Diskussion:Riemannsche Mannigfaltigkeit

Unverständlich

Dieser Artikel ist leider ohne ein paar Semester Mathe-Studium völlig unverständlich (und danach brauch man ihn nicht mehr): Zur Erklärung werden lauter wieder unbekannte und unerklärte Begriffe benutzt:

• Wegelement
• $ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$

Zumindest eine halbwegs anschauliche Erklärung (Parallelen ...) wäre angebracht. -- RainerBi ✉ 01:11, 4. Jan 2003 (CET)

Hallo Lutz, danke, dass du dich des Artikels angenommen hast. Er ist nun schon viel informativer, nicht zuletzt aufgrund des Aufbaus für Nichtmathematiker (wie mich), für die n-dimensionale Mannigfaltigkeit M doch irgendwie nach böhmischen Bahnhöfen klingen, aber immer noch sehr unverständlich. Ich würde vorschlagen, die Gliederung grundlegend zu ändern, da ich glaube, dass dann eine allgemeinverständlichkeit wesentlich leichter erzielbar ist. Ich denke mir das so, dass zunächst einmal dort steht, dass der Riemann-Raum so etwas wie eine alternative Raumbeschreibung zur „gewohnten“ euklidischen Geeometrie ist, mit allgemeinverständlicher Darstellung, was den Riemann-Raum vom euklidischen unterscheidet. Dann könnte die Historie evtl. darstellen, warum überhaupt es jemand für zweckmäßig hielt, solche Überlegungen anzustellen, und erst dann käme der "mathematische Teil". Ich selbst kann so eine Umstrukturierung mangels Fachwissen leider nicht leisten. -- RainerBi ✉ 13:18, 11. Mär 2005 (CET)

Fortschritte bei der Verständlichkeit

Hallo Benutzer:Gunther, danke für deine Arbeit am Artikel und die Rückfrage! Die verständlichkeit ist im Werden, aber m.E. noch nicht gegeben. Folgende Haupthindernisse müssten wohl noch nach und nach aus dem Wege geräumt werden:

• "intrinsisch" müsste entweder in einem Artikel (Mein wikilink auf nicht vohandenen Artikel) oder zumindest mit einem kurzen (d.h. ...) erklärt werden.
• Mannigfaltigkeit muss derzeit als nicht erklärt werden, bis sich der Unvorgebildete durch alle Wikilinks geklickt hat, hat er vergessen, wonach er eigentlich suchte ;-) ;
• Positiv definit ist nicht erklärt
• Metrik ist nicht erklärt (Wikilink?)
• Lässt sich vielleicht mit wenigen Stichpunkten angeben wie die . Er verallgemeinerte damit Erkenntnisse über die Existenz nichteuklidischer Geometrien aussah (nur Grundgedanke)?
• Ganz allgemein ist die Geschichte mit der Nord-Südpol-Wanderung noch nicht vollständig in die Erläuterungen integriert.

-- RainerBi ✉ 09:29, 20. Mär 2005 (CET)

• drei Wörter nach "intrinsisch" steht ein "d.h.", das sich auf "intrinsisch" bezieht. Ein eigener Artikel könnte auch nicht mehr schreiben als da steht, Link rausgenommen.
• "Mannigfaltigkeit" sollte man vielleicht auch einfach überlesen und sich die Erdoberfläche vorstellen...
• der Satz mit "positiv definit" ist eigentlich auch nicht mehr für den Laien gedacht, sondern fasst die vorherige anschauliche Beschreibung in eine präzise mathematische Form; habe jedenfalls noch einen Link Skalarprodukt eingefügt
• link Metrik angepasst
• Habe mal etwas dazu geschrieben, aber wenn man das klarer machen will, muss man das viel ausführlicher machen, und das gehört nicht hierher, sondern nach vielleicht am besten nach hyperbolischer Raum.
• Habe das Nordpol-Südpol-Beispiel geändert, so ist klarer, wo die Entfernungsmessung hineinkommt.

--Gunther 10:57, 20. Mär 2005 (CET)

Kommentare aus "Riemannsche Geometrie"

Was hier rein sollte: vom Thema her ist dies ein Übersichtsartikel, die moderne Disziplin heißt Differentialgeometrie und Theorie Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Allgemein: Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein nach 1920(?)), Weiterentwicklung der nichteuklidischen Geometrien von ca. 1800, evtl. Paradigmenbruch in der Physik (keine Unterscheidung zwischen mathematisch wahr und physikalisch wahren/realen Gegebenheiten, endgültig von Hilbert um 1900 verworfen).

Theoretisch: Warum sind topologische Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen nicht geometriefähig, Metrik-Tensor, Geodäten, Krümmung angesprochen, genau und ausführlich dort und unter Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Kopiert von Gunther 21:36, 13. Mär 2005 (CET)

Erde flach?

Müsste es nicht heissen, dass man damit sieht, "dass die Erde nicht (kugel-)rund, sondern abgeflacht ist"?

Dass die Erde nicht flach ist, wissen wir doch spätestens nach B. Brecht, oder war es schon früher *fg* ;-))))

Nein, das ist genau so gemeint.--Gunther 10:17, 6. Jun 2005 (CEST)

Fehler im Beispiel

Ist da nicht ein Fehler im Beispiel? df ist eine 3x2 Matrix. df*x ist also nur für Vektoren aus R^2 sinnvoll.

Richtig wäre meiner Meinung nach:

Wir möchten eine Halbkugel als Riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Die Metrik soll von der Metrik in R^3 induziert werden. Das heißt, dass für x, y aus R^3 tangential an die Halbkugel im Punkt p die Metrik von x,y gleich das Standard-Skalarprodukt <x,y> sein soll.

