)$	7	24	25	56
$(20,21,29)$	20	21	29	70
$(12,35,37)$	12	35	37	84
$(9,40,41)$	9	40	41	89
$(,,)$

Oder vielleicht spielt die Fläche noch eine Rolle? Oder die Pythagoras-Quadrate? Oder sonst noch irgendwas? Gruss, --Markus (Diskussion) 10:51, 27. Jul. 2020 (CEST)

1. Zu „wozu braucht man“: Ich begnüge mich mit der als Antwort sicherlich verständlichen Gegenfrage „Wozu braucht man Leonardos Mona Lisa oder Beethovens Neunte?“
2. Zu „geht es […] primär um den rechen Winkel“: Nein, auch nicht um die von dir genannten Alternativen. Im Lichte meiner obigen Gegenfrage sollte vielleicht ohnehin schon klar sein, dass irgendwelche „praktische Anwendungen“ – hier bei den pyth. Tripeln im Speziellen wie in der ganzen Mathematik im Allgemeinen – meist nur als eine Art Nebenprodukt auftreten (und manchmal sogar gar nicht existieren), deren Bedeutung oft den Promille- bis Prozentbereich des ganzen Themas nicht überschreitet.
3. Zur Tabelle: Auf eine lineare Liste wurde sicherlich einfach nur aus Platzgründen verzichtet. Deinem Alternativvorschlag kann ich nicht viel abgewinnen. Denn die zweite, dritte und vierter Spalte enthalten zusammen kaum mehr (wesentliche) Information als die erste, und die anderen fünf Spalten haben wieder hauptsächlich etwas mit den Knotenschnüren und anderen Nebensächlichkeiten zu tun, sodass ich sie an dieser Stelle für irrelevant halte. Wie schon aus Vorigem hervorgehen wird, scheint mir die praktische Erzeugbarkeit eines rechten (oder auch anderen) Winkels mittels auf pyth. Tripeln basierender Knotenschnüre oder ähnlicher Mechanismen in diesem Artikel kaum mehr Platz zu verdienen als eine mehr oder weniger kurze Erwähnung im Abschnitt „Geschichte“. Das kann man natürlich gerne auch anders sehen, aber gegen eine allzu ausufernde Darstellung würden sich wohl auch die meisten anderen Autoren hier aussprechen.

91.118.242.246 12:50, 27. Jul. 2020 (CEST)

Ich bewundere die Mathematiker für Ihr Wissen und Können. Manchmal möchte ichgern etwas Nützliches daraus ableiten, und fand das mit dem rechten Winkel interessant, aber für Laien schwer bis unverständlich. Danke für Deine verständlichen Antworten!

Ich würde mir wünschen, dass, auch wenn für den Mathematiker die Anwendung im realen Leben nur einen minimalen Bruchteil der Bedeutung ausmacht, diese für die Wikipedia-Leser trotzdem interessant anschaulich und dadurch verstehbar beschrieben werden (bevor dann der Formel-Teil folgt). Dadurch könnte beim Einen oder Anderen vielleicht etws Interesse (oder viellleicht sogar Verständnis) für die Mathematik geweckt werden.

Und hier ist es ja wirklich so, dass wohl schon die Pyramiden mit Knotenschnüren anhand dieser Tripel gebaut wurden. Und dass man das auch hoeute noch brauchen kann, wenn man mal gerade keinen Kreuzlinienlaser zur Hand hat. Übrigens, waren bei den Pyramiden wohl auch die Nebenwinkel bedeutend und wurden für die Flankensteilheit benutzt. Schade, dass die Tabelle so nicht sinnvoll / nicht nutzbar ist, da es wohl keine weiteren praktisch anders nutzbare Tripel gibt, und man sich $(3,4,5)$ sowieso am Leichtesten merken kann. Noch ein Hinweis: Auch wenn der Mathematiker "weiss" (Trigonometrie und Transformation ist für ihn "Kopfrechnen") ist für den Laien der Zusammenhang von Seiten und Winkeln/Steigung ein Buch mit sieben Siegeln. Der Laie braucht dafür eine Tabelle, eine Skizze und Beispiele, oder eine dynamische Schritt-für-Schritt-Grafik. Gruss, --Markus (Diskussion) 15:42, 27. Jul. 2020 (CEST)

Besondere Pythagoreische Tripel

Gibt es besondere Tripel? Beispielsweise für 40°/50° oder 30°/60° oder 25°/75° oder 20°/80° oder 15°/75° oder 10°/80° oder 5°/85° oder 2°/88° oder 1°/89°?
Oder gibt es für diese Winkel eine andere "Knotenschnur-im-Dreieck"-Methode?

