Diskussion:Stetige Funktion

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Einleitung

Die Charakterisierung, der Stetigkeit durch 'Zeichnen ohne Absetzen des Stiftes' ist in der Diskussion schon mehrfach kritisiert worden. Meines Erachtens sollte an dieser Stelle oder anderswo zumindest auf diese Problematik hingewiesen werden. Dass in der Einleitung zu einem der wichtigsten Begriffe der Mathematik direkt "Vieweg-Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker" referiert wird, halte ich für unangemessen. Es sollte doch ein Mathematikbuch (und wenn es ein Schulbuch ist) geben, das man hier referieren kann. (Übertragener Kommentar von Stephan2802)

Was mich an der Einleitung stört, ist weniger der konkrete Inhalt, sondern dass Definition und anschauliche Charakterisierung vertauscht werden:

• Eine Funktion ist stetig, wenn "hinreichend kleine ... nach sich ziehen". Das soll wohl die Definition sein. Dafür, dass die voranstehende Definition zutrifft, zwei Kriterien. Umgekehrt wird ein Schuh draus: Die Stetigkeit wird durch eines der Kriterien definiert, deren anschauliche Charakterisierung im ersten Satz der Einleitung steht. Vielleicht kann mans so lassen, und nur das Wort „Kriterium“ ist falsch: ein Kriterium ist keine Definition, sondern ein Hinweis, ob eine anderswo definierte Bedingng zutrifft.
• Eine stetige Funktion ist nicht dadurch gekennzeichnet (immerhin nicht definiert), dass ihr Graph eine zusammenhängende Kurve ist, die sich zeichnen lässt. Vielmehr ist umgekehrt: ein solcher Graph vielleicht ein hinreichendes Kriterium für Stetigkeit (nachdem man "Sprung", "zusammenhängende Kurve" und "sich zeichnen lassen" geeignet definiert hat), aber sicher kein notwendiges.

Ich empfinde auch einen gewissen Eiertanz um die formalen Kriterien: einerseits werden sie schon in der Einleitung beim Namen genannt, andererseits werden sie schamhaft verschwiegen, bis die reellen Beispiele vorbei sind, wo man sie gebraucht hätte. Ich lasse es jetzt erstmal so, bis mir etwas Besseres einfällt.

Ich wollte erst die Einleitung in dieser Hinsicht verbessern, aber neu schreiben (unter Verwendung der enthaltenen Ideen) ist wohl einfacher. --Lantani (Diskussion) 12:45, 6. Apr. 2019 (CEST)

Ich beginne mal mit der Sammlung möglicher Quellen oder Vorbilder für eine Formulierung der Einleitung:

• https://www.britannica.com/science/continuity
• https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/stetigkeit/10006 (nur begrenzt hilfreich)
• weitere?

—Godung Gwahag (Diskussion) 13:14, 11. Okt. 2019 (CEST)

Ich schließe mich der Kritik bzgl. des Absetzen des Stifts an. Funktionen mit Polstellen wie z.B. der Tangens und gebrochen rationale Funktionen sind an allen Stellen der Funktion stetig und an den Polen weder stetig, noch unstetig, da sie dort nicht definiert sind. Diese Funktionen daher stetig, da sie an keiner Stelle unstetig sind, dennoch können deren Graphen nicht ohne Absetzen des Stifts gezeichnet werden. Ich würde vorschlagen, genau das als Kommentar/Kritik zu diesem "Kriterium" hinzuzufügen, z.B. mit der Quelle: Arens, Hettlich (2018): Mathematik (Zitat S.219:"Dies ist auch die Grenze der anschaulichen Vorstellung, dass eine Funktion stetig ist, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Stift dabei abzusetzen. Von Stetigkeit kann man nur an Stellen sprechen, an denen eine Funktion auch definiert ist." Zitat Ende). --Felix Tritschler (Diskussion) 09:43, 2. Jun. 2022 (CEST)

An welcher Stelle im ganzen Artikel kommt denn „Absetzen des Stifts“ in einer Weise vor, dass nicht an derselben Stelle davor gewarnt wird, das als Definition anzusehen? Insbesondere im Abschnitt Motivation ganz am Anfang wird doch gleich anhand von Beispielen erklärt, warum das keine brauchbare Definition ist. Die Kritik richtet sich doch nur gegen ältere Versionen des Artikels, wo das noch nicht so war. --Lantani (Diskussion) 12:43, 2. Jun. 2022 (CEST)

Motivation

Ich habe jetzt auf Basis der Diskussion den Motivationsabschnitt neu verfaßt, siehe Vorderseite. Kritik und Verbesserungswünsche gerne hier oder auf der Portaldisk.—Godung Gwahag (Diskussion) 19:43, 2. Dez. 2019 (CET)

Anschauliche Herleitung

Wie ich am 7. Mär. schon geschrieben habe, den Abschnitt Stetigkeit#Motivation halte ich für verfehlt, der mit "Anschauliche Herleitung" bezeichneter Unterabschnitt ist wenig anschaulich und beginnt wenig didaktisch auch noch mit dem Beispiel einer unstetigen Funktion (Abschnittstitel sind falsch, es handelt sich weder um eine "Motivation" noch um eine "Herleitung", es ist lediglich ein Beispiel). Zudem ist der Abschnitt komplett unbelegt. Meiner Meinung nach ist eine "Motivation" (anders als in wissenschaftlichen Texten und Sachbüchern) für einen Wikipedia-Artikel nicht so wichtig: Erstens kann man ausführliche Motivationen ja bei Bedarf in den angegebenen Fachbüchern nachlesen, wie auch die konkreten Beweise (Beweise sind offenbar explizit nicht gewünscht anders als Motivationen, vgl. Portal:Mathematik/Mitarbeit). Zweitens sind die Nutzenden sowieso schon motiviert, nachdem sie sich die Mühe gemacht haben den Begriff in Wikipedia nachzuschlagen. Didaktisch sinnvoller fände ich es, wenn in der sogenannten Einleitung eine passende Abbildung stetige und unstetige Funktionen illustrieren würde (NB: die in diesem Portal verwendete Bezeichnung "Einleitung" ist irreführend, es handelt sich meiner Meinung nach eher um eine kurze informale Zusammenfassung, also ein Abstract). Auf den ersten Blick sieht der Neuentwurf des Artikels ansonsten sehr gut aus, der Artikel scheint insgesamt besser strukturiert zu sein, sodass die (verständlichen) Definitionen besser auffindbar sind. Ich habe mir aber nichts durchgelesen, nur einen kurzen Blick darauf geworfen. --Bejahend (Diskussion) 17:55, 13. Mär. 2019 (CET) Nachtrag: Wurde hier von Stephan2802 schon vorgeschlagen, die Neuanlage eines Artikel über stetige und unstetige Vorgänge in Natur und Technik (und natürlich auch anderen Wissenschaften). Vielleicht sollte das der Abschnitt "Motivation" auch liefern. Vorschlag: "Modellierung mit stetigen Funktionen" oder "Stetigkeit als Modellierungsannahme" oder "Stetige Vorgänge in der Natur" als Abschnittsüberschrift (siehe auch Mathematisches Modell))? Meinetwegen könnte man es auch bei "Motivation" belassen, aber bitte keine Herleitung! Vielen Dank für die Mühe. (Übertragener Kommentar von Bejahend)

Zu den Begriffen: Unter "Einleitung" versteht man hier den Teil des Artikels, der keine Überschrift hat und vor der Gliederung steht. Ob "Einleitung" oder "Abstract" (oder "Zusammenfassung") das bessere Wort ist, kann uns wurscht sein, weil keines davon im Text steht. Dieser Teil soll dem Leser sagen, was der Begriff bedeutet, ohne in Details zu gehen, denn viele Leser wollen gar nicht alles zum Thema wissen. – Bei dem Text unter der Überschrift "Motivation" geht es nicht um die Motivation des Lesers, sondern um die Beantwortung der Fragen "Warum beschäftigt man sich damit?" und "Warum hat man das so genannt?" Es ist ja nicht so, dass mathematische Definitionen plötzlich vom Himmel fallen und man sie ganz anders hätte nennen können. Und wenn man sie anders genannt hätte, würden sich die Leute spontan etwas anderes vorstellen. Dieser Abschnitt soll helfen, sich gerade nicht auf Vorstellungen anstelle von Definitionen zu verlassen, aber andererseits eine korrekte Vorstellung zu entwickeln statt nur die definierende Formel auswendig zu lernen ohne ihren Sinn zu verstehen. – Ja , "Herleitung" ist eine ganz und gar falsche Überschrift.