Aber: Der Tangentialraum in einem Punkt p der Halbkugel trägt die Struktur eines 2-dimensionalen Vektorraumes. Wir führen eine Basis dieses Vektorraumes ein: df(e1), df(e2). Jetzt lassen sich x und y in dieser Basis als Vektoren aus R^2 schreiben: x=(x1;x2)=x1*df(e1)+x2*df(e2)=df*(x1;x2), y=(y1;y2)=y1*df(e1)+y2*df(e2)=df*(x1;x2). Dann ist die Metrik von x,y gleich das Standardskalarprodukt <df(x1;x2), df(y1;y2)> (nicht signierter Beitrag von 62.202.19.133 (Diskussion) 12:27, 18. Jan 2006)

Ja, so ist das wohl gemeint. Ich halte das Beispiel aber für ohnehin eher unverständlich, es ist unklar, wozu man die Metrik braucht. Wenn man eine schönere Parametrisierung wählen würde, könnte man ja eine riemannsche Metrik auf der offenen Kreisscheibe definieren, die der Geometrie der Halbkugel entspricht, evtl. noch als Vergleich die flache und die hyperbolische Metrik.--Gunther 12:55, 18. Jan 2006 (CET)

Hallo Gunther, die Metrik muß auf dem Definitionsbereich der Parameter existieren. Dieser Definitionsbereich wird dann zusammen mit der Metrik zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die offene Kreisscheibe finde ich als Riemannsche Mannigfaltigkeit zu langweilig. Mit der euklidschen Metrik (1,0,0,1) ist man sofort fertig. Diese Kreisscheibe ist im Vergleich zur Kugel jedoch nicht gekrümmt. Da die Stärken der Riemannschen Geometrie erst auf gekrümmten Flächen zur Geltung kommen war die Halbkugel als Beispiel schon ganz gut. Nur die Mengendefinition war ungeschickt. Problematisch sind hier bei Verwendung von Kugelkoordinaten der Nord- und Südpol. Das wird auch deutlich, wenn Weltkarten betrachtet werden: Arktis und Antarktis werden auf solchen Karten immer unmäßig groß und verzerrt dargestellt. Das Beispiel orientiert sich in der aktuellen Form eher an der Gaußschen Differentialgeometrie (Fundamentalformen).

Totale Differentiale würde ich vorerst nicht in den Artikel aufnehmen. Das sind Differentialformen auf Riemannschen Flächen und sowas läßt sich erst dann behandeln, wenn der Artikel zumindest die Grundlagen ausreichend klar darstellt. Zum Vergleich siehe Laplace-Operator --B wik 10:03, 10. Nov. 2007 (CET)

Hallo B wik,

erstens: Gunther wird dir wohl nicht antworten, er hat sich aus der Wikipedia zurückgezogen.

zweitens: Du hast unrecht. Das ist gerade der Witz der "modernen" Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (mit Betonung auf Mannigfaltigkeit), im Gegensatz zur klassischen Flächentheorie, dass die Metrik nicht im Parameterbereich "lebt" (wie in der Regel die Erste Fundamentalform bei parametrisierten Flächen), sondern auf der Mannigfaltigkeit selbst, also in diesem Beispiel auf der Kugeloberfläche. Die Metrik existiert unabhängig von einer Parametrisierung oder Karte. Im Beispiel der Kugel wird die Metrik einfach dadurch erklärt, dass man das Skalarprodukt des umgebenden Raums auf die Tangentialebene der Kugel im jeweiligen Punkt einschränkt.

Zur Beschreibung kann man natürlich Parametrisierungen oder Karten benutzen, wie hier die Kugelkoordinaten. Und du hast natürlich recht, dass das im Fall der Kugelkoordinaten an den Polen nicht funktioniert. Das ist aber nur ein Problem der Parametrisierung, kein Problem der RiemannschenMetrik selbst. In der Umgebung der Pole braucht man halt andere Karten, z.B. die Parametrisierung als Funktionsgraph über der x-y-Ebene, oder die Stereographische Projektion vom gegenüberliegenden Pol. Oder Kugelkoordinaten mit anderen Polen. Oder Zentralprojektion vom Kugelmittelpunkt auf eine Tangentialebene am Pol. ... Welche Koordinaten man benutzt hängt davon ab, was gerade praktisch ist. Auf die Riemannsche Metrik selbst hat das aber keinen Einfluss.

Zu Deiner Überarbeitung: Deine Formel

$g(\theta ,\phi )=\left\langle \left.{\frac {\partial f}{\partial \theta }}(\theta ,\phi )\right|{\frac {\partial f}{\partial \theta }}(\theta ,\phi )\right\rangle$

gibt in Wirklichkeit nur die Komponente $g_{\theta ,\theta }(\theta ,\phi )$ an. --Digamma 16:08, 10. Nov. 2007 (CET)

Hallo Digamma, nach meiner Erfahrung ist es nicht gut dem Anfänger abstrakte Formeln ohne motivierende Erklärung vorzusetzen. Das Beispiel ist natürlich uralt, aber es ist eben für Anfänger sehr leicht verständlich und gut nachvollziehbar (Hoffentlich gibt es dabei keine Copyright-Probleme). Die Tatsache, daß damit dann schon die Krümmung der Kugeloberfläche berechnet werden kann, ist zusätzlich ein konkretes Ergebnis. Es bleibt auch erlaubt Christoffelsymbole und Krümmungstensoren zu definieren. Mir persönlich sind solche Beispiele wesentlich lieber als abstrakte Formeln ohne erkennbaren Sinn. Den Formalismus mit den Karten (alles völlig korrekt) würde ich lieber in den Büchern lassen. --B wik 17:28, 13. Nov. 2007 (CET)

Hallo B wik, mir ist nicht ganz klar, was Du mit "abstrakter Formel" meinst. In der Definition steht, dass eine Riemannsche Metrik etwas ist, was jedem Punkt der Mannigfaltigkeit (im Beispiel die Sphäre) ein Skalarprodukt auf dem Tangentialraum in diesem Punkt zuordnet. Man muss also nur sagen, was der Tangentialraum der Sphäre im Punkt p ist, nämlich der Unterraum des R^3, der aus allen Vektoren besteht, die orthogonal zu p sind. (Nennt man die (affine) Ebene, die S^2 im Punkt x berührt Tangentialebene, so besteht der Tangentialraum aus allen Vektoren, die in dieser Ebene liegen.) Das Skalarprodukt von solchen Vektoren im Sinne der Riemannschen Metrik ist gerade das übliche Skalarprodukt des R^3. Damit ist man im Grunde erst mal fertig, damit ist die Sphäre eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. (Das ist natürlich die allgemeine Konstruktion einer Riemannschen Untermannigfaltigkeit.)