Gibt es noch andere "besondere" Tripel? Gruss, --Markus (Diskussion) 10:51, 27. Jul. 2020 (CEST)

Nein, für rationale Gradzahlen der spitzen Winkel gibt es keine ganzzahligen Seitenlängen. Meiner Ansicht nach gibt es (außer den primitiven) keine „besonderen“ pyth. Tripel, die eine solche Klassifizierung verdienen würden. Natürlich kann man die Menge aller (primitiven) pyth. Tripel auf mannigfache Art und Weise in Klassen einteilen, aber die zugehörigen Äquivalenzrelationen werden kaum sonderlich interessante verbale Formulierungen besitzen.

Gruß, 91.118.242.246 12:50, 27. Jul. 2020 (CEST)

Schade ;-) - Dem ganzen hier aufgezeigten System kann ich aber dennoch so etwas wie "Schönheit" abgewinnen - zumal ich hier unter "Geschichte" erfahren habe, dass die Hammurabianer schon vor 3500 Jahren Tripel berechnen konnten und damit Rechtwinkliges gebaut hatten! Gruss, --Markus (Diskussion) 16:04, 27. Jul. 2020 (CEST)

Das eine hat mit dem anderen nicht unbedingt etwas zu tun. Das eine ist, den Satz des Pythagoras zu kennen, PT berechnen zu können und "kleine" PT dann ggf. für so etwas wie Knotenschnurmethoden einzusetzen, und das andere ist, rechte Winkel abzustecken bzw. zu überprüfen. Dafür nimmt man, besonders in der Architektur, aber kaum Knotenschnüre, sondern halt Winkelmaße, die sind nämlich deutlich genauer, obwohl man sie nicht zusammenknubbeln und in die Hosentasche stecken kann. (Machte aber nichts: in der Gegend trug man auch keine Hosen.) Ich halte diese Knotenschnurgeschichte ohnehin für Unfug: Wenn ich als Landvermesser einen rechten Winkel abstecken will, schleppe ich dafür zwei Meßschnüre mit Ösen an den Enden in einem (empirischen, also technisch-praktischen) Längenverhältnis von Wurzel(2) mit mir herum. Die kürzere lege ich auf der Basislinie aus, stecke Pflöcke durch die Ösen, ziehe die Meßschnur stramm und haue die Pflöcke in den Boden. Dann nehme ich ein Ende von dem eingeschlagenen Pflock ab, hänge über den eine Öse der langen Meßschnur, nehme dann die beiden freien Meßschnurenden und gehe mit denen zur dritten Dreiecksecke. Dort stecke ich einen Pflock erst durch die eine und dann die andere Öse und zirkele mit der Pflockspitze die Schnurlängen auf den Boden, und da, wo sich die Kreisbögen schneiden, schlage ich den Pflock ein, fertig - PT brauche ich dafür nicht. (Und wenn jetzt jemand fragt, wo ich denn die Meßschnüre mit den genau bemessenen Längen herkriege: vom staatlich konzessionierten vereidigten Meßschnüremacher natürlich, der das Geheimnis der präzisen Herstellung seit 97 Generationen in der Familie weitergereicht hat. Aber vorher muß ich noch Eichgebühren beim Tempeleichpriester bezahlen, der die neuen Meßschnüre an der Eichecke des Tempels justiert und approbiert, ein Gebet darüber spricht und auf ihnen Eichsiegel mit dem Abbild der Gottheit anbringt.) --77.10.109.199 05:12, 28. Aug. 2022 (CEST)

Noch älterer Fund

https://www.heise.de/news/Geschichte-der-Mathematik-Aelteste-Abbildung-angewandter-Trigonometrie-entdeckt-6157310.html 1700 v.Chr. --217.241.211.54 03:12, 19. Apr. 2022 (CEST)

Das ist etwa zeitgleich mit dem im Artikel genannten Fund. --Zac67 (Diskussion) 05:55, 19. Apr. 2022 (CEST)

„rechten Winkel konstruieren“?

Ich lese in der EL:

Mit den Seitenlängen eines solchen Dreiecks kann auf einfache Weise ein rechter Winkel konstruiert werden.