Zum Inhalt: Wie ich schon schrieb, halte ich den jetzigen Text unter "Motivation" für nicht so gut. Ich bin aber der Meinung, dass es besser geht, und dass dann der oben genannte Zweck erreicht werden kann, eine im Großen und Ganzen richtige Vorstellung zu entwickeln, die für das meiste ausreicht (wer rechnet denn mit δ und ε nach, ob der Sinus stetig ist?) und die die exakte Definition so "motiviert", dass man sie verstanden hat statt nur auswendig gelernt. Ich wills versuchen; es ist ja vom Rest unabhängig, den andere fertigfeilen können. (Übertragener Kommentar von Lantani)

Danke für die Erläuterung, es war einfach zu viel, was in meinen Augen nicht zusammenpassen wollte. In Fachbüchern geht es bei einer Motivation (unter anderem auch) darum, den Leser zum weiterlesen der folgenden Definitionen zu motivieren. Ich lese gerade ein Buch mit einem Kapitel zur intuitionistischen Logik, dort gibt es einen Abschnitt "Motivation" mit einem geschichtlichen Aufriss, einer Beschreibung von der zugrundeliegenden Vorstellung und der Nennung von einigen Beispielen im Anwendungsgebiet. Ich habe selbst eine Seminararbeit geschrieben mit einem Abschnitt "Motivation", da kam von verschiedenen Personen außerhalb der Mathematik die Kritik, der Titel sei unpassend (einfach mal im Hinterkopf behalten, dass es sich bei der Bezeichnung "Motivation" um einen Begriff aus dem Mathe-Slang handelt).

Prinzipiell erscheint mir aber ein solcher Abschnitt durchaus sinnvoll. Vielleicht sind das aber eher zwei Abschnitte, ein geschichtlicher und einer zur Modellierung?(Übertragener Kommentar von Bejahend)

Es scheint ja Konsens zu sein, dass der gesamte Abschnitt in seiner jetzigen Form raussollte. Leider findet man weder in der Literatur noch im Internet bessere Motivationsabschnitte für Stetigkeit. Die englische Wikipedia hat in der Einleitung

As an example, consider the function h(t), which describes the height of a growing flower at time t. This function is continuous. By contrast, if M(t) denotes the amount of money in a bank account at time t, then the function jumps at each point in time when money is deposited or withdrawn, so the function M(t) is discontinuous.

Das könnten wir hier (oder in der Einleitung?) auch schreiben. Dann könnten wir schreiben, dass Stetigkeit anschaulich mit Zeichenbarkeit in einem Schritt assoziiert wird. Als Beispiel könnten wir ein Bild einer stetigen Funktion (sin x?) und das schon im Abschnitt stehende Bild einer Funktion mit Sprungstelle anführen. Als Beispiel für die Grenzen der Anschauung könnte man dann x.sin(1/x) anführen, fortgesetzt durch 0 im Nullpunkt. Die läßt sich nur schwer in einem Zug zeichnen. Damit reicht es dann mE für den Motivationsabschnitt. Ausgefallenere Beispiele stetiger Funktionen wie die auf R-0 definierte Signumsfunktion würde ich hier nicht diskutieren,allenfalls könnte man das in einem späteren Abschnitt kurz erwähnen. —Godung Gwahag (Diskussion) 21:44, 19. Nov. 2019 (CET)

Beschränktheit der Anschauung

Soll dieser Abschnitt drinbleiben? Wenn ja, dann sollte man mal schauen, wie diese Frage in der Literatur diskutiert wird und evtl. wären hier auch historische Verweise sinnvoll. (Allerdings gibt es bereits einen Geschichtsteil am Ende des Artikels.)—Godung Gwahag (Diskussion) 21:13, 3. Apr. 2019 (CEST)

Ich halte den Ansatz für richtig, mit Anschauung zu beginnen, aber auch das muss richtig sein. Man könnte die Bemerkungen zu physikalischen und technischen Vorgängen (wirklich unstetige Vorgänge wie Quantensprünge; auf den ersten Blick unstetige Vorgänge wie die Billardkugel; Unstetigkeit durch Diskretisierung, z.B. Abtastungen) irgendwo zusammenstellen. Zu den außermathematischen Beispielen unstetiger Funktionen: Sie beruhen fast alle auf Diskretisierung; das sollte man in einem Aufwasch behandeln. Z.B. ist die Preisfunktion des Weinhändlers "8 €/Fl. bis 9 Fl.; 7 €/Fl. ab 10 Fl." nicht unstetig, sondern sie enthält eine (reelle) Definitionslücke aufgrund der (ganzzahligen) Diskretisierung seines Angebots. Warum diskretisiert wird, ist egal -- es sind immer keine unstetigen reellen Funktionen (Übertragener Kommentar von Lantani.)

Ich halte einen Abschnitt "Grenzen der Anschauung" an dieser Stelle für unerlässlich, den jetzigen (vorläufig in die Neufassung übernommenen) aber für völlig untauglich:

• Fängt man anschaulich an und wird dann plötzlich formal, sollte man einen Grund angeben können, warum die formale Formulierung einen Fortschritt darstellt, gerade wenn sie nicht nur eine offensichtliche Neuformulierung in Formelsprache dessen ist, was man eh schon verstanden hat. Hier ist das der Fall: mit einer formalen Definition lässt sich die Stetigkeit oder Unstetigkeit von Funktionen zeigen, bei denen man keine Sprünge unmittelbar sieht.
• Der jetzige Inhalt des Abschnitts ist sehr heterogen: er enthält Dinge aus der Alltagswelt, die man zu recht oder zu Unrecht als unstetig betrachtet (Billardkugel), Funktionen, die ohne Weiteres stetig sind (g am Anfang),superkomplizierte Beispiele wie die Weierstraß-Funktion wo es einfachere instruktivere gäbe, und das Ganze in philosophischer Sprache ("Kritisch hinterfragen kann man"). Das geht besser. (Übertragener Kommentar von Lantani)

Ein Problem der stetigen Funktionen in Physik und Technik ist die Vorausetzung, dass sie auf kontinuierlichen Größen aufbauen. Im genanten Kapitel wird im Zusammenhang mit Billardkugeln die Anzahl der gefallenen Kugeln als Funktion der Abstoßgeschwindigkeit betrachtet.

Funktionen mit zählbaren Größen sind unstetig. Bei natürlichen Vorgängen wird vielfach ein wertekontinuierliches und zeitkontinuierliches Analogsignal zugrunde gelegt. Wird allerdings ein Vorgang durch ein Digitalsignal erfasst, ist eine funktionaler Zusammenhang nur schrittweise gegeben.