In einem nächsten Schritt kann man dann die Komponenten diesr Metrik in einer Koordinatendarstellung (gerne eine Parametrisierung statt einer Karte, gerne Kugelkoordinaten.) Davor sollte man aber erklären, was die Komponenten einer Metrik in einer Koordinatendarstellung überhaupt sind, bzw. wie man damit rechnet (konkret das Skalarprodukt zweier Vektoren oder eine Länge, keine Christoffelsymbole und Krümmungen). Sonst kann man mit den g_ij bzw. der Matrix ja gar nichts anfangen.

Und ich habe auch nichts dagegen, hier noch Abschnitte über Christoffelsymbole bzw. Levi-Civita-Zusammenhang und kovariante Ableitung, sowie über Krümmungstensoren aufzunehmen. Aber nicht zu ausufernd, das sollte man in eigenen Artikel ausführen.

Zu Deiner Überarbeitung: Da die Koordinaten theta und phi heißen, würde ich die Indizes von g auch eher theta und phi nennen. Oder wahlweise 1 und 2, aber nicht 0 und 1. Das ist in der linearen Algebra völlig unüblich (zumindest solange man es nicht mit Lorentzmetriken zu tun hat).

Zum Copyright: Bei den Formeln brauchst Du keine Angst zu haben. Text solltest Du natürlich nicht wörtlich abschreiben oder übersetzen. --Digamma 19:36, 13. Nov. 2007 (CET)

Nachtrag: Ich habe erst jetzt Deine Überarbeitung nochmal genau angeschaut. Du hast ja schon einige der Punkte, die ich genannt habe, zumindest teilweise verwirklicht.--Digamma 19:43, 13. Nov. 2007 (CET)

Hallo Digamma, vielen Dank für die Hilfe und Unterstützung. Die beiden Beispiele beziehen sich jetzt, wie vorgeschlagen, auf die mathematische Definition. Anstelle abstrakter Formeln waren oben natürlich abstrakte Definitionen gemeint. Solche Definitionen nützen ohne Beispiele und Erklärungen normalerweise gar nichts. --B wik 21:52, 13. Nov. 2007 (CET)

Hallo B wik, vielen Dank für die Überarbeitung. Ich würde der Matrix (in dem Beispiel) gerne einen Namen geben. Naheliegend wäre die Bezeichung $(g_{ij})$. Dummerweise habe ich selbst vorgeschlagen, die Matrixelemente nicht mit i und j, sondern mit $\theta$ und $\phi$ zu indizieren. Und $g$ alleine steht traditionellerweise für die Determinante der Matrix. Fällt Dir dazu etwas ein? --Digamma 15:03, 18. Nov. 2007 (CET)

Metrischer Tensor

Hallo Digamma, schön, daß sich unsere Diskussion in Richtung metrischer Tensor bewegt. Ich denke man kann die Matrix durchaus $g_{ij}$ mit i und j aus {1,2} nennen, wenn erwähnt wird, daß die beiden krummlinigen Koordinaten theta und phi einfach durchnummeriert wurden (ich habe es so auch gleich in den Artikel eingebaut). Theta ist dabei Koordinate 1 und phi Koordinate 2.

Dann müßten eigentlich noch Erklärungen zu der Matrix (metrischer Tensor) folgen. Hier setzen bekanntlich Mathematiker und Physiker ganz unterschiedliche Schwerpunkte. Genaugenommen könnte ein Mathematiker noch einiges zu Karten und Atlanten erzählen. Der physikalische Teil ist mit einem Link auf den metrischen Tensor vorerst abgedeckt. --B wik 22:37, 19. Nov. 2007 (CET)

Ja, danke. Ich mache noch Klammern um die g_ij. Was meinst Du mit der "Dimension" des metrischen Tensors? Und warum schreibst Du hier "metrischer Tensor", wo doch oben immer von "riemannscher Metrik" die Rede war? (Und die Differenzialgeometer sagen "riemannsiche Metrik", nicht "metrischer Tensor".) --Digamma 20:48, 21. Nov. 2007 (CET)

In konkreten Rechnungen wird doch immer wieder die Tatsache genutzt, daß sich die riemannsche Metrik bei Kartenwechseln wie ein Tensor 2. Stufe transformiert. Denn damit wird das Linienelement ds^2 unabhängig von der Parametrisierung, bzw. Wahl der Karte. Um also auf Längenmessungen auf z.B. Kugeloberflächen eingehen zu können baucht man, denke ich, schon die Transformationseigenschaften der Metrik. Deswegen also metrischer Tensor. Die Beweise bzgl. der Invarianz fehlen dabei leider (noch (?)).

Die Bemerkung mit der Dimension habe ich wieder gelöscht. Man könnte vielleicht noch einiges zur Dimension der Mannigfaltigkeit und der Tangentialräume erwähnen. --B wik 17:27, 22. Nov. 2007 (CET)

Hier unterscheiden sich die Sichtweisen des Mathematikers und des Physikers. Für einen Mathematiker ist ein Tensor 2er Stufe, genauer: ein 2-fach kovarianter Tensor (ich weiß nie, ob das nun Stufe (0,2) oder (2,0) ist, eine bilineare Abbildung auf dem Tangentialraum. Dass der sich dann "wie ein Tensor 2. Stufe" transformiert, ist dann klar.