Offenbar ist das Abmessen gemeint. Wir haben jedoch in der Schule gelernt, dass Abmessen „nicht erlaubt“ ist. Auch finde ich die Konstruktion eines Rechten Winkels mit dem Zirkel viel einfacher, insofern erscheint mir das „auf einfache Weise“ zumindest durch einen persönlichen Standpunkt gefärbt. Meinungen? Meine: weglassen.--Ulf 22:21, 7. Aug. 2022 (CEST)

Es ist wahrscheinlich keine ZuL-Konstruktion gemeint, sondern eine eher physikalische: Man nehme ein Seil, lege fest, dass das die Länge 12 habe, und spanne damit ein Dreieck mit den Seitenlängen 3,4,5 auf.

Abgesehen davon: Zwei Punkte gegeben, haben die ja irgendeinen Abstand, den man einfach als 1 definieren kann, um damit die Aufgabe zu stellen, ein Dreieck mit den Seitenlängen 3,4,5 zu konstruieren.

Die kann man mit den üblicherweise erlaubten ZuL-Konstruktionsschritten lösen. Ist aber m.E. nicht "besonders einfach" als Konstruktion eines rechten Winkels. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:25, 7. Aug. 2022 (CEST)

Klar ist (ganzzahliges, auch gebrochen-rationales) Abmessen "erlaubt", und damit ist die Konstruktion eines rechten Winkels mittels PT sehr wohl eine ZuL-Konstruktion: man kann eine beliebige Strecke auftragen und als (willkürlich gewählte) Längeneinheit L benutzen. Dann kann man mit ZuL daraus alle Streckenlängen s=(p/q)*L, p,q natürliche Zahlen, konstruieren. Konstruiert man so speziell die drei Elemente eines PTs, so kann man daraus mit ZuL ein rechtwinkliges D'ck und damit einen r. W. konstruieren - zwar etwas umständlich, aber zulässig und exakt. --77.0.239.105 20:34, 11. Aug. 2022 (CEST)

Sehr spitzfindig. Und keineswegs „einfach“ wie du selber zugibst... Es bleibt, die Sinnhaftigkeit des von mir oben zitierten Satzes zu belegen. Solange erlaube ich mir, „auf einfache Weise“ zu löschen. Ganz einfach.--Ulf 21:58, 21. Aug. 2022 (CEST)

Das Problem ist auch eher nicht der Begriff "einfach" - was einfach ist, ist weitgehend Geschmackssache - sondern der Begriff "konstruieren". Unter "Konstruieren" versteht man eigentlich ein theoretisches, also geistig-mathematisches, Verfahren, das unter den axiomatischen Voraussetzungen exakte Ergebnisse, z. B. Punktemengen oder geometrische Örter, liefert. Wenn man dieses theoretische Vorgehen dann mit physischen Instrumenten wie z. B. ZuL "nachkocht", kommt dabei logischerweise nie etwas mathematisch Exaktes, sondern immer nur eine Zeichnung heraus, die veranschaulicht, was man sich theoretisch eigentlich gedacht hat. Gemeint ist aber vermutlich gar nicht Konstruieren im mathematischen Sinn, sondern das technische Abstecken von rechten Winkeln mit einer gewissen vorgegebenen Präzision. Dafür kann man was mit physischen Repräsentionen von PT machen, muß man aber nicht: man kann auch einfach das große Winkelmaß mit den drei kleinen Löchern nehmen, die die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Das legt man an, markiert die drei Ecken mit einem Stift oder einer Nadel, die man durch die Löcher steckt, und schon ist der Winkel abgesteckt. Das ist keine Konstruktion, aber das Ergebnis ist sehr brauchbar und ziemlich genau, und das ist dann auch "einfach". --77.10.109.199 05:33, 28. Aug. 2022 (CEST)