Ich habe den Eindruck, dass dieser Gesichtspunkt (der Unterschied zum stetigen Zusammenhang) im Artikelentwurf nicht genügend beachtet wird. --der Saure 22:00, 3. Apr. 2019 (CEST)

Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Ich weiß nicht, ob man hier Dinge noch einmal aufführen sollte, die schon im Kontext reeller Funktionen vorkamen. (Zum Beispiel, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist.) Da ja alle Eigenschaften, die sich hier erwähnen ließen, ohnehin in den folgenden Abschnitten für allgemeine topologische Räume vorkommen, würde ich diesen Abschnitt so kurz halten, wie er jetzt ist.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:33, 6. Apr. 2019 (CEST)

Der Abschnitt muss auf jeden Fall völlig überarbeitet werden.
Warum wird das Folgenkriterium hier nun schon wieder mit einer anderen Schreibweise formuliert (inzwischen die dritte)? Warum ist der Punkt, an dem die Stetigkeit definiert wird, nicht mehr $x_{0}$ sondern $x$? Vermutlich, weil man die Folge nicht mehr $a_{n}$ sondern $x_{n}$ genannt hat.
Das Epsilon-Delta-Kriterium sollte hier ausformuliert werden. Es liest sich doch etwas anders als im reellen Fall.

Die Beispiele sind schlecht gewählt. Das erste Beispiel etwa ist einfach ein Satz (Die Stetigkeit einer Funktion, deren Zielmenge ein kartesisches Produkt ist, ist äquivalent zur Stetigkeit aller Projektionen der Funktion auf die Faktoren dieses Produkts), der hier für den Spezialfall, dass der Definitionsbereich und die Zielmenge euklidische Räume sind, formuliert wurde.

Im Augenblick steht der Abschnitt ohne Zusammenhang da. In meinen Augen sollte man ihn mit der Definition der Stetigkeit auf topologischen Räumen zu einem Kapitel zusammenfassen. Dabei sollte aus dem Text hervorgehen, dass alle Stetigkeitsbegriffe, die in dem Lemma behandelt werden (reelle Funktionen, Funktionen im $\mathbb {R} ^{n}$, metrische Räume, topologische Räume) sukzessive Verallgemeinerungen sind.

Die grundlegenden Eigenschaften (etwa die Permanenzeigenschaften) kann man dann besprechen, wenn die allgemeinste Definition angegeben wurde. --Stephan2802 (Diskussion) 23:19, 19. Apr. 2019 (CEST)

Man sollte jedenfalls Abbildungen in den R^m und auch lineare Operatoren erwähnen, bevor man dann zu dem (nur für Leute mit Topologie-Grundkenntnissen verständlichen) Abschnitt mit der allgemeinen topologischen Definition kommt. Das kann man natürlich auch in kurzen separaten Abschnitten machen und den Abschnitt über metrische Räume dann weglassen. Andererseits gibt es noch den Abschnitt Stetige Funktion#Andere Stetigkeitsbegriffe, der vielleicht am Besten im Kontext metrischer Räume behandelt werden sollte.--Godung Gwahag (Diskussion) 21:43, 25. Mai 2019 (CEST)

“Stetigkeit vektorwertiger Funktionen“ wäre vielleicht eine gute Überschrift, unter der man diese drei Themen (und auch noch komplexwertige Funktionen) zusammenfassen könnte.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:01, 25. Mai 2019 (CEST)

Ich werde in den nächsten Tagen mal einen Artikel Stetiger Operator anlegen, der auf die Bedeutung in der Funktionalanalysis eingeht und auf den man dann von hier einfach als Hauptartikel verlinken kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 11:19, 19. Sep. 2019 (CEST)

Stetigkeit in der Topologie

Wir sollten für diesen und vor allem den folgenden Teil geeignete Literatur finden. Bis jetzt taugen dafür nur drei der im Artikel angegebene Quellen, nämlich das Buch von Boto von Querenburg, das Buch von Schubert, und das Skript „Topology without Tears“. Die haben nach meinem Eindruck zwar einiges zu stetigen Funktionen, aber jedenfalls nur einen Teil der jetzigen Artikelinhalte.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:02, 3. Jun. 2019 (CEST)

Das Konzept der Stetigkeit wurde zunächst für reelle und komplexe Funktionen entwickelt. Bei der Begründung des mathematischen Teilgebiets der Topologie zeigte sich aber, dass das Konzept sich natürlich auf dieses Gebiet erweitern lässt. Seitdem ist die Stetigkeit einer der Grundbegriffe der modernen Mathematik.

Das kann so völlig unbelegt nicht stehen bleiben, solange wir nicht überprüft haben, dass bei Cauchy und Bolzano das Konzept (nur) für reelle und komplexe Funktionen entwickelt wurde und dass Hausdorff bei der Begründung der Topologie auch den Stetigkeitsbegriff im Blick hatte. Beides mag plausibel sein, bedarf aber (da wir keine Original Research betreiben) einer entsprechenden Einordnung in Sekundärliteratur.—Godung Gwahag (Diskussion) 13:01, 11. Okt. 2019 (CEST)

Definitionen der Stetigkeit

Auch hier betrachtet man - denke ich - zunächst besser Stetigkeit in einem Punkte. Das heißt, ich würde also anfangen wie folgt:

1) Eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ von dem topologischen Raum $X$ in den topologischen Raum $Y$ heißt stetig im Punkte $x\in X$, wenn für jede Umgebung $V$ von $f(x)$ in $Y$ eine Umgebung $U$ von $x$ in $X$ existiert mit $f(U)\subseteq V$.

Mit anderen Worten (wegen $f(U)\subseteq V{\text{ genau dann, wenn }}U\subseteq f^{-1}(V)$): $f$ ist stetig im Punkte $x$ genau dann, wenn jede $Y$-Umgebung des Bildpunkts $f(x)$ eine $X$-Umgebung von $x$ als Urbild besitzt.

2) Eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ von dem topologischen Raum $X$ in den topologischen Raum $Y$ heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt von $X$ stetig ist.

3) Das andere ergibt sich dann, insbesondere dass eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig ist , wenn die Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen wiederum offene (abgeschlossene) Mengen sind.

--Schojoha (Diskussion) 23:04, 1. Apr. 2019 (CEST)

Das ist jetzt natürlich Geschmackssache. Mir gefällt die topologische Definition über offene Mengen (statt erst über Umgebungen zu reden) gerade deshalb, weil sie so kurz und knapp auf den Punkt kommt. Aber Du hast natürlich recht, dass man die Beziehung zu den punktweisen Definitionen aus den vorherigen Abschnitten herstellen sollte.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:24, 3. Apr. 2019 (CEST)

Meine Meinung:

• Jede der äquivalenten Definitionen der Stetigkeit muss nur einmal formuliert werden. Drei verschiedene Formulierungen anzugeben, die sich nur durch den Grad der Formalisierung unterscheiden, bläht den Artikel unnötig auf.
• Man sollte mit der punktweisen Stetigkeit anfangen. Schließlich sollte so weit als möglich die Kontinuität des Artikels gewahrt bleiben. Es ist übrigens möglich, die punktweise Stetigkeit (fast) genauso elegant zu formulieren, wie die die globale Stetigkeit auf Basis offener Mengen. Die entsprechende Formulierung findet sich als (3) im Lemma Stetigkeit. Wenn man danach die Charakterisierung der Stetigkeit auf Basis offener Mengen angibt, sieht man auch schön, dass diese sehr ähnlich ist.
• Es ist didaktisch ungeschickt, noch bevor man die Definitionen angegeben hat, schon darauf hinzuweisen, wie man die Definition ändern muss, um zur Definition offener bzw. abgeschlossener Abbildungen zu gelangen. Das gehört weiter nach hinten.
• Dass das Folgenkriterium jetzt zu einem anderen Stetigkeitsbegriff führt, sollte man besser herausarbeiten. --Stephan2802 (Diskussion) 23:37, 19. Apr. 2019 (CEST)