Dass die Objekte, z.B. die Bogenlänge unabhängig sind von den Karten, das sieht man am leichtesten daran, dass sie ohne Bezug auf Karten definiert sind. Die Metrik auf der Sphäre haben wir nicht mit Hilfe der Parametrisierung definiert, sondern als Einschränkung des Skalarprodukts des umgebenden Raums. Daraus ergibt sich automatisch, dass sie invariant ist unter Karten- bzw. Parametrisierungswechsel. --Digamma 18:46, 22. Nov. 2007 (CET)

Laut H. Stephani "Exact Solutions of Einstein's Field Equations" handelt es sich bei der Metrik um einen (0,2)-Tensor. --B wik 08:34, 20. Jan. 2008 (CET)

Berechnung von Längen

Ich habe Probleme, das in diesem Abschnitt gesagte nachzuvollziehen. Insbesondere der Teil "Aufgrund der Definition entspricht dies aber gerade der Ableitung der Länge der Kurve nach dem Parameter t. Durch Anwenden der Kettenregel, Vergleich mit obigem Beispiel und der Linearität des Skalarproduktes ergibt sich" geht mir zu schnell. Außerdem wird nicht ganz klar, ob die folgende Ableitung ds/dt sich jetzt nur auf die Kugel bezieht oder allgemein gültig ist. Könnte vielleicht jemand Kundiges dort noch ein paar Schritte einfügen? Danke -- Kalkofe3 15:40, 30. Jan. 2008 (CET)

Ich habe mal einen Zwischenschritt zusätzlich eingebaut. Der Abschnitt soll zeigen, dass sich bei gegebener Koordinatendarstellung der Metrik sofort Distanzen berechnen lassen. Das setzt jedoch voraus, dass das Integral über die Wurzel berechenbar bleibt. Im Fall des Äquators der Kugel geht das noch gut. Im Falle komplizierterer Koordinatendarstellungen der Metrik oder komplizierterer Metriken gilt genau die gleiche Beziehung und das Integral ist dann eventuell nur noch näherungsweise bzw. numerisch auszurechnen. Leider fehlt noch der Beweis, dass der Kurvenparameter $t$ nicht unbedingt von 0 bis 1 laufen muss. --B wik 19:21, 30. Jan. 2008 (CET)

Was ist da zu beweisen? Ein geeignetes weniger triviales Beispiel wäre vielleicht die Länge der Loxodrome (ich weiß aber nicht, ob das einfach ist und elementar möglich). --Digamma 19:41, 30. Jan. 2008 (CET)

Knifflig, diese Sache mit den Abstraktionen

„Riemann vertritt dagegen einen abstrakteren Ansatz, der ohne umgebende Räume auskommt“ – tatsächlich? Zumindest bei den gezeigten Formeln werden (immer wieder) Winkelfunktionen angewendet. Damit, scheint mir, sind entweder euklidsche Flächen keine (spezielle) Form von euklidschen Räumen oder hier wurden solche Räume verwendet, ohne sie explizit zu erwähnen.
Zur Begründung dieses Eindrucks will ich auf Gauß’ Sichtweise zurückgreifen und frage, was denn beispielsweise der Sinus eines rechten Winkels sein soll. Schon der rechte (oder jeder andere Winkel, vielleicht ausgenommen 0) benötigt eine klare Definition eines zweidimensionalen Gebietes (ob nun Raum oder nicht). Der Sinus aber gibt sich damit nicht zufrieden, denn bekanntermaßen hat ein Dreieck auch gerne mal drei rechte Winkel! Oder: abhängig von der Krümmung, der Form des Raumes, in dem ein solcher Wert bestimmt wird, ändert sich sein Wert auch mit den Längen der einzelnen Seiten, über die er bestimmt wird. Anschaulich demonstriert: man bestimme auf einer Kugeloberfläche das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse, wenn der betreffende Winkel ein rechter ist und die Hypotenuse die Länge des halben Kugelumfangs aufweist.
Natürlich hoffe ich jetzt, daß mein Text nicht zu Aussagen oder auch nur Gedanken wie „schon wieder so ein mathematisch Halbgebildeter“ führt: auch solche Leute lesen hier. Manchmal sogar, um den einen oder anderen Happen Wissen mit nach Hause nehmen zu können. --87.163.101.182 05:08, 28. Sep. 2008 (CEST)

Hallo, ich weiß nicht ob ich deine Frage verstehe, aber ich versuche eine Antwort zu geben. Eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit ist deshalb toll, weil ich auf diesem Raum eine Funktion $g$ habe, durch welche ich Winkel und Abstände messen kann. Diese Funktion muss man an einem bestimmten Punkt der Mannigfaltigkeit auswerten und erhällt dann ein Skalarprodukt. Mit Hilfe eines Skalarproduktes <.,.> definiert man nun einen Winkel zwischen x,y durch $cos(\phi )={\frac {<x,y>}{<x,x><y,y>}}$. y,x sind Elemente eines Vektorraums, also beispielsweise n-Tupel, wie man es aus der Schule her kennt. Man kann allerdings auf diese Weise auch schon Winkel zwischen Polynomen und anderen Dingen definieren. Die Geometrie eines Vektorraums ist also durch sein Skalarprodukt bestimmt, falls der Raum ein solches besitzt. Bei einer Mannigfaltigkeit klebt man an jeden Punkt der Mannigfaltigkeit einen Vektorraum und falls die Mannigfaltigkeit eine riemannsche ist so induzieren die Skalarprodukte dieser angeklebten Vektorräume eine Geometrie auf der Mannigfaltigkeit. Das heißt ich kann dort Winkel messen ohne die Mannigfaltigkeit in den euklidischen Raum einzubetten. --Christian1985 10:37, 28. Sep. 2008 (CEST)