Fast-gleichschenklige Tripel

Angeblich benutzten die historischen Landvermesser zum Abstecken eines Quadrats die sogenannte "rationale Triangulation des Quadrats", hinter der die Verwendung des Verhältnisses 99:70 als recht gute Approximation von SQRT(2) steckt. Der Sinn erschließt sich aber nicht so recht, weil es eigentlich um das Abstecken von Senkrechten auf Standlinien ging, für die es historische Instrumente wie die Groma gab; das Abtragen der Länge einer gegebenen Quadratseite auf diesen Senkrechten auf deren Enden führt dann auch automatisch zu einem Quadrat, dessen Diagonale wird dafür nicht benötigt. Aber wenn der rechte Winkel schon durch Triangulation abgesteckt werden soll, fragt man sich natürlich, warum dafür dann nicht exakte PT anstatt der Näherung 99:70 benutzt worden sein sollte, die eben nicht fehlerfrei ist. (Eine gängige Vermesseraufgabe war, ein Feld in den Abmessungen 30 mal 720 Ruten, eine sogenannte Hufe, abzustecken. Bei einer Rutenlänge von ca. 4,70 m war die Längsseite ganz schön riesig, es war ohne Teleskop sicherlich schwierig, über eine Entfernung von ca. 3,5 km zu visieren, um die Fluchtlinie einzumessen. Zwecks Triangulation: Trifft es zu, daß (3,4,5) und (20,21,29) die einzigen beiden PT sind, bei denen sich die Katheten um genau 1 unterscheiden? Da es beim Triangulieren aber in dem PT (a,b,c) eigentlich gar nicht um die Differenz b-a, sondern darum, das Verhältnis b/a möglichst nahe an 1 zu haben: Gibt es PT mit möglichst kleinen Zahlen, bei denen dieses Verhältnis nahe bei 1 liegt, und wie kann man die finden (und nicht einfach nur stumpf herumprobieren)? --77.0.239.105 21:05, 11. Aug. 2022 (CEST)

Ich sehe gerade, das es nicht zutrifft, daß (3,4,5) und (20,21,29) die einzigen beiden PT sind, bei denen sich die Katheten um genau 1 unterscheiden, denn das ist für (119,120,169) auch der Fall. Bleibt die Frage, ob es nur endlich oder unendlich viele PT gibt, für die das gilt. --95.116.0.232 06:11, 12. Aug. 2022 (CEST)

Wie schon in QS Mathematik: Es gibt unendlich viele, Dickson, History of the Theory of Numbers, Band 2, S. 181f (war schon Fermat bekannt: sei (x, x+1, z) eine Lösung, dann auch (X, X+1, Z) mit X=2z+3x+1).--Claude J (Diskussion) 12:11, 12. Aug. 2022 (CEST)

Die Glieder der Folge {x_i} werden allerdings ziemlich schnell ziemlich "riesig", weil x_i+1 ungefähr gleich (3+2*Wurzel(2))*x_i. Und die Frage ist, ob diese Folge, beginnend mit x₁=3, alle PT dieser Form durchläuft. --77.6.182.125 03:08, 14. Aug. 2022 (CEST)

Es gibt noch eine Reihe weiterer Erzeugungsmechanismen (die Fermatsche habe ich nur erwähnt weil sie bei Dickson als Erstes erwähnt wurde). Du kannst es ja mit den OEIS Sequenzen 001652,046090,001653 vergleichen, die jeweils (x,x+1,z) Lösungen ergeben.--Claude J (Diskussion) 10:39, 14. Aug. 2022 (CEST)

Das beantwortet nicht die Frage, ob die Fermat-Methode, oder welche andere auch immer, erschöpfend ist, man damit also alle entsprechenden Tripel finden kann. (Und wenn sie es ist, dann ist die Information, daß die Katheten exponentiell, asymptotisch mit dem Faktor 3+2*Wurzel(2), zunehmen, interessant genug, um im Artikel erwähnt zu werden - Du hattest das wieder herausgelöscht..) --78.50.222.184 16:24, 14. Aug. 2022 (CEST)

Das ist immer noch nicht klar, ebenso nicht, ob oder daß die angeführte Generatorenmethode erschöpfend ist, also alle Zwillingstripel liefert. Das sollte im Text explizit formuliert werden. --77.10.109.199 04:26, 28. Aug. 2022 (CEST)

Schreibung der Tripel

Ich schlage vor, die Tripel (a,b,c) immer ohne Leerzeichen hinter den Kommas zu schreiben, sowohl bei konkreten Zahlenwerten als auch bei Formeltermen. Da es sich bei a, b und c immer um natürliche Zahlen handelt, ist eine Verwechslung mit einem Dezimalkomma nicht zu befürchten. --77.10.109.199 04:31, 28. Aug. 2022 (CEST)

Einleitung umformulieren

Ich schlage vor, die Einleitung nicht so "geometrisch" zu formulieren, etwa so:

"Ein PT besteht aus drei verschiedenen natürlichen Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Deswegen können die drei Zahlen nach dem Satz des P. auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der Euklidischen Geometrie aufgefaßt werden. [...] Ein PT heißt primitiv, wenn ..."

PT werden also nicht mehr über rechtwinklige Dreiecke, sondern nur rein algebraisch definiert. Das mit der Konstruierbarkeit des rechten Winkels ist irrelevant und mißverständlich und fliegt deswegen raus. --95.116.94.159 07:49, 29. Aug. 2022 (CEST)