Siehe auch

Ich denke, wir sollten einen sieheauch-Abschnitt für Verlinkungen auf andere Artikel aufmachen. Dort könnte man die verschiedenen Arten von Unstetigkeitsstellen verlinken, die im Artikel nicht mehr vorkommen; dort könnte man auch Oszillation und Nichtstandard-Analysis#Beispiel: Definition der Stetigkeit verlinken, wenn die aus dem Artikel herausgenommen werden, und noch eine Reihe weiterer Sachen, die in den Artikel nicht wirklich hineinpassen, aber bereits eigene Artikel haben.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:56, 12. Okt. 2019 (CEST)

Weblinks

Bei der Übertragung ist offensichtlich die Formatierung der Mehrfachreferenzen beschädigt worden. In der ersten Referenz müssen die bibliogr. Daten genannt werden, siehe für das Format Hilfe:Einzelnachweise. Entsprechend stehen im Augenblick bei fussnote 2,5 Fehlermeldungen.--Claude J (Diskussion) 09:05, 4. Apr. 2019 (CEST)

Der Link zur Erklärung des epsilon-delta-Kriteriums auf Mathematik.de scheint tot zu sein. Man könnte ihn evtl. durch diesen ersetzen: https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Epsilon-Delta-Kriterium_der_Stetigkeit —Godung Gwahag (Diskussion) 22:50, 2. Jun. 2019 (CEST)

ist erledigt.—Godung Gwahag (Diskussion) 19:36, 25. Nov. 2019 (CET)

Stand der Diskussion 11.8.2019

Nachdem sich jetzt 2 Monate lang nichts bewegt hat, habe ich das Kapitel zu den unstetigen Funktionen entfernt. Das letzte Kapitel im Abschnitt "Stetigkeit reeller Funktionen" ist jetzt "Andere Stetigkeitsbegriffe". Ich denke, dass sich das auch eher an den fortgeschrittenen Leser wendet und dass es daher am Ende unserer Überarbeitung weiter nach hinten wandern sollte.

Ich schlage vor, direkt hinter das Kapitel "Stetigkeit reeller Funktionen" den folgenden Text zu übernehmen, der dann einige der bisher dort befindlichen Kapitel ersetzt:

Anfang: Vorschlag

Verallgemeinerungen des Stetigkeitsbegriffs

Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion kann auf verschiedene Weise verallgmeinert werden. Die wichtigsten Varianten werden in diesem Kapitel vorgestellt. Dabei ist jede Variante eine Verallgemeinerung der jeweils davor beschriebenen. Die allgemeinste (und auch abstrakteste) behandelt Funktionen zwischen topologischen Räumen. Aus mathematischer Sicht ist dieser Zugang zum Stetigkeitsbegriff der natürlichste. Für Anwender der Mathematik mag es aber ausreichen, aus den folgenden Varianten diejenige auszuwählen, die für ihre Problemstellung genügend allgemein ist.
In allen Fällen wird zunächst die Stetigkeit in einem Punkt des Definitionsbereichs definiert. Dass eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist, als stetige Funktion bezeichnet wird, überträgt sich genauso wie die anderen für reelle Funktionen eingeführten Sprechweisen auf alle weiteren Varianten und wird nicht mehr gesondert erwähnt.

Auch können viele Ergebnisse für stetige reelle Funktionen auf die allgemeineren Situationen übertragen werden. Insbesondere lässt sich die Aussage über die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen direkt auf jeden der allgemeineren Stetigkeitsbegriffe übertragen. Sie wird daher im folgenden nicht mehr eigens aufgeführt.
Das selbe gilt für die Tatsache, dass konstante Funktionen immer stetig sind.

Eine Herausforderung bei der Verallgemeinerung stellen Aussagen dar, bei deren Formulierung die Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$, insbesondere also der Begriff des Intervalls, verwendet wurde. Eine solche Ordnungsstruktur ist nämlich in den anderen betrachteten Fällen nicht zwingend gegeben. Daher muss in den allgemeinen Fällen nach alternativen Formulierungen gesucht werden.

Die Begriffe "Funktion" und "Abbildung" sind in der Mathematik synonym. Mit zunehmendem Abstraktionsgrad wird der zweite Begriff gebräuchlicher. In diesem Artikel wird durchgehend die Bezeichnung "Funktion" verwendet. Ausgenommen sind spezielle Klassen von Abbildungen, bei denen es unüblich ist, den Funktionsbegriff zu verwenden, wie etwa die linearen Abbildungen.

Stetigkeit komplexer Funktionen

Sei $f$ eine komplexe Funktion, also eine Funktion $f\colon D_{f}\to \mathbb {C}$, deren Funktionswerte komplexe Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {C}$ ebenfalls aus komplexen Zahlen besteht.
Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für reelle Funktionen ohne Änderung übernommen werden. Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für komplexe Funktionen oder Folgen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Analog zum reellen Fall folgt aus der komplexen Differenzierbarkeit die Stetigkeit. Somit sind alle rationalen Funktionen, alle Exponentialfunktionen und alle trigonometrischen Funktionen auch als komplexe Funktionen stetig.
Nicht so einfach übertragen kann man die Stetigkeit der Potenzfunktionen mit nicht ganzzahligen Exponenten und der Logarithmusfunktionen. Dies hängt damit zusammen, dass sich auch die Aussage über die Stetigkeit der Umkehrfunktion nicht direkt auf komplexe Funktionen übertragen lässt. Zum Beispiel ist die Funktion $x\mapsto e^{ix}$ eine stetige und injektive Funktion auf dem Intervall $D=[0,2\pi )$. Ihr Wertebereich ist die komplexe Einheitskreislinie $T=\{z\in \mathbb {C} ||z|=1\}$. Die Umkehrfunktion ist aber unstetig in 1. Tatsächlich kann eine stetige Funktion von $T$ nach $D$ weder injektiv noch surjektiv sein.

Die komplexe Betragsfunktion, die Konjugation, sowie die Funktionen, die einer komplexen Zahl ihren Real- bzw. ihren Imaginärteil zuordnen, sind stetige Funktionen. Alle diese Funktionen sind an keiner Stelle komplex differenzierbar. In der kompexen Analysis ist es also deutlich einfacher, Beispiele für nirgends differenzierbare stetige Funktionen zu finden, als im reellen Fall.

Von den Aussagen zur Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen kann neben der Aussage zur Hintereinanderausführung auch die zu den algebraischen Operationen unverändert übernommen werden. Das punktweise Bilden von Maximum oder Minimum ist nur sinnvoll, wenn die beteiligten Funktionen nur Werte in $\mathbb {R}$ annehmen. Dann gelten die Aussagen ebenso weiter.

Die Ableitungsfunktion einer auf ganz $\mathbb {C}$ komplex differenzierbaren Funktion ist selbst wieder komplex differenzierbar. Also können stetige Funktionen, die nicht komplex differenzierbar sind, keine komplexen Stammfunktionen besitzen. Dies zeigt, dass sich der Fundamentalsatz der Analysis nicht einfach auf den komplexen Fall übertragen lässt.

Für die übrigen Hauptsätze über reelle stetige Funktionen gibt es Entsprechungen im komplexen. Deren Formulierung passt aber besser zum Stetigkeitsbegriff für Funktionen zwischen euklidischen Räumen und wird daher dort vorgestellt.

Stetigkeit für Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Sei ${\mathbb {K} }$ entweder die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, sowie $n$ eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man das kartesisches Produkt ${\mathbb {K} }^{n}$ als euklidischen Raum. Da $\mathbb {C} ^{n}$ natürlich mit $\mathbb {R} ^{2n}$ identifiziert wird, kann man den Fall ${\mathbb {K} }=\mathbb {C}$ auf den Fall ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zurückführen. Für einige Aussagen ist es trotzdem sinnvoll, den komplexen Fall separat zu betrachten, da komplexe Multiplikation, Division und Differentation nicht einfach getrennt nach Real- und Imaginärteil durchgeführt werden können.