Ja, so ganz verstanden scheinst du mich nicht zu haben. Mir ging es ja um dieses „ohne umgebenden Raum“. Im Artikel und auch deiner Antwort tauchen nun Winkelfunktionen auf. Meiner Meinung nach stellen die aber durchaus die Repräsentation eines umgebenden Raumes dar. Denn, soweit ich es sehen kann, diese funktionieren ja nur (jednefalls in der gezeigten Art) nur, wenn sie gemäß einer euklidschen Fläche oder einem euklidschen Raum angewendet werden können. Angenommen, dein Beispiel bezieht sich auf einen Punkt, an dem der von dir dabei verwendete $cos(\phi )$ seine Cosinus-Funktionalität nicht aus einem euklidschen Raum bezieht sondern aus einer zweidimensionalen Fläche, welche zu einer Kugel gekrümmt ist. Damit ändert sich das Ergebnis dieser Funktion mit dem jeweils angewendeten Verhältnis von $Hypothenuse/Kugelumfang$. Es würden sich beispielsweise bei einer Hypothenuse, welche eine Länge von $n/2*Umfang$ aufweist, bei jedem Winkel immer 1 ergeben, denn die Ankathete würde immer die Länge der Hypthenuse aufweisen und die Länge der Gegenkathete wäre immer 0 (und das Dreieck wäre ein Zweieck oder eine – mir fehlt ein Name dafür – interessant aussehende Verzierung, wie man sie auf Strandbällen entdecken kann).
Mein Schluß daraus: auch wenn keiner explizit erwähnt wird, zumindest in der gezeigten Form steckt „der Euklid“ doch überall drin. --87.163.64.108 02:01, 30. Sep. 2008 (CEST)

Also irgendwie verstehe ich deine Rechnung nicht so recht. Was mir aber auffällt ist, dass du von einem Umfang einer Kugel erst dann sprechen kannst, wenn du auf dem Raum in dem die Kugel sich befindet oder auf der Kugel an sich (weil sie in keinem Raum drin liegt) einen Längenbegriff definiert hast. Dies geht ebenfalls hier über die Riemann'sche Metrik. So wie ich dich hier verstehe, hast du den Umfang mit Hilfe der Eukild'schen Metrik bestimmt. Außerdem gelten die Verhältnisse Ankathete/Hypothenuse usw. auch nur im Euklid'schen Raum.

Außerdem macht der Begriff des Dreiecks auf Mannigfaltigkeiten ansich schon wenig Sinn. Wodurch wird ein Dreieck denn charakterisiert? Ich nehme mal an, dass dies durch 3 beliebige Punkte im Raum charakterisiert ist, die man dann miteinander verbinden kann. Wählt man nun auf diesem Raum eine anderen Metrik als die von Euklid, so erhällt man dann auch Formen, die eigentlich nicht mehr nach Dreiecken aussehen, obwohl man nur drei Punkte gewählt hat und diese auf dem direkten Weg, welcher durch die Metrik festgelegt wird, verbunden hat. Zu dem Dreieck ansich fällt mir nun kein Beispiel ein, welches man nachrechnen könnte, vielleicht kommt mir noch etwas im Laufe des Tages. Jedoch fällt mir ein anderes Beispiel ein und zwar betrachte mal den $\mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis bzgl. der Euklid'schen Metrik ist die Menge der x = (x_1,x_2) für welche $\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\right\|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}=1$ gilt, ändere ich nun die Norm und damit auch die Metrik so definiert dies mathematisch immernoch einen Kreis, aber wenn man sich dies dann mal hinmalt sieht es nicht mehr mehr aus wie ein Kreis. Wählt man zB die Supremumsnorm so sieht die Menge $\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\right\|_{\infty }=\max(x_{1},x_{2})=1$ aus wie ein Quadrat, bei dem Eins der minimale Abstand zum Nullpunkt ist. An diesem Beispiel kannst du hoffentlich erkennen, dass Kreise in normalen Vektorräumen schon nicht wie Kreise aussehen müssen. Also mit den "interessant aussehenden Verziehrungen" hast dus schon nicht unrecht. Auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten, welche also nicht eingebettet sind, verhällt sich diese ähnlich und es macht nur noch wenig Sinn über elementargeometrische Figuren zu sprechen. Das Problem, welches du hier hast ist vielleicht, dass du dir andere Abstandsbegriffe auch versuchst im euklidschen Raum vorstellen, dies ist aber genauso sinnlos wie es sich anhört. ;) Ich glaube außer dem euklidischen Abstandsbegriff kann man sich eh keinen anderen so richtig vorstellen.

„Außerdem gelten die Verhältnisse Ankathete/Hypothenuse usw. auch nur im Euklid'schen Raum.“ – genau darum geht es! Denn genau mit solchen Verhältnissen wird im Text anscheinend versucht, das zu zeigen: „Riemann vertritt dagegen einen abstrakteren Ansatz, der ohne umgebende Räume auskommt.“ Wenn hier etwas ohne umgebende Räume, vor allem euklidsche, auskommen soll, dann möchte ich entweder die Winkelfunktionen nicht sehen oder eine Definition dieser in allgemeinen Räumen sehen – ganz ohne Euklid. --87.163.89.128 07:34, 1. Okt. 2008 (CEST)

Auchso es geht dir um die Beispiele. Naja bei den Beispielen kommt der Aspekt hinzu, dass es sich um reelle UNTERmannigfaltigkeiten handelt. Diese erben natürlich die euklidische Struktur. Ich verstehe das erste Beispiel eher so, dass es zeigen soll wie man die euklidische Geometrie in Kugelkoordinaten transformiert. Also bei reellen Untermannigfaltigkeiten hasst du recht, dort ist die Mannigfaltigkeit immer eingebettet! Es fehlt ein Beispiel indem die Mannigfaltigkeit nicht als Untermannigfaltigkeit betrachtet wird. Die Winkelfunktionen definiert man eigentlich meistenz über die Exponentialfunktion und nicht über Verhältnisse.
Infinitesimal, also im Tangentialraum, ist die Geometrie weiterhin euklidisch.--80.136.138.236 14:40, 1. Okt. 2008 (CEST)

Ja, die Details sind gerne heimtückisch und wenn man etwas gewöhnt ist, übersieht man es auch schnell.
Das mit der Definition der Winkelfunktionen ist IMO auch etwas heikel. Nicht umsonst nennt man sie ja Winkelfunktionen. Aber belassen wir das mal und sehen es aus einer anderen Richtung an: diese Mannigfaltigkeiten sind also grundlegend „winkelfunktionsdefinitions-gekrümmt“? Immerhin: egal welche tatsächliche Funktion sich da versteckt, sie bestimmt (regiert? dominiert?) jede der so ermittelten/erstellten/… Metriken. — Na, Einstein hätte seine Freude dran: sogar die Mathematik ist (so gesehen) relativ. Und wenn da eine Funktion verwendet wird, die wir nicht verstehen … haben wir vielleicht die Stelle gefunden, an der seine andere Mathematik beginnt (AFAIR hat er etwas in der Art gesagt).
BTW: Ich habe mir erlaubt, deiner vorangehenden letzten Zeile etwas Form zu verpassen. Und: danke für die Mühe!

Du wirst lachen, aber diese Mathematik hier, verwenden Physiker für die allgemeine Relativitätstheorie.--Christian1985 11:23, 2. Okt. 2008 (CEST)

Du darfst auch lachen: rate mal, wie ich hierher gelangt bin! --87.163.100.214 05:49, 4. Okt. 2008 (CEST)

Die Rechnungen mit der Kugeloberfläche verstehe ich als Motivation für eigene Berechnungen und Überlegungen. Dadurch sollen die formalen Aspekte der Theorie verständlich, bzw. anschaulicher gemacht werden. Leider gibt es damit auch Überschneidungen mit den Artikeln Differentialgeometrie und Untermannigfaltigkeit. --B wik 10:12, 18. Okt. 2008 (CEST)

Was ist A_i?

Das:

Für die Richtungsableitung der Tangentialvektoren gilt also

$R_{i}(t):={\frac {{\rm {d}}A_{i}(t)}{{\rm {d}}t}}-\Gamma _{ik}^{p}A_{p}{\frac {{\rm {d}}x^{k}}{{\rm {d}}t}}.$

Über alle doppelten Indizes wird hier gemäß der einsteinschen Summenkonvention summiert. Die Funktionen $\Gamma _{ik}^{p}$ heißen Christoffelsymbole. Sie lassen sich aus der Metrik durch partielle Ableitung berechnen. Zu beachten bleibt, dass sich diese Formel nur noch auf die n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit und den zugehörigen Tangentialraum bezieht. Im Falle einer zweidimensionalen Fläche nimmt jeder Index also die Werte 1 und 2 an. Bezogen auf obiges Rechenbeispiel gilt

${\frac {{\rm {d}}x^{1}}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\Theta _{K}(t)}{{\rm {d}}t}},\quad {\frac {{\rm {d}}x^{2}}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\Phi _{K}(t)}{{\rm {d}}t}}.$

Sind entlang der Kurve ${\vec {K}}(t)$ alle Komponenten der Richtungsableitung $R_{i}(t)$ gleich null, wird der Vektor ${\vec {A}}$ entlang der Kurve $K$ parallel verschoben. Ist ${\vec {A}}$ zusätzlich der Tangentialvektor der Kurve $K$ für alle $t$, so ist diese Kurve auch die kürzeste Verbindung zwischen Anfangs- und Endpunkt der Kurve. Solche Kurven werden, wie bereits oben erwähnt, Geodäten genannt.

verstehe ich nicht. Wo kommt plötzlich das $A_{i}$ her? Und was ist $R_{i}$? -- Digamma 21:41, 11. Dez. 2010 (CET)

Die A_i, bzw. A^i sind einfach die Komponenten des Vektors der parallel verschoben werden soll. Ich habe den gesamten Abschnitt nochmal stark überarbeitet und mich dabei auch von Literartur, wie Misner, Thorne, Wheeler, "Gravitation" inspirieren lassen. Dort wird ebenfalls intensiv der Begriff der Richtungsableitung benutzt, was natürlich der mathematischen Abstraktion entgegenwirkt. Das Rechenbeispiel im vorhergehenden Abschnitt verleitet einfach zu der aktuellen Darstellung. --B wik 02:00, 12. Dez. 2010 (CET)

Mein Problem war, dass bis dahin immer nur die Rede war von der zweiten Ableitung des Tangentialvektors, d. h., dass nur die "Richtungsableitung" des Tangentialvektors in Richtung des Tangentialvektors betrachtet wurde. Das ist ein Anfang, erklärt aber bei weitem nicht, wie man beliebige Vektorfelder auf der Untermannigfaltigkeit ableitet und erst recht nicht, wie man Vektoren parallel verschiebt. Die anschließende Formel fällt vom Himmel, die einzelnen Bestandteile werden nicht erklärt. Deshalb kann man sie nicht nur nicht nachvollziehen, sondern auch nicht anwenden. Vielleicht liegt ein Grund für meine Verwirrung auch darin, dass "Tangentialvektor" hier einerseits den Tangentialvektor ${\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}(t)$ der Kurve bezeichnet, andererseits einen beliebigen Vektor, der tangential an die Untermannigfaltigkeit ist.

Grundsätzlich denke ich, dass man im Artikel "Riemannsche Mannigfaltigkeit" über die kovariante Ableitung (und darum geht es ja bei "Richtungsableitung" von Vektorfeldern auf einer Mannigfaltigkeit) und die Parallelverschiebung nicht zu viel schreiben sollte, sondern dies in eigene Artikel auslagern. Es gibt außerdem seit einiger Zeit einen Übersichtsartikel Riemannsche Geometrie. -- Digamma 09:43, 12. Dez. 2010 (CET)

Wäh, was sollen denn nun diese langen, sehr technischen Abschnitte in Riemannscher Geometrie. Ich hatte absichtlich jede Rechnerei aus dem Artikel verbannt. Außerdem gehört das Rechnen von Beispielen sicher hier hin und nicht in einen Überblicksartikel! Ich bitte darum dies rückgängig zu machen. Außerdem ist Copy&Past nicht so ganz Lizenzkonform. --Christian1985 (Diskussion) 12:00, 12. Dez. 2010 (CET)