Sei $f$ eine Funktion $f\colon D_{f}\to {\mathbb {K} }^{m}$, deren Funktionswerte in einem euklidischen Raum liegen und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset {\mathbb {K} }^{n}$ Teilemenge eines (möglicherweise anderen) euklidischen Raums ist. Eine solche Funktion wird auch als $n$-stellige Funktion oder Funktion von $n$ Variablen bezeichnet.

Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für reelle Funktionen übernommen werden, wenn man den Absolutbetrag $|\cdot |$ durch die euklidische Norm $\|\cdot \|_{2}$ ersetzt. Da auf euklidischen Räumen alle Normen äquivalent sind, kann man in der Definition auch jede andere Norm (z.B. die Maximumsnorm) verwenden, ohne das Ergebnis zu ändern. Daher lässt man den Index 2 bei der Norm meist weg. Das Kriterium lautet dann:

$f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D_{f}$ mit

$\|x-x_{0}\|<\delta$

gilt:

$\|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon$.

Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in euklidischen Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Stetigkeit von Funktionen zwischen Produkträumen

Ist $f$ eine Funktion wie oben beschrieben, so gibt es (eindeutig bestimmte) Funktionen $f_{1},...,f_{m}:D_{f}\to {\mathbb {K} }$, so dass für $x\in D_{f}$ gilt: $f(x)=\left(f_{1}(x),...,f_{m}(x)\right)$.
Die Funktion $f$ ist genau dann stetig in ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$, wenn dies für alle $f_{1},...,f_{m}$ gilt. Damit kann man sich bei der Untersuchung der Stetigkeit vollständig auf die Untersuchung von skalarwertigen Funktionen (also von Funktionen mit Werten in ${\mathbb {K} }$) beschränken.
Die elementarsten derartigen Funktionen sind (neben den konstanten) die Projektionen, also die Funktionen, die einem Tupel $(x_{1},...,x_{n})\in {\mathbb {K} }^{n}$ die $i$-te Komponente $x_{i}$ für ein festes $i\in \{1,...,n\}$ zuweisen. Diese sind alle stetig.
Hieraus ergibt sich bereits, dass alle Funktionen, die sich durch Weglassen, Vertauschen und Wiederholen von Komponenten ergeben, stetig sind, etwa die Funktion $(x,y,z)\mapsto (z,x,x,z)$ von ${\mathbb {K} }^{3}$ nach ${\mathbb {K} }^{4}$.

Es ist nicht möglich, sich auch auf der Seite des Funktionsarguments alleine auf die Betrachtung des skalaren Falls zu beschränken. Ist der Definitionsbereich der betrachteten Funktion der gesamte Raum ${\mathbb {K} }^{n}$ (oder eine vergleichbar "gutartige" Menge), so kann man für $(x_{2},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {K} }^{n-1}$ die Funktion

$f_{(x_{2},\ldots ,x_{n})}\colon {\mathbb {K} }\to {\mathbb {K} }^{m}$

$x\mapsto f(x,x_{2},\ldots ,x_{n})$

betrachten. $f$ heißt stetig im ersten Argument, wenn jede dieser Funktionen stetig ist.
Analog wird die Stetigkeit im zweiten, dritten, ... , $n$-ten Argument definiert.
Eine stetige Funktion ist auch stetig in jedem Argument.

Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion f.

Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit in jedem Argument jedoch nicht die Stetigkeit der Funktion, wie das folgende Beispiel zeigt:

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto {\begin{cases}0,&x=y=0\\{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Man überzeugt sich leicht, dass diese Funktion in beiden Argumenten stetig ist. Die Funktion ist im Punkt $(0,0)$ aber unstetig. Definiert man nämlich $a_{n}=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)$ für $n\in \mathbb {N}$, so ist $(a_{n})$ eine Folge, die in $\mathbb {R} ^{2}$ gegen $(0,0)$ konvergiert. Es gilt $f(a_{n})={\tfrac {1}{2}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Bildfolge hat also den konstanten Wert ${\tfrac {1}{2}}$ und konvergiert somit nicht gegen den Funktionswert 0 an der betrachteten Stelle.

Stetigkeit der algebraischen Verknüpfungen

Die algebraischen Verknüpfungen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können jeweils als Funktionen von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }$ (bzw. im Falle der Division von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\setminus \{0\}$) nach ${\mathbb {K} }$ aufgefasst werden. Die Addition z.B. als die Funktion $(x,y)\mapsto x+y$. Jede dieser Funktionen ist stetig.

Kombiniert man diese Erkenntnis mit den Überlegungen aus dem vorherigen Kapitel, so erhält man auch die Stetigkeit weiterer algebraischer Operationen, wie der Addition und Subtraktion von Vektoren (Funktionen von ${\mathbb {K} }^{n}\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }^{n}$), der Multiplikation mit einem Skalar (Funktion von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }^{n}$) oder des Skalarproduktes (Funktion von ${\mathbb {K} }^{n}\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }$).

Berücksichtigt man, dass man die Menge $M(m\times n,{\mathbb {K} })$ der $m\times n$-Matrizen über ${\mathbb {K} }$ in natürlicher Weise mit dem euklidischen Raum ${\mathbb {K} }^{mn}$ identifizieren kann, so erhält man auch die Stetigkeit der elementaren Rechenoperationen für Matrizen. Auch die Determinante ist eine stetige Funktion und damit dann auch die Invertierung von Matrizen.

Sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit identischem Definitionsbereich und gleicher Zielmenge ${\mathbb {K} }^{m}$ stetig in einem Punkt ihres gemeinsamen Definitionsbereichs, so gilt dies auch für die punktweise definierte Summe $f+g$. Dies folgt einfach, weil diese Funktion sich als Hintereinanderausführung der Funktion $x\mapsto (f(x),g(x))$ (Zielmenge ist ${\mathbb {K} }^{m}\times {\mathbb {K} }^{m}$) und der Vektoraddition (Funktion von ${\mathbb {K} }^{m}\times {\mathbb {K} }^{m}$ nach ${\mathbb {K} }^{m}$) auffassen lässt.
Analog kann man natürlich auch für die anderen genannten algebraischen Verknüpfungen argumentieren. Hieraus folgen insbesondere die bereits vermerkten Aussagen über die Stetigkeit (durch algebraische Operationen) zusammengesetzter reeller oder komplexer Funktionen. Diese Überlegung überträgt sich auch auf die weiteren diskutierten Stetigkeitsbegriffe und wird dort nicht mehr gesondert erwähnt.

Betrachtet man Maximum und Minimum als Verknüpfungen auf $\mathbb {R}$, so handelt es sich ebenfalls um stetige Funktionen (von $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$). Hier gilt entsprechendes.

Beispiele stetiger Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Durch Kombination der vorherigen Ergebnisse kann man bereits die Stetigkeit einer großen Klasse von Funktionen zeigen, zum Beispiel der Funktion $(x,y,z)\mapsto ({\sqrt {1+cos^{2}(x-y)}},e^{y+z})$ als Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$.
Auch sind alle Normen stetige (reellwertige) Funktionen.
Weiterhin folgt wieder aus der (totalen) Differenzierbarkeit einer Funktion deren Stetigkeit (im entsprechenden Punkt). Insbesondere sind alle lineraren Abbildungen (etwas allgemeiner: alle affinen Abbildungen) stetig.
Reellwertige konvexe und konkave Funktionen sind in allen inneren Punkten ihres Definitionsbereichs stetig. Dabei heißt ein Punkt $x_{0}$ innerer Punkt einer Teilmenge $D\subset {\mathbb {K} }^{n}$, wenn es eine offene Kugel $B$ gibt, die ganz in $D$ enthalten ist und ihrerseits $x_{0}$ enthält (also mit $x_{0}\in B\subset D$).
Offene Kugeln in ${\mathbb {K} }^{n}$ sind dabei Mengen, die sich darstellen lassen als Mengen der Form $B(a,r):=\{x\in {\mathbb {K} }^{n}|\|x-a\|_{2}<r\}$ mit $a\in {\mathbb {K} }^{n},r>0$.