@Christian: Man kann die Rechnungen im Artikel "Riemannsche Geometrie" auch gerne löschen. Die sind von mir und ich will das niemandem aufdrängen. Die sind sowieso nicht besonders übersichtlich, aber ich will mir auch nicht vorwerfen lassen, ich würde hier Vandalismus betreiben :-(((. Vielleicht liest Du Dir dazu auch nochmal obige Kritik von Digamma durch. Dann könnt Ihr zwei das weitere Vorgehen entscheiden. --B wik 12:18, 12. Dez. 2010 (CET)

Ich denke, Rechenbeispiele zur Kurvenlänge in Riemannschen Mannigfaltigkeiten gehören in den Artikel Riemannsche Metrik (Kurvenlängen von Flächen im 3-dimensionalen euklidischen Raum auch in Erste Fundamentalform), Längere Ausführungen zu Paralleltransport und kovariante Ableitung gehören in diese Artikel. Im Artikel Riemannsche Geometrie können diese Konzepte erwähnt werden, im Artikel Riemannsche Mannigfaltigkeit kann man ihnen einen kurzen Abschnitt widmen. Ist das für Euch OK? -- Digamma 12:29, 12. Dez. 2010 (CET)

Das halte ich für sehr sinnvoll. Leider gibt es den Artikel Riemannsche Metrik nicht. Rate mal wo du da rauskommst. :) --Christian1985 (Diskussion) 12:33, 12. Dez. 2010 (CET)

Ergänzung @B wik: Mich haben eigentlich nur die langen Ausführungen über Paralleltransport und kovariante Ableitung gestört. Die Berechnung der Länge von Kurven ist so grundlegend für Riemannsche Mannigfaltigkeiten, dass sie meiner Meinung nach durchaus in dem Artikel bleiben kann. -- Digamma 12:38, 12. Dez. 2010 (CET)

Definition der Riemannschen Metrik halbrichtig

Das ist vielleicht kleingekackt, aber ich glaube der Begriff der riemannschen Metrik ist hier im Artikel nicht ganz richtig definiert, denn es handelt sich glaube ich nicht um eine Funktion! Definitionsbereich h"angt nämlich vom Argument ab. (das is ganz schlecht) Allerhöchstens könnte man sagen es handle sich um eine Abbildung von M in eine Menge von Skalarprodukten auf den einzelnen Tangentialräumen. (Keine Ahnung, wird wohl der Dualraum von irgendwas sein). jedenfalls ist es hinsichtlich dieser Spitzfindigkeit einfacher zu sagen, die Riemannsche Metrik sei eine "Familie von Skalarprodukten" auf der Menge der Tangentialräume. (das ist nicht das Tangentialbündel, aber fast). Es ist auch glaub ich nicht sinnvoll davon zu sprechen das g glatt von p abhängt, wenn der Definitionsbereich von g auch von p abhängt. (Oder da steckt ein ganz ausgebuffter Kategorientheoretischer Differentiationsbegriff hinter). (nicht signierter Beitrag von 77.20.150.245 (Diskussion) 18:36, 4. Jul 2011 (CEST))

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist schon eine Funktion (man kann auch Abbildung sagen, die beiden Begriffe sind synonym). Nur sind die Werte keine Zahlen, sondern Skalarprodukte auf geeigneten Räumen. Man kann auch sagen, dass g ein Schnitt im Vektorbündel der (0,2)-Tensoren ist, also insbesondere eine Abbildung von der Mannigfaltigkeit in dieses Vektorbündel. Soviel zur Spitzfindigkeit. Der Definitionsbereich des Skalarprodukts g_p ist der Tangentialraum im Punkt p, und damit für jeden Punkt p ein anderer. Das ist aber eine andere Frage. Der Definitionsbereich für p selbst ist die Mannigfaltigkeit M. Die Aussage, die Riemannsche Metrik sei eine "Familie von Skalaprodukten" ist natürlich richtig und vielleicht sogar besser. Der Nachteil tritt im nächsten besprochenen Punkt auf: Was ist eine differenzierbare Familie?

Es ist nämlich nicht nur sinnvoll, sondern sogar notwendig, davon zu sprechen, dass g glatt von p abhängt. Ohne diese Eigenschaft wäre es keine Riemannsche Metrik und man könnte z.B. keine Krümmung und keine kovariante Ableitung definieren. In beiden Fällen muss man g differenzieren. Was bedeutet es, dass g glatt von p abhängt? Die einfachste Version ist die Darstellung in lokalen Karten: die g_ij sind glatte Funktionen. Abstrakter kann man sagen, dass g eine glatte Abbildung von M in das Vektorbündel der (0,2)-Tensoren ist. Das ist nur der Differenzierbarkeitsbegriff für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, denn Vektorbündel sind auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten. -- Digamma 21:54, 17. Jul. 2011 (CEST)

Eine Funktion f ordnet jedem Element x (Argument) aus dessen Definitionsmenge eindeutig einem Element y zu. Aus logischen Gründen können dabei nicht zwei gleiche y- Elemente dem Element x zugeordnet werden. Um das zu erreichen, müssten Funktionen symmetrisch dargestellt werden. Dies wird erreicht, indem auch die x- und y-Elemente beschreibenden Komponenten der Funktion eine Symmetrie haben. Dabei dürften die Symmetrieachsen in einer Funktion sich nicht voneinander abhängen. Deshalb müssen die x- und y-Achsen einer Funktion immer dieselbe Krümmung und die Winkel dieser Achsen immer dasselbe Verhältnis zueinander haben. Sollten die Werte der Winkel sich wie in der Riemannschen Metrik zusammen bzw. auseinander ziehen und sich zu Ellipsenartige Gebilde verformen, dürften sie dabei nicht die Funktion an sich allgemein beinflussen. Unter anderem ist es dabei vor allem wenn sich Funktionen in der Riemannschen Metrik schwer bewehren schwierig, sie direkt in die Definition solcher Themen einzubringen. Da wäre es besser, die Funktionen statt Definition nur als Herleitung, Einführung und Erklärung zu benutzen. Wenn man Funktionen dabei überhaupt anstelle von Gleichungen benutzt, dann als Herleitung oder als Beschreibung dessen was in diesem Fall vorgeführt ist. Danach oder wie man's nimmt davor kommt dann die Definition. Ich bin kein Wikipediaschreiber, sondern ein 15- jähriger Laie, dem die komplette Differenzialgeometrie sehr undursichtig vorkommt und der nur ein brüchiges Grundwissen über die Relativitätstheorie hat. Ich wünschte, dass allgemein nicht zu stark vom Thema abgewichen wird und auch noch andere Darstellungsmethoden (wie die Matrizenschreibweise) um der Riemannschen Geometrie herum Verwendung finden. Darstellungsmethoden kann man ständig finden. Vor Allem die Matrizenschreibweise hängt von Gleichungen und von Funktionen ab und könnte noch als Physikerfreundlichere Darstellung benutzt werden. --87.180.88.205 21:36, 5. Mär. 2013 (CET)