Hauptsätze über stetige Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Da der Intervallbegriff für euklidische Räume nicht zur Verfügung steht, muss man zur Formulierung der Hauptsätze auf einige Grundbegriffe aus der Topologie zurückgreifen, die hier (für den Fall eines euklidischen Raums) definiert werden.
Eine Teilmenge $D\subset {\mathbb {K} }^{n}$ heißt:

• offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht (äquivalent: wenn ihr Komplement in ${\mathbb {K} }^{n}$ eine abgeschlossene Menge ist)
• abgeschlossen, wenn ihr Komplement in ${\mathbb {K} }^{n}$ eine offene Menge ist (äquivalent: wenn die Grenzwerte von konvergenten Folgen mit Gliedern aus $D$ ebenfalls in $D$ liegen)
• beschränkt, wenn sie vollständig in einer offenen Kugel enthalten ist
• kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist
• zusammenhängend, wenn es unmöglich ist, zwei offene Mengen zu finden, so dass jeder Punkt von $D$ in genau einer der beiden Mengen enthalten ist und beide Mengen auch tatsächlich Punkte aus $D$ enthalten.
• wegzusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte aus $D$ immer durch einen Weg in $D$ verbinden lassen, wenn also zu $x,y\in D$ immer eine stetige Funktion $\gamma :[0,1]\to {\mathbb {K} }^{n}$ gefunden werden kann, mit $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$ und $\gamma ([0,1])\subset D$.
• konvex, wenn sie mit zwei Punkten auch stets deren Verbindungsstrecke enthält

Für Teilemengen von $\mathbb {R}$ sind die Eigenschaften zusammenhängend, wegzusammenhängend und konvex äquivalent und werden genau von den reellen Intervallen erfüllt. Im allgemeinen gilt: konvex $\implies$ wegzusammenhängend $\implies$ zusammenhängend.

Ist nun $f$ wie oben beschrieben eine stetige Funktion, dann gilt:

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ zusammenhängend/wegzusammenhängend/kompakt, so gilt das selbe für den Wertebereich $f(D_{f})$.

Die ersten beiden Varianten sind dabei natürliche Verallgemeinerungen des Zwischenwertsatzes. Die dritte Variante ist eine Verallgemeinerung des Satzes vom Minimum und Maximum. Falls der Wertebereich von $f$ Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist, so folgt in der dritten Variante, dass $f$ seinen kleinsten und größten Wert tatsächlich annimmt, da kompakte Teilmengen von $\mathbb {R}$ Minimum und Maximum enthalten.

Eine direkte Übertragung des Zwischenwertsatzes auf konvexe Mengen ist nicht möglich. Tatsächlich wurde oben das Beispiel einer stetigen Funktion angegeben, die ein reelles Intervall (konvex) auf die komplexe Einheitskreislinie (nicht konvex) abbildet.

Es gibt aber einen Satz über konvexe Definitionsbereiche, der sich im Fall reeller Funktionen als äquivalent zum Zwischenwertsatz erweist, in höheren Dimensionen aber deutlich schwerer zu beweisen ist. Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt (in allgemeiner Form):

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ kompakt und konvex (und nicht leer) und ist $f$ eine Selbstabbildung (gilt also $f(D_{f})\subset D_{f}$), so besitzt $f$ (mindestens) einen Fixpunkt.

Der Satz von Heine besagt:

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ kompakt, so ist $f$ gleichmäßig stetig.

Der Fundamentalsatz der Analysis besitzt auch Verallgemeinerungen in höherdimensionalen Räumen (Satz von Stokes), die aber mehr als nur den Begriff der Stetigkeit voraussetzen. Der Fundamentalsatz enthält neben der Aussage über die Stammfunktion auch die Feststellung, dass stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind. Das Riemann-Integral besitzt in der mehrdimensionalen Analysis eine große Zahl von Verallgemeinerungen. Diese erlauben im Allgemeinen die Integration beliebiger stetiger Funktionen, wobei eventuell noch bestimmte Beschränktheitsbedingungen erfüllt sein müssen.

Wie bereits dargelegt, muss sich die Stetigkeit einer injektiven Funktion nicht auf ihre Umkehrfunktion übertragen. Ist $f$ injektiv, so kann in den folgenden beiden Fällen auf die Stetigkeit der Umkehrfunktion geschlossen werden:

• Der Definitionsbereich $D_{f}$ ist kompakt
• Der Definitionsbereich $D_{f}$ ist offen, und es gilt $n=m$

Die zweite Aussage ist deutlich schwerer zu beweisen. Sie ist auch bekannt als Satz von der Invarianz offener Mengen. Dieser Satz stellt auch sicher, dass der Wertebereich $f(D_{f})$ in diesem Fall ebenfalls eine offene Menge ist.

Es gibt auch eine Reihe von wichtigen Sätzen über stetige Funktionen, deren Formulierung überhaupt erst in höheren Dimensionen möglich ist. Beispielhaft seien genannt:

• Der Satz von Peano über die Lösbarkeit von Differentialgleichungen
• Die Existenz des brouwerschen Abbildungsgrades

Stetigkeit für Funktionen zwischen normierten Räumen

Sei $f$ eine Funktion $f\colon D_{f}\to W$, deren Funktionswerte in einem normierten Raum $W$ liegen und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset V$ Teilemenge eines (möglicherweise anderen) normierten Raums $V$ ist. Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für Funktionen zwischen euklidischen Räumen ohne Änderung übernommen werden. Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in normierten Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Die euklidischen Räume sind gerade die endlichdimensionalen normierten Räume. In diesem Kapitel sollen daher die Unterschiede beschrieben werden, die sich ergeben, wenn man die Untersuchung auf Räume beliebiger Dimension ausdehnt.
Zunächst ist zu beachten, dass auf unendlichdimensionalen Räumen nicht mehr alle Normen äquivalent sind. Die Wahl der Norm ist daher für die Frage der Stetigkeit einer Funktion unter Umständen entscheidend.

Sind $V_{1}$ und $V_{2}$ normierte Räume, so bieten sich auf dem kartesischen Produnkt $V_{1}\times V_{2}$ mehrere Normen an, die aber alle äquivalent und somit für Stetigkeitsbetrachtungen austauschbar sind. Ein Beispiel ist die durch $(v_{1},v_{2})\mapsto \|v_{1}\|+\|v_{2}\|$ definierte Norm.
Für normierte Räume, die sich auf diese Weise in kartesische Produkte zerlegen lassen, gelten die oben für Funktionen zwischen Produkträumen gemachten Aussagen sinngemäß weiter (wobei es auch möglich ist, dass die betrachteten Faktoren verschieden sind). Es ist aber zu berücksichtigen, dass sich unendlichdimensionale Räume auf diese Weise nicht in eindimensionale Bestandteile zerlegen lassen. Daher kann man die Stetigkeit von Funktionen mit Werten in einem unendlichdimensionalen normierten Raum nicht in analoger Weise auf die Stetigkeit skalarwertiger Funktionen zurückführen.
Weiterhin gültig ist allerdings die Aussage, dass die Vektoraddition ($V\times V\to V$) und die skalare Multiplikation (${\mathbb {K} }\times V\to V$) eines normierten Raumes $V$ stetige Funktionen sind.