Du verwechselst Funktionen mit Kurven, also den Graphen von Funktionen. Es geht hier aber gar nicht um Kurven auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Mit "Funktion" ist hier eine Zuordnung gemeint. Jedem Punkt der Mannigfaltigkeit wird ein Skalarprodukt zugeordnet. --Digamma (Diskussion) 22:12, 5. Mär. 2013 (CET)

Würde es dann aus praktischen Gründen nicht Sinn machen, die Zuordnung mit dem Skalarpunkt, also die Riemannsche Mannigfähigkeit, informationshalber mit mehrdimensionellen Gleichungen zu vervollständigen? --87.180.86.64 16:16, 6. Mär. 2013 (CET)

Tut mir leid, ich weiß nicht, was du meinst? Meinst du ein explitites Beispiel? --Digamma (Diskussion) 18:39, 6. Mär. 2013 (CET)

Algorythmen zum Beispiel --87.180.33.37 11:46, 8. Mär. 2013 (CET)

Könntest du dich bitte weniger kryptisch ausdrücken? Was für Algorithmen? Und was haben die mit Gleichungen zu tun? Und mit Riemannschen Metriken? Wenn du möchtest, dass hier jemand etwas ergänzt, dann solltest du schon konkret werden. --Digamma (Diskussion) 22:05, 8. Mär. 2013 (CET)

Geodätische

Nicht jede Kurve, die ein lokales Minimum des Längenfunktionals ist, ist eine Geodätische. Geodätische müssen auch uniform parametrisiert sein. So ist z.B zwischen den Punkten $(0,0)^{\top },(1,1)^{\top }\in \mathbb {R} ^{2}$ der Weg $c:[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $c(t):=(t^{2},t^{2})^{\top }$ ein globales Optimum des Längenfunktionals($L(c)={\sqrt {2}}$), aber keine Geodätische ($\|c'(t)\|={\sqrt {8}}t$). Ich habe gerade keine Zeit, das in den Artikel einzuarbeiten, aber es sollte noch geschehen. --V4len (Diskussion) 11:47, 4. Nov. 2014 (CET)

Ich habe mal "Ein mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufener Weg" ergänzt. Ich hoffe, das ist verständlich.

(Warum transponierst du die Zahlenpaare? Für mich ist ein Element des $\mathbb {R} ^{2}$ einfach ein Zahlenpaar, es muss nicht als Spaltenvektor geschrieben werden. Vor allem wenn damit Punkte und nicht Vektoren gemeint sind.) --Digamma (Diskussion) 19:24, 4. Nov. 2014 (CET)

Ich sehe die Ergänzung nicht, aber ich denke, dass die Formlierung gut ist.

Beim zweiten Punkt stimme ich Dir zu. $;)^{\top }$ (Emoticons müssen definitiv transponiert werden) --V4len (Diskussion) 10:29, 5. Nov. 2014 (CET)

Wenn du die Ergänzung nicht siehst, meinst du vielleicht eine andere Stelle als die, die ich bearbeitet habe.? --Digamma (Diskussion) 16:45, 5. Nov. 2014 (CET)

Ich hatte überhaupt keine Änderung in Riemannsche Mannigfaltigkeit gesehen. Daher habe ich Deinen Vorschlag so eingetragen. --V4len (Diskussion) 13:59, 6. Nov. 2014 (CET)

Manchmal passiert mir das, dass ich Änderungen nur in der Vorschau betrachte und dann vergesse, sie abzuspeichern. Wahrscheinlich war das hier auch so. Danke für die Mühe. --Digamma (Diskussion) 21:45, 6. Nov. 2014 (CET)

Der Satz "Die kürzesten Strecken zwischen unterschiedlichen Punkten (die sogenannten Geodäten) sind nicht zwingend Geradenstücke, sondern können gekrümmte Kurven sein." ist als alleinstehende Aussage unsinnig. Geodäten sind dadurch gekennzeichnet, dass die geodätische Krümmung, d.h. die Krümmung innerhalb der Mannigfaltigkeit verschwindet! Eine Aussage wie "können gekrümmte Kurven sein" macht Sinn nur in einem Raum, in den man den riemannschen Raum einbettet, also als äußere Krümmung. Beispiel: Auf einer Kugeloberfläche sind Großkreise Geodäten. Die haben eine Krümmung im einbettenden dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie haben aber keine Krümmung auf der Kugeloberfläche! Dort sind sie die geradestmöglichen Kurven. Die Krümmung in einer Tangentialebene zur Kugeloberfläche im betrachteten Aufpunkt ist null, die gesamte Krümmung (1/Radius) ist die der Kurve in einer Ebene senkrecht zur Kugeloberfläche.

Mein Vorschlag wäre, den Satz ganz herauszunehmen oder eben zu sagen, dass Geodäten in einem einbettenden Raum gekrümmt sein können (wenn der existiert).--Krenska (Diskussion) 13:59, 23. Okt. 2020 (CEST)