Die im Kapitel über euklidische Räume eingeführten topologischen Begriffe können auf den Fall normierter Räume übernommen werden, wenn man sich auf die offenen Kugeln $B(a,r):=\{x\in V|\|x-a\|<r\}$ mit $a\in V,r>0$ bezieht.
Allerdings ist zu beachten, dass der Begriff der Kompaktheit nun nicht mehr äquivalent zur Beschränktheit und Abgeschlossenheit einer Menge ist. Eine mögliche Definition ist in diesem Fall:

Eine Teilmenge $D$ eines normierten Raumes heißt kompakt, wenn zu jedem System offener Mengen, dessen Vereinigung $D$ umfasst, (man spricht von einer offenen Überdeckung von $D$) ein endliches Teilsystem existiert, das die selbe Eigenschaft hat (also eine endliche Teilüberdeckung ist).

Der Satz von Heine-Borel besagt, dass diese Definition in euklidischen Räumen gerade von den abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen erfüllt wird. In unendlichdimensionalen Räumen ist die Bedingung der Kompaktheit allerdings deutlich restriktiver.

Unter Berücksichtigung dieser Änderungen können die oben angegebenen Verallgemeinerungen des Zwischenwertsatzes, des Satzes vom Minimum und Maximum und des Satzes von Heine auch auf den Fall beliebiger normierter Räume übertragen werden. Der Fixpunktsatz von Brouwer wird in diesem allgemeineren Kontext allerdings als Fixpunktsatz von Schauder bezeichnet.

Auch für beliebige normierte Räume gibt es einen Differenzierbarkeitsbegriff, der die Stetigkeit impliziert, nämlich den Begriff der Fréchet-Differenzierbarkeit. Es ist allerdings zu beachten, dass man bei der Definition dieses Begriffs bereits auf die Stetigkeit linearer Abbildungen verweist. Anders als im Fall euklidischer Räume ist nämlich nicht jede lineare Abbildung zwischen normierten Räumen stetig.
Genauer gesagt gilt: Sind $V,W$ normierte Räume, so sind äquivalent:

• Jede lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist stetig
• $V$ ist endlichdimensional oder $W$ ist 0-dimensional

Für lineare Abbildungen gibt es allerdings ein sehr einfaches Kriterium, das die Stetigkeit beschreibt. Diese Kriterium wird Beschränktheit genannt. Es ist zu beachten, dass dieser Begriff der Beschränktheit nicht mit dem normalen Begriff der Beschränktheit einer Funktion übereinstimmt.
Der Satz von Hahn-Banach stellt sicher, dass es "genügend viele" stetige lineare Abbildungen von $V$ nach $W$ gibt (sofern $W$ nicht 0-dimensional ist).

Stetigkeit für Funktionen zwischen metrischen Räumen

Im Epsilon-Delta-Kriterium wird Betrag bzw. Norm immer auf die Differenz zweier Werte angewandt. Dies kann aufgefasst werden als die Bestimmung des Abstands dieser Werte. Es liegt daher nahe, den Begriff der Stetigkeit auf Funktionen zwischen Mengen auszudehnen, in denen ein Abstandsbegriff zur Verfügung steht, also auf Funktionen zwischen metrischen Räumen.

Sei $f:X\to Y$ eine Funktion, deren Definitionsbereich und Zielmenge durch Metriken zu metrischen Räumen $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$ werden. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x_{0}\in X$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in X$ mit

$d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta$

gilt:

$d_{Y}\left(f(x),f(x_{0})\right)<\varepsilon$.

Alternativ zu dieser Variante des Epsilon-Delta-Kriteriums kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in metrischen Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Im Gegensatz zu den bisherigen Stetigkeitsdefinitionen setzt diese voraus, dass der Definitionsbereich von $f$ ganz $X$ ist. Dies ist kein Verlust an Allgemeinheit, da jede Teilmenge eines metrischen Raums mit der eingeschränkten Metrik selbst ein metrischer Raum ist. Die Definition geht also davon aus, dass man sich ggf. bereits auf den Definitionsbereich eingeschränkt hat.

Zur Definition der topologischen Grundbegriffe in $X$ nutzt man nun die offenen Kugeln $B(a,r):=\{x\in X|d_{X}\left(x,a\right)<r\}$ mit $a\in X,r>0$. Für die Definition der Kompaktheit ist dabei die schärfere Bedingung aus dem Kapitel über normierte Räume zu verwenden. Da es in metrischen Räumen im allgemeinen nicht sinnvoll ist, von der Verbindungsstrecke zweier Punkte zu sprechen, ist es nicht einfach möglich, den Begriff der Konvexität auf metrische Räume zu verallgemeinern (der Begriff des metrisch konvexen Raums ist zu speziell, um hier erörtert zu werden).

Ist nun $f$ wie oben beschrieben eine stetige Funktion, dann gilt in direkter Verallgemeinerung der obigen Aussagen:

• Ist der Definitionsbereich $X$ von $f$ zusammenhängend/wegzusammenhängend/kompakt, so gilt das selbe für den Wertebereich $f(X)$.
• Ist der Definitionsbereich $X$ von $f$ kompakt, so ist $f$ gleichmäßig stetig.

Stetigkeit für Funktionen zwischen topologischen Räumen

Definition

Eine weitere Verallgemeinerung des Epsilon-Delta-Kriteriums in seiner Fassung für metrische Räume bietet sich nicht an. Man kann das Kriterium aber so umformulieren, dass es nur noch den fundamentalen topologischen Begriff der Umgebung benötigt. Damit kann der Begriff der Stetigkeit auch auf Funktionen zwischen topologischen Räumen ausgedehnt werden.

Sei $f:X\to Y$ eine Funktion, deren Definitionsbereich und Zielmenge topologische Räume sind. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x_{0}\in X$, wenn für jede Umgebung $U$ von $f(x_{0})$ in $Y$ das Urbild $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x_{0}$ in $X$ ist.

Wie in den anderen Fällen kann man auch eine äquivalente Definition finden, die sich auf das Konzept der Konvergenz stützt. Die Verallgemeinerung des Konzepts des Grenzwerts von Funktionen ist in der Topologie unüblich. Konvergenz von Folgen ist auch in beliebigen topologischen Räumen definiert. Eine direkte Übertragung des Folgenkriteriums führt aber zum Begriff der Folgenstetigkeit, der im Allgemeinen schwächer als der soeben definierte Stetigkeitsbegriff ist. Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (ist also z. B. ein metrischer Raum), so sind die beiden Begriffe allerdings gleichwertig.

Im allgemeinen kann man das Konzept der Konvergenz von Netzen benutzen:

Die Funktion $f$ ist stetig in $x_{0}\in X$, wenn für jedes in $X$ gegen $x_{0}$ konvergente Netz $(a_{i})$ das Netz $\left(f(a_{i})\right)$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Alternativ kann man das Kriterium auch über die Konvergenz von Filtern formulieren.

Alternative Charakterisierungen der Stetigkeit

Bei der Einführung des topologischen Raumes legt man üblicherweise einen zentralen Begriff der Topologie axiomatisch fest und leitet dann alle anderen Begriffe von diesem ab. Der Umgebungsbegriff ist dabei einer dieser zentralen Begriffe, der als Ausgangspunkt genommen werrden kann. Es stellt sich die Frage, ob man die Definition der Stetigkeit auch genauso auf die anderen möglichen zentralen Begriffe stützen könnte. Es zeigt sich, das dies für den Begriff der Stetigkeit in einem Punkt schwierig ist, für den Begriff der (überall) stetigen Funktion dagegen sehr einfach ist.

• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede offene Menge $O\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(O)$ offen (in $X$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede abgeschlossene Menge $A\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(A)$ abgeschlossen (in $X$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild der abgeschlossenen Hülle (also $f({\overline {M}})$) Teilmenge der abgeschlossenen Hülle des Bildes (also von ${\overline {f(M)}}$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset Y$ das Urbild des offenen Kerns (also $f^{-1}({M^{\circ }})$) Teilmenge des offenen Kerns des Urbilds (also von ${f^{-1}(M)^{\circ }}$) ist
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild des Randes (also $f(\partial M)$) Teilmenge der Vereinigung von Bild und Rand des Bildes (also von $f(M)\cup \partial f(M)$) ist
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild der Ableitung (also $f(d(M))$) Teilmenge der Vereinigung von Bild und Ableitung des Bildes (also von $f(M)\cup d(f(M))$) ist

Da man sich in der allgemeinen Topologie nur selten für die Stetigkeit in einzelnen Punkten interessiert und da die Definition von topologischen Räumen über den Begriff der offenen Menge die verbreitetste Variante ist, findet man in der Literatur auch gelegentlich die erste dieser Aussagen als Definition der Stetigkeit.
Formuliert man die erste bzw. die zweite Aussage als Bedingung an das Bild anstatt an das Urbild, so kommt man zur Definition einer offenen bzw. einer abgeschlossenen Funktion/Abbildung. Diese Begriffe sind weniger wichtig als der Begriff der stetigen Funktion. Es gibt aber einige wichtige Sätze, die sicherstellen, dass eine stetige Funktion unter bestimmten Zusatzannahmen auch offen oder abgeschlossen ist.

Zentrale Aussagen über Stetigkeit in der Topologie

Stimmen die topologischen Räume $X$ und $Y$ als Mengen überein, so ist die identische Abbildung von $X$ nach $Y$ genau dann stetig, wenn die Topologie auf $X$ feiner ist als die auf $Y$ oder mit ihr übereinstimmt.

Generell ist die Bedingung der Stetigkeit umso leichter zu erreichen (und damit umso weniger aussagekräftig), je feiner die Topologie auf dem Definitionsbereich bzw. je gröber die Topologie auf der Zielmenge ist. Insbesondere ist die Bedingung immer erfüllt, wenn der Definitionsbereich die diskrete Topologie oder die Zielmenge die triviale Topologie trägt.

Die oben für stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen formulierten zwei Ergebnisse können wörtlich übertragen werden. Bei der zweiten Aussage (dem Satz von Heine) muss aber noch gefordert werden, dass die beteiligten Räume Hausdorff-Räume sind. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit nicht für allgemeine topologische Räume sondern nur für uniforme Räume definiert werden kann. Da aber jeder kompakte Hausdorff-Raum in eindeutiger Weise zu einem uniformen Raum gemacht werden kann und weil sich die Kompaktheit auch auf den Wertebereich der stetigen Funktion überträgt, kann man die Aussage so formulieren.

Die oben formulierten Aussagen zur Stetigkeit von Funktionen zwischen Produkträumen bleiben gültig, wenn man unterstellt, dass auf den Produkträumen die Produkttopologie betrachtet wird. Dabei gilt die Verallgemeinerung sogar für unendliche Produkte.

Ende: Vorschlag

Bemerkung: Die Beschreibung der Stetigkeit über offenen Kern, Rand und Ableitung habe ich mir selber hergeleitet (es handelt sich also um Theoriefindung). Es wäre gut, wenn jemand, der Zugriff auf die für Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie verwendete Literatur hat, das verifizieren (und ggf. korrigieren) könnte.
Wenn das nicht möglich ist, würde ich den ganzen Bereich eindampfen und nur die Definition über die Urbilder offener und abgeschlossener Mengen drin lassen. Ansonsten wäre die Auswahl der Axiomensysteme, auf die man sich bezieht, doch recht willkürlich. --Stephan2802 (Diskussion) 11:01, 11. Aug. 2019 (CEST)

@Godung Gwahag: Wie ich sehe hast du die Diskussion zu einzelnen Unterkapiteln wieder aufgenommen. Mir erscheint die Diskussion an diesen Punkten aber im Augenblick noch nicht angebracht.

Bisher haben wir einen Konsens dazu erzielt, wie man die Stetigkeit von reellen Funktionen beschreibt. Die Punkte, die du jetzt ansprichst setzen aber voraus, dass man einen allgemeineren Stetigkeitsbegriff hat.

Bevor wir uns damit beschäftigen, müssen wir erst einmal klären, wie wir zu dem allgemeineren Stetigkeitsbegriff kommen. Hierzu habe ich bereits vor zwei Monaten einen ausgearbeitetn Vorschlag vorgelegt. Dazu hast du bisher nur sehr spontan und nur auf meiner persönlichen Diskussionsseite Stellung genommen (es gibt dazu eine Antwort von mir auf deiner Diskussionsseite).

Ich bitte also darum, die Diskussion zunächst einmal auf das nächstliegende zu fokussieren. Sei es durch konstruktive Auseinandersetzung mit meinem Vorschlag, sei es durch Beibringung eines alternativen Vorschlags.

Ich versuche noch einmal zu motivieren, welche Gedanken mich bei meinem Vorschlag geleitet haben:

Wir haben uns entschlossen, den Stetigkeitsbegriff zunächst einmal für den Fall reeller Funktionen darzustellen und uns dabei am vermuteten mathematischen Horizont eines Oberstufenschülers orientiert. Diese Auswahl ist letztlich willkürlich. Ein Ingenieur ist vermutlich auch nicht am allgemeinen Stetigkeitsbegriff der Topologie interessiert. Stetigkeit von Funktionen einer reellen Variablen reicht ihm aber eventuell trotzdem nicht aus. Ein Physiker ist eventuell am Stetigkeitsbegriff in unendlichdimensionalen Hilberträumen interessiert und selbst Mathematikstudenten machen meist noch den einen oder anderen Zwischenschritt auf dem Weg von der Stetigkeit reeller Funktionen zur Stetigkeit auf allgemeinen topologischen Räumen.

Aus diesem Grund scheint es mir angebracht, den Weg der schrittweisen Verallgemeinerung auch in diesem Artikel zu gehen.

Sehr am Herzen liegt mir dabei, dass aus dem Artikel klar wird, dass diese Verallgemeinerungen natürlich sind und sich ein logischer roter Faden durch den Stetigkeitsbegriff, der eventuell sogar in der Schule gelehrt wird, bis zum topologischen Stetigkeitsbegriff ergibt.

Wenn man diesen generellen Ansatz mal akzeptiert hat, bleibt natürlich immer noch die Frage, welche Zwischenschritte man wirklich einlegt. Hier erscheint mir von meinem Vorschlag der Schritt mit den komplexen Funktionen am ehesten verzichtbar.

Weiterhin stellt sich natürlich die Frage, was man genau in den jeweiligen Schritten erwähnen möchte.

An der Diskussion dazu beteilige ich mich gerne. Ich bin jetzt allerdings erst einmal im Urlaub. Da das Thema jetzt zwei Monate geruht hat, wird man dessen Ende aber auch noch abwarten können. --Stephan2802 (Diskussion) 15:50, 12. Okt. 2019 (CEST)

Es tut mir Leid, aber ich habe schlicht nicht die zeitlichen Ressourcen, um auf alle Deine Vorschläge im einzelnen zu antworten. Ich hatte ja auf deiner Disk erklärt, warum dein erster Abschnitt über Stetigkeit komplexer Funktionen nicht dem entspricht, was (aus guten Gründen) üblicherweise in Lehrbüchern gemacht wird. Ich werde aber jetzt nicht genauso auf jedem weiteren Deiner Vorschläge eingehen können, das ist einfach zeitlich nicht machbar.

Wir schreiben hier auf Wikipedia nur das, was in der Sekundärliteratur steht. Du solltest versuchen, Deinen Essay an einem geeigneten Ort veröffentlichen zu lassen. Danach kann man darüber diskutieren, ob Teile daraus auch in die Wikiepdia übernommen werden.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:06, 12. Okt. 2019 (CEST)

Diskussionen zu obigem Vorschlag bitte auf https://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer_Diskussion:Stephan2802/stetige_Funktion (nicht signierter Beitrag von Godung Gwahag (Diskussion | Beiträge) 13:11, 19. Nov. 2019 (CET))